2023届山东省实验中学高三第一次模拟考试数学试题含答案.pdf

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1、数学参考答案 第 1 页 共 6 页 山 东省实 验中 学 2023 届 高三第 一次 模拟 考试 数学参考答案 2023.5 一、单项 选择 题：本 题共8 小题，每 小题5 分，共40 分 在 每小 题给 出的 四个 选 项中，只 有一 项是符合 题目 要求 的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D C C B B C 二、多项 选择 题：本 题共4 小题，每 小题5 分，共20 分 在 每小 题给 出的 四个 选 项中，有 多项 符合题目 要求 全 部选 对的 得5 分，部 分选 对的 得2 分，有选 错的 得0 分.题号 9 10 11 12 答案 AB ABC AC

2、D ACD 三、填 空题：本 题共4 小 题，每小 题5 分，共20 分.13 16 14 1（答案 不唯一，2,3 均 可）15.2 16 5,3 四、解 答题：共70 分.解 答 应写出 文字 说明、证 明过 程或演 算步 骤.17【解析】（1）因为2218nnS S n，当 2 n 时，2 2 2 2 2 21 2 1 1 n n nS S S S S S 8 1 8 1 1 n 8 1 2 3 1 1 n(1)812nn 221 n，因为0na，所以0nS，故21nSn 3 分 当 1 n 时，111 Sa 适合 上式，所以21nSn，N n.5 分（2）因为21nSn，N n，所以当

3、 2 n 时，12 1 2 3 2n n na S S n n 所以1 1,2 2.nnan，7 分 所以数 列 nb：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，设(1)1 2 202nnn，则 5 n，所以 nb的前 20 项 是由 6 个 1 与 14 个 2 组成 所以206 1 14 2 34 T.10 分 数学参考答案 第 2 页 共 6 页 18【解析】（1）证明：取AC 的中 点M，连 接MB MP，在 PAC 中，PA PC，MA MC，MP AC，同理可 在 ABC 中，AB BC，MA MC，MB AC，且MP MB M，AC 平面PMB，又PB 平面PMB，PB AC 4

4、分（2）因为 平面PCD 平面 ABCD，交线 为 CD，又 90 ABC，/AB CD，所以BC CD，BC 平面 ABCD，所以BC 面 PCD，PC 面 PCD，所 以BC PC，故 PCD 为二 面角P BC D 的平 面角，45 PCD，6 分 以B 为原 点，以BC 为 x 轴，以BA 为 y 轴，建立如 图所 示的 坐标系，则(2,2,2)P，(0,2,0)A，(2,0,0)C，(2,1,0)D 设平 面 PAD 的 一个 法向 量 为(,)x y z n，0 2 0200DP y zxyAD nn，令 1 x，得(1,2,1)n 9 分 又(2,2,2)BP，所以 直线BP 与

5、平 面 PAD 所成角 的正 弦值 为|2sin|cos,|3|BPBPBP nnn.12 分 19【解析】（1）由直 方图 可知 成绩 在30,40，(40,50，(50,60，(60,70的学 生频 率和 为 0.06 0.12 0.18 0.34 0.7，所以抽 取 的 100 名学 生成 绩的 第 80 百分 位数 在(70,80内，设第 80 百 分位 数为x，则(70)0.016 0.1 76.25 xx，即第 80 百 分位 数为 76.25 2 分（2）由频 率分 布直 方图 可 得：竞赛成 绩 在(40,50，(50,60两组的 频率 之比为0.12:0.18 2:3，所以

6、10 人中 竞 赛成 绩 在(40,50的 人数为410 410人；在(50,60的人数 为610 610人；则X 所有 可能 的取 值为0,1,2,3，3 分 数学参考答案 第 3 页 共 6 页 36310C 20 1(0)C 120 6PX；2164310CC 60 1(1)C 120 2PX；1264310CC 36 3(2)C 120 10PX；34310C 41C 120 30(3)P X；X 的分布 列为：X 0 1 2 3 P 16 12 310 130 1 1 3 1 60 1 2 36 2 10 30 5EX.8 分（3）用频 率估 计概 率，竞 赛成绩 在30,40内的概

7、 率0.06 10.06 0.12 3p；则 202020 2020 20 20C2 12()C 1 C()()3 3 3kkkk k k k kP k p p，9 分 1 19202020202020!C2(1)1 1 20 1 21(1)!(19)!3(1)20!C2()2 2 1 2 1!(20)!3kkkkP k k kkP k k kkk.令(1)1 21(1)1()2 1PkP k k，解 得 6 k，11 分 所以当 6 k 或 7 k，()Pk 最大 12 分 20【解析】（1）在 ACD 中，2 2 22 cos120 49 AC AD DC AD DC，所以 7 AC，由正

8、弦 定理，sin sinsin sina b A C a cc A B a b，可得2 2 2b a c ac，再由余 弦定 理，1cos2B，又(0,)B，所 以3B.3 分 因为 120 ADC，所以 180 ABC ADC，所 以 A，B，C，D 四点 共圆，则四边 形 ABCD 的外 接圆 半径就 等于 ABC 外接 圆的 半径.又7 14 32sin 3 32bRB，所 以733R.5 分 数学参考答案 第 4 页 共 6 页（2）由（1）可 知：2249 a c ac，则2()49 3 a c ac.11sin()22ABCS ac B a b c r，则23 1()49 1(7)

9、2 7 7 2 3 2 3ac a cr a ca c a c.7 分 在 ABC 中，由正 弦定 理，14 3sin sin sin 3a c bA C B，所以14 3sin3aA，14 3sin3cC，则 14 3 14 3(sin sin)sin sin 12033a c A C A A 14 3 3 1sin cos sin3 2 2A A A 14 3 3 3 3 1 sin cos 14 sin cos 14sin3 2 2 2 2 6A A A A A，10 分 又2 0,3A，所 以 5,6 6 6A，所以 1sin,162A，14sin(7,146A，故730,6r 12

10、分 21【解析】（1）设(,)P x y，由题 意可 得 221 1,x y x 两边平 方并 整 理，得222 y x x，故曲 线 C 的方 程为22|2 y x x.3 分（2）设 11,A x y，22,B x y，33,M x y，44,N x y，由题 意可 得 直线 l 的 方程 为(1)y k x，与椭 圆 E 的方 程联 立 221431xyy k x，得 2 2 2 23 4 8 4 12 0 k x k x k，则212 280,34kxxk，212 24 1234kxxk，数学参考答案 第 5 页 共 6 页 可得 2221 2 1 2 212 11434kk x x

11、xxkAB，6 分 24,0220,0 xxy x xx，若直 线 l 交曲 线 C 于 M、N 两 点，且 0 k，则直 线 l 与 240 y x x 相交，直线 l 的 方程 与曲 线 C 的 方程联 立 241yxy k x，得 2 2 2 22 4 0 k x k x k，则234 2240,kxxk，341 xx，可得：234 2412kMN x xk，9 分 2222 2 2434 3 3312 1 112 1 12 1kkkAB MN k k k，要使1AB MN为定值，则 4 3 3，即 3.12 分 22【解析】（1）1()cos1f x a xx（10 x），a 为正 实

12、数，函数()fx在区 间(1,0 上单调 递增，且(0)1 fa 1 分 当01 a 时，()(0)0 f x f，所以 函数()fx在(1,0 上单调递 减，此时()(0)0 f x f，符合 题意 2 分 当 1 a 时，11(0)1 0,1 cos 1 0 f a f a a a aaa，由零点 存在 定理，0(1,0)x 时，有 00 fx，即函 数()fx在 01,x 上递 减，在 0,0 x递增，所 以当 0,0 xx 时，有()(0)0 f x f，此时不 符合 综上所 述，正实 数 a 的最 大值 为 1 4 分（2）由（1）知，当1,(1,0)ax 时，sin ln(1)xx

13、，数学参考答案 第 6 页 共 6 页 令21xk 时，有22 2 21 1 1sin ln 1 lnkk k k，即2221sin ln1kkk，累加，得221 2 2 3 2sin ln ln ln 2 ln ln 21 3 2 1 1 1nkn n nnn k n 7 分（3）因为1()e ln(1)xg x x，所 以11()e1xgxx，即函 数()gx 在(1,)上递 增，又1(0)e 1 0,e 2 02gg，由零点 存在 定理，11,02x 时，有 10 gx，即1111e1xx，因此 11111 ln ln 11xxx，而函 数()gx在 11,x 上递 减，在 1,x 上递

14、 增，所以 111 1 1min1 1 11 1 1e ln 1 ln 11 1 1xm g x g x x xx x x，所以52,2m 9 分 设15()e e ln(1)22xmH x x m，则 1ee1mxHxx，所以函 数()Hx 在(1,)上递 增，又(0)e e 0mH，e(1)(1)0mmHmm，由零点 存在 定理，2(0,1)xm 时，2()0 Hx，即212ee1mxx，因此 221 ln 1 m x x，又1111ln11mxx，设()ln m x x x，则 函数()mx在(0,)上递增，11 分 于是 21111xx且 21ln 1 1 xx，而函数()Hx在 21,x 上递减，在 2,x 上递 增，21min 2 2 2 1 121()e e ln 1 e ln 1 e 1 1 01x m m mH x H x x x x xx，即函数()Hx有唯 一零 点，故方程1e ln(1)0 xmx 有唯 一的 实数 解 12 分 2x