《高中数学联赛试题——立体几何》.doc

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1、优质文本第五讲第五讲立体几何立体几何立体几何作为高中数学的重要组成局部之一，当然也是每年的全国联赛的必然考查内容。竞赛数学当中的立几题往往会以中等难度试题的形式出现在一试中，考查的内容常会涉及角、距离、体积等计算。解决这些问题常会用到转化、分割与补形等重要的数学思想方法。一、立体几何中的排列组合问题一、立体几何中的排列组合问题。例一例一、1991 年全国联赛一试由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为A 4；B 8；C 12；D24。分析分析：一个正方体一共有 8 个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形的边必须是正方体的面对角线。考虑正方体的 12 条面对角线，从中任取一条可与

2、其他面对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出现两次，故所有边共出现次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成的等边三角形个数为个。例二例二、1995 年全国联赛一试将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有 5 种优质文本颜 色 可 供 使 用，那 么 不 同 的 染 色 方 法 的 总 数是。分析分析：就四棱锥 P而言，显然顶点 P 的颜色必定不同于 A、B、C、D 四点，于是分三种情况考虑：1假设使用三种颜色，底面对角线上的两点可同色，其染色种数为：种2假设使用四种颜色，底面有一对对角线同色，其染色种数为：种3假设使用五种颜色，那么各顶点

3、的颜色各不相同，其染色种数为：种故不同染色方法种数是：420 种。二、与角有关的计算。二、与角有关的计算。立体几何中的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三种。其中两条异面直线所成的角通过作两条异面直线的平行线找到表示异面直线所成角的相交直线所成的角，再构造一个包含该角的三角形，解三角形即可以完成；直线和平面所成的角那么要首先找到直线在平面内的射影，一般来讲也可以通过解直角三角形的方法得到，其角度范围是；二面角在求解的过程当中一般要先找到二优质文本面角的平面角，三种方法：作棱的垂面和两个半平面相交；过棱上任意一点分别于两个半平面内引棱的垂线；根据三垂线定理或逆定理。另外还可以根据

4、面积射影定理得到。式中表示射影多边形的面积，表示原多边形的面积，即为所求二面角。例三例三、直线和平面 斜交于一点，是在 内的射影，是 平 面内 过点 的 任 一 直 线，设求证：分析：分析：如图，设射线任意一点，过作于点，又作于点，连接。有：所 以，。评注评注：上述结论经常会结合以下课本例题一起使用。过平面内一个角的顶点作平面的一条斜线，如果斜线和角的两边所成的角相等，那么这条斜线在平面内的射影一定会落在这个角的角平分线上。利用全等三角形即可证明结论成立。从上述等式的三项可以看出值最小，于是可得OCBA优质文本结论：平面的一条斜线和平面内经过斜足的所有直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角最小

5、。例四例四、1997 年全国联赛一试如图，正四面体中，E 在棱上，F 在棱上，使得：，记，其中表示与所成的角，其中表示与所成的角，那么：A在单调增加；B在单调减少；C在单调增加；在单调减少；D在为常数。分析分析：根据题意可首先找到与对应的角。作，交于 G，连。显然，。，例五例五、1994 年全国联赛一试一个平面与一个正方体的 12条棱的夹角都等于，那么。分析分析：正方体的 12 条棱可分为三组，一个平面与 12条棱的夹角都等于 只需该平面与正方体的过同一个顶点的三条棱所成的角都等于 即可。如下列图的平面就是符合要求的平面，于是：FEDCBAGODCBA优质文本例六、例六、设锐角满足：。求证：。

6、分析：构造长方体模型。构造如下列图的长方体A1B1C1D1，连接1、A1C1、1、1。过同一个顶点的三条棱、1与对角线1所成的角为锐角，满足：不妨设长方体过同一个顶点的三条棱、1的长分别为。那么：以上三式相乘即可。证明二：因为为锐角，故：，同理：，三式相乘。例七例七、1994 年全国联赛一试在正 n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是A；B；C；DD1C1B1A1DCBA优质文本。分析分析：根据正 n 棱锥的结构特征，相邻两侧面所成的二面角应大于底面正 边形的内角，同时小于，于是得到A。例八例八、1992 年全国联赛一试设四面体四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，它们的最大值为

7、 S，记，那么 一定满足A；B；C；D。分析分析：因为所以。特别的，当四面体为正四面体时取等号。另一方面，构造一个侧面与底面所成角均为的三棱锥，设底面面积为 S4，那么：，假设从极端情形加以考虑，当三棱锥的顶点落在底面上时，一方面不能构成三棱锥，另外此时有，也就是，于是必须。应选A。三、有关距离的计算。三、有关距离的计算。优质文本例九例九、2003 年全国联赛一试将八个半径为 1 的小球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，那么此圆柱的高等于。分析分析：立体几何问题的处理常需要抓住其主要特征，作为球体其主要特征无疑为球心与球半径，将八个小球的

8、球心独立出来即可得到一个如下列图的几何体。B1D1F1H1,此几何题每相邻两点间的距离为 2，显然，两底面与 B1D1F1H1间的距离加上 2 即为所求符合条件的圆柱体的高。于是将该几何体补形成为如图所示的正八棱柱求其高，也就是求其中一个局部，三棱锥 B1的高，然后加上 2 即可。取的中点 O，连接、B1O，易知：B1在等腰三角形中，2，线段的长度也可以通过正八边形外接圆半径减去正方形边长的一半 1 得到在直角三角形 B1中：H1G1F1E1C1B1A1HGEDCBAD1FO优质文本1=所求圆柱体的高：例十例十、2001 年全国联赛一试 正方体A1B1C1D1的棱长为 1，那么直线 A1C1与

9、1的距离是。分析：分析：在立体几何中求距离，最常用的解题思想是转化。线线距转化为线面距、线面距转化为面面距、面面距转化为点面距、点面距转化为点线距，最终常常化为在一个平面内求一点到一条直线的垂线段的长度。连接 B1D1交线段 A1C1于点 F，取1的中点 E，连接 A1E、C1E，显然，1平面 A1C1E。于是，将两条异面直线之间的距离转化为直线与平面之间的距离，易知，所求距离为。例十一例十一、1997 年全国联赛一试三棱锥 S的底面是以为斜边的等腰直角三角形，2，2，设 S、A、B、C 四点都在以 O为 球 心 的 某 个 球 面 上，那 么 点 O 到 平 面 的 距 离为。分析分析：作平

10、面于 D，连接，因为 2，所以点 D 为底面三角形的外心，即 D 为的中点，同时，球心 O 必在线段上。所求点 O 到平面的D1C1B1A1DCBAFEODBCAS优质文本距离即为线段的长。设球半径，那么：解得：。例十二例十二、1996 年全国联赛一试高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1，球心 O1在圆台的轴上，球 O1与圆台的上底面、侧面都相切。圆台内可再放入一个半径为 3 的球 O2，使得球O2与球 O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点。除球 O2，圆台内最多还能放入半径为 3 的球的个数是A1；B2；C3；D 4。分析分析：根据所放球的特点，参加的小球和球 O2应该都与球

11、O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，即参加小球的球心与 O2均匀分布在与底面距离为 3，圆台轴的周围。如图：作O2O轴1于 O，那么：O1OBAO2OO2优质文本原问题即需考查在半径为 4 的圆周上，均匀分布着几个半径为 3 且不相交的圆。设：2=2=，那么，显然，故可排列 3 个圆。即可参加两个小球。例十三例十三、1996 年全国联赛一试将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为 2，那么最远的两点间的距离是。分析分析：设正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，那么：即：化简得：所以，。于是可求得线段的长：。于是有最远距离为底边长

12、3。例十四例十四、1992 年全国联赛一试设 l、m 是两条异面直线，在 l 上有 A、B、C 三个点，且，过 A、B、C 分别作 m 的垂线、，垂足依次为 D、E、F，。求 l 与 m 的距离。分析分析：设的公垂线段为，过点 M 作ACBDEFOPGAECMLIFHB优质文本，另作如下列图的垂线段。假设点 A、B、C 在点 L 的同侧，设所求距离为，解得：，假设点 A、B、C 在点 L 的两侧，如下列图有，即有等式：，解得：。四、体积和体积法。四、体积和体积法。例 十 五例 十 五、2003 年 全 国 联 赛 一 试 在 四 面 体 中，设，直线与的距离为 2，夹角为，那么四面体的体积等于

13、分析分析：根据锥体的体积公式我们知道：。从题目所给条件看，长度的两条线段分别位于两条异面直线上，而距离是两条异面直线之间的距离而非点线距。显然需要进行转化。作,且，连接、，显然，三棱锥 A与三棱锥 A 底面积和EDCBAFCBAHIMDG NE优质文本高都相等，故它们有相等的体积。于是有：例 十 六例 十 六、2002 年 全 国 联 赛 一 试 由 曲 线围成的图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V1，满足的点组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为 V2，那么：AV12；BV12；CV12；DV12；分析分析：我国古代数学家祖暅在对于两个几何体体积的比较方面作出了卓越的奉献，祖暅原理告诉

14、我们：对于两个底面积相同，高相等的几何体，任做一个平行于底面的截面，假设每一个截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等。运用祖 原理的思想我们可以将不规那么的几何体的体积计算转化为规那么几何体的体积计算。如计算球的体积时我们可以将半球转化为圆柱与圆锥的组合体。显然，此题中的两个几何体符合祖暅原理的条件，优质文本比较其截面面积如下：取，那么：当时：当时：显然，于是有：。例十七例十七、2000 年全国联赛一试一个球与正四面体的六条棱都相切，假设正四面体的棱长为，那么这个球的体积是。分析分析：由正四面体的图象的对称性可知，内切球的球心必为正四面体的中心，球与各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对

15、棱中点的连线交于一点，即为内切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有：练习练习：同样可用体积法求出棱长为 的正四面体的外接球和内切球的半径。分析可知，正四面体的内切球与外接球球心相同，将球心与正四面体的个顶点相连，可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥，于是可知内切球ROEDCAPB优质文本的半径即为正四面体高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三。故只要求出正四面体的高度即可。又：，所以，。例十八例十八、1999 年全国联赛一试 三棱锥的底面为正三角形，A点在侧面上的射影H是 的垂心，二面角的平面角等于30，。那么，三棱锥的体积为。分析分析：在求解立体几何问题时，往往需要首

16、先明白所要考查对象的图形特点。连接并延长交于 D，连。H 为 的垂心，且 ，故 ，平面作平面于 O，连接并延长交于 E，易知：，连。，即 A 在平面内的射影 H 在线段的垂直平分线上，而点 H是 的垂心，可知 为的等腰三角形。S 在平面内的射影 O 在线段的垂直平分线上。故射影 O 为 的中心，三棱锥 S为正三棱锥。设底面边长为，那么，OEDHCASB优质文本3，例 十 九例 十 九、1998 年 全 国 联 赛 一 试 中，是的中点。将沿折起，使 A、B 两点间的距离为，此时三棱锥 A的体积等于。分析分析：关于折叠问题，弄清折叠前后线段之间的变与不变的关系往往是我们解决问题的关键，问题中经常

17、会涉及折叠图形形成二面角，在折叠前作一条直线与折叠线垂直相交，于交点的两侧各取一点形成一个角，于是在折叠过程中，此角始终能代表图形折叠所形成的二面角的大小。此外，通过分析可知解决本例的另一个关键是需要得到棱锥的高，其实只要能找到二面角，高也就能迎刃而解了。如图，作的延长线相交于 D，于 F，并延长到 E，使，连。显然，2,所以：222=8-4=4FFMMEEDDBBCCAA优质文本三棱锥 A的高即点 A 到平面的距离也就是等腰 中点 A 到边的距离。根据面积相等可求得：.例二十例二十、1995 年全国联赛一试设 O 是正三棱锥 P底面的中心，过 O 的动平面与 P的三条侧棱或其延长线的交点分别

18、记为 Q、R、S，那么和式A有最大值而无最小值；B有最小值而无最大值；C既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等；D是一个与平面位置无关的常量。分析分析：借助于分割思想，将三棱锥 P划分成三个以 O 为顶点，以三个侧面为底面的三棱锥 O，O，O。显然三个三棱锥的高相等，设为，又设，于是有：OSRQCBAP优质文本又：，其中 为与平面所成的角。于是得：例二十一例二十一、1993 年全国联赛一试三棱锥 S中，侧棱、两两互相垂直，M 为三角形的重心，D 为中点，作与平行的直线。证明：1与相交；2 设与的交点为，那么 D 为三棱锥 S的外接球的球心。分析分析：根据题中三棱锥的特点，可将三棱锥补形成为

19、一个如下列图的长方体，因为C、M、D 三点共线，显然，点 C、S、D、M在同一平面内。于是有与相交。又因为：，而点 D 为长方体的底面的中心，故必有点为对角线的中点，即为长方体的也是三棱锥的外接球的球心。GFMEDCBASH优质文本例二十二例二十二、1992 年全国联赛一试从正方体的棱和各个面的面对角线中选出 k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，那么 k 的最大值是。分析：分析：此题可以采用构造法求解。考查图中的四条线段：A1D、1、B1D1，显然其中任意两条都是异面直线。另一方面，如果满足题目要求的线段多于 4 条，假设有 5 条线段满足要求，因为 5 条线段中任意两条均为异面直线，所以其中任意两条没有公共点，于是产生这些线段的端点几何体的顶点的个数必定大于或等于 10 个，这与题中的正方体相矛盾。故：。例二十三例二十三、1991 年全国联赛一试设正三棱锥 P的高为，M 为的中点，过作与棱平行的平面，将三棱锥截为上、下两个局部，试求此两局部的体积比。分析分析：取的中点 D，连接交于 G，设所作的平行于的平面交平面于，由直线与平面平行的性质定理得：，连接，那么平面为符合要求的截面。作，交于点 H，那么：。A1DCBAD1C1B1FEOMDCBAPHG优质文本；故：；于是：。