02高等数学讲义第二章.doc

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1、优质文本第二章 一元函数微分学2.1 导数与微分考试内容 导数和微分的概念(点可导与域可导的关系)导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四那么运算 根本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数(数学归纳法 赖布妮子公式法) 一阶微分形式的不变性微分中值定理(闭区间连续开区间可导 不是常数)洛必达LHospital法那么(注意使用条件 洛必塔求解不存在时，原极限可能存在)函数单调性的判别(利用导数) 函数的极值(极值的判定：定义 一阶去心邻域可导且左右邻域导数异号 二阶可导且该点一阶导为零)函数图形的凹凸性(证

2、明)、拐点及渐近线(求解步骤：垂直 水平 斜)函数图形的描绘函数最大值和最小值弧微分曲率的概念(有绝对值 注意参数方程公式)曲率半径考试要求1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系 2掌握导数的四那么运算法那么和复合函数的求导法那么，掌握根本初等函数的导数公式了解微分的四那么运算法那么和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分(后面要加上dx) 3了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数 4会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的

3、导数5理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理(典型函数的展开)，了解并会用柯西中值定理6掌握用洛必达法那么求未定式极限的方法(洛必达法那么受阻时：拆项 积分中值 中值定理)7理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法(一阶导定点 二阶导定性)，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用8会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形 9了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径甲内容要点一、导数与微分概念1、导数的定义设函数在点的某领域内有定义，自变量在处有增量，相应地函数增量。如果极限存在，那么称此极限值为函数在处的

4、导数也称微商，记作，或，等，并称函数在点处可导。如果上面的极限不存在，那么称函数在点处不可导。导数定义的另一等价形式，令，那么我们也引进单侧导数概念。右导数：左导数： 定理 函数在点可导，且函数在点即左可导又右可导，且 函数在区间上的可导如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导, 且右导数f +(a) 和左导数f -(b)都存在, 就说f(x)有闭区间a, b上可导. 2导数的几何意义与物理意义如果函数在点处导数存在，那么在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。切线方程：法线方程：设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为，如果存在，那么表示物体在时刻时的瞬时速度。3函数的可导性与连续性之间的

5、关系如果函数在点处可导，那么在点处一定连续，反之不然，即函数在点处连续，却不一定在点处可导。例如，在处连续，却不可导。4微分的定义设函数在点处有增量时，如果函数的增量有下面的表达式 其中为为无关，是时比高阶的无穷小，那么称在处可微，并把中的主要线性局部称为在处的微分，记以或。我们定义自变量的微分就是。5微分的几何意义是曲线在点处相应于自变量增量的纵坐标的增量，微分是曲线在点处切线的纵坐标相应的增量见图。6可微与可导的关系在处可微在处可导。且一般地，那么所以导数也称为微商，就是微分之商的含义。7高阶导数的概念如果函数的导数在点处仍是可导的，那么把在点处的导数称为在点处的二阶导数，记以，或，或等，

6、也称在点处二阶可导。如果的阶导数的导数存在，称为的阶导数，记以，等，这时也称是阶可导。二、导数与微分计算1导数与微分表一、 根本求导法那么1 ； 2 , ；3 ,； 4 反函数导数 .二、根本初等函数导数公式1 23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 222导数与微分的运算法那么1四那么运算求导和微分公式设，那么(i) (ii)(iii) (iv) 2反函数求导公式假设在某区间内单调可导，且，那么其反函数在对应的区间内也可导，且3复合函数求导和微分公式设的导数为： 或 或 注意：一阶微分形式的不变性设可微，那么微分，其中可以是自变量也可以是中间变量4

7、隐函数求导法那么设是由方程确定的可导函数，方程两端同时对求导，遇到的函数那么视为复合函数，为中间变量，可得到一个含有的方程从中解出即可。也可以用多元函数微分法中隐函数的求导公式5对数求导法形如的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法那么不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法.6用参数表示函数的求导公式设，具有单调连续的反函数, 那么变量y与x构成复合函数关系 且 说明：. 根本初等函数的微分公式：由2知：要求微分知道其导数就行了。因此，由根本初等函数导数公式立即就能得到根本初等函数的微

8、分公式。.微分运算法那么：另外，也立即能得到微分运算法那么。复合函数的微分法那么：设，那么复合函数的微分为：，又，另一方面，直接从求关于自变量的微分为，二者形式一样，这说明不管是自变量还是中间变量，都有.这一性质称为微分形式不变性。乙典型例题一、用导数定义求导数例 设，其中在处连续，求解：2011年2在处可导，且，那么 A B(C) (D)【答案】【考点分析】此题考查极限的计算。计算是应该将极限式凑成导数的定义的形式。【解析】应选B2、设，那么在处可导的充要条件是A 存在 B 存在C 存在 B 存在分析：此题考查导数的定义，同时考查某些无穷小量的阶，以及由两个函数乘积的极限存在判断其中一个函数

9、的极限是否存在的条件。2006年 数一7题4分7设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，假设，那么ABCD 【 】解析：7设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分.假设，那么评注：对于题设条件有明显的集几何意义或给函数的图形容易绘出时，图示法二、分段函数在分段点处的可导性例1 设函数试确定、的值，使在点处可导。解：可导一定连续，在处也是连续的。由 要使在点处连续，必须有或又 要使在点处可导，必须，即.故当时，在点处可导.例2 设，问和为何值时，可导，且求解：时，时， 由处连续性，可知再由处可导性，存在存在且根据洛必达法那么，

10、 于是三、运用各种运算法那么求导数或微分例1 设可微，求解：例2 设，求解： 对求导，得再令，对求导， 于是 例3 设由方程所确定，求解：两边取对数，得，对求导，例4 设 求解：四、求切线方程和法线方程例1 两曲线与在点0，0处的切线相同，写出此切线方程，并求。解：由条件可知，故所求切线方程为例2 曲线的极坐标方程，求曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程。解：曲线的参数方程为故切线方程即 法线方程 即 例3 设为周期是5的连续函数，在邻域内，恒有。其中，在处可导，求曲线在点处的切线方程。解：由题设可知，故切线方程为 所以关键是求出和 由连续性 由所给条件可知， 再由条件可知令，又 上式左边

11、= =那么 所求切线方程为 即 五、高阶导数1求二阶导数例1 设，求解： 例2 设 求 解：例3 设由方程所确定，求解：， 2求阶导数，正整数先求出，总结出规律性，然后写出，最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的阶导数公式1 2 345两个函数乘积的阶导数有莱布尼兹公式其中，假设和都是阶可导例1 设正整数，求正整数解：例2 设，求 正整数解：例3 设，求正整数解：例4 设，求正整数解： 例5 设，求正整数解：用莱布尼兹公式2.2 微分中值定理本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理泰勒公式。注：数学三不考泰勒定理这局部有关考题主要是证明题，其

12、中技巧性比拟高，因此典型例题比拟多，讨论比拟详细。甲内容要点一、罗尔定理设函数满足1在闭区间上连续；2在开区间内可导；3那么存在，使得几何意义：条件1说明曲线在和之间是连续曲线；包括点A和点B。条件2说明曲线在之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于轴的切线不包括点和点。条件3说明曲线在端点和处纵坐标相等。结论说明曲线在点和点之间不包括点和点至少有一点，它的切线平行于轴。二、拉格朗日中值定理设函数满足1在闭区间上连续；2在开区间内可导那么存在，使得或写成有时也写成这里相当或都可以，可正可负。几何意义：条件1说明曲线在点和点之间包括点和点是连续曲线：条件2说明曲线不包括点和点是光滑曲线。结论说明：

13、曲线 在，之间不包括点和点，至少有点，它的切线与割线是平行的。推论1 假设在内可导，且，那么在内为常数。推论2 假设和在内可导，且，那么在内，其中为一个常数。注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当特殊情形，就是罗尔定理三、柯西中值定理设函数和满足：1在闭区间，上皆连续；2在开区间，内皆可导；且，那么存在使得注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理几何意义：考虑曲线的参数方程点，点曲线在上是连续曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线. 值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学根本定理。罗尔定理看

14、作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。四、泰勒定理泰勒公式数学一和数学二定理1带皮亚诺余项的阶泰勒公式设在处有阶导数，那么有公式 其中 称为皮亚诺余项。前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的，所以对常用的初等函数如和为实常数等的阶泰勒公式都要熟记。定理2 带拉格朗日余项的阶泰勒公式设在包含的区间内有阶导数，在上有阶连续导数，那么对，有公式其中，在与之间称为拉格朗日余项。上面展开式称为以为中心的阶泰勒公式。时，也称为麦克劳林公式。 如果，那么泰勒公式就转化为泰勒

15、级数，这在后面无穷级数中再讨论。乙典型例题一、用罗尔定理的有关方法例1 设在0，3上连续，在0，3内可导，且，. 试证：必存在，使 证： 在0，3上连续， 在0，2上连续，且有最大值和最小值.于是；，故. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点使得，因此，且在，3上连续，3内可导，由罗尔定理得出必存在使得。例2 设在0，1上连续，0，1内可导，且求证：存在使证：由积分中值定理可知，存在，使得得到 对在0，c上用罗尔定理，三个条件都满足故存在，使例3 设在0,1上连续，(0，1)内可导，对任意，有，求证存在使证：由积分中值定理可知存在使得令，可知这样，对在上用罗尔定理三个条件都满足存在，使而 又，

16、那么 在例3的条件和结论中可以看出不可能对用罗尔定理，否那么结论只是，而且条件也不满足。因此如何构造一个函数，它与有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个适宜的是非常关键，下面的模型，就在这方面提供一些选择。模型：设在上连续，内可导，那么以下各结论皆成立。1存在使为实常数2存在使为非零常数3存在使为连续函数证：1令，在上用罗尔定理 存在使 消去因子，即证.2令，在上用罗尔定理 存在使 消去因子，即证。3令，其中 由 清去因子，即证。例4 设在上连续，在0，1内可导，试证： 1存在，使。2对任意实数，存在，使得证明：1

17、令，显然它在0, 1上连续，又，根据介值定理，存在使即2令，它在上满足罗尔定理的条件，故存在，使，即从而 注：在例42的证明中，相当于模型中1的情形，其中取为，取为模型：设，在上皆连续，内皆可导，且，那么存在，使证：令，那么，显然在上满足罗尔定理的条件，那么存在，使，即证.例5 设在0, 1上连续，0, 1内可导，为正整数。 求证：存在使得 证：令，那么，用模型，存在使得故那么例6 设在内可导，且，求证在内任意两个零点之间至少有一个的零点 证：反证法：设，而在内，那么令在上用罗尔定理不妨假设否那么结论已经成立那么存在使，得出与假设条件矛盾。所以在内至少有一个零点例7 设在二阶可导，且，又 求证

18、：1在内； 2存在，使 证：1用反证法，如果存在使，那么对分别在和上用罗尔定理，存在使，存在使，再对在上用罗尔定理存在使与假设条件矛盾。所以在内2由结论可知即，因此令，可以验证在上连续，在内可导，满足罗尔定理的三个条件故存在，使于是成立二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理例1 设在内可导，且， 求的值解：由条件易见，由拉格朗日中值定理，有其中介于与之间，那么 于是，那么例2 设是周期为1的连续函数，在0，1内可导，且，又设是在1，2上的最大值，证明：存在，使得。 证：由周期性可知，不妨假定而，对分别在1, 和, 2上用拉格朗日中值定理， 存在，使得 存在，使得 如果，那么用式，得；如果，那么用

19、式，得；因此，必有，使得例3 考研真题 设在0, 1上连续，0, 1内可导，且，证明： 存在，使得 存在，使证：令，那么在0, 1上连续，且，用介值定理推论存在，使，即 在0, 和，1上对用拉格朗日中值定理，存在，使得存在，使 例4 设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，假设极限存在，证明： 1在内； 2在内存在，使； 3在内存在与2中相异的点，使证：1因为存在，故，由在上连续，从而. 又知在内单调增加，故 2设， 那么，故，满足柯西中值定理的条件，于是在内存在点，使 ，即 3因，在上应用拉格朗日中值定理，知在内存在一点，使，从而由2的结论得， 即有 .三、泰勒公式数学一和数学二例1 设在

20、-1，1上具有三阶连续导数，且，. 求证：，使. 证：麦克劳林公式 其中，介于0与之间。 后式减前式，得 在上连续，设其最大值为，最小值为.那么再由介值定理，使例2 设函数在闭区间上具有二阶导数，且，试证：在内至少存在一点，使成立。分析：因所欲证的是不等式，故需估计，由于一阶泰勒公式，其中在之间含有，因此应该从此入手. 再由知，应在两个区间上分别应用泰勒公式，以便消去公式中的项，同时又能出现项.证：在与上分别用泰勒公式，便有.两式相减，得.所以至少存在一点，使得历年考试真题解析题型微分学中值定理及在讨论或证明函数与导数的零点存在性问题中的应用数一 98年九题 00年9题 05年三1807年三题

21、19数三 03年八题 05年 二707年三1910年三19构造辅助函数的方法证明存在一点使得这里题目的证明方法通常先构造辅助函数，再用洛尔定理证明大致步骤如下：1构造辅助函数常见的辅助函数构造方法有原函数法：先将转化为，然后将式子恒等变形以便有利于积分，按照常微分方程求解后所得的式子别离常数得那么即为所要求的辅助函数观察要证明的结论形式，如果与以下等式的右端式子较为类似，那么往往可以直接写出辅助函数常数比值法，它适用于常数已别离的命题2验证辅助函数满足洛尔定理3由洛尔定理的结论的命题的证明2005年数一18此题总分值12分函数f(x)在0，1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)

22、=1. 证明：I存在 使得；II存在两个不同的点，使得【分析】 第一局部显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二局部为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一局部已得结论.【详解】 I 令，那么F(x)在0，1上连续，且F(0)=-10,于是由介值定理知，存在 使得，即.II 在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是 2007年数一数三(19)(此题总分值11分)设函数f(x), g(x)在a, b上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在，使得【分析】需要证明的结论与导数有关，自然

23、联想到用微分中值定理，事实上，假设令，那么问题转化为证明, 只需对用罗尔定理，关键是找到的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0, 假设能再找一点，使得，那么在区间上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对用罗尔定理即可。【证明】构造辅助函数，由题设有F(a)=F(b)=0. 又f(x), g(x)在(a, b)内具有相等的最大值, 不妨设存在, 使得，假设，令, 那么假设，因，从而存在，使 在区间上分别利用罗尔定理知，存在，使得. 再对在区间上应用罗尔定理，知存在，有， 即 2005年数三7当a取以下哪个值时，函数恰好有两个不同的零点.(A)

24、 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. B 【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】 =，知可能极值点为x=1,x=2，且 ，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B).2003年数三八、此题总分值8分设函数f(x)在0，3上连续，在0，3内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c，使得，然后在c,3上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于，问题转化为1介于f(x)的最

25、值之间，最终用介值定理可以到达目的.【详解】 因为f(x)在0，3上连续，所以f(x)在0，2上连续，且在0，2上必有最大值M和最小值m，于是 ， ， .故由介值定理知，至少存在一点，使 因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在c,3上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在，使【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 此题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.2016年数三18此题总分值11 分证明拉格朗日中值定理，假设函数在上连续，在上可导，那么，得证.证明：假设函数在处连续，在内可导，且，那么存在，且.【解析】作辅助函数，易验

26、证满足：；在闭区间上连续，在开区间内可导，且.根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即任取，那么函数满足：在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得又由于，对上式*式两边取时的极限可得：故存在，且.2010年数三1910分设f(x)在0,3上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且（1） 证明：存在（2） 证明：存在解析19.2.3 导数的应用甲内容要点一、判断函数的单调性二、函数的极值1、定义 设函数内有定义，是内的某一点，那么 如果点存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点，总有，那么称为函数的一个极大值，称为函数的一个极大值点； 如果点存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点，总有，那么称为函数的一个极小值，称为函数的一个极小值点。 函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。2、必要条件可导情形 设函数在处可导，且为的一个极值点，那么 我们称满足的为的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。 极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。3、第一充分条件 设在处连续，在0e时， 所以单调减少，从而，即 ，故 .【证法2】 设，那么 ， ,所以当xe时， 故单调减少，从而当时， ，即当时，单调增加.因此当时，即 ，故 .【评注】 此题也可设辅助函数为或，再用单调性进行证明即可.68 / 45