北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》全部教案.doc

《北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》全部教案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》全部教案.doc（17页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、优质文本教案北师大版高中数学选修2-2第一章?推理与证明?全部教案张云刚北师大版高中数学选修2-2第一章?推理与证明?全部教案宜君县高级中学 张云刚第一课时 归纳推理教学目标：1、通过对已学知识的回忆，进一步体会合情推理这种根本的分析问题法，认识归纳推理的根本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。教学难点：用归纳进行推理，做出猜测。教学过程：一、课堂引入：从一个或几个命题得出另一个新命题的

2、思维过程称为推理。见书上的三个推理案例，答复几个推理各有什么特点？都是由“前提和“结论两局部组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理二、新课讲解：1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。2、三角形的内角和是，凸四边形的内角和是，凸五边形的内角和是由此我们猜测：凸边形的内角和是3、，由此我们猜测：均为正实数这种由某类事物的局部对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳)归纳推理的一般步骤

3、： 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； 提出带有规律性的结论，即猜测； 检验猜测。 实验，观察概括，推广猜测一般性结论 三、例题讲解：例1数列的通项公式，试通过计算的值，推测出的值。【学生讨论：】学生讨论结果预测如下1由此猜测，学生讨论：1哥德巴赫猜测：任何大于2的偶数可以表示为两个素数的之和。 2三根针上有假设干个金属片的问题。四、稳固练习：1、，经计算: ，推测当时，有_.2、：，。观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之。3、观察12。由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。注：归纳推理的几个特点：1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前

4、提所包容的范围.2.归纳是依据假设干的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的根底之上.归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的根底上.提出带有规律性的结论.五、教学小结：1.归纳推理是由局部到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。2.归纳推理的一般步骤：1)通过观察个别情况发现某些相同的性质。2)从的相同性质中推出一个明确表述的一般命题猜测。第二课时 类比推理教学目标：一知识与能力：通过对已学知识的回忆，认识类比推理这

5、一种合情推理的根本方法，并把它用于对问题的发现中去。二过程与方法：类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。三情感态度与价值观：1正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。2认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。教学难点：用类比进行推理，做出猜测。教具准备：与教材内容相关的资料。教学过程：一

6、问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他创造了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？ 二数学活动我们再看几个类似的推理实例。例1、试根据等式的性质猜测不等式的性质。等式的性质： 猜测不等式的性质：(1) a=ba+c=b+c; (1) aba+cb+c;(2) a=b ac=bc; (2) ab acbc;(3) a=ba2=b2;等等。 (3) aba2b2;等等。问：这样猜测出的结论是否一定正确？例2、试将平面

7、上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球弦截面圆直径大圆周长外表积面积体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于

8、切面的直线必经过球心上述两个例子均是这种由两个两类对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理简称类比 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜测； 检验猜测。即观察、比拟联想、类推猜测新结论例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:试通过类比,写出在空间中的类似结论.稳固提高1(2001年

9、上海)两个圆x2+y2=1:与x2+(y-3)2=1,那么由式减去式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-2类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜测直角三角形3个面两两垂直的四面体C903个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边cPDFPDEEDF90 4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面 S1，S2，S3和1个“斜面 S1类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而

10、类比得出的结论就越可靠。2 类比推理的一般步骤：第三课时 综合法【教学目标】1理解综合法的思维过程及其特点；2掌握运用综合法证明数学问题的一般步骤，能运用综合法证明简单的数学问题。【教学重点难】理解综合法的思维过程和特点；运用综合法证解题时，找出有效的推理“路线；综合法：从条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。也叫顺推证法或由因导果法例1、a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc分析：不等式左边含有“a2+b2的形

11、式，我们可以运用根本不等式：a2+b22ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和，右边有三正数a,b,c的“积，我们可以运用重要不等式：a3+b3+c33abc. 证：b2 + c2 2bc , a 0 , a(b2 + c2) 2abc 同理：b(c2 + a2) 2abc , c(a2 + b2) 2abc a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc 当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数 三式不同时取等号，三式相加得 a(b2 + c2) + b(c2 +

12、 a2) + c(a2 + b2) 6abc本例证法可称为三合一法，当要证的不等式关于字母具有对称形式时，我们常可把其看成是由假设干个结构相同但所含字母较少的不等式相加或相乘而得，我们只要先把减了元的较简单的不等式证出，即可完成原不等式的证明。例2、a , b, cR, 求证：123证：1、法一：, , 两式相乘即得。 法二：左边 3 + 2 + 2 + 2 = 92、 两式相乘即得3、由上题：，即：例3、a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：证明：左右=2ab+bcac，a，b，c成等比数列，又a，b，c都是正数，所以，说明：此题在证明过程中运用了比拟法、根本不等式、等比中项性质

13、，表达了综合法证明不等式的特点例4、制造一个容积为V定值的圆柱形容器，试分别就容器有盖及无盖两种情况，求：怎样选取底半径与高的比，使用料最省？分析：根据1题中不等式左右的结构特征，考虑运用“根本不等式来证明.对于2题，抓住容积为定值，建立面积目标函数，求解最值，是此题的思路.解：设容器底半径为r,高为h,那么V=r2h,h=.(1)当容器有盖时，所需用料的面积：S=2r2+2rh=2r2+=2r2+3当且仅当2r2=,即r=,h=2r,取“=号.故时用料最省.2当容器无盖时，所需用料面积：S=r2+2rh=r2+=r2+3当且仅当r2=,r=,h=r.即r=h时用料最省.作业补充题：1、设a0

14、,b0,c0且a+b+c=1,求证：8abc(1-a)(1-b)(1-c).2、设a,b,c为一个不等边三角形的三边，求证：abc(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b).3、a, bR+，求证：第四课时 分析法【教学目标】结合已学过的实例，了解直接证明的方法分析法，了解分析法的思考过程与特点。【教学重点难】理解分析法的思维过程和特点；运用分析法证解题时，标准书写证明过程.分析法：当用综合法不易发现解题途径时，我们可以从求证的不等式出发，逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件，直至所需条件为条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的不等式成立，这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法。使用分析法

15、证明时，要注意表述的标准性，当问题比拟复杂时，通常把分析法和综合法结合使用，以分析法寻求证明的思路，而用综合法进行表述，完成证明过程。例1、求证：证：分析法： 综合表述： 21 25 只需证明： 展开得： 即： 即： 21 0，y 0，证明不等式：证一：分析法所证不等式即： 即： 即： 只需证： 成立 证二：综合法 x 0，y 0， 例3、：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca 0证一：综合法a + b + c = 0 (a + b + c)2 = 0 展开得： ab + bc + ca 0证二：分析法要证ab + bc + ca 0 a + b + c = 0 故只需证

16、 ab + bc + ca (a + b + c)2 即证： 即： 显然原式成立证三：a + b + c = 0 - c = a + b ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab - (a + b)2 = -a2 -b2 -ab = 例4、，求证：，并求等号成立的条件。分析：不等式右边是常数，能否用平均值定理？应当可以。找条件一正、二定、三相等 如何把左边变形为和的形式？多项式的除法或配凑！左=看到了希望！ = 当时，由解出当时等号成立。例5、a0,b0,且a +b =1,求证:2.证明: 2 (a +)+(b +)+24 1 ab +1 ab +1aba0,b0,且

17、a +b =1,ab()2=成立，故 2.作业补充题1.求证:.2、假设a,b0,2ca+b,求证: (1)c2ab ；2c -a c +3、求证:a,b,cR+,求证: 4、设a, b, c是的ABC三边，S是三角形的面积，求证：5、0 q 0，且x + y 2，那么和中至少有一个小于2。反设2，2 x, y 0，可得x + y 2 与x + y 2矛盾，原式成立例2、a + b + c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 证：1设a 0, bc 0, 那么b + c = -a 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾， 必有a

18、 0 同理可证：b 0, c 0例3、设0 a, b, c , (1 - b)c , (1 - c)a ,那么三式相乘： (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a, b, c B，我们可以适当的找一个中间量C作为媒介，证明AC且CB,从而得到AB.我们把这种把B放大到C(或把A缩小到C)的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握,技巧性较强,这关系到证明的成败,往往需要根据具体的题目经过屡次的探索和试验才能成功,因此必须多练. 比拟常用的方法时把分母或分子适当放大或缩小减去或加上一个正数使不等式简化易证。例4、假设a, b, c, dR+

19、，求证：证：记m = a, b, c, dR+ 1 m 2 时，求证： 证：n 2 ， n 2时, 例6、求证： 证：思考：假设把不等式的右边改成或，你可以证明吗？例7、 求证：证：|a+b|a|+|b|a|+|b|-|a+b|0,作业补充题1、设0 a, b, c 0, y 0, ，求证：a b5、证明：6、 证明：lg9lg11 b c, 那么第五课时 数学归纳法【教学目标】1 使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质2 掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法证明简单的与自然数有关的命题3 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步开展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历

20、知识的构建过程, 体会类比的数学思想4 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑气氛，提高学生学习的兴趣和课堂效率5 通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜测后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解【教学方法】类比启发探究式教学方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学程序】第一阶段：输入阶段创造学习情境，提供学习内容1 创设问题情境，启动学生思维 (1) 不完全归纳法引例：明朝刘元卿编的?应谐录?中有一个笑话：财主的儿子学写字这那么笑话中财主的儿子得出“

21、四就是四横、五就是五横的结论，用的就是“归纳法，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的(2) 完全归纳法比照引例：有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法这些归纳法却不能用完全归纳法2 回忆数学旧知，追溯归纳意识从生活走向数学，

22、与学生一起回忆以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳(1) 不完全归纳法实例： 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式(2) 完全归纳法实例： 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况3 借助数学史料, 促使学生思辨在生活引例与学过的数学知识的根底上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此那么，有没有更好的归纳法呢？问题1 nN，(1)分别求；(2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确

23、吗？ 培养学生大胆猜测的意识和数学概括能力概括能力是思维能力的核心鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的心理学认为“迁移就是概括，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程问题2 费马Fermat是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当nN时，一定都是质数，这是他对n0，1，2，3，4作了验证后得到的后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉Euler却证明了4 294 967 2976 700 417641，从而否认了费马的推测没想到当n5这一结论便不成立问题3 , 当nN时，是否都为质数？验证： f041，f143，f247，f353，f461，f571，f683，f7

24、97，f8113，f9131，f10151，f391 601但是f401 681，是合数第二阶段：新旧知识相互作用阶段新旧知识作用，搭建新知结构4 搜索生活实例，激发学习兴趣在第一阶段的根底上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验实例：播放多米诺骨牌录像关键：(1) 第一张牌被推倒； (2) 假设某一张牌倒下, 那么它的后一张牌必定倒下 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下 搜索：再举几那么生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等5 类比数学问题, 激起思维浪花类比多米诺骨牌过

25、程, 证明等差数列通项公式：(1) 当n1时等式成立； (2) 假设当nk时等式成立, 即, 那么=, 即nk1时等式也成立 于是, 我们可以下结论： 等差数列的通项公式对任何n都成立布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习强调知识发生开展过程这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习6 引导学生概括, 形成科学方法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1) 证明当n取第一个值时结论正确；(2) 假设当nk (k，k) 时结论正确, 证明当nk1时结论也正确完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开始的所有正整数n都正确这种证明方法叫做数学归纳法第三

26、阶段：操作阶段稳固认知结构，充实认知过程7 蕴含猜测证明, 培养研究意识本例要求学生先猜测后证明，既能稳固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力例题 在数列中, 1, (n), 先计算，的值，再推测通项的公式, 最后证明你的结论8 根底反应练习, 稳固方法应用课本例题与等差数列通项公式的证明差不多，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，因此我把它作为练习，这样既考虑到学生的能力水平，也不冲淡本节课的重点练习第3题恰好是等比数列通项公式的证明，与前者是一个比照与补充通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况(1)用数学归纳法证明：1352n1(

27、2)首项是，公比是q的等比数列的通项公式是9 师生共同小结, 完成概括提升(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；(3) 数学归纳法作为一种证明方法，其根本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推根底不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想10 布置课后作业, 稳固延伸铺垫 在数学归纳法证明的

28、第二步中，证明nk1时命题成立, 必须要用到nk时命题成立这个假设这里留一个辨析题给学生课后讨论思考：用数学归纳法证明： (n)时, 其中第二步采用下面的证法：设nk时等式成立, 即, 那么当nk1时, 你认为上面的证明正确吗？为什么？教后反思：1数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意

29、它的功能，为使用它打下良好的根底，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生开展创新能力的良机2在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法目的是加强学生对教学过程的参与为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展3运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明nk1命题成立时必须要用到nk时命题成立这个条件这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向16 / 17