数值分析试卷与其答案4.doc

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1、优质文本1、 (此题5分)取的6位有效数字，问以下这种算法有几位有效数字 解：令，那么 2分由于故另一方面故在这里，由有. 3分即算式至少有4位有效数字.2、 此题6分用列主元消去法解线性方程组. 解： 4分故等价方程组为： 1分同代得， 1分3、 此题6分，求，.解： 1分 1分 即 3分解得 ， 1分4、 此题7分给定线性方程组 (1) 试分别写出迭代格式和迭代格式；(2) 分析迭代格式的收敛性.解：(1) 迭代格式为： 2 分迭代格式： 2分(2)迭代格式的迭代矩阵G的特征方程为解得 那么故迭代格式发散. 3分5、 此题8分用以下方法求在附近的根，根的准确值，要求计算结果准确到四位有效数

2、字.(1) 用牛顿法；(2) 用弦截法，取，解：(1) 牛顿法的迭代公式为计算得，故 4分(2)弦截法的迭代公式为计算得 故 4分6、 此题8分给定数据如下x0235f(x)1-3-42(1) 写出的3次插值多项式(2) 写出的3次插值多项式解：(1)由题设条件有 由于次插值多项式的基函数为故三次插值多项式的基函数为 3分故所求三次插值多项式 1分 (2)由题中所给数据，构造以下差商表5 2 3 3 -4 -1 2 -3 -20 1x f(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 3分由于故所求三次插值多项式 1分7、 此题8分设，且互不相同，证明 并写出的次插值多项式.证：用数学归纳法来证明当时即

3、当时公式成立. 2分假设当时等式成立即那么当时即公式对亦成立有归纳法原那么知原等式对任意均成立 4分我们以为插值节点来求次插值多项式因为故所求插值多项式为 其中 4分8、此题5分求满足条件12231-1的艾尔米特差值多项式.解：令，代入艾尔米特差值多项式 2分这里，得 3分 9、 此题6分求函数在0，1上的一次最正确平方逼近多项式.解：设，所求函数为，那么 3分由正规方程组 1分解得 2分10、此题9分运用梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分别计算积分，并估计各种方法的误差要求小数点后至少保存5位.解：运用梯形公式： 2分其误差 1分运用辛普森公式： 2分其误差 1分运用柯特斯公式： 2分其误差

4、 1分11、此题6分的函数值如下：1.82.02.22.42.63.14.46.08.01.00用复合梯形公式和复合辛普森公式求的近似值.解：用复合梯形公式，小区间数，步长那么 3分复合辛普森公式，小区间数，步长那么 3分12、此题8分用高斯-勒让德公式计算积分.解：由于高斯求积公式为其中是的零点首先将积分区间转化为令那么时 1分而 2分令时 2分时 2分 1分13、此题6分用改进欧拉法求解 ，取两位小数。解 改进欧拉法格式为 2分 其中代入上式得：123450.20.40.60.81.01.241.582.042.643.42 4分14、此题6分写出用四阶经典的龙格库塔方法求解以下初值问题的计算公式：, ,解：令 3分 3分15、此题6分给定矩阵试用幂法求出的按模最大的特征值，精确至5位有效数字.解：取，代入幂法计算公式：， 2分其中表示中首次出现的绝对值最大的分量. 具体计算结果如下：，故的主特征值 4分