数值分析复习题与答案.doc

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1、优质文本数值分析复习题一、选择题1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有 和 位有效数字. A4和3 B3和2 C3和4 D4和42. 求积公式，那么 A B C D3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足 A0， B 0， C1， D 1，4. 设求方程的根的牛顿法收敛，那么它具有 敛速。 A超线性 B平方 C线性 D三次5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程 . A B CD 二、填空1. 设 ，取5位有效数字，那么所得的近似值 . 2.设一阶差商 ， 那么二阶差商 3. 设, 那么 ， 。4求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么 5解初始值问题 近

2、似解的梯形公式是 6、 ，那么A的谱半径 。 7、设 ，那么 和 。 8、假设线性代数方程组 的系数矩阵A为严格对角占优阵，那么雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。9、解常微分方程初值问题的欧拉方法的局部截断误差为 。10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成 。 11. 设, 那么 ， .12. 一阶均差 13. 时，科茨系数，那么 14. 因为方程在区间上满足 ，所以在区间内有根。15. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式 .16.设是真值的近似值，那么有 位有效数字。17. 对, 差商( )。18. 设, 那么 。19.牛顿柯特斯求积公式的系数和 。 20. 假设2.42

3、315是2.42247的近似值，那么a有( )位有效数字.21. 是以为插值节点的插值基函数，那么( ).22. 设f (x)可微，那么求方程的牛顿迭代格式是( ).23. 迭代公式收敛的充要条件是 。24. 解线性方程组 (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式中的B称为( ). 给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为( )。25、数值计算中主要研究的误差有 和 。26、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，那么 ； 。27、设是区间上的一组n次插值基函数。那么插值型求积公式的代数精度为 ；插值型求积公式中求积系数 ；且 。28、辛普生求积公式具有 次代数精度，其余项表达式为 。29、那么

4、。30.设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，那么x*有 位有效数字。31. ， 。32.求方程根的牛顿迭代格式是 。33.,那么 , 。34. 方程求根的二分法的局限性是 。 三、计算题1设 1试求 在 上的三次插值多项式使满足，以升幂形式给出。2写出余项 的表达式2 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1收敛？3 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式：提示： 利用求积公式。4利用矩阵的分解法解方程 组 5. 函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值.6. 线性方程组1写出雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式；2于初始值，应用雅可比

5、迭代公式、高斯塞德尔迭代公式分别计算保存小数点后五位数字.7. 用牛顿法求方程在之间的近似根1请指出为什么初值应取2？2请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.8. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.9用二次拉格朗日插值多项式的值。插值节点和相应的函数值是0，0，0.30，0.2955，0.40，0.3894。10.用二分法求方程区间内的一个根，误差限。11.用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。12.求系数13. 对方程组 试建立一种收敛的迭代公式，说明理由14. 确定求积公式 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.15. 设初值问

6、题 .(1) 写出用方法、步长0.1解上述初值问题数值解的公式；(2)写出用改进的法梯形法、步长0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解，保存两位小数。16. 取节点，求函数在区间上的二次插值多项式，并估计误差。17、函数的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算的近似值。18、利用尤拉公式求解初值问题，其中步长，。19确定求积公式。中待定参数的值，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度20、一组试验数据如下 ：求它的拟合曲线直线。21、用列主元消去法解线性方程组22. (1)用拉格朗日插法求的三次插值多项式；(2)求， 使。23确定以下求积公式中的待定参数，使其代数精

7、确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度24、用消去法求解以下方程组25. 试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。26. 取步长0.2, 用梯形法解常微分方程初值问题 27. 用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式的值.28用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保存五位小数。29、数据如下：求形如拟合函数。30、用二次拉格朗日插值多项式计算。插值节点和相应的函数值如下表。31、利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长。32、讨论用和迭代法求解方程组的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中.简述题：表达在数值运算中，误差分析的方法与原那么是什么？优质

8、文本数值分析复习题答案一、选择题12345二、填空1、2.3150 2、 3、6 和 4、1.55、 6、 7、；8、 收敛 9、 10、 11. 9和 ；12. 13. 14. 15.；16、3 ；17、1 ；18、7；19、1；203；21.；22.；23. ；24、.迭代矩阵， ；25.相对误差 绝对误差 26. 1；27. 至少是n ， ；28. 3 ；29. 1 0；30、4；31、1，0；32、 ；33、 7, 6；34、收敛速度慢，不能求偶重根。 三、计算题1解：1 2 2解 ：由 ，可得 ， 3 .解 ： 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上积分，得，记步长为h,

9、对积分 用求积公式得 所以得数值解公式： 4解 5. 解 ， ，所以分段线性插值函数为 6. 解 ：原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯塞德尔迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯塞德尔迭代公式得7. 解： ， ，故取作初始值迭代公式为， ， 方程的根8.解 梯形公式 应用梯形公式得 辛卜生公式为 应用辛卜生公式得 9解 10.用二分法求方程区间内的一个根，误差限。解11.解 迭代公式 12.解：13. 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得：144. 解 15. 解 16.解：=1+2( ，17、解：差商表由牛顿插值公式：18、

10、解：19解：分别将，代入求积公式，可得。令时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为3。20、解：设那么可得 于是，即。21、解：即22. 解：23 解 令代入公式精确成立，得；解得，得求积公式对；故求积公式具有2次代数精确度。24、解：此题是消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。故25. 解：由等式对精确成立得：,解此方程组得又当时 左边右边 此公式的代数精度为226. 解：梯形法为 即迭代得27. 解：先选列主元，2行与1行交 换得消元；3行与2行交换；消元；回代得解；行列式得28解：是的正根，牛顿迭代公式 为， 即 取x0=1.7, 列表如下：29、数据如下：求形

11、如拟合函数。解：30、解：过点的二次拉格朗日插值多项式为代值并计算得 。31、解：32、解： 简述题：解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。 误差分析的原那么有：1要防止除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2要防止两近数相减；3要防止大数吃掉小数：4注意简化计算步骤，减少运算次数。 一、 选择题(共30分，每题3分)1、以下说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是 。A方法收敛性； B方法的稳定性；C方法的计算量； D方法的误差估计。2、方程32x5=0在区间2,3存在唯一正根，假设用二分法计算，至少迭代 次可以保证误差不超过。(A) 5； (B)

12、 7； (C) 10； (D) 12。3、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是 A调换方程位置； B选主元； C直接求解； D化简方程组。4、设，那么和的值分别为 A1，1； B98!，0； C9，0； D9，1。5、假设用复化的辛浦生公式计算积分，问积分区间要 等分才能保证误差不超过？A10； B15； C20； D25。6、用一般迭代法 求解方程组的解，那么当 时，迭代收敛。A方程组系数矩阵A 对称正定； B方程组系数矩阵A 严格对角占优；C迭代矩阵B 严格对角占优； D迭代矩阵B 的谱半径(B)1。7、在区间0,1 上满足y(0)=1.5(1)=2.5 的0 次拟合多项式曲线是

13、( )(A) y = 2； (B) y = 1.5 ； (C) y = 2.5 ； (D) y = 4 。8、复相关系数的取值区间为： ( ) (A) ； (B) ； (C)； (D)9、方差分析主要用于分析 (A)自变量和因变量都是分类变量 (B)自变量和因变量都是顺序变量(C)自变量和因变量都是数值变量 (D)自变量是分类变量，因变量是数值变量10、 方差分析中在由样本推断总体性质时，零假设是 (A)各分类间方差相等 (B)各分类间均值相等 (C)各分类间均值不相等 (D)各分类间至少有两组均值相等二、填空题(共30分，每题3分)1、数值计算中主要研究的误差有 和 。2、的相对误差约是的相

14、对误差的 倍。3. 方程求根的二分法的局限性是 。 4、求方程根的割线法的收敛阶为_ 。 5、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 。 6、假设用高斯-赛德尔法解方程组，其中a为实数，那么该方法收敛的充要条件是a 应满足_ _。 7、线性代数方程组相容的充要条件是 _ 。8、单纯形算法的根本思路是: 。9、参数假设检验的含义是 。10、假设检验的根本思想的根据是 三、7 分确定以下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。四、8 分方程组分别写出该方程组的 迭代法和 迭代法的分量形式。五、9分设步长为h，分别用方法、隐式方法和梯形方法写出微分方程的求解公式。六、8分设总体 X 在区间 a,

15、b 上服从均匀分布，其中a、b未知，为总体 X 的样本，求a、b的极大似然估计量七、8 分将如下线性规划问题化成标准型：优质文本参加答案一、 选择题(共30分，每题3分)1、以下说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是 C 。A方法收敛性； B方法的稳定性；C方法的计算量； D方法的误差估计。2、方程32x5=0在区间2,3存在唯一正根，假设用二分法计算，至少迭代 C 次可以保证误差不超过。(A) 5； (B) 7； (C) 10； (D) 12。3、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是 A调换方程位置； B选主元； C直接求解； D化简方程组。4、设，那么和的值分别为 B A1，

16、1； B98!，0； C9，0； D9，1。5、假设用复化的辛浦生公式计算积分，问积分区间要 A 等分才能保证误差不超过？A10； B15； C20； D25。6、用一般迭代法 求解方程组的解，那么当 D 时，迭代收敛。A方程组系数矩阵A 对称正定； B方程组系数矩阵A 严格对角占优；C迭代矩阵B 严格对角占优； D迭代矩阵B 的谱半径(B)1。7、在区间0,1 上满足y(0)=1.5(1)=2.5 的0 次拟合多项式曲线是( A )(A) y = 2； (B) y = 1.5 ； (C) y = 2.5 ； (D) y = 4 。8、复相关系数的取值区间为： ( A ) (A) ； (B)

17、； (C)； (D)9、方差分析主要用于分析 D (A)自变量和因变量都是分类变量 (B)自变量和因变量都是顺序变量(C)自变量和因变量都是数值变量 (D)自变量是分类变量，因变量是数值变量11、 方差分析中在由样本推断总体性质时，零假设是 B (A)各分类间方差相等 (B)各分类间均值相等 (C)各分类间均值不相等 (D)各分类间至少有两组均值相等二、填空题(共30分，每题3分)1、数值计算中主要研究的误差有 和 。2、的相对误差约是的相对误差的 倍。3. 方程求根的二分法的局限性是 。收敛速度慢，不能求偶重根。4、求方程根的割线法的收敛阶为_ 。或5、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为

18、 。56、假设用高斯-赛德尔法解方程组，其中a为实数，那么该方法收敛的充要条件是a 应满足 _ _。7、线性代数方程组相容的充要条件是 _ 。(A)= ()8、单纯形算法的根本思路是: 根据问题的标准型,从可行域中某个根本可行解 (顶点)开始,转换到另一个根本可行解(顶点),并使得每次的转换,目标函数值均有所改善,最终到达最大值时就得到最优解。9、参数假设检验的含义是对总体中某个数字特征或分布中的参数提出假设检验。10、假设检验的根本思想的根据是小概率事件原理：“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。三、7 分确定以下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。四、8 分方程组分别写出该方程

19、组的 迭代法和 迭代法的分量形式。五、9分设步长为h，分别用方法、隐式方法和梯形方法写出以下微分方程的求解公式：。六、8分设总体 X 在区间 a, b 上服从均匀分布，其中a、b未知，为总体 X 的样本，求a、b的极大似然估计量七、8 分将如下线性规划问题化成标准型： 试题 一. 填空题本大题共4小题，每题4分，共16分1.设有节点，其对应的函数的值分别为，那么二次拉格朗日插值基函数为 。 2.设，那么关于节点的二阶向前差分为 。3.设，那么 ， 。4. 个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。二简答题本大题共3小题，每题8分，共24分1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳

20、定？2. 什么是不动点迭代法？满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点？3. 设n阶矩阵A具有n个特征值且满足，请简单说明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。三求一个次数不高于3的多项式，满足以下插值条件：12324123并估计误差。10分四试用的牛顿-科特斯求积公式计算定积分。10分五用法求的近似解。10分六试用分解法求解方程组： 10分七请写出雅可比迭代法求解线性方程组 的迭代格式，并判断其是否收敛？10分八就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。10分参考答案一 填空题每题3分，共12分1. ； 2.7；3. 3，8；4. 。二简答题本大题共3小题，每题8分，共2

21、4分1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 4分对于对称正定阵 A，从可知对任意k i 有。即 L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 4分2. 解：1假设，那么称为函数的不动点。 2分2必须满足以下三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点：1是在其定义域内是连续函数； 2分2的值域是定义域的子集； 2分3在其定义域内满足李普希兹条件。 2分3.解：参照幂法求解主特征值的流程 8分步1：输入矩阵A，初始向量v0，误差限e，最大迭代次数N;步2：置1,0，u000;步3：计算1;步4：计算并置r, ;步5：假设 | e，计算，输出；否那么，转6；步6：

22、假设kN,置1, ，转3；否那么输出计算失败 信息，停止三 解：1利用插值法加待定系数法： 设满足 那么3分 再设 3分 1分 1分2 2分四解：应用梯形公式得 2分 1分 应用辛普森公式得： 2分 1分 应用科特斯公式得： 2分 2分五解：由零点定理，在内有根。 2分由牛顿迭代格式 4分 取得， 3分故取 1分 六解：对系数矩阵做三角分解： 2分 4分假设，那么； 2分假设，那么 2分七解：1对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为 2分其特征多项式为，且特征值为 2分故有，因而雅可比迭代法不收敛。 1分2对于方程组， 迭代法迭代矩阵为 2分其特征值为 2分故有，因而迭代法收敛。 1分八证明题本大

23、题共2小题，每题7分，共14分1. 证：该问题的精确解为 2分欧拉公式为 2分对任意固定的，有， 2分那么 1分2.证：牛顿迭代格式为 3分因迭代函数为而又， 2分 那么。故此迭代格式是线性收敛的。 2分试题一、填空题(此题24分，每题3分)1. 假设方程，可以表成，那么满足 ；那么由迭代公式产生的序列一定收敛于方程的根。4区间上的三次样条插值函数是满足： ；5设总体未知，写出的95%的置信区间： ；6正交表中各字母代表的含义为 ；7取步长，解的法公式为： ；8对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： ；7. 二元非线性函数 ，该函数从X0 出发的最速下降方向为： ；8二元非线性函数 ，该函

24、数从X0 出发的方向为： ；。二、此题8分某商场决定营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员数如下表：星期一二三四五六日需要人数300300350400480600550(1) 为商场人力资源部建立线性优化模型安排每天的上班人数，使商场总的营业员数最少。不要求计算出结果；(2) 写出所建立的模型的对偶形式。三、此题8分的数据如表：0 1 3 70 0.5 2 1.5试求三次插值多项式P(x)，给出相应的误差估计式，并求f(2)的估计值。四、此题12分为了改进录音效果，今比较三种不同磁粉的录音带的放音效果，用这三种不同的磁粉(记为)的录音带录音，假设，得到的

25、数据已汇总成方差分析表如下方差来源平方和自由度样本方差值组间667.73组内 12总和1114.9314 (1)试把上述方差分析表补充完整(2)问这三种磁粉的平均放音效果有无显著差异？取， 五、此题10分利用单纯形方法求解下面的线性规划要求写出计算过程：六、此题10分试确定求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高。七、此题12分为研究家庭收入元和食品支出元关系，随机抽取了12个家庭的样本，得到数据如下表家庭序号家庭收入食品支出1207400140492309900270813339108929781440111600440121515522552561441965616726867620864

26、8381014443801009359122531581104210176442010011228484176641231996127981合计34699109643056863假设与之间符合一元线回归模型,(1)试用上表数据建立线性回归方程；2检验回归效果是否显著()；3试解释回归方程的经济意义。八、此题16分设方程组为 1对方程组进行适当调整，使得用高斯塞德尔迭代法求解时收敛；2写出对应的高斯塞德尔迭代格式；3取初始向量，求迭代次数使得。答案一、填空题(此题24分，每题3分)1. 假设方程可表成，且在内有唯一根，那么满足 ，那么由迭代公式产生的序列一定收敛于。满足：,且有, ；2. 二元非

27、线性函数，该函数从X0 出发的最速下降方向为 最速下降方向为：；3二元非线性函数，该函数从X0 出发的方向为 方向为： ；4在区间上通过点，那么其三次样条插值函数是满足 1在每个小区间是次数不超过3次的多项式，2在区间上二阶导数连续，3满足插值条件 ；5设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值落入W的概率为0.15，那么犯第一类错误的概率为0.15 ；6在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。但当增大置信水平时，那么相应的置信区间长度总是 变长 ；7取步长，解的法公式为： ；8对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有：

28、模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。 。二、此题8分某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。 合金矿石锡%锌%铅%镍%杂质%费用元/吨1251010253034024000303026030155206018042020040202305851517151901建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品本钱最低。不要求计算出结果；2写出所建立的模型的对偶

29、形式。1设 是第j 种矿石的数量，目标是使本钱最低，得线性规划模型如下： 4分2上述线性规划模型的对偶形式如下： 4分三、此题8分的数据如表：0 1 3 70 0.5 2 1.5试求三次插值多项式P(x)，求的近似值，并给出相应的误差估计式。解： 用插值法求的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下：f()一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0010.50.5320.750.25/371.50.1250.875/61.375/42418.25/7-0.37-0.245-0.033-0.000075由差商表得出的三次插值多项式为： 3分于是有 2分相应的误差估计式为： 2分四、此题12分为了考察硝酸钠的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温度，观察它在100的水中溶解的的重量g，得观察结果如下：温度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 101 求Y对X的线性回归方程。结果保存小数点后两位。, , , , 2对回归方程的显著性进行检验。取显著水平为0.05，0.01，。解： 4分回归函数为 4分 ，或 2分 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的或 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的。12分五、此题10分利用单纯形方法求解下面