离散数学屈婉玲耿素云张立昂主编课后复习资料高等教育出版社.doc
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1、精品文档第一章局部课后习题参考答案16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求以下各命题公式的真值。 1p(qr) 0(01) 0 2pr(qs) 01(11) 010. 3pqr(pqr) 111 (000)0(4)rs(pq) 01(10) 00117判断下面一段论述是否为真:“是无理数。并且,如果3是无理数,那么也是无理数。另外6能被2整除,6才能被4整除。答:p: 是无理数 1 q: 3是无理数 0 r: 是无理数 1 s:6能被2整除 1t: 6能被4整除 0 命题符号化为: p(qr)(ts)的真值为1,所以这一段的论述为真。19用真值表判断以下公式的类型:4(pq) (qp)5
2、(pr) (pq)6(pq) (qr) (pr)答: 4 p q pq q p qp (pq)(qp) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式5公式类型为可满足式方法如上例6公式类型为永真式方法如上例第二章局部课后习题参考答案3.用等值演算法判断以下公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1) (pqq)(2)(p(pq)(pr)(3)(pq)(pr)答:(2)p(pq)(pr)(p(pq)(pr)ppqr1 所以公式类型为永真式(3) P q r pq pr pq(pr)0
3、0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式:(2)(pq)(pr)(p(qr)(4)(pq)(pq)(pq) (pq)证明2(pq)(pr) (pq)(pr)p(qr)p(qr)4(pq)(pq)(p(pq) (q(pq)(pp)(pq)(qp) (qq)1(pq)(pq)1(pq)(pq) 5.求以下公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1)(pq)(qp)(2)(pq)qr(3)(p(qr)(pqr)解
4、:1主析取范式(pq)() ()() ()() ()()()()()()()() (0,2,3) 主合取范式: (pq)() ()() ()() (p()(q() 1() () M1 (1) (2) 主合取范式为: (pq)() ()0 所以该式为矛盾式. 主合取范式为(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为:(p()() (p()()(p()()(p()()() 11 1 所以该式为永真式. 永真式的主合取范式为 1 主析取范式为(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章局部课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明: (2)前提:,(
5、)结论:p (4)前提:结论:证明:2() 前提引入 置换 蕴含等值式r 前提引入q 拒取式 前提引入p3 拒取式证明4: 前提引入t 化简律 前提引入 前提引入 等价三段论() 置换 化简q 假言推理 前提引入p 假言推理(11) 合取 15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:(1) 前提:p()结论:证明s 附加前提引入 前提引入p 假言推理p() 前提引入 假言推理q 前提引入r 假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:(1)前提: 结论:p证明:p 结论的否认引入pq 前提引入q 假言推理 前提引入r 化简律rs 前提引入r 化简律rr 合取由于最后一步rr 是
6、矛盾式,所以推理正确.第四章局部课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=()(x).(2) 存在x,使得5=9.其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合.解:F(x): 2=()(x). G(x): 5=9.(1)在两个个体域中都解释为,在a中为假命题,在(b)中为真命题。(2)在两个个体域中都解释为,在a(b)中均为真命题。4. 在一阶逻辑中将以下命题符号化:(1) 没有不能表示成分数的有理数.(2) 在北京卖菜的人不全是外地人.解:(1)F(x): x能表示成分数 H(x):
7、x是有理数命题符号化为: (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人命题符号化为: 5. 在一阶逻辑将以下命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解:(1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(): x比y快命题符号化为: (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(): x比y快命题符号化为: 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素=0. (c) 特定函数(). (d) 特定谓词(),(). 说明以下公式在I下的含义,并指出各公式的真值:(1)(2)答:(1) 对于任
8、意两个实数,如果xy, 那么. 真值1.(2) 对于任意两个实数,如果0, 那么xy. 真值0.10. 给定解释I如下: a 个体域(N为自然数集合). b D中特定元素=2. c D上函数,(). d D上谓词().说明以下各式在I下的含义,并讨论其真值.(1) (g()(2) (F(f()F(f()答:(1) 对于任意自然数x, 都有2, 真值0.(2) 对于任意两个自然数,使得如果2, 那么2. 真值0.11. 判断以下各式的类型:(1) (3) ().解:(1)因为 为永真式; 所以 为永真式;(3)取解释I个体域为全体实数F():5所以,前件为任意实数x存在实数y使5,前件真;后件为
9、存在实数x对任意实数y都有5,后件假,此时为假命题再取解释I个体域为自然数N,F():5所以,前件为任意自然数x存在自然数y使5,前件假。此时为假命题。此公式为非永真式的可满足式。13. 给定以下各公式一个成真的解释,一个成假的解释。(1) (F(x)(2) x(F(x)G(x)H(x)解:(1)个体域:本班同学F(x):x是泰安人(x):x是济南人.2成假解释(2)个体域:泰山学院的学生F(x):x出生在山东(x)出生在北京(x)出生在江苏,成假解释.F(x):x会吃饭(x):x会睡觉(x):x会呼吸. 成真解释.第五章局部课后习题参考答案5.给定解释如下:(a)个体域3,4;(b)为(c)
10、. 试求以下公式在下的真值.(1) (3)解:(1) (2) 12.求以下各式的前束范式。(1) (5) (此题课本上有错误)解:(1) (5) 15.在自然数推理系统F中,构造下面推理的证明:(1) 前提: ,结论: (x)(2) 前提: x(F(x)(G(a)R(x), (x)结论(F(x)R(x)证明(1) 前提引入 F(c) 前提引入 假言推理 (F(c)G(c)R(c) F(c)G(c) 附加 R(c) 假言推理 (x) (2)(x) 前提引入F(c) x(F(x)(G(a)R(x) 前提引入F(c)(G(a)R(c) G(a)R(c) 假言推理R(c) 化简F(c)R(c) 合取引
11、入x(F(x)R(x) 第六章局部课后习题参考答案5.确定以下命题是否为真:1 真 2 假3 真4 真5, 真6, 真7, 真8, 假6设各不相同,判断下述等式中哪个等式为真:1,c,= 假2a = 真3a,b= 假4,=, 假8求以下集合的幂集:1 P(A)= ,a,b,c,21,2,3 P(A)= , 1, 2,3, 1,2,3 3 P(A)= , 4, P(A)= , 1, 2,3, 1,2,3 14化简以下集合表达式:1B -2-A解:(1)B -=B =)2-A=A A=AA18某班有25个学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打
12、这三种球。6个会打网球的人都会打篮球或排球。求不会打球的人数。解: 阿会打篮球的人,会打排球的人,会打网球的人 14, 12, 65 2, 6如下图。25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5不会打球的人共5人21.设集合A1,2,2,3,1,3,计算以下表达式:1A2A3A4A解: 11,22,31,3=1,2,3,21,22,31,3=3123= 427、设是任意集合,证明(1)() (2)()()-()证明(1) ()(AB) A( BC)= A() (2) ()-()=(AC) (B C)= (AC) ()=(ACB) (A)= (ACB) = A() 由1得证。第七章局
13、部课后习题参考答案7.列出集合2,3,4上的恒等关系I A,全域关系,小于或等于关系,整除关系.解: =, ,13.设, ,求, , , (), , , ( ), ().解:, 1,2,3 1,2,4 (AB)=1,2,3,42,3,4 2,3,4()=4,,()=1,2,314.设,求, 1, R0,1, R1,2解:, 1,R0,1=,R1,2(1,2)=2,316设,为A上的关系,其中=求。解: R1R2=, R2R1=R121R1=,R222R2=,R232R22=,36设1,2,3,4,在上定义二元关系R, , , R u + y = x + v.(1) 证明R 是上的等价关系.(2
14、)确定由R 引起的对的划分.1证明:R RRR是自反的任意的,AA如果R ,那么 R R是对称的任意的,AA假设R,R那么 RR是传递的R是AA上的等价关系(2) =, , , , , 41.设1,2,3,4,R为上的二元关系, a,b,c,d , a,bRc,da + b = c + d(1) 证明R为等价关系.(2) 求R导出的划分.(1)证明:a,b R R是自反的任意的,AA设R,那么 RR是对称的任意的,AA假设R,R那么 RR是传递的R是 AA上的等价关系(2)=, , , , , , 43. 对于以下集合与整除关系画出哈斯图:(1) 1,2,3,4,6,8,12,24(2) 1,
15、2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12解: (1) (2)45.以下图是两个偏序集的集合表达式. (a) (b)解: (a) , (b) ,46.分别画出以下各偏序集的哈斯图,并找出A的极大元极小元最大元和最小元.(1),.(2), .解: (1) (2)工程 (1) (2)极大元: e 极小元: a 最大元: e 无最小元: a 无第八章局部课后习题参考答案1 设f ,且 f (x)=求f (0), f (0), f (1), f (1), f (0,2,4,6,),f (4,6,8), f -1(3,5,7).解:f (0)=0, f (0)=0, f (1)=1, f (1)=
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