2023学年上海市外国语附属高考数学倒计时模拟卷含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷考生请注意：1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集为R,集合A =x|0 x 2,8=小 训，则A D&B)=A.x 0 x l B.x 0 x l C.x|lx 2 D.x 0 x 且4 =4,则$6=()A.128 B.65

2、c.64D.636.复数z满 足+=贝l j z=()A.1-/B.1+zc.V 2 V 2.-1D.+irs 7.设复数z=丁 三，则|z|=()l +3z2 22 2A1 R V2c.D.也3 3228.已知集合4=幻 炉 1,B=x|l n x l ,则A.A D =x|0 x e B.ACB=xxeC.A U 3=x 0v x e D.A|JB=x|-l x e 9.对于任意xeR,函数/(X)满足/(2-x)=-f(x),且当X.1时，函数=.若”3 =/信卜=一 1 则 9 C 大小关系是()A.b c aB.b a cC.c a bD.c b 2,x e R ,B =x|j t：

3、2-2 x-3 0 j,则()A.(3,+o o)B.(O,-1)U(3,-HX)C.(2,+o o)D.(2,3)12.已知A M,&V分别为圆q：(x +i y+y 2=l 与 a：(x _2f +y 2=4 的直径，则 通.丽 的 取 值 范 围 为()A.0,8 B.0,9 C.1,8 D.1,9二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.设 a为锐角，若 c o s(a +)=,贝 H si n 2c 的值为.6 414.若 函 数/(幻=加/一，+i(e 为 自 然 对 数 的 底 数)在 和 尤=%两处取得极值，且.丫 2 2 2 西，则实数，的取值范围是.15.

4、已知等边三角形AB C的边长为1.京 7=2砺，点 N、T分别为线段B C、C4 上的动点，则A B l f+B C T M+C A M N取值的集合为16.已知集合A =x|x =2Z +l,Z e Z ,8 =x|x(x 5)l,e 为自然对数的底数.(D当a =e 时，求函数/(x)的极值；(2)设函数/(x)的导函数为/(X),求证：函数/(X)有且仅有一个零点.18.(12分)第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的 固体废物污染环境防治法(修订草案)中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中.为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试

5、点社区抽取5()户居民进行调查，得到如下的2 x 2 列联表.已知在抽取的5 0 户居民中随机抽取1 户，抽到分类意识强的概率为0 5 8 .分类意识强分类意识弱合计试点后5试点前9合计5 0(1)请将上面的2 x 2 列联表补充完整，并判断是否有9 9.5%的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由;(2)已知在试点前分类意识强的9 户居民中，有 3 户自觉垃圾分类在1 2 年以上，现在从试点前分类意识强的9 户居民中，随机选出3 户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在1 2 年以上的户数为X,求 X分布列及数学期望.参考公式：K2=n(ad-bc)2(

6、a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中 n=a+h+c+d.下面的临界值表仅供参考P(K 2 o)0.1 50.1 00.0 50.0 2 50.0 1 00.0 0 50.0 0 12.0 7 22.7 0 63.8 4 15.0 2 46.6 3 57.8 7 91 0.8 2 82 2/T 1 9.(1 2 分)已知椭 圆 卞+点=l(a 8 0),点 A(l,0),8(0,l),点 P满 足 砺+鲁 历=而(其中。为坐标原点)，点 氏 P在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆的右焦点为尸，若不经过点尸的直线/：了 =+加(攵 0)与椭圆C交于M,N两点.且与圆/+丁=1

7、 相切.4 脑 乎的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.2 22 0.(1 2 分)已 知 6(-1,0),为(1,0)分别是椭圆C:=+4 =l,(a 8 0)的左焦点和右焦点，椭圆C的离心率为CT h好,4B是椭圆C上两点，点M满 足 丽 f52(1)求 C 的方程；若点M 在圆d +y 2=i上，点。为坐标原点，求砺.丽的取值范围.21.(12分)在 数 列 4 和等比数列也 中，q=0,4=2,a =2 5(e N*).(1)求 数 列 也 及 。,的通项公式；(2)若 c“=ga,也,，求数列%的前项和S“.22.(10 分)在极坐标系中，已知曲线 G:co s。-百

8、 osinG-1=0,C2 p-2cos.(D 求曲线G、C?的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线G、交于A、8 两点，求两交点间的距离.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】分析：由题意首先求得然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：C M =x|x l,结合交集的定义可得：AC(CR3)=0XR2=R)2+l2=R=ji.球0的表面积为：4T TR 2=47tx l3=剪.IV 6J 3故选：D.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力

9、与计算能力，属于中档题.3.C【解析】根据V=(2X-1)+1 F，再根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】因为犬=5(2x-1)+15,所以二项式(2x-1)+15的展开式的通项公式为：Tr+l=C；-(2x-l)5-r-r =q -(2 x-l)5-r,令r=3,所以7；=C；(2左一1)2,因此有a-1 C3_ 1 C2_ 1 X5X4 _ 5-32 5 32 5 32 2 16故选：C【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力4.C【解析】首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4,然后借助于三

10、角函数的周期性确定其值即可.【详解】解：/(%)=sin2 x-/3 sin xcos-x.4 4 41 ,乃、百.乃=-(l-c o s%)-si n x2 2 2 2 呜x+令+/(X)=-S i呜 X+2)+；，T 2兀/(X)的周期为 广 ,21)=?4 2)=1，3)=，4)=0，.4 1)+2)+3)+4)=2./(1)+/(2)+.+/(2 0 2 0)=5 0 5 x /(l)+/(2)+/(3)+/(4)=5 0 5 x 2=1010.故选：C【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于中档题.5.D【解析】根

11、据1%=1 +1暇 勺，得到即1=2%,由等比数列的定义知数列何 是等比数列，然后再利用前项和公式求S(，.【详解】因为1华2%+|=1+1。82”，所以 l o g 2 a,用=l o g2 2a,所以 a,+i =2 a,所 以 数 列 q,是等比数歹!J，又 因 为%=4,所以“1一力(la)6-q 1-2=6 3 故选：D【点 睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6.C【解 析】利用复数模与除法运算即可得到结果.【详 解】解.Z.J 1-C V 2,_ V (l-z)(1-/)_ V 2 V 2.1 +z 1 +i (l +z)(l

12、-z)2 2 2故选：C【点 睛】本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.7.D【解 析】先用复数的除法运算将复数z化 简，然后用模长公式求二模长.【详 解】故选：D.【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.8.D【解析】因为 A=X|J?1=X|-1 X1,B=x|lnxl=x|Oxe,所以 AnB=x O x l ,A U 3 =x T x e ,故选 D.9.A【解析】由已知可得ILy)的单调性，再由/(2-x)=-/(x)可得/)对称性，可求出f(x)在(9,1)单调性，即可求出结论.【详解】对于任意xeR,函数/(x)满足/(2-x)=/(x),因

13、为函数/(x)关于点(1,0)对称,当x 2 1时，/(x)=是单调增函数,所以/(x)在定义域R上是单调增函数.因为Wg，所以-乐哈卜小bc o|=（-o o,-l）u（3,+o o）,A =x x 2,x e R ,故 AnB=（3,+o o）.故选：A.【点 睛】本题考查了交集运算，属于简单题.1 2.A【解 析】由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得痔丽=苑+（珂+孽）通-（砌+孽）=9-画+刖 ,结 合|丽+的范围即可求解【详 解】如 图，福丽=（迈+砌+）.（9+砌+防）=砧+（苑同+型）=|加，一陷+孽1=9|轲+孽其 中|南+懑同2 1,2 +1 =1,3 ,所以A

14、BWe9-32,9-l2 =0,8 .【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题二、填空题：本 题 共4小 题，每 小 题5分，共2 0分。3 二 +3)【解 析】V a 为 锐 角,c o s(a +)=,/.s in(a +)=,6 4 6 4s in(2 a +)=2 s in(a +)c o s(a +)=,c o s(2 c r +)=2 c o s2(a +-)-1 =-,3 6 6 4 3 6 4故 s in 2 c =s in (2 a+)-=s in(2 a +)c o s-c o s(2 a +)s in=x +x =3 3 3 3 3 3 4

15、2 4 2 81 4.g+ln2 J【解 析】先 将 函 数/(X)在X =X|和x =w两处取得极值，转化为 方 程 用=工-(%。0)有 两 不 等 实 根.王，且 2 2%，再令2x力)=4(%。0),将问题转化为直线丁=机 与 曲 线/Z(X)=史 有 两 交 点，且横坐标满足 2 2玉，用导数方法研究2x 2 x应)=色 单 调 性，作 出 简 图，求 出 赴=2西 时，加 的 值，进而可得出结果.2x【详 解】因 为/(%)=/_0V+1,所以/(%)=2 m x-e,又 函 数/(x)在x =%和x =两处取得极值,所以为,七是方程2,n r e,0的两不等实根，且 2 2%,即

16、m=(x。0)有两不等实根西，石，且 2 2 X ,2xex令 h(x)=(%w 0)，2 x则直线y=机与曲线(幻=有两交点,且交点横坐标满足X 2%,2x6”、ev(2 x-2)ex-l)4 x2 2x2由/(x)=0 得 x =l,所以，当x l时，(x)0,即函数/?()=在(1,”)上单调递增；2x当无 0,0 x l时，(x)e*_ ex 1当 =2 M时，由=得 =I n 2,此时加=,2玉 2X2 2xt I n 2因此，由 2 2 2玉得/一.【点睛】本题主要考查导数的应用，已知函数极值点间的关系求参数的问题，通常需要将函数极值点，转化为导函数对应方程的根，再转化为直线与曲线

17、交点的问题来处理，属于常考题型.15.-6【解析】根据题意建立平面直角坐标系，设三角形各点的坐标,依题意求出祈，苏7,丽，的表达式，再进行数量积的运算,最后求和即可得出结果.【详解】解：以3 C的中点。为 坐 标 原 点,所 在 直 线 为X轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 川0,矶3(1,0),0(1,0),冷)，则 丽=(-1,-百)，潴=(2,0),百=(-1,6),设N(/,0),AT=AC,OT=OA+AT=OA+AAC=(),y/3)+A(l,-y/3)=(2,73(1-2),即点T的坐标为(A,6(1 -)，则 祈=(4 _/,百(1_丸)，俞 二2

18、,-V3(l-1),MN=r+-,-,1 3 3 J(33,所 以 砺 祈+觉 俞+徐 丽=1 x(A z)+(5/3)x /3(1 A)+2 x+O x -/3(1 A)+(-1)x f Z H )+5/5x =6故答案为：-6本题考查平面向量的坐标表示和线性运算，以及平面向量基本定理和数量积的运算，是中档题.1 6 .1,3【解析】由集合A和集合3求出交集即可.【详解】解：.,集合A =x|x =2 Z +l,Z eZ,8 =x|x(x-5)0X X易知函数力(X)在(0,+8)上单调递增，且以1)=0,所以当 0 x l 时，(x)0,即以(x)l 时，/?(%)0,即/(x)0,所以函

19、数/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+a)上单调递增，所以函数f(x)在 x =l处取得极小值，为/=0,无极大值.(2)由题可得函数f(x)的定义域为(0,+oo),f(x)=axna-J =0士,xin a xlna设 g(x)=M，ln%-e,a ,显然函数g(x)在(0,+)上单调递增，当a e 时，g(0)=-e 0 ,所以函数g(x)在(0,1)内有一个零点，所以函数/(X)有且仅有一个零点；当 a=e 时，g(x)=xe-e,g(l)=0 ,所以函数g(x)有且仅有一个零点，所以函数/(X)有且仅有一个零点;当1。1 g()=a12 -e 因为In=曰=1 ,所以彳 户，g

20、(7)。，lira hr。Irra Ina a e hr a又g=aln%-e 7.879，2 5 x 2 5 x 2 9 x 2 1 6 0 9所以有9 9.5%的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系.(2)现在从试点前分类意识强的9户居民中，选出3户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在1 2年以上的户数为X,则X=0,1,2,3,C3 5 C2C 1 5故P(X=0)=#斤 P(X=1)=,P(X =2)=当cc2=工3 P(X=3)=CM3 1C；1 4 Cl 84则X的分布列为X0123P52 11 52 831 4184(X)=Ox +lx +2 x +

21、3 x =1.2 1 2 8 1 4 84【点 睛】本题考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和数学期望.考查学生的数据处理能力和运算求解能力.21 9.（1）彳 +/=1（2）是，2 72【解 析】（1）设尸（苍丁）,根据条件可求出P的坐标，再 利 用B P在椭圆上，代入椭圆方程求出a,匕即可;（2）设“（与 小）4（工2，%）（玉 0,0）运用勾股定理和点满足椭圆方程，求 出|M Q|，|N Q|,再利用焦半径公式表 示 出 目,|N丹，进而求出周长为定值.即(1,0)+与(0,1)=(九,y),则 x =1,y =与，即 P因 为8 1均 在。上,代入得 1 ，解 得/=2/2=1,所

22、 以 椭 圆。的方程 为:+2=i；由 得 人1,0）,e =交,a=&,作出示意图,2设 切 点 为。,加（,）,7（孙 ）（%，W 0）,贝！l l Q|2=|O M|2|O Q|2=x：+y2_ l =；x；,71同理|NQ=考+尺-1=万即|M Q|=日 玉,|。|=乎 ，所以1仰|=等(石+彳2),又|MF|a-ex1yp2 X j 91 NF|a-ex2 2 x?,则 AMNF 的周长|MN|+I Mb I+1 N/|=当(玉 +)+夜 一 年 X I+近一=272,所以周长为定值2&.【点睛】标准方程的求解，椭圆中的定值问题，考查焦半径公式的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力，

23、难度较难.x2 V2 11 I20.(1)-F-=1 ；(2).5 4 L 4 5)【解析】(1)根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中a/,c的关系，即可求得。力,c的值，进而得椭圆的标准方程.(2)设出直线AB的方程为=丘+%，由题意可知M为|AB|中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出%+%2，%科2,由判别式/0可得5/+4 机2；由平面向量的线性运算及数量积定义，化 简 力丽 可 得丽丽=1而2,代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点加的坐标，代入圆的方程/+，化简可得加2=色 工,代入数量积公式并化简由换元法令,=氏2+12 5/+16代 入 可 得 丽。分=l-2 0 x420f-

24、8)(5 1)(2 5-9)1 -_再令s=-及。=5-2$,结 合 函 数 单 调 性 即 可 确 定25 的取值范围，即确定t9。+50C D/(20Z-8)(5 z-l)(25z-9)的取值范围,因 而 可 得 厉丽 的取值范围.【详解】2 2(1)6 (-1,0),F2(1)0)分别是椭圆C:1r+=1,(a 6 0)的左焦点和右焦点,则C =l,椭圆。的离心率为则 e =解得 =/5，a a 5所以/?2 =。2 _。2 =5 1 =4，所以。的 方 程 为x2二+v乙2=1.5 4（2）设直线4 3的 方 程 为 广+加，点/满足加，则”为1 A B i中点，点/在 圆f+丁=1上

25、，设A（xl,yl）,B（x2,y2）,y=kx+m联立直线与椭圆 方 程/y2+5 4,化简可得（5左2+4）x 2+1。初优+5 m 2 -2。=。，所以阳+%210km _ 5 m2 2 0则 =（1 0 k）2 4 x（5%2 +4）x（5 m2-2 0）0,化简可得5人2 +4 加2 ,而 丽.历=（加+加）（加+_ 2 _,_ _ _ _ _ _ _ _ _=OM+OM MB+MA-OM+MA MBOM2-M IT=1-*由弦长公式代入可得O A O B l-4,P+1 （厢 x j 5 M+4 谓-4 5k2+4-为|四|中 点，贝!1加=鲁-5km _ 左（为+X2）+2。_

26、4 m2 二环，点M在圆Y+y 2=i上，代入化简可得,2卜/+4广2 5 0 +1 6-/+的O A O B i-一-x8 0 x所以 4=l-20 x5/+4-m 2+4（M+1）（20 尸+12）（5/+4）（2 5/+16）-r(20r-8)令 i*,则。4。()(2/9),令s=1,0 0,可知4 (),由4=仇=2xq2=8,得/=4,又4 0,则q=2,故a=M T=2X2T=2,又由 2 3 =2，得%=-1.(2)依题意C“=(1)X2T.S=0 x2+1x2+2X22+.+(n-2)x2z,-2+(-!)x2n-,则 2Sn=0 x2I+lx22+2 x 23+.+(n-2

27、)x2n-1+(n-l)x2n,得S“=2、22+2”T-5 1)x2 =-5 1)x2”,1 2即 _S“=-2+(2-)x2,故 S“=2+(-2)x2.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.22.(1)G:x g y 1 =0表示一条直线，。2：(%-1)2+丁2=1是圆心为(1，)，半径为 1 的圆；(2)2.【解析】(1)直接利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可将曲线G的方程化为直角坐标方程，进而可判断出曲线”2 2 2G的形状，在曲线C的方程两边同时乘以得P2=2/?COS。，由0=：+可将曲线C的方程化为直角坐标方pcos0=x程，由此

28、可判断出曲线的形状；(2)由直线G过 圆 的 圆 心，可得出AB为 圆 的 一 条 直 径，进而可得出【详解】(1).G:夕cos。一百夕sine 1 =0,则曲线G的普通方程为X 百y 1 =0，曲线G表示一条直线;由。2：P=2 co s。，得p2=2 pco s。，则曲线G的直角坐标方程为/+丁=2%,即（x 1+丁=1.所以，曲线G是圆心为。，0），半径为1的圆；（2）由（1）知，点（1,0）在直线,丫一后y 1 =0上，直线G过 圆 的 圆 心.因此，4?是圆G的直径，|A B|=2 x l=2.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.