人教A版（理）7-8章.pdf

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1、汨A河AA汨铭V铭VV铭第七章不等式第七编文.班BP第七章不等式 7.1 不等关系与不等式基础知识自主学习./BP要点梳理./步JZ1.两个实数比较大小的方法ab0 a b(1)作差法，=b(o,b R)；ab0 o a 1 o。hb-(2)作商法0).7 l a-b,bc=a c.(2)同向相加性：ab,cd=a+c b+d.(3)乘法单调性：ab,c 0=ac be；ab,c0=ac b0,cd0 ac bd；ab0(n e b：/J0(Z?N*,刈2)n 缶 皿.双向性：ab=bbb+c.3.不等式的一些常用性质(1)倒数性质a b,0=va0/)0.0c 0axh 或 0/?b0,7

2、0,则真分数的性质：h h-m b h-m-(b m 0).a a+m aa-m假分数的性质：a a-m a a mT73-；Tw0).b b+m b b-m难点正本疑点清源1.在学习不等式的性质时，要特别注意下面几点(1)不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数0、6 有a -b Ob,a-b =b,a -h a b,b c,则 a c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明心c,选 择 中 间 量 在 证 出 心 6,c b 后,就误认为能得到a c.(4)同向不等式可相加，但不能相减，即由公6,c d,可以得出“+cb+d,但不能得a-c

3、 b -d.2.理解不等式的思想和方法(1)作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意，要注意强化.(2)加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算.(3)通过复习要强化不等式“运算”的条件.如a也 在 什 么 条 件 下 才 能 推 出a c h d.(4)强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系.基础自测刀尸；BP1.(2010盐城模拟)已知“0,l ia b2a解析 由-1 *0,可得2Vl.又 a a b2a.2.下列四个不等式：亦06；604；0 b-a 与 异 号.3.某地规定本地最低生活保障金不低于300元，上 述 不 等 关 系 写 成 不 等

4、式 为.答 案 x2300解析 设最低生活保障金为x 元，则 xN300.4,若 x+y0,a0,贝 Uxy 的值为()A.大于0 B.等于0C.小于0 D.符号不能确定答 案 A解析 方法一 因为a0,所以产0,又x+y0,所以x 0,所以x-y0.方法二 a 0,取 a=-2 得-2y0,又x+y 0,两式相力口得x-y0.5.已知“，b,c 满足c Y X a,且改a c B.c(b-a)0C.c b20答 案 A解析 由。6c 且 a c 0,得 0,cGR,所以可得以 ac.题型分类深度剖析.77R X-1题型一比较大小左括.775，JZ例 1右括.77尸，J Z 已知且a d R,

5、试 比 较 与 1+a 的大小.思维启迪：要判断一与1 +”的大小，只需研究它们差的符号.1 -a2角 星 V-_(1+)=7 -,1 -a 1 -a2(1)当 4=0 时，-=0,/.-=1+4./1 -a 1 -a2(2)当 QV1,且 aWO 时，d-0，,；-1+Q.1 -a 1 -a2(3)当 a 时，7v0,A7-10,：.(a2-b2+c2)-(a-b +c)2=a2-/2+c2-a2-Z?2-c2+lab-2ac+2bc=lab-4b2+2bc=2b(a-2b+c)=2b(ya-yc)2 0,a1-b1+c2(a -b+c)2.题型二不等式的性质左括.77凡JZ例 2 右括.凡

6、J Z 对于实数a、b、c,判断下列命题的真假.(1)若 ab,贝 II acbc；(2)若 a b,贝 II ac2bc2；(3)若。abbL(4)若 q v X O,则(5)若 a0,贝碍吟.思维启迪：利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假.解(1)因未知。的正负或是否为零，无法确定改与命的大小，所以是假命题.(2)因为c?2。，所以只有c#0 时才正确.c=0 时,ac1=be1,所以是假命题.(3)因为 而；。，所以,命题是真命题.(4)由性质定理。幼去 命题是真命题.2 3(5)例 如-3V-20,?-h0a-h0或者由 ab 1 1犷=齐.命题是假命题.探 究 提 高(1)判断一

7、个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质.（2）特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题.（3）说明一个命题为假命题时，可以用特殊值法，但不能用特殊值法肯定一个命题，只能利用所学知识严密证明，在用不等式性质证明命题时，可适当使用一些不等式性质的推广命题.变式训练2.77F,JZ已知三个不等式：/0；bcad；啰彳.以其中两个作为条件,余下一个

8、作为结论，则可以组成正确命题的个数是（）A.O B.l C.2 D.3答 案 D解析 命 题 1:若 ab0,宗，则 bcad;c d命题 2:若 ab0,bcad,则 一 工；a b命题 3:若 邑,hcad,则 ah0.a b题型三不等式性质的应用左括.77凡 JZ例 3 右括.77E J Z 已知一 1。+*3 且 2a-A4,求 2夕+36的取值范围.思维启迪：将 2。+36用6 和6 表示出来，再利用不等式的性质求解2。+36的范围.解设 2夕 +3人=m(a+b)+n(a-b),则 2a+3b=(m+n)a+n)b,m+n=2 ，.加 一 =3.5 1 “=,w =-:.2。+3b

9、=2(a+b)-.(a-b).*/-a+b392a-b4,豹（a+b）号-2-/a -b）-1,/-|（a+b）-Z?）-y,9 13/.-+36 v探究提高 由。勺；（修，刃）6,cf2（x,y）6 c,求证：-+L 0.a-b b-c c-a思维启迪：充分运用已知条件及不等式性质进行求证.证 明,：db c,:.c-b.a -c a -b 0,，一二 一 0.a-b a-c，二 +一 0.又 b -c 0,/0.a-b c a b -c探 究 提 高(1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件.(2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式.变式训练 4.7 7 E J

10、Z若 a b 0,(火 0,e 0,求证：证明 V c Q/-d0.又 a b 0y I.。-c b -d0.S-c 尸 3 -d)20.：.又：a-c)2(h-d)2-易错警示.7 7 F;BP1 2.利用不等式性质求取值范围易错点试题：(1 2 分)设兀v)=a f+b x,若 i g(-l)W 2,2(/(l)W 4,求4 一2)的取值范围.学生解答展示+1 7.77F；BP规范解答解 方法一 设负-2)=啾-1)+研 1)(?、为待定系数)，则 4。-2 6=皿。-6)+(。+b)，即 44-2 6=(/w +”)a +(-m)6,3 分加 +=4,1 加=3,于是，解得,n -m -

11、2,旧=1./(-2)=认 7)+/(1).8 分又1 5-1)W 2,2 W/(1)W 4,1)+义l)W 1 0,即 5W 寅-2)W 1 0.1 2 分方法二由l)=a _ b,f=a +hp=1.x -1)+70)，得，4分./-2)=4-2 6=认-1)+川).7 分又.T 力-1)W 2,2 W _/(1)W 4,/.5 3/(-1)+X 1)1 0,即 5 0(-2)W 1 0.1 2 分批 阅 笔 记(1)同向不等式相加或相乘不是等价变形，在解题过程中多次使用有可能扩大所求范围.(2)此类问题的解决方法是：先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”使用不等式的

12、运算求得待求整体的范围.(3)错因分析：利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，要特别注意.错因在于运用同向不等式相加这性质时，不是等价变形，导致/(2)的取值范围扩大.另外，本题也可用线性规划求解，题 中。、b不是相互独立的，而是相互制约的，故不可分割开来.先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等式关系的运算求得待求整体的范围是避免错误的条途径.思想方法感悟提高.7;BP方法与技巧1 .用同向不等式求差的范围.a xb a x=a-dx-yb-cc yd-d-y

13、0 1 1 a b Q 1 1a b=/石；l a b Oa -b 0,a b a -b b=a c b c 或 a a c 6=,4或 a -7,当 a b WO 时不成立.对 于 正 数 人 才 成立.对于 正 数 方才成立.5.注意不等式性 质 中 与区别，如：(a ba b.b 其中a c 不能推出，.课时规范训练7/打；BPb c一、选择题(每小题7 分，共 35分)1.设a b v B.-r -a b a b aC.同 6 D N a l-b答 案 B解析 由题设得a :不成立.a-b a2 .（2 01 1 吉林联考）LA知实数 a、b、c 满足 A+c=6 4Q+3Q2,C-6

14、=4 4a-a2f 贝 ij 4、b、c的大小关系是（）A.c h a B.a c 2bC.c b a D.a c b答 案 A解析 C-6 =4-4Q+Q2=（2-a）?。，已知两式作差得2b =2+2/,即力=1+/,：+a2-a =（a-+1 0,1 +a a,.*./=1+a、；，.Cb a.3.（201卜长沙一模）若a,ftG R,则下列命题正确的是（）A.若 a b,贝lj a2b2 B.若贝U a2/2C.若a|b|,则/D,若 以=同,则 办=答 案C解 析.*a|Z|0,.a2b2.4.（2010台州一模）下列四个数中最大的是（）A.lg2 B.lgV2C.（lg 2）2 D

15、.lg（lg2）答 案A解析 因为 lg 2G（0,1）,所以 lg（lg2）lg 2（g-lgV10）=0,即（lg2）2.1g 2-lgV2=1lg 2 0,即 1g 2lg yf2.所以最大的是lg 2.5.若4b0,则下列不等式中一定成立的是（）答 案A解析 取4=2,6=1,淘汰B与D;另外，函数./(x)=x-:是(0,+8)上的增函数，但函数g(x)=x+：在(0,1 上递减，在 1,+8)上递增，所以，当4b0时，加)次6)必定成立，但g(a)g(b)未必成立，这样，a -+点 评 注意特殊值检验法与函数的单调性结合应用.二、填空题(每小题6分，共24分)IT JT6.(201

16、1 郑州月考)若角a、B满足一则2 a-B的取值范围是.答 案(一3兀7 1于i解 析 一*(代,八 兀.-TtZa Tt,一 5一一孝2。一夕:，点评 本题易错答案为-工V2Q-.V原因是易忽略2a-p =a +(a-i)a这个隐含条7.给出下列条件:lnb；0 61；0al6.其中，能推出logv lo g jv lo g/成立 的 条 件 的 序 号 是(填 所 有 可 能 的 条 件 的 序 号).答 案 解析,/log/?!=-1.若 a b,则)2v l v Z bb a*l o&|l o g =-1,故条件不可以；若 Qa b,b 7 l o g =-1 =l o g叼故条件可以

17、；若 0。1幼，则 0 4 0,l o g/v O,条件不可以.8.若 x y,a b,贝 U 在a x b y,a+x b+y,a xb y,x-b y a,这五个式子中，恒成立的所有不等 式 的 序 号 是.答 案 解析 令 工=-2,y=-3,a =3,6 =2,符合题设条件x y,a b,V a-x =3-(-2)=5,f e-y =2-(-3)=5,/.a-x=b-y,因此不成立.又,.,冰=-6,b y=-6,J.a x=b y,因此也不正确.；=?因此不正确.由不等式的性质可推出成立._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

18、_ _ _ _ _ _9.(2010,广州调研)设 a b c Oy x=yl c+(b+c)2,y=yl b2+(c+a)1,z=yl c2-(a+b)2,则 x,y,z的大小顺序是.答 案zyx解 析 方 法 一y2-x2=2c(a -b)0,/yx.同理，zy,.zyx.方法二 令。=3,6 =2,c=1,则 x =y=y20,z=y26,故 zyx.三、解答题(共4 1分)10.(13 分)已知a 0,b 0,试比较=也+也 与 N=，市 的 大小.解：W2-解=(3 +yb)2-(.a +b p=a +b +2ya b -a-b-2-a b 0,：.M N.点评 当两个正数比较大小时

19、，如果直接作差有困难或无法比较，可采用平方、立方后再间接作差，此法常用于根式间的大小比较.11.(14 分)(1)设 x f y v O,试比较(X?+/)(x y)与(x2/)(x+y)的大小；(2)已知a,h,c G 正实数,且/+*=c2,当 6 N,2时比较c 与 a +b 的大小.解(1)方 法 一，(d +/)(x-y)(x2y2)(x+y)=(x -y)x2+y2-(x +y)2 =-2xy(x-y),V x y 0,x -y 0,，(f +y2)(x-y)(x2-y)(x+y).方法二，.产。，.*.x -j y2,x +y 0./.(x2+y2)(x-y)0,(x2-y)(x

20、+y)0,(x2+y2)(x -y)x+y2A0v42)(x 4)=7(x2-y)(x+y).:a,b,正实数,，c X）,an+b 而一 二Ac/+/=02，则 针+l2=1,V w S N,M2,：.an+bncn.Aa _ b.00,y+a 0.试说明 t）+y（#+_/（?）的值与0 的关系.解由 a +（f0,得 a -p.在 R上是单调减函数，.欢）勺（-4）.又 /（X）为奇函数，-.=一 期，:岫，：阳0,同理心）+用）0,用）+加）0,7/3）+加）+用）0/=0J 0）的图象-168.7 7 F；BP-169.7 7 F；BP-17 0.7 7 F；BP一元二次方程a x+

21、b x+c=Q30）的根有两相异实根修，X2（X Ix+c 0（介0）的解集l xx必|xl x 7 X 11 小 Ra x2+b x+c Q（心0）的解集U l xxX 0）的求解的算法过程为-171.77F；BP3.上述不等式以2+反+c 0（0）中的均大于o,若 亦0,则可先进行转化，使 的系数为正，但一定注意在转化过程中，不等号的变化.难点正本难点清源一元二次不等式的解集及解集的确定一元二次不等式a x2+b x+c 0（或 0）的形式，其对应的方程以2 +反+。=0有两个不等实根X1，X2,（X1VX2）（此时/=b2-4ac 0）,则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.基础自测

22、./；JZ1.（2010合肥模拟）不等式21的解集为.答 案 x|1X1解析 X2 0的解集为卜|一1 X 3,则/的 值 为（）A.-6 B-5 C.6 D.5答 案C解析X =-1 ,3是方程中2 +bx +1 =0的两根，.一=7+不一 =彳，又 一x =_,a 3 a 3 3 a:.a =-3,b=-2,*.a b=6.4.（2010广州第一次综合测试）不等式X23X+2 0的解集为（）A.(8,-2)U(-1,+8)B.(-2,-1)C.(-8,1)U(2,+)D.(l,2)答 案D解析(x -l)(x-2)0,1 x1，则X。的取值范围为x 2x-2,x,)A.(0,1)U(1,+

23、8)B.(-8,-1)U 1,+o o)C.(-8,-3)u(l,+o o)D.(8,-3)u 1,+8)答 案B解析/M X 劭21 fx0l啜。+或解得的6（-8,-1）U 1,+8）.题型分类深度剖析.77/7；X-1 题型一 一元二次不等式的解法左括.77E,JZ例 1右括7 小，J Z 解下列不等式：(1)2X2+4X+30；(2)-3X2-2X+8 0：(3)8xl2 1 6 f.思维启迪：首先将二次项系数转化为正数，再看二次三项式能否因式分解，若能，则可得方程的两根，大于号取两边，小于号取中间，若不能，则再看“/”，利用求根公式求解方程的根，而后写出解集.解(1)VJ =42-4

24、X2X 3=16-24=-80.二方程2?+4x+3=0 没有实根.A 2X2+4X+30 的解集为。.(2)原不等式等价于3x?+2 x-8204OQ+2)(3x-4)20=xW -2 或.不等式的解集为(-8,-2 U咫，+8)(3)原不等式等价于 16x2-8x+1 0o(4x-1)20,：只有当4x-1 =0,即x 时不等式成立，故不等式解集为?.探究提高 解一元二次不等式的一般步骤是:(1)化为标准形式:(2)确定判别式/的符号;(3)若/)0,则求出该不等式对应的二次方程的根，若/0,则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地，若一元二次不等式的左边的二

25、次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集.变式训练 1.77F,JZ(2011盐城模拟)已知集合4=4?-2x-3W 0,xG R,B=xx2-Z/nx+zw?4W0,x R,”？eR.若/n s=0,3,求实数机的值：(2)若求实数机的取值范围.解 由已知得：A=x K x O ,B=xm-m+2.,Z G 8=0,3,w-2=0,m=2,、=2.加+223,加 21.(2)CRB=xxm+2.:4 三 RB,/.in-2 3,或加+2v-1,/.m5 或 ma2,I2x2-ax-aO,即(4x+a)(3x-a)0,令(4x+a)(3x-a)=0,得：X=x2=1.a0时,-抬,解集为卜

26、卜 3；。=0 时，x2 0,解集为 冲cG R 且 x/0;a -号.综上所述：。0时，不等式的解集为 小-皆.探 究 提 高 解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程的根的个数，讨论判别式/与 0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.提示：二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向.变式训I 练 2.77R 田(20 10 杭州模拟)已知兀0=办2+丫 一。，qGR,17(1)若函数y(x)有最大值W，求实数a的值；

27、(2)解不等式(OCR).解(1)当 时 不 合 题 意.当0时，於)=G+拼 一 4 x=弓,1+4/17此时危)有最大值且-一 一=/4。o解得：a=-2 或。=-1.(2)/(x)l,Ep a x+x-a,(x-)(a x+a +l)0.当4=0时，X 1；当a 0时，x l 或 x -1，当a=-;时，(x-l)20时，不等式解集为卜|%1或x T-,；当。=时，不等式解集为0;当时，不等式解集为卜|1X 0 后 分 4=0与 aW O讨 论.当 aW O时，有a 0,/=/-4a c 0 对一切实数恒成立，显然。=-2 时，解集不是 R,因此QW-2,a+20,从而有 9 j =42

28、-4(c z +2)(a-1)-2,a -2,整理，得“八八所以-C(a -2)(0,。2,所以a 2.故a的取值范围是(2,+).探究提高 不等式a x2+b x+c 0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时，6=0,00；当。力0时，不等式分2+法+0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当。=0W O;a 09时，6=0,c 0；当 QWO 时，lJ 由题意，后)=0,即;+%+1 20,解得 心-宗二-/W a W -1.若-f w o,即a)0,则./(X)在。，名上是单调增函数，./W mi n MO).；/(0)=10 恒成立，：.a 0.若 0 -即-1 4 0,/X 2 2

29、 2则7W mi n =(力与+=1号2由题意，得 解 得-2 W a W 2,/.-l a l()4 x p%,其中 0 P 8.80(80-10 P)P%96(1)lO P 8,解得 2 W P W 6.(2)V/(P)=80(80 -10 P)x l04(2 W P W 6)为减函数，当尸=2 时,-2)=4 80 0(万元).(3)V 0 P l()4 x p%=-8(P-4)2+12 8 x i o4,.当尸=4时，国家所得税金最多，最多为12 8万元.探究提高解不等式应用题，一般可按如下四步进行：(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等

30、式表示不等关系；(3)解不等式；(4)回答实际问题.变式训练4.77凡JZ某种商品，现在定价。元，每月卖出件，设定价上涨x成，每月卖出数量减少y 成，每月售货总金额变成现在的z 倍.(1)用x和y 表示z；(2)设x 与y满足(0 K l),利用k表示当每月售货总金额最大时x的值；2(3)若 求 使 每 月 售 货 总 金 额 有 所 增 加 的 x 值的范围.解(1)按现在的定价上涨x 成时，上涨后的定价为p(l+制 元，每月卖出数量为。-喘)件，每月售货总金额是p z 元，因而叩2 =1P(1 +言)一 言)，(1 0 +x)(1 0-y)所以z=w o.(2)在歹=去的条件下，(1 0

31、+x)(1 0-A x)k 2-kz=io o -丽+R+11 -k对称轴x =5(1 一 左)5(1 -k).V0 0,.,.当工=-7 一 时，z 有最大值.KK2 (1 0 +x)(1 0-1.r J(3)当 y=F 时，z =-jp o-要使每月售货总金额有所增加，即z l,应有(1 0 +x)(l 0 -|x)l 0 0,即 x(x-5)0,所以0 x 0 的解集为(-1,3),求 实 数 6的值.审题 视 角(1)由函数外)的解析式构造不等式.解关于。的一元二次不等式时，先要对参数b讨论.(2)解不等式实质上是由相应一元二次方程的根确定解集.逆向考虑，由不等式的解集，可以确定一元二

32、次方程的根.规范解答解(l)V A l)0,二-3 +a(6-a)+b 0,即 /-6 +3 -b 0 时，即份-6 时，方程有两根X =3 -，6 +b,X 2=3+弋6+b,，不等式解集为(3 -yj 6+b,3 +.6 +b).5分综上所述：6W-6时，原不等式解集为。；6 -6 时，原不等式解集为(3-弧 工，3+后3).6 分(2)由 得-3?+Q(6-d)x+b 0,即 3 f-(6-a)x-b v O.8 分因为它的解集为(-1,3),所以T与 3是方程3 x2-(7(6 -a)x-b =0的两根，1 0 分1+3=如/，所以bl-lx3=解得a=3+巾,b =9.1 2 分a

33、=3 一 事b =9或批 阅 笔 记(1)第(1)问是先构造不等式，再解不等式.在解不等式时，忽 略 对b的讨论，是本题的易错点.(2)第(2)问体现了逆向思维的应用.一般的是给出不等式求解集，本题是给出不等式的解集，确定不等式.实质上是逆用了不等式的求解过程.思想方法感悟提高.7 7 尸；BP方法与技巧1 .解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决.2 .对于不等式a x2+b x+c 0 (2 0)或a x2+b x+c 0,如果。=0它实际上是一个一元一次不等式；只有当“W0时它才是一个一元二次不等式.2 .当判别

34、式/。)解集为。.二者不要混为一谈.3 .注意利用数形结合的思想利用二次函数y=a x2+b x+c的图象可以一目了然地写出一元二次不等式a x2+b x+c 0或a x2+b x+c 0 的解集.4.含参数的不等式的求解，注意选好分类标准，避免盲目讨论.课时规范训练.7 7 F；BP一、选择题(每小题7分，共 3 5分)1.(2 0 1 1 青岛模拟)已知不等式如2TL i 20的 解 集 是 石 一 盘一 坦,则不等式/一队一。0 的 解 集 是()A.(2,3)B.(-8,2)U(3,+8)e g 2)D.(_ 8,加&+o o)答 案A解析 由题意知-J,是方程水2-瓜-1=0的根，所

35、以由根与系数的关系得-；+=.解得 a=-6,6=5,不等式 X2-bx-a0 即为 f -5x +6 0 的解集为 x|lx 2ax 的解集为()A.x|0 x 3 B.x|x 3C.x|2x l D.x|x l答 案A解析 由题意知a0且-1,2是方程ax2+Ax +c=0的两根，2ax,即为 a(x2+1)-a(x-1)-2a2ax,/.x2-3x 0,0 x )C.2,4)D.(8,2 U(4,+o o)答 案B解析 当x-2 0,即介2时，不等式可化为(x-2)224,x N4;当x-2 0,即x 2时，不等式可化为(x-2)24,0W x v 2.4.(2010全国1【)不等 式

36、沼 0的解集为()A.x|2x 3 B.x x 2C.x x 3 D.x p c 3答 案AX 3解析 不等式 不0可转化为(X+2)(X-3)o,解 得-2Vx 0恒成立，则6的取值范围是()A.-l 2C.b 2 D.不能确定答 案C解析 由义1-月=义1+苫)知左)的对称轴为直线苫=1,则有5=1，故a=2.又火X)开口向下，所以外)在-1,1 上为增函数.Ax)m in=A 1)=-l-2 +b2-b+=b2-b-2,：.t -b-2 0,解得 bv-1 或 b2.二、填空题(每小题6分，共24分)6.(2011 合肥质检)不等式三f NO的解集是.答案解析(1,2 9 Y中等价于(X

37、-D(x-2)W0 x=l2,x所 以 不 等 式 的 解 集 为(1,2 .7 .(2 0 1 0 全国)不等式丫2；2的解集是.答 案 乂 2 V x V 1 或r 2 x 2,解析 A 247.TIF;Z*2,Y 由 2*?*0 0,x +3 x +2得(一 +；乂；+2)0.如图 用数轴穿根法得原不等式的解集为卜卜2 x 2 .8 .(2 0 1 0 淮南一模)若函数./)是定义在(0,+8)上的增函数，且 对 切 x 0,户0满足於历=兀0+)，则不等式人+6)+&)加4)的解集为.答 案(0,2)解 析 由 已 知，得/(x +6)+/(x)=/x(x +6),2/(4)=1 6)

38、.x(x +6)1 6./x(x +6)饮 1 6).由题意，得 0 ,解得 0*2.K+6 09 .(2 0 1 1 聊城模拟)在R上定义运算：x*y=x(l 一刃.若不等式(x-a)*(x+a)l 对任意实数x恒成立，则。的取值范围是.答 案C4 1)解 析 依题意得(x -a)1 -(x +a)0 恒成立.；/=(-1 )2 +4(a2-a-1 )0,即 4t z2-4a -3 0.1 3解得J%弓三、解答题(共41 分)1 0.(1 3 分)(2 0 1 0 上海卢湾区一模)解不等式：l o g 1(3 x722 x 5)0,解得 f +3 x 0,即一 3 x 或 X V-故原不等式

39、的解集为卜1-36 磊1 1.(1 4分)当a为何值时，不等式(J 1)?一(。-1 0 的解集是全体实数？解 当a2-1=0,即。=1 时，若 a=l,则原不等式为-l 0,恒成立；若 a=-l,原不等式为2 x-1 0,即x g,不符合题目要求，舍去.当a2-1 0 ,即 4 r 1 时，原 不 等 式 的 解 集 是 全 体 实 数 的 条 件 是a -1 0,32 2 、八 解得-不?1.A -(a -I)2+4(a2-l)0,53综上所述，当-声 1 时，原不等式的解集是全体实数.1 2.(1 4 分)(2 0 1 1 淮南期末)某商品每件成本价为80 元，售价为1 0 0 元，每天

40、售出1 0 0 件.Q若售价降低X 成(1 成=1 0%),售出商品数量就增加会 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x 之间的函数关系式y=/(x),并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为1 0 2 6 0 元，求 x 的取值范围.解 依题意，y=1 0 0。瑞+初.又售价不能低于成本价，所 以 1 0 0。-京)-80 0.所以 y=7(x)=2 0(1 0 -x)(5 0 +8x),定义域为 0,2 .(2)由题意得 2 0(1 0-x)(5 0 +8x)21 0 2 6 0,113化简得8X2-30X+1 3W0.解得;W x W所以x 的取

41、值范围是E，2心.73二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础知识自主学习.BP要点梳理.776 BP1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式4 c+B)，+C X)在平面直角坐标系中表示直线4 c+B y+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式A x+B y+C 0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线.(2)由于对直线/尤+8 y+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入/x+B y+C所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(xo,泗)，由A

42、 x0+By0+C的符号即可判断Ax+B y+O O表示直线A x+B y+C=Q哪一侧的平面区域.2.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x,y组成的一次不等式线性约束条件由,y的二次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于尤，y的二次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有回行解组成的集合最优解使目标函数取得墩大值或墩小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3应用利用线性规划求最值，般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.(3)确定最优解：在可

43、行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.难点正本疑点清源1 .确定二元一次不等式的表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线.(2)特殊点定域，即在直线4c +为+C =0的某一侧取一个特殊点(x o,泗)作为测试点代入不等式检脸，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧.特别地，当 cro时，常把原点作为测试点；当 c=o时，常选点(i,o)或者(o,i

44、)作为测试点.2 .线性规划是数形结合的体现线性规划实质上是“数形结合”数学思想方法在一个方面的体现，将最值问题借助图形直观、简便地寻找出来，是一种较快地求最值的方法.(2)在求解应用问题时要特别注意题目中的变量的取值范围，不可将范围盲目扩大.基 础自测.7 7 E；BP1 .若点(1,3)和(一4,2)在直线2 x+y+,=0 的两侧，则 机 的 取 值 范 围 是.答 案 一5 相 1 0解析 由题意可得(2*1 +3 +?)2 x(-4)-2 +机 0,即(/+5)(m-1 0)0,-5 /0,故 2 x-y +2 2 0,x W O.所求二元一次不等式组为,2x-y+2 N0,x+y

45、W 3,4.(2 0 1 0 天津)设变量x,y满足约束条件卜一夕一1，则目标函数z=4 x+2 y 的最大值)21，为()A.1 2 B.1 0 C.8 D.2答 案 BA 74.ti f；Z*2,K 解析 画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z =4x +2 y 可转化为一 zy=-2 x +2 作出直线y=-2x-并平移，显然当其过点Z 时纵截距 最大.x+y=3,解方程组 得/(2,1),；.z1tm=10.ly=1x+3y320,5.(2010浙江)若实数x,y 满足不等式组上x-广-3WO,则x+y 的最大值为()y+1 2 0,15 7A.9 B C.l D.正答 案 A解 析

46、 画出可行域如图：A96.tif,X*2,BP z=x+y 可变为 y=-x +z,作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点力时z 最大.2x-y-3=0,由 t n 得 4(4,5),.Zmax=4+5=9.x-y+1 =0题型分类深度剖析7/；X-题型一二元次不等式(组)表示平面区域xy+5 0左括.77/，JZ例 1 右括.77尸，J Z 画出不等式组,x+yN 0 表示的平面区域，并回、xW3答下列问题：(1)指出x,y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？思维启迪：(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分，但要注

47、意是否包含边界.(2)整点是指横、纵坐标均为整数的点.解-179.77/；Z*2,丫#(1)不等式x-y +5 2 0 表示直线x-y +5=0 上及右下方的点的集合工+y 2 0 表示直线x+y=O上及右上方的点的集合,xW 3表示直线x=3 上及左方的点的集合.x-y+520所以，不等式组 x+y2O、xW3表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得x e -|，3芯 片-3,8 .(2)由图形及不等式组知0,解-1 8 0.7 7 E;Z*2,打原不等式等价于两个不等式组l x-y +4 0.如图所示，在直角坐标系中画出直线x +2 y+l=0 与x-y +4 =0(画成虚线).取原点(0

48、,0)可以判断不等式x+2y+1 0 襄示直线x+2y+1 =0的右上方区域，x+2y+1 0 表示直线x +2 y +1 =0的左下方区域；x-y +4 0 表示直线x-y +4 =0的右下方区域.所以原不等式表示的平面区域为图中阴影部分.题型二求平面区域的面积x-y+6 2 0左括.77F,为 例 2右括.尸，JZ求 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积.x W 3思维启迪：画出不等式组表示的平面区域，即可求出其面积.解 不等式x-y +6 2 0 表示直线x -y +6 =0 上及右下方的点的集合.x +y 2 0 表示直线x+y =0上及右上方的点的集合/W3表示直线

49、x =3上及左方的点的集合.x-y+6 2 0-1 8 1.7 7/；Z*2,7 所以不等式组上+了。表示的平面区域如图所示.因此其区域面积也就是/B C 的面积.4(-3,3),5(3,-3),C(3,9),Z.BC=1 2,SCABC 引 8C|X6=3 6.(x-y+6 2 0故不等式组(x +y，O 表示的平面区域的面积为3 6.LXW3探 究 提 高 求平面区域的面积，先要画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积.解本题时要注意到 N B C 为等腰直角三角形，点A到直线B C的距离即为 N B C 的高.因此在作出二元一次不等式组表示的平面区域后，要利用图形的形象直观性

50、观察分析图形的结构特征，挖掘其隐含条件，找到解题的捷径.xO,4变式训练2.7 7 凡 若不等式组Jx+3 y 2 4,所表示的平面区域被直线y=A x+分为面积相等的两部分，则左的值是()答 案 A解 析 不 等 式 组 表 示 的 1 6 7.7 7 Z*2,7 平面区域如图所示.由于直线夕=依+,过定点(0,.因 此 只 有 直 线 过 中 点 时，直线夕=日+?能平分平面区域.因为4(1,1),8(0,4),所以中点初6，f),当)=丘+,过 点&时,2 2 3,7所以k=q.题型三求目标函数的最值问题 2 x+y 2 4,左括.7 7 兄 例 3 右括.7 7 尸，JZ 设x,y满足