人教版初中数学教案2.pdf

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1、人教版初中数学教案篇 一：人教版初中数学教案人教版初中数学教案2 6.1 二次函数(1)教学目标：(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯重点难点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。教学过程：一、试一试1 .设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm,先取x 的一些值，算出矩形的另一边BC的 长，进而得出矩形的面积yn2.试将计算结果填写在下表的空格中，2.x 的值是否可以任意取?有限定范围吗？3.我们发现，当 AB的长(x)确 定 后，矩形的

2、面积(y)也随之确定，y 是 x 的函数，试写出这个函数的关系式，对 于1.,可让学生根据表中给出的AB的 长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意 见，达成共识：当AB的长为5cm,BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50n2。对于2,可让学生分组讨论、交 流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 x 10o对于3，教师可提出问题,(1)当AB=xmB寸，BC长等于多少m(2)面积y等于多少?并指出y

3、=x(2 0-2 x)(0 x 10)就是所求的函数关系式.二、提出问题某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元 出 售，一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？利润=(售价-进价)x销售量2.如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元？1 0-8=2(元),(10-8)x 100=200(元)3 .若每件商品降价x元，则每件商品的利

4、润是多少元?一天可销售约多少件商品？(1 0-8-x);(100+100X)4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范 围，x的值不能任意取，其范围是0 x 25 .若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。y=(10-8-x)(100+100 x)(0 x2)将函数关系式y=x(20-2x)(0 x 10=化 为：y=-2x2+20 x(0 x 10).(1)将函数关系式 y=(10-8-x)(100+100 x)(04x4 2)化为:y=-100 x2+100X+20D(0 x 2).(2)三、观 察；概括1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2),提出以下问题让学生

5、思考回答；(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个？(各有1个)(2)多项式-2x2+20和-100 x2+100 x+200分另I 是几次多项式？(分别是二次多项式)(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点？(都是用自变量的二次多项式来表示的)(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？让学生讨论、交 流，发表意见，归结为：自变量x为何 值 时，函数y取得最大值。2.二次函数定义：形 如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a*0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项.四、课堂练习1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数？(1)

6、y=5x+1(2)y=4x2-1(3)y=2x3-3x2(4)y=5x4-3x+12.P3练习第1 ,2题。五、小结1 .请叙述二次函数的定义.2,许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。六、作 业：略篇 二：人教版八年级下册数学教案全集第十六章分式16.1分式16.1.1从分数到分式一、教学目标1 .了解分式、有理式的概念.2.理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.二、重点、难点1.重 点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.2 .难 点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值

7、为零的条件.三、课堂引入1 .让学生填写P4 思考,学生自己依次填出:10,s,200,7a332.学 生 看P 3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行6 0千米所用时间相等，江水的流速为多少？请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.设江水的流速为x千米/时.轮船顺流航行100千米所用的时间为千米所用时间6020?v10020?v小 时，逆流航行60小 时，所以10020?v10020?v6020?v3.以上的式子，6020?v,s,v,有什么共同点？它们与分as数有什么相同点和不同点？五、例题讲解P5例1.当x为何值

8、时，分式有意义.分析 已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x的取值范围.提问 如果题目为：当X为何值时，分式无意义你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.(补充)例n 2.当m为何值时，分式的值为0?n?1n?22(D (2)(3)1分母 分析分式的值为0时，必须同时满足两个条件：。.2分子为零，这样求出的m的解集中的公共部分，就不能为零；。是这类题目的解.答案(1)nrO(2)m=2(3)m=1六、随堂练习1 .判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？9x+4,7,9?y,m4,8y?3,x203m l1x?95y22.当x取何值

9、时，下列分式有意义？3x?52x?5x?42(1)(2)(3)3.当x为何值时，分式的值为0?x2x?23?2x?1()(3)x?75x7x21?3xx2?x七、课后练习1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？(1)甲每小时做x个零件，则 他8小时做零件 个，做80个零件需小时.(2)轮船在静水中每小时走a千 米,水流的速度是b千米 寸，轮船的顺流速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时.(3)x与y的差于4的 商 是.2.当x无意义？3x?2x2?13.当x的值为0?x?1x2?x八、答 案：六、1.整 式：9x+4,9?y,n?4 分 式：7,8y?32032(2)xw

10、(3)xw 22.(1)X。15xy2x?93.(1)x=-7(2)x=0(3)x=-180 x 七、1 .1sa?b,x?y;整 式：8x,a+b,x?y;44分 式：80,x2sa?b32.3.x=-1课后反思：16.1.2分式的基本性质一、教学目标1 .理解分式的基本性质.2 .会用分式的基本性质将分式变形.二、重点、难点1 .重点：理解分式的基本性质.2.难点：灵活应用分式的基本性质将分式变形.三、例、习题的意图分析1 .P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使

11、分式的值不变.2 .P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次鬲的积，作为最简公分母.教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.3.P11习题16.1的第5题 是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.不改变分式的值，使 分 式 的 分 子 和 分

12、 母 都 不 含 号 是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5.四、课堂引入315934202481与与相等吗？为什 么？3 41 5932 0 2 4 8 2 .说出与之间变形的过程，与之间变形的过程，并说出变形依据？3.提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.五、例题讲解P 7例2.填 空：分析 应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.P 1 1例3 .约 分：分析约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.P 1 1例4.通 分：分析通分要想确定各分式的公

13、分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次事的积，作为最简公分母.（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含号.?6b?5a,?x,?2m,?7m,?3xo3y?n6n?4y 分析 每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变.解：?6b?5a?6b5a?7nnt6n?x3yx3y3x4y?2n?n2nmI7m?f-?3x?4yo六、随堂练习1 .填 空：(1)2xx22?3x?x?3(2)(4)6ab8bx2323223a3?(3)b?1a?c?an?cn?y?y?xx?y?篇三：人教版初中数学七年级上教案1 .3有理数的加减法1

14、.3.1有理数的加法(第一课时)教学目标1 .知识与技能经历探索有理数的加法法则，理解有理数加法的意义，初步掌握有理数加法法则，并能准确地进行有理数的加法运算.2 .过程与方法有理数加法法则的导出及运用过程中，训练学生独立分析问题的能力及口头表达能力.渗透数形结合的思想，培养学生运用数形结合的方法解决问题的能力.3.情感、态度与价值观通过观察、归纳、推断得到数学猜想，体验数学充满探索性和创造性.运用知识解决问题的成功体验.教学重点难点重 点：有理数的加法法则的理解和运用.难 点：异号两数相加.教与学互动设计(-)创设情境，导入新课课件展示 下午放学时，小新的车子坏了，他去修车，不能按时回家，怕

15、妈妈担心，打电话告诉妈妈，可妈妈坚持要去接他，问他在什么地方修车，他说在我们学校门前的东西方向的路上，你先走20米，再 走30米，就能看到我了.于是妈妈来到校园门口.(二)合作交流，解读探究讨 论 妈 妈 能 找 到 他 吗？讨论交流 若规定向东为正，向西为负.(1)若两次都向东，很显然，一共向东走了 50米.算 式 是：20+30=50即这位同学位于学校门口东方50米.这一运算可用数轴表示为-100(2)若两次都向西，则他现在位于原来位置的西5 0米处.算 式 是：(-2 0)+(-3 0)=-5 0这一算式在数轴上可表示成：-50-30-20-1010(3 )若第一次向东2 0米，第二次向

16、西走3 0米.？则利用数轴可以看到这位同学位于原位置的西方10米 处.算 式 是：+20+(-3 0 )=1 0 (学生试画数轴以下同)(4)若第一次向西走2 0米,第二次向东走3 0米.？利用数轴可以看到这位同学位于原位置的什么地方？如何用算式表示？算 式 是：(-2 0)+(+30)=+10对以下两种情形，你能表示吗？(5 )第一次向西走了 2 0米，第二次向东走了 2 0米，？那这位同学位于原位置的什么地方？这位同学回到了原位 置.即：-(20)+(+20)=0.(6)如果第一次向西走了 2 0米，第二次没有走，那如何 呢？-20+0=-20思考 根据以上6个 算 式，你能总结出有理数相

17、加的符号如何确定？和的绝对值如何确定？互为相反数相加，一个有理数和。相 加，和分别为多少？学生活动小 组 讨 论、试看分类、归纳观 察(1 )式，两个加数都为正，和的符号也是正，？和的绝对值正好是两个加数绝对值的和.观察(2)式，两个加数都为负，和的符号也是负，？和的绝对值是两个加数绝对值的和.由(1 )(2)归 纳：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.如：(-7)+(-8)=15,16+17=+33,(-4)+(-9)=-13观 察(3)式、(4)式 可 见：两个加数的符号不同，和的符号有的是“+”号，有 的 是 -号，为了更清楚总结规律.可引导学生再举几个类似的例子，从而可总结得到

18、：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符 号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.观 察(5)可 知：互为相反的两个数和为0.观 察(6)可 知：一个数和零相加，仍然得这个数.【总结】有理数加法法则：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，？并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0.(3)一个数同0相 加，仍得这个数.(三)应用迁移，巩固提高例1计算(1)(-4)+(-6)=-10(2)(+15)+(-17)=-2(3)(-3 9)+(-21)=-60(4)(-6)+|-10|+(-4)=0(5

19、)(-3 7)+22=-15(6)-3+(3)=0例2某足球队在一场比赛中上半场负5球，下半场胜4球，？那么全场比赛该队净胜-1球.例3绝对值小于2005的所有整数和为0.例4 一个数是11,另一个数比11的相反数大2,那么这两个数的和为(C)A.24 B.-24C.2 D,-2例5下面结论正确的有(B)两个有理数相加，和一定大于每一个加数.一个正数与一个负数相加得正数.两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和.两个正数相加，和为正数.两个负数相加，绝对值相减.正数加负数，其和一定等于0.A.0个B.1个C.2个D.3个例6根据有理数加法法则，分别根据下列条件，利用|a|与|b|表 示a?与b

20、的 和：(1)aSgt;0,b8gt;0,则 a+b=|a|+|b|(2)a&t;0,b&t;0,则 a+b=-(|a|+|b|)(3 )a8gt;0,b8J t;0,|a|8gt;|b|,则 a+b=|aI-I b|(4)a8gt;0,b8l t;0,|a|8J t;|b|，贝U a+b=-(|b|-I a|）例 7 如果 a8gt;0,b&t;0,且 a+b&t;0,比较 a、+a、b、-b的大小.【提示】由a8gt;0,b&t;0,且a+b&t;0，根据加法法则来确定a、b的绝对值的大小再利用数轴来比较大小.【答案】b&t;-a&t;a&t;-b .【点评】数形结合的思想是解决问题的关键

21、.备选例题（20042南京）在1 ,-1,-2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A 1 B.0C.-1D.3【点拨】只有找出最大的两个数，才会出现最大的和.【答案】B（四）总结反思，拓展升华1 .有理数的加法法则指出进行有理数加法运算，首先应先判断类型然后确定和的符号，最后计算和的绝对值.特别是绝对值不等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数符号相同，并把绝对值相减，因为正负互为抵消了一部分.2.活动（1 ）请你在顺序给出的数字2、3、4、5、6、7、8、9?前面添加“+或”，号，使它们的和为10;(2)把你的答案与同学的答案对一下，有什么不一样？不同的填写方法共有几种？(3)若允许出

22、现一位数和两位数(不改变给出的数字的次 序，？在某些数字前面不添加+或-号，此时把连续的两个数字示为两位数)，还能得到10吗？回答是肯定的.例 如:2+34+56+7-89,请你试一试,写出几个式子：(4)请你另外约定某个规则，并按规则写出一些式子来.答案】(1)-2-3-4+5+6+7-8+9;-2-3+4-5+6-7+8+9;-2+3-4-5-6+7+8+9;-2+3+4+5-6+7+8-9;-2+3+4+5+6-7-8+9;2-3+4-5+6+7+8-9;2-3+4+5-6+7-8+9；2+3-4-5+6+7-8+9；2+3-4+5-6-7+8+9；2+3+4+5+6+7-8-9(提 示

23、：使得负数之和 为 17).(2)共 10 种(3)如 23+4+5+67-89 等(4)在顺次给出的数字2,3,4,5,6,7,8,9 前面增 加 +或-号，使它们的和为。.如2+3+4-5+6+7-8-9等.(提 示：使得负数和为22)(五)课堂跟踪反馈夯实基础1 .填空题(1)绝对值不小于3且小于5的所有整数的和为0.(2)已知两数511和-6,这两个数的相反数的和是221,两数和的相反数是1 ,两数绝对值的和是12,两数和的绝对值是1 .(3)若 aSgt;0,b8gt;0,则 a+b 8gt;0.若 a&t;O,b&t;O,且 a+b&t;0,若 a8gt;0,b&t;O,且|a|8

24、gt;|b|，则 a+b Sgt;0.若 aSgt;0,b&t;0,且|a|811;|b|，贝Ja+b&t;0.(4)若|a|=3,|b|=5,则|a+b|=2 或 8,a+b=2 或 8.(5)若 a&t;O,b8gt;0,且 a+b8Jt;0,则|a|8gt;|b|(填 8gt;H 或&t;)2.计算题(1)(-1 5)+27=12(2)(-3.2)+(+3.2)=-0.9(3)5.2+(-2.8)=2.4(4)(-2)+(+1)=-1 1 6(5)-8+|-5|=-3(6)-(-7)+(-2)=5提升能力3.列式计算(1)求312的相反数与-2的 绝 对 值 的 和.33122+|-2|

25、=-(2)10+2+(-1 5)=-3(?)333(2)某市一天上午的气温是10?,上午上升2?,半夜又下降15?,则 半 夜 的 气 温 是 多 少.【答案】(1)-34.若 a&t;0,b8gt;0，且 a+b8J t;0,试比较 a、b、-a、-b的大小，？并用“”把它们连接起来.【答 案】利 用 加 法 法 则 和 数 轴 结 合a&t;-b&t;b&t;-a开放探究5.在-44,-43,-42,?,2001,2002,2003,2004,2005?这一串的整数中，？求 前100个连续整数的和.【答案】5506.举例说明当m n为任意有理数时，|r r m|与|1+I n|的大小关系，

26、？并与同学们共同讨论：(1)你所列举的大小关系是否全面.(2)运用有理数加法法则加以解释.【答案】(1)|ntn|nr|+|n|(2)略7 .新中考题(20042吉林)填 空题：某天早晨的气温是-7?,中午上升了 11?,?则中午的气温是4?.1.3.1有理数的加法(第二课时)教学目标1 .知识与技能能运用加法运算律简化加法运算.理解加法运算律在加法运算中的作用，适当进行推理训 练.2 .过程与方法培养学生的观察能力和思维能力.经历对有理数的运算，领悟解决问题应选择适当的方法.3.情感、态度与价值观在数学学习中获得成功的体验.教学重点难点重 点：如何运用加法运算律简化运算.难 点：灵活运用加法

27、运算律.教与学互动设计(-)情境创设，导入新课思考 在小学里，我们学过的加法运算有哪些运算律？它们的内容是什么？能否举一两个例子来？那这些加法运算律还适于有理数范围吗？今 天，我们一起来探究这个问题.(二)合作交流，解读探究体 验 1.自己任举两个数(至少有一种是负数)，分别填入下列口和。中，？并比较它们的运算结果，你发现了什么？+O 和。+发 现：对任选择的数，都有口+。=。+口，即小学里学过的加法交换律在有理数范围内仍是成立的.体验2.任选三个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列口，。，？内，并比较它们的运算结果.(+O)+和 口 +(O+O)发 现 都 有(口+。)+=+(0+0),

28、这就是说，小学的加法结合律，在有理数范围内都是成立的.小结有理数的加法仍满足交换律和结合律.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和 不 变.用式子表示成a+b=a+b.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和 不 变，用式子表示成(a+b)+c=a+(b+c)(三)应用过移，巩固提高例 1说出下列每一步运算的依据(-0.125)+(+5)+(-7)+(+=(-0.125)+(+1)+(+2)81)+(+5)+(+2)+(-7)(加 法 交 换 律)81 =(-0.125)+(+)+(+5)+(+2)+(-7)(加法结 合 律)8=0+(+7)+(-7)(有理数的加

29、法法则)=0(有理数的加法法则)例 2利用有理数的加法运算律计算，使运算简便.(1)(+9)+(-7)+(+10)+(-3)+(-9)(2 )(+0.36)+(-7.4)+(+0.03)+(-0.6)+(+0.64)(3)(+1)+(-2 )+(+3)+(-4)+7+(+2003)+(-2004)【答案】(1)0 (2)-6.7 (3)-1002例 3某出租司机某天下午营运全是在东西走向的人民大道进行的，？如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下(单 位：千米)+15,+14,-3,-1 1 ,+10,-12,+4,-15,+16,-18(1)他将最后一名乘客送到目的地，该司机距下午

30、出发点的距离是多少千米？(2)若汽车耗油量为a 公升/千米，这天下午汽车共耗油多少公升？解：(1 )+15+(+14)+(-3)+(-11)+(+10)+(-1 2)+4+(-15)+16+(-18)=15+(-15)+(14+10+4+16)+(-3)+(-1 1 )+(-1 2)+(-1 8)=0(2 X I+15|+|+14|+|-3|+|-11|+|+10|+|-12|+|4|+|-15|+?|16|+|-18|)2a=118a【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地，该司机仍在其出发点.(2)共耗油118a公 升.例4若|2 x-3|与|y+3|互为相反数，求x+y的相反数.【提示】两

31、个非负数互为相反数，只有都为0.解:根据题意，有2x-3=0,y+3=03,y=-3 233 x+y=+(-3)=-.223所以x+y的 相 反 数 是.2贝ix=备选例题(20042芜湖)小王上周在股市以收盘价/(收市时的价格)每股25?元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：(单 位：元)星 期 一 二 三 四 五每 股 涨 跌(元)+2-0.5+1.5-1.8+0.8根据上表回答问题：(1)星期二收盘时，该股票每股多少元？(2)周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？(3)已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交

32、易费.？若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？【答案】(1)星期二收盘价为25+2-0.5=26.5(元/股)(2)收盘最高价为25+2-0.5+1.5=28(元/股)收盘最低价为25+2-0.5+1.5-1.8=26.2(元/股)(3)小王的收益为：2731000(1-5?)-2531000(1+5?)=27000-135-25000-125=1740(元)小王的本次收益为1740元.(五)总结反思，拓展升华本节课我们探索了有理数的加法交换律和结合律.灵活运用加法的运算律使运算简便.一般情况下，我们将互相为相反数的相结合，同分母的分数相结合，能凑整数的数相结合，正数负数分别

33、相加，从而使计算简便.1 .计算 1111+?+2003?20041?22?33?42.如果|a|=3,|b|=2,且 a&t;b,求|a+b|的值.3.取-56,从该数起,逐 次 力 口 1 ,得至I 一歹I 数.-56,-55,-54,-53,-52,?问：(1)第10个整数是多少？第56个呢？第100个呢？(2)依次求出这列数前10个、前56个、前100个整数的和分别是多少？(3 )这列数字前n个数的和是否随着n的增大而增大？请说明理由.【答案】1 .2003 2004 2.5或1 .3.(1 )-47,-1,43(2)-5 1 5 ,-1596,-650(3 )不 是，当加到第58个

34、数(为1 )时，前n个数的和才开始递增.(六)课堂跟踪反馈夯实基础1 .运用加法的运算律计算(+6A.(+6 1 2)+(-1 8)+(+4)+(-6.8)+1 8+(-3.2)最适当的是(D)3312)+(4)+18+(-1 8)+(-6.8)+(-3.2)3312B.(+6)+(-6.8)+(4)+(-1 8)+18+(-3.2)3312 c.(+6)+(-18)+(+4)+(-6.8)+18+(-3.2)3312 D.(+6)+(+4)+(-1 8 )+18)+(-3.2)+(-6.8)332 .已知|x|=4,|y|=5,则|x+y|的 值 为(C)A.1 B.9 C.9 1 口.9 或13 .有理数中，所有整数的和等于0.4 .(-2)+4+(-6)+8+?+(-9 8)+100=50.5 .一个加数是绝对值等于6.计 算 题 113的负有理数，另一个加数是-的相反数,?这 两 个 数 的 和 等 于 828.