2023年福建师范大学高考数学倒计时模拟卷含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷考生须知：1 .全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2 B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2 .请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3 .保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21 .若双曲线，-丁=1（。0）的一条渐近线与圆丫2+（y一2）2=2至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.及,+8）B.2,+0 0）C.（1,血

2、 D.（1,2 2 .J +的展开式中厂、2的系数是（）A.160 B.240 C.280 D.3203 .已知函数x）=c o s x s i n 2 x,下列结论不正确的是（）A.y =/（x）的图像关于点（心0）中心对称B.=/（%）既是奇函数，又是周期函数c.y =/（x）的图像关于直线工=1对称 D.y =/（x）的最大值是乎4 .若复数z =（2 +i）（l+i）（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5 .9=2”是“函 数 力=（多2 3 8 1卜。（a为常数）为幕函数，的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条

3、件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6 .已知点A（2,0）、B（0,-2）.若点P在函数y =J7的图象上，则使得尸钻的面积为2的点P的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.47 .已知x 0,y 0,x+2 y=3,则 土 土 里 的 最 小 值 为（）x yA.3-2V 2 B.2V2+1 C.V 2-1 D.V2+18 .等腰直角三角形8。与等边三角形A 8 O中，NC=9 0 ,B D =6,现将沿8。折起，则当直线40与平面 BC。所成角为4 5 时，直线A C 与平面A B O 所成角的正弦值为()AA 百 R V 2 n 2百A.-B.-C.-D.-3 2 2 39.若函数

4、x)=2 s i n a+2 e c o s x (0 =/()的一个对称中心1 4 7C.函数y =/(x)的最小正周期是2 7 r D.直线x 是y =/(x)的一条对称轴10.已知 p i c o s x n s i n l l+y),则p是4的(A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件1 2.已知点A&,y),3(w，%)是函数/。)=小 后+加的函数图像上的任意两点，且y =/(x)在点 土 产，/(土 产 处的切线与直线A 8平行，贝11()A.。=0,6为任意非零实数 B.b=0,a为任意非零实数C.a、均为任意实数 D.不存在满足条件的实

5、数a,b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3.在A A B C中，角A 8,C所对的边分别为a,4 c,S为A A B C的面积，若c =2 ac o s B,S =/-2 _ 0 2,则A A B C2 4的形状为,。的大小为.1 4 .已知抛物线C：V=4x,点尸为抛物线C上一动点，过点P作 圆 加：(尤一3)2 +;/=4的切线，切点分别为A,3,则线段A B长 度 的 取 值 范 围 为.1 5.若1=2,i为虚数单位，则正实数。的值为.1 6.已知过点。的直线与函数y =3、的图象交于A、6两点，点A在线段0B上，过A作丁轴的平行线交函数y =9 的图象于C点，当

6、8 C x轴，点A的横坐标是三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1 2分)已知抛物线E：产=2户：(0 0),焦点尸到准线的距离为3,抛物线E上的两个动点A (口，山)和8 (4,J 2),其中X lW X 2且X l+X 2 =l.线段48的垂直平分线与x轴交于点C.(1)求抛物线E的方程；(2)求A 4 8 C面积的最大值.1 8.(1 2分)如图，在三棱柱A DE-B C F 中,A B C。是边长为2的菱形，且 N 班。=6 0。，C O E E是矩形，E D =1,且平面C DEE_ L平面A B C。，尸点在线段8C上 移 动(P不与C重合)，

7、”是AE的中点.(1)当四面体E O P C的外接球的表面积为5兀时，证明：平面E D P(2)当四面体E 0 P C的体积最大时，求平面HPP与平面E P C所成锐二面角的余弦值.1 9.(1 2 分)已知函数/(x)=|x-1|.(1)求不等式x)V x+k +l|的解集；(2)若函数8(%)=/限 (+3)+/(%)2。的定义域为凡求实数。的取值范围.2 0.(1 2分)已 知a，b C R,设函 数 闷=/-ax-b旧+1若b=0,求”的单调区间：()当.V G0,+切时，色)的最小值为0,求。+4b的最大值.注：e =2 7/8 2 8 为自然对数的底数.2 1.(1 2分)在平面直

8、角坐标系中，A(2,0),8(2,0),且A A B C满足t an A t an 8 =g(1)求点C的轨迹E的方程；(2)过0)作直线MN交轨迹E于M,N两点，若的面积是A M 4 3面积的2倍，求直线MN的方程.2 2.(1 0 分)已知函数/(*)=2|彳-1|+比，m e R.(1)当机=一3时，求不等式/。)+4 0的解集；(2)若 函 数.f(x)的图象与x轴恰好围成一个直角三角形，求加的值.参考答案一、选择题：本 题 共1 2小 题，每 小 题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C【解 析】求得双曲线的渐近线方程，可 得 圆 心(0,2)到

9、 渐 近 线 的 距 离 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 得。的范围，再由离心率公式计算即可得到所求范围.【详 解】v.21双 曲 线 餐 一 丁=1(。0)的 一 条渐近线为 =即 光 一 肛=0,由题意知，直 线 一 欧=0与 圆/+(y-2)2=2相切或相离，则 解得因此，双曲线的离心率故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题.2.C【解 析】首先把X看作为一个整体，进而利用二 项 展 开式求得)3的系数，再 求(_ L +x)的 展 开 式 中 的 系 数，二者相乘即可求解.【详 解】由二项展开

10、式的通项公式可得(+X +9 的 第r+1项为空+1 1 门=品 一+x /，令 =,则=一+小(x J lx J(1 7/1 7-rX-+X 的第r +1 为&|=C；L 令 r =3,则 c；=35,所以厂、2 的系数是3 5 x 8 =2 8 0.故选：C【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.3.D【解析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果.【详解】解：A:f(17 r-x)=c o s(2 -x)s i n 2(2?r-x)=-c o s x s i n 2 x=-/(x),正确；B:f(-x)=c o

11、s(-x)s i n 2(-x)=-c o s x s i n 2 x =-f(x),为奇函数，周期函数，正确；C:于(兀-x)=c o s(万-x)s i n 2(乃一x)=c o s x s i n 2 x=f(x),正确；D：j =2 s i n x c o s2x =2 s i n x-2 s i n3x,s i nx,1,1 则 g(f)=2 t-2/,g f)=2-6/，te -1,1 ,则一弓 r 0,-1 r/时 g(r)2 =0,设点P到直线A B的距离为Q,则却=g x 2血x d =2,解得d=亚，另一方面，由点到直线的距离公式得d =2|=J ,V2整理得=0或。-6-

12、4=0，;a Z O，解得a=0或=1或a=2综上，满足条件的点P共有三个.故选：C.【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.7.B【解析】3=立史也J +1 +型2 1 +2唇=1 +2&，选Bxy xy y x y y x8.A【解析】设E为8 0中点，连接AE、C E,过A作AOLCE于点0,连接。0,得到NADO即为直线4。与平面5C。所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到NC4E即为直线AC与平面A8O所成角，进而求得其正弦值，得到结果.【详解】设E为8 0中点，连接AE、CE,由题可知A_LBD,C E 1 B D,

13、所以BO_L平面AEC,过A作AOJ_CE于点0,连接。，则40_L平面8OC,所以Z A D O即为直线A D与平面B C D所成角的平面角，所以sinNAOO=丝，可得 AO=3 0，2 A D在ZVIOE中可得0E=3,又0C=BD=3,即点。与 点C重合，此时有A C,平面8c。，2过C作CF_LAE与点凡又8 0,平面A E C,所以8D J_C F,所以6,平面45D,从而角N C A E即为直线A C与平面A B D所成角，sinZC4=在=工=显，A E 373 3故选：A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间

14、角的平面角的定义，属于中档题目.9.A【解析】根据函数/(x)的图像过点(0,2),求 出 凡 可 得/(x)=cos2x+l,再利用余弦函数的图像与性质，得出结论.【详解】由函数/(x)=2sin(x+28cosx(0 !)的图象过点(0,2),可得2sin2=2,即sin26=l,20=-,0=-,2 4故/(x)=2sin(%+26)cos x-2 cos2 x-cos 2x+l,对于 A,由1KCOS2X 1,则0 /(x)2,故 A 正确；对 于 B,当x=2时，=故 B 错误；4 Q,解得a=S .V2故答案为：【点睛】本题考查复数模的运算性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题.

15、1 6.l o g32【解析】通过设出A点坐标，可得C点坐标，通过轴，可 得B点坐标，于是再利用自.=七8可得答案【详解】根据题意，可设点A（a,3 ），则C（a,9 ）,由于8 C x轴，故%=兀=9 ，代入y =3 ,可得/=2a,即8（2 a,9 ）,由于A在 线 段 上，故七八=自8,即2=%,解得 a 2aa=l o g,2.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)y2=6 x(2)且.3【解析】(1)根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；(2)根据中点坐标表示出|A 8|和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值

16、.【详解】(1)抛物线E：产=2。*(p 0),焦 点 尸(告，0)到准线x =的距离为3,可得p=3,即有抛物线方程为产=6 x；(2)设线段A8的中点为M(x o,刈)，则/=2,当一必 必一%6 3y +必 2 r 一 一y=一kAB x2-xt 2_ _2L%，6 6则线段AB的垂直平分线方程为y-y 0 =-与(2),可得x=5,y=0是的一个解，所以A8的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点C(5,0),由可得直线A8的 方 程 为 厂 刈=(x -2),即 x=&(j-j o)+2%3代入 y 2=6 x 可 得 产=2#(j -J o)+1 2,即 j2-2 j o j+2 j

17、 o2=O ，由题意以，也是方程的两个实根，且刈分2,所以 =1 城-1 (2 j o2-1 2)=-l j o2+1 8 O,解 得-2 g V y o V 2 vL又 C(5,0)到线段 4 8 的距离=|C M|=J(5-2 y+(0 =j9+为2，所以 SA A B C =g 丛 砰=；J(9 +X；)(12_%2).J 9 +为2J-。)/口 并+对 夔(9+升+24产 正 立二竽当且仅当9+城=21-2短，即/=士 出，4 3+底,百+近），B（6-5 加一不）,3 3或A （处返，一加一近）,B（空遮，-V 5+V 7）时等号成立，3 3所 以SA A B C的最大值为生巨.3【

18、点睛】此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值.718.（1）证明见解析（2）-【解析】（1）由题意，先求得。为 的 中 点，再证明平面“M 3/平面E D P,进而可得结论；（2）由题意，当点P位于点B时，四面体E D P C的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可.【详解】（1）证明：当四面体E O P C的外接球的表面积为5兀时.则其外接球的半径为好.2因为A B C。时边长为2的菱形，C D E F是矩形

19、.E D =1,且平面 C D F _ L 平面 A B C D.则 平面A B C。，E C =6则E C为四面体E D P C外接球的直径.所以 N PC =9 0。，即由题意，C B L E D,E P C E D =E,所以C B J _ O P.因为N B A =N 3C E =60,所以2为B C的中点.记AD的中点为M,连接MB.则 M H P D E,D E c D P =D,所以平面 H M B/平面因为H B u平面HMB，所以H B/平面EDP.（2）由题意，皿，平面ABC。，则三棱锥E O PC的高不变.当四面体EOPC的体积最大时，沙1的面积最大.所以当点P位于点8时

20、，四面体EQPC的体积最大.以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。一孙z.则。(0,0,0),E(0,0,l),B(V3,l,0),H所 以 加=(6,1,0),DH=,或=(0,2,-1),EB=(V3,1,-1).设 平 面 的 法 向 量 为 z =（X|,y,zJ.DB-in=+%=0,DH m=-x.-+z.=0,2 2 1 2令 玉=1,得7 =（1,一百,一2 6）.设平面EBC的一个法向量为3=（工2，%，22）EC-n=2y,-z,=0,则 r -EB-n-V3X2+y2-z2=0,令%=3,得 =（百,3,6）.设平面D P与平面EPC所成锐二面角是9,贝！J c

21、os。=7所以当四面体EDPC的体积最大时，平面HDP与平面EPC所成锐二面角的余弦值为-.O【点睛】本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题.19 .(1)(0,+o o)(2)【解析】(1)分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可.(2)要使函数g(X)的定义域为R,只要(x)=X+3)+“X)-2 a的最小值大于()即可，根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案.【详解】(1)不等式/(x)x+k+i|=卜 一 1 f-l x l x

22、-或 或 ，X-1 X 4-X 4-1 11一1+%+1 l-X 0,所以原不等式的解集为(O，+8).(2)要使函数g(x)=/o g 2(x+3)+x)2a 的定义域为凡只要做x)=x+3)+/(x)-2a的最小值大于0即可，又/z(x)=卜+2|+,-26f 习(x+2)-(%-1)|-2a =3 2 a,当且仅当XG -2,1时取等，只需最小值32 4 0,即。V e.2所以实数”的取值范围是j-s，.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式求最值，属基础题.20.详见解析；(2 6【解析】求导得到Z W =-。，讨论。俩种情况，得到答案.案.3 G故 +2g 取“

23、4 ,心 空，求导得到单调性，得 到 阳 X0,得到答【详解】(/)f(x)=e-ax,f(x)当a S O时，恒成立，函数单调递增；当。时，f M =eX-a=0,x=I n a,当 x 以 _ o o,k w）时，f（x）。函数单调递减;当.v d（l n a+o o）时，r Q）。函数单调递增.综上所述：。4。时，6）在火上单调递增；。时，&）在（，1皿）上单调递减，在（3,+上单调递增.现在证明存在“力，a+&=2 也 使/U）的最小值为0.故当x G 0,+8）上时，Q +1）后 +ll,e 1,故/（X）0,羽=0分）在x l o,+8）上单调递增，故女）在。J上单调递减，在Q+上

24、单调递增，故心）而 2）。综上所述：a+书 b的最大值为2&.【点睛】本题考查了函数单调性，函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2 2r-r21.(1)?+5 =l(y w 0).(2)MN 的方程为 =士 拳 y-血.【解析】（1）令C（x,y）,则”=-,由此能求出点C的轨迹方程.x-2 x+2 2(2)令M(X|,y),N(/,%)，令直线MN：x =z y 0,联立,得（/+2）：/一2夜 阳-2=0,由此利用根的判别式，韦达定理，三角形面积公式，结合已知条件能求出直线的方程。【详解】解：(1)因为t a n A t a n 3=g,即直线A C,B C的斜率分别为尢

25、,益且勺/2=一3，设点C(x,y),则y yx-2 x+22整理得 +5 =l(y w O).(2)令M(X|,y),N(%,%)，易知直线MN不与x轴重合，2 2令直线 M N:x=m y -6,与 亍+=1 联立得(+2)/一 2 y/2 my-2=0,所以有0,%2 2 m-2由S&W A 8 =2S.6,故 血=2昆|，即弘二一2%，从而 1 2 1 1 2 =#=且+逗+2=_ 1,)科 m-+2 y2 y 2解得nr=,即加=。7 7所以直线MN的方程为x =土 恒y -0。7【点睛】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题。22.(1)(2,+o o)(2)m =-垂)【解析】(1)当机=一3时，f(x)+4=2|x-l|-3x +4,由/(幻+4 0可得2|x _|3x _ 4,(所以T 3x-4)2(x l)2,所以不等式A x)+4 0的解集为(2,+0 0).(2)由题可得可省=(w?-2)x+2,x 1因为函数/(X)的图象与X轴恰好围成一个直角三角形,所以(“-2)(利+2)=-1,解得机=6，当机=6时，/=6 0,函 数 的 图 象 与x轴没有交点，不符合题意；当?=-石 时，/(1)=-/3 0,函数/(x)的图象与X轴恰好围成一个直角三角形，符合题意.综上，可 得=