人教版高中数学(必修五)教案.pdf

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1、1.1.1 正弦定理教 学目标知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教 学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教 学难点己

2、知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程：一、复习准备：1.讨 论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2.由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形.已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？一引入课题：正弦定理二、讲授新课：1.教学正弦定理的推导：特 殊 情 况：直 角 三 角 形 中 的 正 弦 定 理：sinA=-sinB=-sin C=l即c ca b cc=-=-=-.sin A sin B sinC能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究

3、钝角三角形）当 A A B C 是 锐 角 三 角 形 时，设 边 A B 上 的 高 是 C D,根 据 三 角 函 数 的 定 义，有CO=asin8=8sinA ,贝（I-.同理，-=-sin A sin B sin A sin C*其它证法：证明一：（等积法）在任意ABC 当中 SAAwuLahsinCuLacsinBuLbcsin A.2 2 2两 边 同 除 以 即 得：，一=/_=，.2 sin A sin B sinC证明二：（外接圆法）如图所示，NA=NO,.一=一=CO=2/?,sin A sin D同 理 b一 二2R,c-=2R.sin B sin C证明三;过点A 作

4、单位向量J A C,由向量的加法可得 AB=AC+CB则7.万=7（就+AB.j万 万 就+7.历p|cos（900-A）=0+|7|CB|cos（900-C）a _ c.csinA=asinC,gp sin A-sin C_ _.b_c同理，过点C作）,8 C,可得 京与一无市a _ b _ c从而 sinJ sin 4 sinC类似可推出，当AABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）正弦定理内容：.-=-=2 Rsin A sin B sin C简单变形；基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.2

5、.教学例题：例1：在A 48c中，已知A=45,8=60,a=10cm,解三角形.例 2：AA8C中，C =#,4 =45,4=2,求6和8,（7.讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？思考后见（P8-P9）3.小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.1.1.1正弦定理一、教学目标：熟练掌握正弦定理运用。培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.二、知识复习：正弦定理：/=3=2%sin A sin B sine（2）推论：正余弦定理的边角互换功能 a=2/?sin

6、 A,0=2R sin3,c=27?sin C公 .。.n b .c(2)s i n A-，s i n B-，s i n C-2 R2 R2 R a b c a+b+c ”(3)-=-=-=-=2 Rs i n A s i n B s i n C s i n A +s i n B+s i n C a:/?:c=s i n A:s i n 5:s i n C三、典型例题讲解：（1-2题先让学生练习、老师再讲解）1 .在A A B C 中，已知a =5 j ,c=1 0,A =3 0,则/B 等 于（）A.1 0 5 B.6 0 C.1 5 D.1 0 5 或1 5。2 .在aAB C中，已知。=

7、后/=2,4 =6 0,则这样的三角形有 个.3 .在a A B C 中，若。：/?:。=1:3:5,求一-的值.s i n CA内/.I a s i n A 1 .1 .解 山条件一=-=.s i n A =-s i n Cc s i n C 5 5,3同理可得s i n B=s i n C5.2 s i n A -s i ns i n C1 32 x s i n C -s i n C5 5s i n C5四、课堂练习：-、选择题1 .一个三角形的两内角分别为4 5 与6 0,如果4 5 角所对的边长是6,那么6 0 角所对的边的边长为（）.A.3 7 6 B.3 7 2 C.3 7 3 D

8、.2屈2 .在aAB C中，若其外接圆半径为R,则一定有（）A.-=-=-=2 R B.a s i n B=2 Rs i n A s i n B s i n CC .s i n A =2 a R D .b =Rsi nBn h3 .在A A B C 中，-=-,则A A B C一 定 是（）co s 5 co s AA.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形a h解：在a A B C 中，-=-，：.a c osA=b c osB,由正弦定理，co s B co s A得2 R s i n A co s A =2 7?s i n Bco s B,s i n 2

9、 A =s i n 2 B。，2 A =2 B 或 2 A+2 B=1 8 0 ,二 A=B 或 A+B=9 0 。故4 A B C为等腰三角形或直角三角形。二、填空题4.在 aABC 中，已知=8,Z?=6,且 S 4ABC=1 2 6，则C=上 H 1 -cos 4 a,人 口5.如果-=-,那么 ABC是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 -cos B h三、解答题B6.在 aABC 中，若 AB=2,B C=5,面积 S BC=4,求 sin的值.21 1 4解 由条件c=2,=5,SZXABC=acsinB=x5x2sinB=5sinB=4/.sin

10、B=2 2 5业 c 人 口4 n 3.o B 1 -cos B 1 .B V5当 B 为锐角时，cosB=-ill sin*=-=-.sin=5 2 2 5 2 5当、i B,为皿钝角4时，cosBc =3 由.si.n2 =-1 -c-o-s-B-=4 .si.n 一B 二-2-A/-5-5 2 2 5 2 57.在ABC中，a/,c,分别为内角A,B,C的对边，若匕=2凡8=A+60,求A的值.1解:B=A+60/.sinB=sin(A+60)sin 5=sin A+cos A2 2又。=2a,2R sin B=4R sin A sin B=2sin A V3/.2sin A=-sin

11、A+cos A 3sin A=V3cosA2 2 tan A=J，又 0/1-s-in-A-=-s-i-n-B=(-z-si-n-)2=(z-s-in-)2sin A sin B a b a bsin2 A _ sin2 B 1-cos2A _ 1 -cos2B cos2A cos2B _ 111.1.2余 弦 定 理（第一课时）教学目标知识与技能：1.掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题过程与方法：1.学生在已有知识的基础匕通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的一种数量关系一余弦定理2.在探究学

12、习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力情感、态度与价值观：1.通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识2.在运用余弦定理的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界3.通过本节的学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养教学重点：余弦定理的证明及应用教学难点：向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程教学过程一,创设情境,课题导入1.复习：已知A=30,。=45力=1 6,

13、解三角形（学生板演）2.若将条件C=45改成c=8 如何解三角形？设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化的思想和观点师 生 活 动：用 数 学 符 号 来 表 达 已 知 三 角 形 的 两 边 及 其 夹 角 解 三 角 形 ：已知=和角 C,求解引出课题：余弦定理设置问题,知识探究1.探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从哪些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理3.考虑用向量的数量积.如图Ac

14、B设C8=a,C4=B,AB=c,那么c=a-B,：c-c-(a-b)(a-b)-a2+b2 lab cos C H P c2-a2+b2-lab cosC引导学生证明：a2 b2+c2-2bccosAh-a1+c2-lac cos B3.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的枳的两倍三.典型例题剖析1.例 1.在 A48C 中，已知 A=120,b=2cm,c=2cm,解三角形分析：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其各角变式引申：在中，已知A=30力=5,c=5 6,解三角形2.探究：余弦定理是

15、关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式做某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？设计意图：(1)引入余弦定理的推论；(2)对一个数学式子做某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题的方法，这是一种研究问题的方法师生活动：对余弦定理做某些变形，研究变形后所得关系式的应用，因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题小人力人.b2+c2-a2 n a2+c2-b2 八 a2+b2-c2引入余弦定理的推位：cosA=-,cos5=-,cosC=-2bc 2ac 2ab公式作用：(1)已知三边求三角(2)若A为直角，贝iJcosA=0,从而/+/=/；若A为锐角，则co

16、sA 0,从 而 从+。2。2；若A为钝角，则cos A 0,从而b2+c2a?例 2.已知在 A48C 中，a=2&b =26.,c=+C ,求先让学生自己分析、探索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先山余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角变式引申：在A A B C中，a:&:c =2：V 6:(V 3+l),求A,B,C让学生板演，师生共同评判3.三角形形状的判定例3.在A 4 8 c中，a c o s A=b c o s 8,试确定此三角形的形状求解思路：判断三角形的形状可有两种思路：一是利用边之间的关系

17、来判断，在运算过程中，尽可能把角的关系转化为边的关系；二是利用角之间的关系来判断，将边转化为角变式引申：在 AA6 C 中，(a+b +c)(b +c-a)-3 b c ,并且 s i n A=2 s i n Bc o s C ,判断三角形的形状四.课堂检测反馈I .已知在A 4 6 C中，A=6 0 ,=8,c =3,则。=()A.2 B.4 C.7 D.92.在A A 8 C中，若。=6+1/=6-l,c =丽，则A 4 B C的最大角的度数为()4 1 2 0 8.9 0 C.6 0 ).1 5 0 03.在A 4 B C中，4 8=5,8。=6,4。=8,则几4 3。的形状是()A.锐

18、角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D非钝角三角形五.课时小结1.学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结2.运用向量方法推导出余弦定理，并能灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题六.课后作业课本第1 0页A组3 (2),4 (2)B组第2题 2.1.1数列的概念与简单表示法授课类型：新授课（第1课时）教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的 个通项公式，培

19、养学生的观察能力和抽象概括能力.情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用 教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 教学过程I.课题导入4,5,6,7,8,9,10.11 1 11,23,4,5,.1,0.1,0.01,0.001,0.0001,.1,1.4,1.41,1.4 1 4,.-1,1,-1,1,-1,1,2,2,2,2,2,.观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）上述例子的共同特点是：均是一列数；有一定次序.从而引出数列及有关定义n.讲授新课1.数列的定义：按一定次序排列的

20、一列数叫做数列.注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n项，.例如，上述例子均是数列，其中中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.3 .数列的一般形式：/，的，*，或简记为 4 ,其中凡是数列的第n 项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义 中，这是一个数列，它的首项是“1”,专是这个数列的第“3”项，等等.下面我们再来看这些数列

21、的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？(引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式)对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：J.1 _ L 1项 15 3KsI i i I i序 号 123452这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：”来表示其对应关系即：只要依次用1,2,3 代替公式中的n,就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系4 .数列的通项公式：如果数列%的第n 项%与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数

22、列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0,它的通项公式可以1 +(-1).n+1a-a=lcos-n I是 2,也可以是 2.数列通项公式的作用：求数列中任意项；检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第丫项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5 .数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集 1,2,3,，n)为定义域的函数%=/()，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如 果 f(

23、i)(i=l、2、3、4)有意义，那么我们可以得到一个数列f(l)、f(2)、f(3)、f ,f(n),6 .数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列I,2,3,4,5,6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6 是无穷数列2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前-项的数列 范例讲解例1根 据 下 面 数 列 的 通 项 公 式，写出前5项：na,=-7；(2)

24、tz=(-l)，t-n(1)+1分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1,2,3,4,5,即可得到数列的前5项.1 2n-1,2,3,4,5.。=必解：2 3 3-4_ 5,6 n=1,2,3,4,5.=a2=2;%=一3；4=4；牝=-5；(2)2例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数:22-1 32-1 42-1 52-1(1)1,3,5,7；(2)2 3 4 51 1 1 1(3)-1x2,2 x 3，一3x4,4x5.解：(1)项 1=2X 143=2X2-1 5=2X3-!7=2X4-1till序号 1234即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1,它的

25、一个通项公式是：*=2-1；(2)序号：12 3 41111项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+11111项分子：22-1 32-1 42-1 52-1即这个数列的前4项的分母都是序号加上1,分子都是分母的平方减去1,.它的一个通项(n-l)2nan=-公式是：+1;1 334JJ1 111(3)序号 1x2 2x33x44x5IIIIIIII(-1)-(-1)2-(l 1-l x(l +l)2 x(2 +l)3 x(3 +l)(-1)2-2 x(2 +l)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1 的积的倒数，且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是：(+DI I

26、I.课堂练习课本 练习 3、4、5 补充练习：根据下面数列的前儿项的值，写出数列的一个通项公式：2 _ 6 _ H)(1)3,5,9,1 7,3 3,；3,1 5,3 5,6 3,9 9(.(3)0,1,0,1,0,1,；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,；(5)2,6,1 2,-2 0,3 0,4 2,.2 1 +(-1)”解：a =2 n+l；%=-1)(2 +1)；an=2(4)将数列变形为 1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,，1 +a =n+2 .(5)将数列变形为 1 X2,一2 X3,3 X4,-4 X 5,5 X6,(1 +1 ,n=(-l)

27、n(n+l)I V.课时小结本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前 n 项求一些简单数列的通项公式。V .课后作业课本习题2.1 A 组的第1 题 2.1.1数列的概念与简单表示法【课前预习】1、在数列 1,1,2,3,5,8,1 3,x,3 4,5 5,中，x 的值是A、1 9 B、2 0 C、2 1 D、2 22、观察下面数列的特点，用适当的数填空3-23-311617-161-91-45-43-2X77123.已 知 数 列。”=桁-5,且4=1 1,则 的=4 根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。(1)数歹！0.7,0.77,0.

28、777,0.7777,的一个通项公式为(2)数列4,0,4,0,4,0,的一个通项公式为15 24 35 48 63(3)数 列 2，5 1 0 1 7，2 6，的一个通项公式为5.已知数列/满足4=2,2+i-,则=1 9 651 C 2(1)1,25(2)8,64 3.297“1、(+3)2-1 2一(1-)a-4.(1)an=9 10；(2)an=2+2,(-l)n+l(3)+1 5.5【课内探究】1展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？(1)概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。(2)辩析数列的

29、概念：“1,2,3,4,5”与“5,4,3,2,1”是同一个数列吗？与“1,3,2,4,5”呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：an(3)数列的分类：有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。3数列的表示方法(1)函数y=7x+9与 y=3 x,当依次取1,2,3,时，其函数值构成的数列各有什么特点？(2)定义数列 an 的通项公式(3)数列 an 的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？(4)用列表和图象等方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的点。4、例 1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数：(1)1,

30、-1/2,1/3,-1/4；(2)2,0,2,0.【课后提高】1.数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,的第 100 项是,2.数列 an 中，al=l,对于所有的 n22,nGN*都有 al,a2 a 3.an=n2,贝 I a3+a5=.8 J5 243.数列-1 3,一亍，豆，的一个通项公式是4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖 块.(用含n 的代数式表示)(3)125 .若数列 a n 的通项公式 a n=(+D ,记 f(n)=2(l-a l)(l-a 2)*(l-a n),试通过计算 f(l),f(2),f(3)

31、的值，推测出f(n)=(用含n的代数式表示).6 .根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：2 _4_ _6 _8_ J0(I)L5,35,63,99,.1 2 至(2),2,5,8,2 ,(3)5,5 5,5 5 5,5 5 5 5,5 5 5 5 5,-(4)5,0,-5,0,5,0,-5,0,(5)I,3,7,1 5,3 1,6 1 n(w +2)n +21 答 案 1 4 2 答案 话 3答 案 a n=(-l)n 2 川+1 4 幺 答 案 4 n-8 5 5 答案”丁6 解(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1 X 3,3 X 5,5 X 7,7 X

32、 9,9X11,每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式2n(2”1)+1)(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察：2,2,9 1 6 2 52 ,2 ,可得通项公式皿=T.个(3)联想彳3=1 0 n-l,个 5 个 5则 an=5(9 9 9)=3(0 n-l),5即 a n=9 (1 0 n-l).(4)数列的各项都具有周期性，联想基本数列1,0,-1,0,，nn则 a n=5 s i n 2.(5)V 1=2-1,3=2 2-1,7=2 3-1,-a n=2 n-l故所求数列的通项公式为a n=2 n-l.2.1.2数列的概念与简单

33、表示法授课类型：新授课（第2课时）教 学目标知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前儿项；理解数列的前n项和与%的关系过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。教 学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项教 学难点理解递推公式与通项公式的关系教 学过程I.课题导入 复习引入数列及有关定义H.讲授新课数列的表示方法通项公式法如果数列%的 第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列 的 通 项 公 式 为+jy,）.1

34、1”的 通 项 公 式 为心 仁 犷2 3 4 的通项公式为 ；图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数:为横坐标，相应的项 遥为 纵 坐 标，即 以 为 坐 标 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 做 出 点（以前面提到的数列1 1 1 1.2 3 4 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所 以 这 些 点 都 在 轴 的 右 侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活.用其来解决一些实际问题.观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数

35、学模型.模型一：自上而下：第 1层钢管数为4；即：1 4=1+3第 2 层钢管数为5；即：215=2+3第 3 层钢管数为6；即：3 6=3+3 8 a第 4 层钢管数为7；即：4妗 7=4+3第 5 层钢管数为8；即：5仆 8=5+3第 6 层钢管数为9；即：6 n 9=6+3第 7 层钢管数为10：即：7 c l 0=7+3若 用 表 示 钢 管 数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且“=+3(lwnW7)运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规

36、律可循？(启发学生寻找规律)模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即=4=5=4+1 =+1.%=6=5+1 =2+1依 此 类 推:%+1(2WnW7)对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。定义：递推公式：如果已知数列%的 第 1项(或前几项)，且任一项 与它的前一项“a(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89递推公式为:=3,%=5,an=Q i +an_2(3 H 1).例1设 数 列 城

37、-满 足I 写出这个数列的前五项。解：分析：题中已给出的 第1项即“1=1,递推公式:Q =1,2 =1 *-=2,%=1 -=解：据题意可知：a 出 3 补充例题例2已 知 为=2,an+i=2 a,写出前5项，并猜想明.法一：i =2 “2=2 x 2 =2 2%=2 x 2?=2-1观 察 可 得%=2 an-an-2 an-35.数列的前n项和：数列%中，为+%+%+%称为数列%的前n项和，记为I.S i表示前1项之和：S三4$2表示前2项之和：S2=a +a2S，i表示前n-l项之和：S i =%+%+-S”表示前 n 项之和：S,l=al+a2+a3+-+an.当n，l时S”才有意

38、义；当n-l l即n 2 2时,I才有意义.3.S”与明 之间的关系：由S 的定义可知,当n=l时,5i =ai ；当n 2 2时，“，=S“一 S i,$(=1)即=S-i(-2)说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.三、例题讲解例 3已 知 数 列=1 +-的 第 1 项 是 1,以后的各项由公式 给出，写出这个数列的前5 项.分析：题中已给出）_ .%=1 +-必 的 第 1 项即q =1,递推公式：%=1 吗=1 +，=2,%=1 +L=。解：据题意可知：%“2 2例 4已知数列%中，=1，%=2,%=3 a,i+*-2（3）,试写出数列的前4项市1 旬徨 Q =1，2=2,

39、。3=3 2+=7,。4=3。3+=2 3例 5已知为 =2,。,川=2%写出前项，并 猜 想*.法一：%=2 =2 x 2 =2 2%=2 x 2?=2 3,观 察 可 得%=2.a.=a/2 T=2 例 6已知数列%的前n项和，求数列的通项公式：V 2 9 2(1)=n +2 n；(2)=n -2 n-l.解：当 n 2 2 时，a=S-S-=(n2+2 n)-(n-1)2+2(n-1)=2 n+1；当 n=l 时，/=S i=i?+2 X 1=3；经检验，当 n=l 时，2 n+l=2 X 1+1=3,，%=2 n+l 为所求.z；C C 2 2当 n 2 2 时，T=(n-2 n-l)

40、-(n-l)+2(n-I)-l =2 n-3；当 n=l 时，ai=5i =l2-2 X l-l=-2；经检验，当 n=l 时，2 n-3=2 X l-3=-l-2,-2(/7 =1)3(N 2)为所求.in.课堂练习课本P 3 6练习2I V.课时小结本节课学习了以下内容:1 .递推公式及其用法；2 .通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或 n项）之间的关系.V.课后作业习题2。1 A组的第4、6 题学校：临清二中 学科：数 学 编 写 人：赵 云 雨 一 审：李其智二审：马英济2.1.2 数列的概念与简单表示法课前预习L 数列1,0,1,0,1,的一个通项公式是

41、（）1-=1 +(-1)=(-1)-1 二-I-)”2.已知J 一-3 =0,则数列包 是（A.递增数列 B.递减数列 C.常数列D,摆动数列3 .数列%的通项公式为许=3/-2 8 ,则数列 4 各 项 中 最 小 项 是（）A.第 4项 B.第 5项 C.第 6 项 D.第 7项4 .已知数列的通项公式为%=/-8 +1 5,则 3 （）A.不是数列%中的项 B.只是数列%中的第2项C.只是数列%中的第6 项D.是数列包 中的第2 项或第6 项5 数歹(J L 3,6,1 0,x,2 1,2 8,中由给出的数之间的关系可知x 的 值 是（）A.1 2 B.1 5 C.1 7 D.1 86.

42、下列说法正确的是（）数 列 1,3,5,7可表示为 1 3 5,7 数 列 1,0,*2 与数列-2,一1,0 是相同的数列曰 1+,数 列 I n J 的第项是 kD.数列可以看做是一个.定义域为正整数集N*的函数7.数列 J 的前n 项和r =2/-3 ,则=/7 4 A?S1.B2.A3.B4.D5.B6.C7 -课内探究1.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1)%=0,%+i=+(2 n l)(n eN)：%=1,。什|=%+2(n6N)；(3)%=3,%+1=3%-2(nG N).解：%=0,%=1,%=4,%=9,牝=6,%=(n-l)2；2 2 2

43、_2 _2_%=,。2=5,。3=2-4,。4=5,-6,an=+1.(3)|=3 =1+2乂 3。，02=7=1+2*31%=19=1+2、3：%=55=1+2x3：。5=163=1+2乂3、%=1+23”一 2.已知下列各数列“的前n 项和S 的公式，求 乐 的通项公式.(1)Q=2n-3n;(2)%=3 -2.解：4 =1,q q 2 2n=n-T=2n _ 3n-2(n-1)3(n-l)=4n_5,又符合=4 1-5,:.=4 n 5;(2)%=1,%=S _S“_|=3 _ 2(3 T 2)=2 3 T1 n=.a _|2-3n-1 n 2.a.=a2T=2课后提高1 .设数列VI若

44、，2夜,而,则2有 是这个数列的A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项2 .数列 /的前n项积为-那么当“2 2时，4 的通项公式为(“+1)2 0=2A.“=2-l B.%=2 c,一/D.(”D23、若一数列的前四项依次是2,0,2,0,则下列式子中，不能作为它的通项公式的是()。(A)a n=l-(-l)n (B)a n=l+(-l)n+lrm(C)a n=2s i n 2 2(D)a n=(l-c o s n n )+(n l)(n 2)4.在数列 4 J中，向=%+2+4,q=2,4=5,则。6的值是A.B.-l l C5 D.192 1 A 2 2_5.数列寸5 i i 于

45、17 的一个通项公式是。6.数歹!)“的前 n 项和 S“=22 3，则%=。7,数列“满 足+。2+%=2/_ 3几 +1,则 知+。5+%0 =。8.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有 个点.(1)(2)(3)(4)(5)9.已知数列&的前n 项和S =/+Pn,数列出J的前n 项和丁=3/-2 n,（1）若=4。，求 0 的值；（2）取数列也J 中的第1项，第 3 项，第 5 项，构成一个新数列忙 ,求数列%的通项公式.10.(1)已知数列 J 的前n 项和公式，求 的 通 项 公 式 S”=22+3；S“=2.3 -l_ +214、BDDA 5、3+2 6、=4/

46、2-5 7、161 8、8?一 +1、9、(1 )36(2)c“G 2 lI 10(1)。“=4+15(=1)43T(N 2,e N)等差数列教案教学目标：知识与能力：理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；培养学生的观察、归纳能力,应用数学公式的能力及渗透函数、方程思想过程与方法：经历等差数列的产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的能力。情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析能力，体验从特殊到一般认知规律，培养学生枳极思维，追求新知的创新意识。教学重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。教学难点：概括通项公式推导

47、过程中体现出的数学思想方法。教学准备：根据本节知识的特点，为突出重点、突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学的知识，我利用计算机辅助教学。教学过程：创设情境，课题导入复习上节课学习的数列的定义及数列的表示法。这些方法从不同的角度反映了数列的特点，下面我们来看这样的一些数列：（大屏幕显示课本41页的四个例子）、0 5 10 15 20.、48 53 58 63、18 15.5 13 10.5 8 5.5、10072 10144 10216 10288 10360提出问题：以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论。（二）设置问题，形成概念等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起

48、，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d 表示。提出问题：等差数列的概念中的儿个关键点是什么？数学语言：（N 2）或 an+l-a d（n 1）理解等差数列的概念是本节课的重点，为了加深对概念的理解，让学生讨论课本4 5 页练习第4 题，教师总结。（三）等差数列的通项公式提出问题：如同我们在前一节看到的，能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列具有重要的意义。数列、的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？再问：若 个 无 穷 等 差 数 列%,首项是外,公差为d,怎样得到等差数列的通项公式？（引导学生根据等差数列的定义进行归纳

49、）a2-a-d 即.%一%1即.%=%+=4 +3d至此，让学生自己猜想通项公式是什么，使学生体会归纳、猜想在得出新结论中的作用。此处由归纳得出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用数学归纳法的知识，在这里，我们暂且先承认它，我们能否再探索一下其他的推导方法？(然后学生在教师的引导下一起探索另外的推导方法)叠加法：“是等差数列，所以：a j a.u da,-a-2=da_2-an_3=da2 ax=d两边分别相加得：一%=(一D d所以：%=%+(-l)d迭 代 法:勺 是等差数列，则：%=+d=an_2+2d=a_3+3d=.=%+(n-l)J所 以:a“=.+(T)d由以上关系还可得：即：a

50、,=am+(m-1)J贝Ij：an =a+(-lM =am _(m-l)d+(_ l)d=a,“+(n-m)d即得等差数列的第二通项公式：a =%，+(n-m)d(四)通项公式的应用：观察通项公式并提出问题：要求等差数列的通项公式只需要求谁？再追问：通项公式中有几个未知量？再追问：要求其中的一个，需要知道其余的几个？例1、等差数列%中，已知：=2 d=3求%已知：%=3%=21 1=2求已知：4=8 4=2 7求d=-_8已知：3 求为(题目比较简单，照顾到全体学生，使学生深刻掌握等差数列的通项公式，从而打好基础。)例2、1、求等差数列8、5、2.的第2 0项解：由%=8 /=5-8 =-3