人教版选修4-5教案 不等式选讲.pdf

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1、选修4_5 不等式选讲课 题：第 0 1课时 不等式的基本性质目的要求；重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。列子?汤问中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中

2、也起着相当重要的作用。本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题:a 克糖水中含有b 克糖（a b 0）,若再加m（m 0）克糖，则糖水更甜了，为什么？分析：起 初 的 糖 水 浓 度 为 加 入 m 克糖后的糖水浓度为白 土巴，只 要 证 空 巴 2

3、即可。a a+m a+m a怎么证呢？二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知:0/?a-h 0a=b oa-b =0a b=a b b,那么b a,如果b b。（对称性）、如果 a b,且 b c,那么 a c,即 a b,b c=*a c。、如果 a b,那么 a+c b+c,即 a b=a+c b+c。推论:如果 a b,且 c d,那么 a+c b+d.即 a b,c d =a+c b+d.、如果a b,且 c 0,那么a c bc；如果a b,且 c 0,那么a c b 0,那么。（nwN

4、,且 1）、如果a b 0,那 么 板 五（neN,且 n l）。三、典型例题：例 1、己知 a b,c b-d.例2已知ab0,c a b 四、练习:五、作业:选修4_5 不等式选讲课 题：第 0 2 课时 含有绝对值的不等式的解法目的要求；重点难点：教学过程：一、引入：在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。

5、主要的依据是绝对值的意义.请同学们回忆一下绝对值的意义。x,如 果x 0在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即 凶=0,如果x =O。x,如果x 02、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。第 一 种 类 型。设a 为 正 数。根 据 绝 对 值 的 意 义，不 等 式 凶 。的 解 集 是 x -a x a的解集是 JC|%。或一。它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间（-8,_ q）,3,8）的并集。如 图 1-2 所示。-a a图 1-2同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。二、典型例题：例 1、解不等式|3 x l|

6、2 x。方 法1：分域讨论方法2：依题意，3 x-l 2-x或3 x-l x-2,(为什么可以这么解？)例 3、解不等式|2 x+l|+|3 x-2|2 5。例4、解不等式,一+上一1|2 5。解 本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x到1,2的距离的和大于等于5。因 为1,2的距离为1,所以x在2的右边，与2的距离大于等于2(=(5-1)4-2)；或者x在1的左边，与1的距离大于等于2。这就是说，X 2 4或 a,对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。三、小结:四、练习：解不等式1、2|2 x-l|l.3、|3 2乂4+45、|A-2 x 4|49、

7、国+卜+22、4|1-3A|-1 x +2.8、|x 1|+|x +3|6.1 0、|x|x 4|2.五、作业:选修4_5 不等式选讲课 题：第0 3课时 含有绝对值的不等式的证明目的要求；重点难点：教学过程：一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：(1)时+设2,+4 (2)时(4)H(3)时 也=卜w肌。)请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质|4附=卜*和 可 以 从 正 负 数 和 零 的 乘 法、除法法则直接推出;而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，

8、只要能够证明|4+|4之心+可对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，。和同哪个大？显然|a|2 a,当且仅当“2 0时 等 号 成 立(即 在 时，等号成立。在。+a.c-a及绝对值的和的性质。二、典型例题：例1、证 明(1)M+网 习a +4，(2)+4习一网。证 明(1)如果a+C O,那么,+4=a +玄所以时+|4N a +以=|a+4如果a +力 -+(-Z?)=-(a+b)=卜+/?|(2)根 据(1)的结果，有,+4+卜母之心+人一母，就是，h+4 +村2时。所以，,+4之同一网。例2、证 明 时 _ 忖4.一耳工时+网.

9、例 3、证明 a-l|c j +|/2 c|a思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？(设A,B,C为数轴上的3个点，分别表示数a,b,c,则线段相 A C +C B.当且仅当C在A,B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c=0 (即C为原点)，就得到例2的后半部分。)探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式|4+用“a +4的几何解释？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1,例2和例3的结果来证明。例 4、已知|x-|求证|(x+y)-(a +b)|c.证明|(x +y)(a +Z?)|=|(x a)+(y Z?)|x a|+|y/?|(1)c c；k-

10、a 1+1 y-4 v 万+5 =c (2)由(1),(2)得：|(x+y)-(a +b)|v c例 5、已知 求证：|2工一3、。证明.|2 x|p|3 y|,由例1及上式，|2 x 3乂|2 31会 搭=4。注意：在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。三、小结:四、练习:1、已知|A 怛 一.求证：|(A 3)(a 份|c。2 已 知(,仅 一4 .求证：2 x 3 y 2 +3母 h o a-b 0a=h a h=0a b o a -b 2 h(a+b)(l +x +x2)2.证明：采用差值比较法：3(1 +x+x“)(l +x +

11、x )=3 +3 x+1%4 2 x 2 x -=2(x4-x3-x +1)=2(x-l)2(x2+x+l).1 ,3=2(x-l)-(x +)-+.I 3 x w 1,从而(x-l)2 0,且(x +牙 +-0,2(X-1)2(X+1)2+1 0,:.3(1+x2+x4)(1 +x+x2)2.讨论：若题设中去掉X H l这一限制条件，要求证的结论如何变换?例 3、已知 a,b G R+,求证 aabb ahba.本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于6对称，不妨设“2人 0.a-h 0：.aabb-ahba=abh aa-b,从而原不等式

12、得证。-ba-b)02)商值比较法：设笔=铲 1 .故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步滕是：作差(或作商)、变形、判断符号。例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度加行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度加行走，另一半路程以速度”行走。如果w二，问甲、乙两人谁先到达指定地点。分析：设从出发地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为小要回答题目中的问题，只要比较4,12的大小就可以了。解：设从出发地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为小J，根据题意有4加+k =

13、S,+=可得乙=2-,t,=S(.+.),2 2 2m 2n m 十 n 2nm2S S(m+n)S4mn-(m+n)2 S(m-n)2从而-2 =-=-=-/%+2nm 2(m+ri)mn n)mn其 中 都 是 正 数，且于是q-j v。，即，0,/7+4=1.求证；对任意实数a/，恒有Pf(a)+qf(b)fpa+qb).(1)证 明 考 虑(1)式两边的差。Pf(a)+qf(b)-f(p a +qb).=p(2a2+1)+式抄 2 +l)2(pa+q份 2 +1=2p(l p)a2+2(1 q)b2-4pqab+p+q 1.(2);p+q=l,pq 0,(2)=2pqcr+2 pqlr

14、 4 pqab=Ipqa-b)1 0.即(1)成立。三、小结：四、练习：五、作业：1 .比较下面各题中两个代数式值的大小：(1)尤 2 与一 一 X+1；(2)尤 2 +X +1 与(x +l)2.2Q2 .已知求证：(1)(2)-r(),求证 之(4 C)3.4 .比较a 4-b 4 与 4 a 3(a-b)的大小.解：a4-b4-4 a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4 a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+a b2+b3-4 a3)=(a-b)(a2b-a3)+(a b3-a3)+(b3-a3)=-(a-b)2(3 a3+2 a b+b2)=-(a-b)2 V 3

15、+与4 0 (当且仅当d=b时取等号).,.a4-b44 a3(a-b)o5 .比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.6 .己知x#0,比较*+1)2 与 x 4+x 2+1 的大小.7.如 果 x 0,比 较 2 A 5是常常要用到的一个重要不等式。二、典型例题：例1、6都是正数。求证：-+-2.b a证明：由 重 要 不 等 式+6 2 2 2 A B可得#2 2*2.本例的证明是综合法。例 2、设。求证。3 之证 法 一 分 析 法要证 a3+b3 a2h+a H 成立.只需证(4 +)(2 a h+h2)ab(a+b)成立,又因 a +Z?0,只 需 证/a b+b?N

16、 a b 成立,又需证。2一2。/7+匕2 2 0成立,即需证3-0)2 2 0成立.而(。一切2 0显然成立.由此命题得证。证 法 二 综 合 法(a-b)2 2 0 =。2 0 =t z2-a b+b2 ab注意到。0力0,即。+匕 0,由上式即得(。+。)(。2 ab+b)ah(a+b),从而。3 +/6+加成立。议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？a+m c i例3、已知a,b,m都是正数，并且求证：-.(1)b+m b证法一 要 证(1),只需证Z?(a +/n)。(。+机)(2)要 证(2),只需证加7。巾(3)要 证(3),只需证b a(4)已 知(4)成

17、立，所 以(1)成立。上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二 因 为 人 。,/是正数，所以勿。加两 边 同 时 加 上 得Z?(a +z n)a(b+m)两边同时除以正数。(。+而)得(1)读一读：如果用P=Q或QuP表示命题P可以推出命题Q (命题Q可以由命题P推出),那么采用分析法的证法一 就 是(1)=(2)=(3)(1).如果命题P可以推出命题Q,命题Q也可以推出命题P,即同时有P =Q,Q=P,那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为P=Q.在例2中，由于。,加,。+机都是正数，实际上 o 6 3)0(4).例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长

18、相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为L,则周长为L的圆的半径为丘，截面积为万(-2；周长为L的正方形为，截面积为(人o所以2 万 (2/4 ()。nI)1为了证明上式成立，只 需 证 明 一。4病 164 1 1两 边 同 乘 以 正 数 可，得：一 。L 7t 4因此，只需证明4 乃。上式显然成立，所 以 ()()。这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。例 5、证 明：a2+b2+c2 ah+bc+ca.证法一 因为 a

19、2+b22ab(2)b2+c2 2bc(3)c2+a2 2ca(4)所 以三式相加得 2(/+b+c2)2(ab+bc+ca)(5)两 边 同 时 除 以2即 得(1)证法二 因为+/-+0(3)b2c2+a2d2-2abcd0(4)o (be-ad)2 0(5)(5)显然成立。因 此(1)成 立。例7、已知a,c都是正数，求 证Y+c*2 并指出等号在什么时候成立？分 析：本题可以考虑利用因式分解公式a3+by+c3-3abe=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-cd)着 手。证明：/+/-3ahc=(Q+Z?+C)(Q2 +C2 a h bcca)由于a,。,C都是正数，所以Q

20、+C 0.而3 初2+(。一。)2 +(。一。)2 0,可知。3 +h3+c3 3ahc 0即。3+。3 2 3。人。(等号在。=b=C时成立)探究：如果将不等式。3+。3 2 3 aoe中的3 23 1 3 分别用，瓦C来代替，并在两边同除以3,会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：(l+Q+h)a+Z?+c)(l+c+a)2 7,其 中 是 互 不 相 等 的 正 数，且QC=1.三、小结：解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些

21、方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。四、练习：1、已知工 0,求证：x H 2 2.X1 1 42、已知 x 0,y 0,xw y,求证一+-.x y x+y3、已知a b 0,求证。一 正 8-屁.4、已知a 0,b 0.求证：(1)(a+b)(a+Z?-1)4.(2)(a+b)(a2+b2)(a3+b3)S a3b3.5、已知a,A,c,d都是正数。求证：,、a+b+C+d、1 r I T、Q +/7 +C+d、4 -(1)-y/ab cd;(2)-Mabed.246、已知。力,c 都是互不相等的正数，求证(。+人+。)3+。+。)9。色选修4_5 不等式选讲课 题：第

22、0 9课时 不等式的证明方法之三：反证法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假,或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p,并否定命题的结论q,然后通过合理的逻辑推理,而得到矛

23、盾，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第 一 步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第 二 步 作出与所证不等式相反的假定；第 三 步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。二、典型例题：例 1、已知a b 0,求证：ya4b(?7且 1)例 1、设求证a+6 W 2.证明：假设人2,则有”2-8，从而/8-14 +6/-/,a3+b3 6b2-+8 =6(。+2.因为6 3-1)2+2 2 2,所以/+/2,这与题设条件a3+=2矛盾，所以，原不等式成立。例2、设

24、二次函数/(幻=1+p x+q,求证：|/(1)|,|/(2)|,|7(3)|中至少有一个不小于;.证明：假 设|,|/(2)|,|/(3)|都小于g,则|/(1)|+2|./(2)|+|/(3)|/(1)-2/(2)+/(3)|(2)=|(1 +p+q)-2(4+2p+q)+(9+3 +g)|=2(1)、(2)两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明儿个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛

25、盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例 3、设 0 4,b,c ,(1?h)c 一,(1?c)a 一,4 4 4则三式相乘：而 (1?4 止?(1?6)c?(l?c)q ，6 4 -12又.,()a,%,c 1 .0 (1 ci)a )=_ 2 J 4同理：(l-c)c 0,ab+bc+ca 0,abc 0,求证：a,b,c 0证：设。0,/.be 0,贝 i J b +c =?a 0/.ab+be+ca=a(b+c)+0 矛盾，必有a 0同理可证：/?0,c 0三、小结：四、练习：a+tn c i1、利用反证法证明：若已知a,b,m都是正数，并且则-.b+m b

26、2、设 0 a,b,c 0,且 x +y 2,则 和-中至少有一个小于2。%y|y 1|提示：反设-2 2,-2 2 V x,y 0,可得x +y W 2 与无+y 2 矛盾。xy五、作业:选修4_5 不等式选讲课 题：第1 0课时 不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式目的要求；重点难点：教学过程：一、引入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。二、典型例题：例1、若是

27、自然数，求证2+-V +二+2.I2 22 32 M证明：,二 1k21 1 1 ,c c ,-=-=2,3,4,，.k*-l)k-k1 1 1 1 1 1 1 1H H +-!-I-1-F H-l2 22 32 n2 1 1-2 2-3 (n-l)-n=2-2.n注意：实际上，我们在证明2+-V +4 +-V 2的过程中，已经得到一个更强的结论I2 22 32 n21+1+1+上2-工，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。I2 22 32 n2 n例2、求证:1+1 1 x 2 1 x 2 x 3Ix 2 x 3 x x 3.证明：由-=-77Ix 2 x 3 x x 女 1-2-2

28、2 2-（k是大于2的自然数）得1 +卜1-F1 x 21-+1 x 2 x 3Ix 2 x 3 x-x n1-,1 1 1 I 2 21+1 +-=1 +=3-3.2 22 23 2,12例 3、若 a,b,c,由R。求证：1 -1-1-1-1-1-1-=1a+b+c+d Q+/?+C+c+d+a+h d+a+/7+ca b c dm-+-+-+-=2a+b a+b c+d d+c/.1 m 2 时，求证：logH(n-1)logn(n+1)2 J log”(-1)0,log,?(+1)0 -|2 r 9 i21叫(”1)1叫(+1)2 时,log(n-1)log(n+1).n+1 +2 +

29、3 2 22、设为自然数，求证（2 一 一）（2-二X2 二）（2-一 口）2.n n n n n!选修4_5 不等式选讲课 题：第1 1课时 几个着名的不等式之一：柯西不等式目的要求；重点难点：教学过程：一、引入：除了前面己经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等着名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。1、什么是柯西不等式：定 理1：（柯西不等式的代数形式）设a,d均为实数，则（a2+b2）（c2+d2）（a c+b d）2,其中等号当且仅当ad=be时成立。证明：几何意义：设a，夕为平面上以原点0为起点的两个非零向量，

30、它们的终点分别为AB（c,d）,那么它们的数量积为a，=ac+Z?d,而|a|=以+/,|p|=ylc2+d2,所以柯西不等式的几何意义就是：|a|分 以a尸|,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设a,为平面上的两个向量，则闫其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。3、定理3：（三角形不等式）设司，%,，%，工3，%为任意实数，则:J（X|-/）2 +（%+J（%2-+（%一力）?-（.-七）2 +（%-分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然

31、数，ai,bi（i=l,2,，）为 h h h任意实数，则：2（汇。也）2,其 中 等 号 当 且 仅 当 =立=时成立（当6=0i=i i=i=%a?an时，约定 2=0,i=l,2,，n）o证明：构造二次函数：/（X）=（。无一%）2 +3 2 X 一区）2 H-F 2即构造了一个二次函数：/（X）=（2,2）%2 一2（岫“十：（=1 1=1 ）=1由于对任意实数x，/（x）2 0 恒成立，则其 4（），即：=4（象 也 -4（力；）（.）0,/=1 /=1 i=即：（之 她）2（蒋2）（始）,/=1 i=l i=l等号当且仅当 q x =a2x-b2=anx-bn=0,即等号当且仅当2

32、=%=%时 成 立（当q =0时，约定2=0,i=l,2,n）。a a2 afl如 果/（1 z 0（，=1 27）,广2，等号成立当且仅当a -Aai（i /2=）。二、典型例题:例 1、已 知/+人 2=1,x2+y21,求证：|ax+by 7(+c)2+(/?+J)2。例 3、设a,户为平面上的向量,则|a 尸|+|，一川才工一人。例 4、己知a,Z?,c 均为正数，且a +b+c=l,求证：+9 =a b c方 法 1：方法2：(应用柯西不等式)例 5:已知4 ,。2，,。为实数，求证：i=l i=分析：推论：在 个 实 数%,%，4 的和为定值为S 时，它们的平方和不小于一1 S92

33、,当且仅当n1 、4=电=一，=。,1 时，平方和取最小值一S。n三、小结：四、练习：1、设 X/,M，xn 0,则 N，=；=i=Jl-Xj VH 12、设王 /?(i=l,2,，n)且 Z 二1 求证:Zx-2 Z x/j.i=l 1 +Xj i=i j2ab当a h b时,(a-b)0I.指出定理适用范围：a,b&R强调取“=”的条件。=6。2、定理2：如 果 是 正 数，那么巴aNJ 茄(当且仅当。=时 取“二”)2证明：V(ya)2+(V)2 2ah C.a+b 2yab即：-/a h 当且仅当。=人时 空&=痴2 2注意：1.这个定理适用的范围：a e R+；2.语言表述：两个正数

34、的算术平均数不小于它们的几何平均数。3、定理3：如果那么+Z/+(?23。力。(当且仅当。=c时 取 =)证明：/+b3+/3abe=(a+Z?)3+/3a1 b-3atr-3abe=(a+Z?+c)(a+)2 (a+b)c+c2 3ah(a+Z?+c)=(Q+/?+C)Q2 +2ab+b2-ac-bc+c1-3ab=(Q+/?+C)(2 4-Z?2 4-C2 abbccd)=(a+b+c)(ab)2+(b-c)2+(c-a)2,：a,b,c e R，上式20 A M fu tz3 4-/73+c3 3abc指出：这里。力,C /r a+b+c v 0就不能保证。推论：如果a/,c e R+,

35、那么(当且仅当。=b=c 时 取 =”)证明：(V a)3+(V)3+(V c)3 3 V a-V h -V c=a+c 2?fijahc4、算术一几何平均不等式：z y|z 7|z/.如果4，凡,a 且力N+则：一=-叫做这n个正数的算术平n均数，麻”F 叫做这n个正数的几何平均数；.基本不等式：1.生.上 2 J。的。(n N R+,1 4 i 4 几)n这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明(这里从略)语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。.*2 J 法的几何解释：2以a+。为直径作圆，在直径AB上取一点C,过 C作弦D D 2 A B 则C O?=C 4 圆=。，

36、从而C0=而，而 半 径 包 心 2。=痴。2/二、典型例题：7例 1、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a?+。2 Q 6+b c+c。证：V a2+h2 2ah h2+c2 2hc c2+a2 2ca以上三式相加：2(/+h2+c2)2ab-2hc+2caa2+b2+c2 ab+bc+ca例 2、设a,c 为正数，求证：（。人+。+1）（。）+。+/?。+。2）2 i&b c。例 3、设a1，a2,a3,，凡为正数，证明：%+?+-n 1 1 1-1-F,d-6%,例4、若x,y R+,设Q(x,y)=土 声 一 A(x,y)=W G(x,y)=yxy2H(x,y)=-求证：Q(x,

37、y)A(x,y)G(x,y)H(x,y)+%y加权平均；算术平均；几何平均；调和平均22c?2 2 2 2.X.产+八2 X+y-+2 xy X-+y+x +y 犷+yilk：(-)=-G(x,y)H(x,y)=以-H(x,y)x+y 2j x y综上所述：Q(x,y)2 A(尤,y)2 G(x,y)2 H(x,y)三、小结：四、练习：五、作业：I、若a+b=l,a,力w R+求证(a+了+S +2)2a h 2/1人 人21 1 （。+/?+工）证：由幕平均不等式：（。+L）2+士）2 2-红-a b 2(1 +a+b。+。、2-+-)a b2(3+b。+a儿 2(3 +2)2=2 5222

38、选修4_5 不等式选讲课 题：第1 5课时 利用柯西不等式求最大（小）值目的要求；重点难点：教学过程：一、引入：1、柯西不等式：力a；/，2（如 仇）i=/=1 i=l二、典型例题：例1、把一条长是m的绳子截成三段，各围成一个正方形。怎样截法才能使这三个正方形的面积和最小？例2、如图，等腰直角三角形A O B的直角边为1,在这个三角形内任意取一点P,过P分别引三边的平行线，与各边围成以P点为顶点的三个三角形（图中阴影部分），求这三个三角形面积和的最小值，以及取到最小值时点P的位置。分析：三、小结:四、练习:五、作业:选修4_5 不等式选讲课 题：第 1 6课时 数学归纳法与不等式目的要求；重点

39、难点：教学过程：一、引入：数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n=l（或 n 0）时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n=k 时命题成立，再证明n=k+l 时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k+1 步的推证，要有目标意识。二、典型例题：例 1、证明：l3+23+33+-+n3=（l +2 +3 +-+n）2o例 2、设X一 1,n G N*，证明贝努利不等式：（l +x）”l +x。例 3、设 为 正 数，e N*,证明：+%（竺知。2 2例 4、设数列 a“的前n项和为S“，若对于所有的自然数n,都有S,=+%）

40、,证明 a,2是等差数列。（9 4 年全国文）例 5、已知数列87 ,得，_ _ _ _ _ _ L 2!_ _ _ _ _，。S”为其前n项和，求 SrS2、S 3、I2-32 -（2 +厅-S4,推测S,公式，并用数学归纳法证明。（9 3 年全国理）解：计算得 S =,$2 =竺，S,=.s4=l ,猜测 S =（2 +1）2-1 （n eN）9 -2 5 3 4 9 4 8 1 （2 +1-【注】从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是探索性问题的证法，数列中经常用到。（试 值 一 猜 想 一 证 明）【另解】用裂项相消法求和例 6、设 a,=J1X2+J2X3T-卜 J(+l)(nGN),证明：ln(n+l)a n(nl且 nN)。2、已知数列 a 满足 3)=1,an=a_ co sx+co s(n-l)x,(xWk 兀，n22 且 nN)。.求a2和 3；.猜测a ，并用数学归纳法证明你的猜测。3 用数学归纳法证明等式：cos cos二 cos.cos =sinx(81年全国高考)2 22 23 2 T4、用数学归纳法证明：62n-+l(nGN)能被7 整除。