空间向量与立体几何-2019年高考数学（理）之高频+含解析.pdf

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1、解 密 16 空间向量与立体几何至解雷高考高考考点命题分析三年高考探源考查频率利用空间向量求线面角从近三年高考情况来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点.高考主要考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，主要为解答题，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题.2018新课标全国I182018新课标全国II202017新课标全国n192015新课标全国II192016新课标全国0119 利用空间向量求二面角2018新课标全国III192017新课标全国I182017新课标全国n192017新课标全国in192016

2、新课标全国I182016新课标全国II19 色 对 点解害慧方利用空间向量证明平行与垂直调 研 1 如图，在直三棱柱A O E-8 C F 中，面 A 8 F E 和面A B C Q 都是正方形且互相垂直，M为 AB的中点,。为。尸的中点.运用向量方法证明：(1)0M平面 B C F；(2)平面/_ L 平面EFCD.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】由题意，得 A 8,AD,AE两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形边长为h则 A(0,0,0),3(1,0,0),C(l,1,0),0(0,1,0),尸(1,0,1),/，0,o),og，2-2).(1),因

3、为,OuuMu=(0，12 -21)uBuA=(-L ，0)，uuu uu”uum uu所以OM 8 A=，所以。BA：因为棱柱A D E-B C F是直三棱柱，所以A B，平面BCF,所 以 解 是平面B C 尸的一个法向量，且 OMU平面B C F,所以。历平面3 C E(2)设平面MD尸与平面稗CD的法向量分别为n i=(xb必zi),小 巾，心，z：).因为5?=(1，T，1)，而3，T,0.L 反=(1，0,0),CF=(0,-1,1),i-yi4-zj=0,由而=D&iR,得,解得,2 xi-yi=0,令x】=l,则力i=Q,2 一式同理可得芯K O,1,1)因为m注=0,所以平面

4、MD尸1平面EFCD.飞 谷.4 ，e .*.后技巧点拨直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量判定方法设直线/的方向向量为a=(a”b i，c i),平面a,的法向量分别为=(2,b i,C2),v=(“3，3)，则(1)线面平行：/a Q Q j_ =a=0=i2+h b 2+c C 2=0；(2)线面垂直：I工a=ay=a=k w=a=k a 2,b尸妨2，c尸 女。2；(3)面面平行：a4 U Q=2 y=。2=筋3，力2=劝3，。2=2。3；(4)面面垂直：a l.夕=-LuQ y=0=2。3+b2b3+。2。3=。.注意：用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要

5、证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线。b,只需证明向量 斫 劝(A e R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.:总 谷运。：a 一 运.”.如考 点2求空间角题组一求异面直线所成的角调 研1如图所示，在三棱锥P-A B C中，附_L平面A B C,力是棱P 8的中点，已知也=B C=2,A B=4,C BL A B,则异面直线P C,A。所成角的余弦值为A/30A/30A.-10B.-5V3 0 V3 0c.5 D.1 0【答案】D【解析】因 为%_ L 平面A B C,所 以 朋

6、 _ L A 8,P A L B C.过点4作 4 C 8,又 C B _ L 4 8,则”，AB,AE两两垂直.如图，以 A为坐标原点，分别以A 8,AE,AP所在直线为x 轴，)轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0),尸(0,0,2),8(4,0,0),C(4,-2,0).因为。为 P B 的中点,所以。(2,0,1).故 1 尸=(-4,2,2),AB=(2，0,1).所以 c o s(jAj),ua ADCP-6 典设异面直线P C,A。所成的角为仇 则 c o s G|c o s AD，uuc p1=io.调 研 2 在正方体，加 c。%中，点 p在A C上运动(包括端点

7、)，则BP与 9所成角的取值范围是A.止 二 4 3C.止 二 6 2【答案】DB。中4 2D.印 6 3【解析】以 点。为原点，DA.DC,所在直线分别为万、八 z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长LBJB lULM为 1,点 P 坐标为(X,1-羽勾，则 BP=(xL x,x)：3G=(L 0 J)，设 B P、3G 的夹角为。，则m m UUL11_ 落编 _1 _ _ _ 1 _3。一 网 照|一天 行+2L-和寺+2.日所 以 当 x =时，C。取最大值点,a =.当尤=1时，co s a取最小值g,a =g.因为3G 9，所以BP与 曲 所成角的取值范围是r7 T 兀 1,，1.

8、故选 D.因为所以4 2+（2/4+（4-4 2=回，化简得3分一4幺+1 =0，所以4 =1或九=.点”异于点C ,所以4 =工，即 也=1.3 3 P C 3调研7如图，在三棱柱.铝。一4 3 6 1中，侧棱C C|J底面A B C,且C G =2 J C=2 5 C J C-5 C,D是棱A 8的中点，点M在侧棱CG上运动.（1）当M是棱CG的中点时，求证：C D/平面MAB,3（2）当直线AM与平面A B C所成的角的正切值为;时，求二面角X-A 3 -G的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）一 士1.14【思路分析】（1）取线段A4的中点E，连接。,可得四边形C D E M是平行四边

9、形，3 H E M、即可证明C D平面M44；（2）以C为原点，C A,C B ,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角幺-A四1-G的余弦值.【解析】（1）取线段Ag的中点E,连接。;J D =D B：A E =EB,：.DE BB一 且 DE=gB B 乂M 为C G 的中点，C M BBl,且C M=3与，J.C M/D E,且C M=O E,.四边形C 0 EM 是平行四边形，C O EM.乂 E M u 平面，叫M C D Z 平面 A B.M .CD/平面 M A B1.（2）尻e q两两垂直，；以c为原点，c 4 c尻e q所在直线分别为x,y,z轴，建

10、立空间直角坐标系C一 式y z,如图,.三棱柱，超C 451G中，CC,，平面ABC,ZMAC即为直线A M与平面ABC所成的角.33设 AC=1,则由 tan/J4C=-,得CM=.12:.C(O:O:O),J(1:O:O):5(O:1:O):51(O:1:2)5M(O=O=),.4/=(-1儿一，,珥=(一 口2)，设平面4 0 4的一个法向量为=(x,y,z),fU LU B 3-45/-n=x+z=0.则 2 令z=2,得x=3：y=-l,即=i3 12).UULT1AB】ft=-x+y +2z=0：乂平面8C G 4的一个法向量为CJ=(1,0:0),“3日向 F 广角J -J.75

11、.-。:的 小广 为?屯 用 一 一 面 用H 7/5：-。:的 泉 弦 1为 一 豆 亘 w .,二 魏 w.#；技巧点拨利用向量求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.PC AB 2a2 a2由异面直线PC与4B所成角的余弦值为,得4 PC AB 2x4 4,解得a=l.易得平面P4C的一个法向量为%=,1),设平面P4B的一个法向量为“2 =(乂 乂刀,7 1 2 TB=0 px+2 y=0又 疝=(2.2疯 0),加=(1,0,何，由 2/=0,得x+、3z=0

12、,取尤=-W,得y=i,z=i,故 七=（7 5 i,i）,C0 s（,n21=-=-=史同 同 V5 5,.二面角B-P A-C的余弦值可7.（江西省九江市2018-2019年第一次统考）如图，已知四棱锥P-4BCD的底面是边长为2出的菱形,NB4D=6 0,点E是棱BC的中点，DEn4C=0,点P在平面4BCD的射影为。，F为棱04上一点.（1）求证：平面PEDJ平面BCF：（2）若尸为棱P力的中点，P=2,求直线CF与平面P4B所成角的正弦值.3734【答案】（1）见解析；（2）-3 T.BCu【解析】（1）PO1 平面4BCD,h 平面4BCD,.BCJ.PO,依题意得ABCD为等边三

13、角形，E为棱BC的中点，.BC1DE,P O a DE=0.P O,DEc又，平面PED,J.B CJ.平面PED,BCu又#平面BCF,.平面PE。，平面BCF.（2）设A C f i B D=Q,以Q为坐标原点，Q B,QC分别为戈，丁轴，建立如图空间直角坐标系，贝（0,-3,0）,B g 0,0）,C（0,3,0）,P（0,1,2）,F（0,-1,1）,C F=（0,-4,1）,设平面PA B的一个法向量为水=（x,y,z）,!-岛4 v +32yz =00 令z =2,得沆=（同 一 1，2）,c o s（记，存=房屹=誓，故直线C F与平面PA B所成角的正弦值为誓.8.（福建省泉州

14、市2019届 高 三 1 月单科质检）如图所示，平面尸4BJ.平面力BCD,四边形4BCD是边长为4的正方形，乙 4PB=90。，M,N分别是CD,PB的中点.（1）求 证:CN平面P4M；（2）若直线PA与平面4BCD所成角等于60。，求二面角M-4P-C的余弦值.11Q面【答案】（1）见解析；（2）133.【解析】（I）如图，取线段4P中点色连结EN,EM,1,EN=-AB因 为 邑 N分别是P4、尸 8的中点，所以EN/18且 2,1CM=-AB在正方形4BCD中，M是CD的中点，所以CM4B且 2,所以CMEN且CM=E N,故四边形CNEM为平行四边形，从而CNME,又CNC平面P4

15、M,M Eu平面P 4 M,所以CN平面尸4M.（2）如图，过P作P014E于0,因为平面P4BL平面4BCD,平面P4BC平面4BCD=4B,P u 平面P 4 B,所以PO _L平面4BCD,又P C平面4BCD=4,从而4。为直线P4在平面4BC。内的射影，故4 P 为直线P4与平面4ECD所成角，所以ZP40=60.如图，以 为坐标原点，分别以过 点旦平行于40的直线、OB,OP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。盯Z,则4(0,-1.0),P(0,0,我,M(4,1,0),C(4,3,0),/IM=(4.2.0),A P =0,1.W),A C=(4.4.0)设m =(x

16、.yl t/J,n=(x2,y2,z 2)分别为平面4 PM和4 PC的法向量，fm-A M =0 4 xi +2/1 =0则|点 心=0,即卜1 +防=,令力=2十得m =(-祗2 氏-2),(n-A C=0 严 2 +4丫2 =。n -4 P=0 ,即卜2 +7 3 2 2 =。，令 力=8得 =(-何弧-1),-m-i i 3 +6 +2 l l y/1 3 3 1 1/1 3 3cos =-=-_i_ _ _ _/7 -=1因为M D M C,所以 2,所以t=l,M(0,1,1).由CMJ.4D.CM 1 M D,知C =(0.-1.D是平面M4D的法向量，HM=(-2,-1.1),

17、/Iff=(0,2,0),设平面4MB的法向量为百=(*,y.z),(tfBM=-2 x-y +z=0则 nAB=2y=0,取x=l,得百=(】，0.2),|n*CM|2 8I cost/1=-=设二面角B-M 4-D为。，则 同|西|25 5 A I-F 用因为所以、5.V15综上，二面角B-M 4-D的正弦值为-T.1 0.(湖 北 省2019届 高 三1月 联 考)如图，在四棱锥P-4BCC中，AB1PC,AD/BC,A D 1 C D,且PC=BC=2AD=2CD=2&,PA=2.(1)P 4，平面4BCC；PM(2)在线段P。上，是否存在一点M,使得二面角M-4 C-C的大小为60。

18、？如果存在，求方的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见证明；（2）见解析.【解析】在底面4ECC中，AD/BC,AD 1 C D,且8c=24。=2CD=2色;,AB=AC=2,BC=22,;.AB LAC,又.48 PC,ACnPC=C,4Cu 平面R4C,PCu 平面P4C,.45 1.平面P4C,又.P 4u平面P4C,.4BP4,V PA=AC=2,PC=22,.尸4 1 AC,X,/PA AB,ABaAC=A,4B u 平面4BCC,4 C u平面4BCD,;.P4 平面48。）.(2)取B C的中点E,则A E、A Dy A P三条直线两两垂直，可以分别以直线“以 皿 A

19、P为、y、z轴建立空间直角坐标系,且 由(1)知 力=2)是平面4 C D的一个法向量,P M=x (0,1)c设 P。-,，,则 MN=(l-x)P=2-2 x,A N =xA D=2xt.麻=(0,辰 2-2 x),市;=(2.2,0),设4 0 =(a,h,c)是平面A C M的一个法向量,(a-b(A Q A M =y/2xb+(2 -2 x)c =0 _则(A Q A C=v/2 a +v1 2 b =0 ,2x-2,令b =2 x _ 2,则H?=(_2X+2,2X-2,0),则E(0,0,a),.4 D 1平面4 BE,.平面A BE的一个法向量为由=(0.1.0),设平面BD

20、E的法向量为*2 =(五 将 又 麻=(-2.0.a),前=(-2,2.0),n2 BE=-2 X|+a z 1=0.n2 1 京E,n2 1 皿，n2.BD=-2 x j+2 yt=0解得卜1=%，取z =2,则*1 =丫1=。，；.平面3 0 5的一个法向量为“2 =（见 氏2）,cos n2 =闷 闷 a2+2+4 X2。4+4a.二面角4-BE-0 的大小为5,J2a2+4 2,解得a=M,.4E的长度为小.修真题用现1.（2018新课标全国n 理科）在 长 方 体 一 4 M G A 中，4 5=3 C =1,AA=石，则异面直线A）|与 所 成 角 的 余 弦 值 为D,显2【答案

21、】C【解 析】以D为 坐 标 原 点，DA,DC,DD,所 在 直 线 分 别 为 x,y,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则L L UUJH UULU L圈,所 以 一肛=（T 0,S）Q3I=（L L/）,因 为111 H M I H H M【名师点睛】先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破 建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出直线的方向向量或平面的法向量；第四，破“应用公式关2.（2017

22、新课标全国H1理科），人为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,6 都垂直，斜边A 8 以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与。成 60。角时，4 8 与 6 成 30。角；当直线AB与 4 成 60。角时，AB与 6 成 60。角；直线A 8与 a 所成角的最小值为45；直线A 8与。所成角的最大值为60.其中正确的是.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】依题意建立如图所示的空间直角坐标系.设等腰直角三角形A8C的直角边长为1.由题意知点8 在平面X。），中形成的轨迹是以C 为圆心，1 为半径的圆.设直线的方向向量为。=(0,1,0),直线的

23、方向向量为。=(1,0,0),以 6 釉为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为仇。0,2TI),则 B(cos。,sin 0,0),，器=(cos a sin 0,-1),I 淤 l=V.uun 史 _设直线A 3与所成夹角为a,则 cos a二。L 二1|sin 0,AB-a.,.45a90,.,正确，错误.UUU 正设直线A B 与 b所成夹角为6,则 cos 8=喧/二2 Icos 0 .ABb 一当直线 AB 与 a 的夹角为 6 0 ,即 a=60时,则|sin 0|=/2cos a=/2cos 60=2，|cos 0|=2.cos P=2|cos 夕|=2.V0090,A/?=60,即直

24、线A 3与 b 的夹角为60。.，正确,错误.3.(2018新课标全国I 理 科)如图，四边形A 3C O 为正方形,尸分别为A D,B C 的中点，以D F 为折痕把D E C 折起，使点C 到达点P 的位置，且8 尸.(1)证明：平面PER J_平面A B PO；(2)求 O P 与平面ABF。所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2)迫4【解析】(1)由已知可得，BFVPF,B F L E F,所 以 平 面 PEF.又B F u平面A B F D,所以平面PEFJ_平面ABFD.(2)作 P_LEK 垂足为.由(I)得，PH_L平面A8FD以”为坐标原点，F 的方向为y 轴正方向，尸

25、|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系”-孙z.由（I）可得，DE_LPENDP=2,DE=1,所以 PE=6-乂 尸 尸=1，E F=2,故 尸E_ L P E可得*田口，Q R m r H m r Q则H（O,O=O）,P（0:0:邛）,P（-L-5O）:DP=（L:HP=（0:0:与）为平面 ABFD 的法向量.设 CP与平面A 8 F C 所成角为。，则ULM ULM-_HP DP,4 gHP DP V3 4所以。P与平面ABFD所成角的正弦值为 之.4【名师点睛】立体几何解答题第问通常考查线面位置关系的证明，空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中

26、推理论证，的关键是结合空间想象能力进行推理，注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主.第二问一般考查角度问题，多用空间向量法解决.4.(2 0 1 8 新课标全国 I 理 科)如图，在三棱锥P-A8C中，AB=BC=2戊,PA=PB=PC=AC=4,O为 AC的中点.(1)证明：P。，平面A B C；(2)若点加在棱8 c 上，且二面角M-PA-C为3 0。，求 PC与平面B4M所成角的正弦值.【答案】（1）见解析：（2）昱.4【解析】（1）因为,4 P =。产=X C =4，。为AC的中点，所以O PLAC,且0 P =2 .连结0 8.因为HB=3C=Y 2X

27、C，所以 A B C为等腰直角三角形，且08,A C,0 B=-AC =l.2 2由。尸 2 +0 Bz=P B2 知 P。，。3 由 O P -0 B:0 P AC 知 P 0 1 平面 A BC.ULU/（2）如图，以。为坐标原点，05的方向为入轴正方向，建立空间直角坐标系。一个z l由已知 得。（0,0,0）I（2,0,0）,X（02：0）,C（X 2 0）,P（0=0 j J J）,7?=（0=2 j J J）,取平面 P A C 的法向 量 方=（2,0,0），设，化（7 2-冬0乂0。4 2）,则 而=（4 _ 4 0）.设平面PAM的法向量为n=（x,y,z）.由刀=0,L S

28、7.=0 得，+：,、一 7 可取”=(6(a-4)：7,BCu平面 48CD,所以 8CJ_平面 CM。,故 BCLDM.因为M 为C D 上异于C,。的点，且 0 c 为直径，所 以 OM_LCM.又 BC CM=C，所以QM_L平面8何C.而D M U平面AMD,故平面AMD_L平面BMC.(2)以。为坐标原点.A的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间宜角坐标系。-孙z.当三棱锥M-ABC体积最大时，M 为 C)的中点.由题设得。(0 O 0),X(2 0 0),3(2 2 0)C(0 2 0)M(0,U),i H mi 1 n BH t n 11AM =(-1 L 1),45=(0

29、2 0),DA=(2,0,0)设 =(x,y,z)是平面M A B的法向量，则U Lunn-.iA f=Q,uui 即M.18=0.-2 x+v+z=0.、二 ,可取”=(1,0,2).2y=0.ULM、D A是平面M C D的法向量，因此cosdD。=uumn DAUUB-D A?/s所以面M A B与面M C D所成:血角的正弦值是上2.56.（2 0 1 7新课标全国I理科）如图，在四棱锥P-/8 C。中，AB/CD,且N B A?=N C Z P =90 .（1）证明：平面8 _L平 面%。；(2)若 PA=PD=AB=DC,Z A P D=90。，求二面角 A-PB-C 的余弦值.【

30、答案】（1）见解析；（2）一立.3【思路分析】（1）根据题设条件可以得出A 8 _L A P,C D L P D.而 AB/CD,就可证明出4 8,平面附。进而证明出平面%BL平面PAD.（2）先找出45中点，找出相互垂直的线，建立以F为坐标原点，必 的方向为无轴正方向，|4 8|为单位长的空间直角坐标系，列出所需要的点的坐标，设N =（x,y,z）是平面P C 5的法向量，m=（xyzz）是平面P A 3的法向量，根据垂直关系，求出”=（0L一或）和 力=（1，1），利用数量积公式可求出二面角的平面角.【解析】由已知N 5 X P =N C Z）P =90，得A 8 4 P,CDLPD.由于

31、4 8 C O,故A 8 _L P O,从而4 8 _L平面以）.-X A B u 平面以8,所以平面用8 _L平面以）.（2）在平面P4D内作P F J.A O ,垂足为尸，由（1）可知，A3，平面P A D,故A B _L P尸，可得P F _L平面A 6 C D.以尸为坐标原点，F A的方向为为轴正方向，|A B|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系尸-孙z.由（1）及已知可得 4 号,0,0）,P（0,0小），B（U,O），C（-:1:O）.UUT J】J2 uua L U L M 3所以尸C=（一:上 一 争，CB=（RO,O）,尸 一 4=（牛 刀 与），.钳=（0工 0）设 =

32、（x,y,z）是平面PCB的法向量,/2 TX 亍-一 可取加=（1,0,1）.y=0.n-PC=0,x+v-z=0,l则 即2 2 可取”=（0.1_一 衣）.设1=（x j,z）是平面尸A 8 的法向量，r unim-PA=0.则 U U fflm AB=0s则cos“=一 更,所以二面角A PB C 的余弦值为正.iiim 3 37.（2017新课标全国II理科）如图，四棱锥尸-ABCQ中，侧面以。为等边三角形且垂直于底面ABCZ）,4B=BC=-.W.&A D =乙4BC=90.E 是尸。的中点.7（1）证明：直线CE平面以8；（2）点 M 在棱P C 上，且 直 线 与 底 面 AB

33、CO所成角为45，求二面角M近-0 的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）叵.5【思路分析】（1）取 P A 的中点E,连接E F,BF,由题意证得C E8/，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：”1=（0,、同2），=（0,0,1）,然后利用空间向量的相关结论可求得二面角,M-X B-Z）的余弦值 为 巫.5【解析】（1）取 PA的中点F ,连接E F ,B F .因为E是 P。的中点，所以E 尸 A。，E F =-A D ,2由乙乙四。=9 0。得 BC A D,又3 C =g AQ,所 以 律&B C，四边形3 C EF是平行四边形，CE/B

34、 F .又B Fu平面P A 8,CE z平面PA8,故CE 平面P A 8.（2）由已知得8 4_ L A Z）,以A为坐标原点，A8的方向为x 轴正方向，,目 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系4-小，则 4(0,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),P(0,l,有),P C=(1,0-),A B=(1,0,0),ULUHIu L u n ._ _设M(x1M z)(0 x=。，w.13=0.升=0,所以可取出=（0,-/6.2）.于是cos”=T=网 同,因此二面角M-J B-D的余弦值 为 巫55【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角

35、；利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准 确 计 算.（2）设桁，分别为平面a,的法向量，则二面角，与 互补或相等，故有|cos例=|cos|=m n.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.8.（2017新课标全国IH理科）如图，四面体ABC力中，“BC是正三角形，AC。是直角三角形，Z A B D=Z CBD,A B=BD.（1）证明：平面AC。，平面ABC；（2）过 4 c 的平面交B D于点E,若平面A E C把四面体A B C D分成体积相等的两部分，求二面角D-A E-C的余弦值.（2）设机，“分别为平面a,的法向量，则二面角6 与（为,）互补或相等,且|COS8|

36、NCOS7”M|=m-n厂 in .求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.9.（2016新课标全国I 理科）如图，在以A,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形，AF=2FC,N IE D =90，且二面角o-A F-E与二面角C-BE-尸都是60（1）证明：平面A B E F 1平面E F D C；（2）求二面角E-BC-A的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）-2叵19【思路分析】（1）证明ZbJ平面EFOC,结合/尸 u平面48 E F ,可得平面Z8 E/J.平面E F DC：（2）建立空间坐标系，利用向量求解.【解析】（1）由已知可得,A F F E

37、,所以NFL平面E E D C.又Z Ru平面故平面4BE E _ L平面E P O C.（2）过。作。GLEF,垂足为G,由（I）知。G,平面Z8 E F.以G为坐标原点，GF的方向为*轴正方向，,尸|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G-型.由（1）知NDFE为二面角。一 4/一 E的平面角，故N D F H =6 0，贝 叶。F|=2,|Z）G|=3，可得A(l,4,0，5(-3,4,0),E(-3,0,0),。(0,0,.由己知，AB/EF,所以A 3平面E P D C.又平面 A 8 C O 平面 E T O C =QC,故 A B H C D ,C D H E F .由3 EA尸，可得BE,平面E FD C,所以N C E户为二面角C-BE-F的平面角,Z C F =60.从而可得.所 以 院=（L O：6），UU5U=(0,4,0),AULCU=-3.-4.1 j3),=(4.0.0).设=（x,y,z）是平面8 C E的法向量，则，小 C =0,即n-EB=0:;廿，所以可取“巾。设机是平面/5 C O的法向量，贝 时inmm A C=0ULB IIm A B=0同理可取1 =0：招：4），贝i j cos=合 =2回19故二面角？BC-A的余弦值为一2叵1 9