2022年黑龙江省高考数学联考试卷（理科）（学生版+解析版）.pdf

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1、2022年黑龙江省高考数学联考试卷（理科）一、选 择 题（本题共12小题，每小题5 分，共 60分，每小题只有一个选项是正确的）1.（5 分）已知集合4=-1,0,I,2,8=x|x （x-2）0 ,则 AC B=（）A.0 B.0 C.1 D.01 12.（5 分）已知i 是虚数单位，复数z =3,则复平面内复数2所对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.（5 分）已 知 向=遥，b=（1,2）,K a II b,a b 0,6 0）,点尸1,七为双曲线的两个焦点，以 F i 出 为直径的圆与双曲线相交于点尸（点 P在第一象限），若40尸 2 三卷，则双曲线离

2、心率的取值范围是（)A.+o o)B.V3+1+8)C.(1,D.(1,V3+19.（5 分）密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的工 工 称 为 1 密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如 15密位记为“00-15”，7T 37T1 个平角=3 0-00,1 个周角=6 0-0 0,已知函数/（x）=V3x-2cosx,xG ,当/（X）取到最大值时对应的X用密位制表示为（）A.15-00 B.35-00 C.40-（）0 D.45-0010.（5 分）如图，将一张边长为4

3、的正方形ABC。硬纸片，剪拼成一个正四棱锥的模型，以长、宽分别为2 和 1 的两个长方形拼接成边长为2 的正方形作为模型的底面，使正四棱锥的表面积等于正方形ABC。的 面 积（不计接缝的厚度）若将正方形A8CD按图中虚线剪开，则该模型的体积为（）411.（5 分）已知函数/（x）=x-m（xGl,4）,则/（x）的最大值g（小）的最小值是（）1 1A.-B.-C.1 D.23 212.（5 分）在正方体A8CO-4B1C1Q1中，|43|=3,点 E 是线段A 3 上靠近点A 的三等分点，在三角形4 8。内有一动点尸（包括边界），则|%|+|尸 的最小值是（）A.2 B.2V2 C.3 D.3

4、73二、填 空 题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20分）x y+1 3 013.（5 分）若实数x,y 满足+y N 0,则 z=3x-4y的最小值是.%0,若对任意的x 6 l,+）,不等式2mxt 2 0恒成立，则，的最小值为.三、解 答 题（共 7 0 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1 7-2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共 60分1 7.（1 2 分）己知数列。满足 a i=1,a”-1 -斯,且 a”羊。.（1）求数列 小 的通项公式；（2）若 匕=（一1严1（2 7 1+1）册O n+l

5、，数列 加）前“项和为n”求7 2 0 2 2.1 8.（1 2 分）如图，在三棱柱 A 8 C-4 B 1 C 1 中，C C i_ L平面 A B C,A C1BC,A C=BC=2,C C i =3,点。，E分别在棱A 4 1和棱C C 1上，且A =1,CE=2,M为 棱 的 中 点.（I ）求证：C 1 M _ L 平面 BB1D：（I I）求二面角B-B 1 E-D的余弦值.1 9.（1 2分）为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送3位同行专

6、家进行评审，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.3位专家中有1位专家评议意见为“不合格”，将再送2位同行专家（不同于前3位）进行复评.复评阶段，2位复评专家中有1位 以 上（含1位）专家评议意见为“不合格”，将认 定 为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为p (0 p b 0)的离心率为y,且过点(1,另),点A,B分别为椭圆E的左顶点和右顶点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)是否存在定点M(6 0)(-a t a),对任意过点M的直线C O (C,。在椭圆C上且异于月，B两点)，都有&BO=3 MC.若存

7、在，则求出/的值；若不存在，请说明理由.2 1.(1 2 分)设函数/(x)e+e,g(x)=V 7 x-%2-1.(1)求曲线y=g (x)在 点(2,g (2)处的切线方程；(2)设/?(x)=f (x)-?-2,求(x)的最小值；(3)证明：f(x)(x).(二)选考题：共 10分.请考生在第22、2 3 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2 B 铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑.选修4-4：极坐标与参数方程2 2.(1 0分)在平面直角坐标系x O y中，圆C 1的参数方程为(J:sindS 6(0为参数)，以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，

8、曲线C 2的极坐标方程为p s i n(9 +7 T、3 /24)=丁(1)求 圆C i的极坐标方程及曲线C2的直角坐标方程；(2)设射线1：8=a(0 V a，)与圆C i交于异于原点O的一点M,与曲线C1交于点N,求 O C 1 M与 0 G N面积之比的最大值.选修4-5：不等式选讲(10分)2 3.已知函数f G O =|x-2|+|2 x-1|.(1)求不等式/(x)6的解集；(2)已知对任意的x R,都有/(x)为,若a,h,c均为正实数，a+2b+2c=2t+2,在空间直角坐标系中，点(a,b,c)在 以 点(0,-1,-1)为球心的球上，求该球表面积的最小值.2022年黑龙江省

9、高考数学联考试卷（理科）参考答案与试题解析一、选 择 题（本题共12小题，每小题5 分，共 60分，每小题只有一个选项是正确的）1.（5 分）已知集合4 =-1,0,1,2,B=xx（x-2）V 0 ,则 AC8=（）A.0B.0 C.1 D.0,【解答】解：集合A =-1,0,1,2）,8=小（x-2）0 =x 0 x V 2,则 A C 8=1.故选：C.2.（5分）已知i是虚数单位，复数z=磬，则复平面内复数，所对应的点在（）3 1A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限._ _ 1 7.,z =io_io,1 7复平面内复数，所对应的点(77，-二:)在第四象限.1 0

10、1 0故选：D.3 (5 分)已 知 向=遍，b=(1,2),J L a II b,a-h 0,贝丘的坐标为()A.(1,2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2)【解答解:b=(1,2),且I l l i a b 09可知Q=Z(-1,-2),a=V 5,可得左=1,则：的坐标为(-1,-2).故选：D,4 .(5 分)己 知 即(仇+电=2,则t an(2 a 亨)=()4 3 A 3A.-B.一 C.-5 D.-73 4 3 4【解答】解：+9=2,TT TT TT，t an(a不)=-t an (。+可)=s m g-(a+g)_c o s 匿-(a+勃-c o s(a+1

11、 is in(Q+)t an(a+)2,tan(2a 一 )=2 t an(a2 x(；)l-t an2(a-1)1-i4,故选：C.5.(5 分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取，并测零件的直径尺寸，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件直径尺寸x(c”)服从正态分布N (1 8,4),若 x落在 2 0,2 2 内的零件个数为2 71 8,则可估计所抽取的这批零件中直径x高 于 2 2 的个数大约为()(附：若随机变量服从正态分布N(R,。2)P(H-。W 孑 W u+o )七0.6 8 2 7,P(n-2 a)*=0.9 5 4 5

12、,P (口-3。WJWH+3 )、0.9 9 73.A.2 7 B.4 0 C.2 2 8 D.4 5 5【解答】解：零件直径尺寸x (cm)服从正态分布N (1 8,4),H=1 8,。=2,|i+o =2 0,|i+2 o=2 2,A P(2 0%2 2)09545严827=Q 1359)p 小2 2 2)1-0.9 5 4 52=0.0 2 2 75,故所抽取的这批零件中直径x高于2 2 的个数大约为2 71 8+0.1 3 5 9 X0.0 2 2 75=4 5 5.故选：D.6.(5 分)已 知/,相是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，命题p：若根u a,2 仇则 a 仇 命题

13、伙 若“J _a,Zp,a 印 则加/；则下列命题正确的是()A.p/q B.Lp)fq C./?V Lq)D.(-/?)A (-【解答】解：若加u a,m 仇 则 a 0 或 a 与 0相交，故为假命题；若 m_L a,a0,又/J _0,则 加/,故 q为真命题.p A 4 为假命题；(#八 为真命题；P7 0 I)为假命题；Lp)A Lq)为假命题.故选：B.7 17.(5分)函 数/(x)=si n (2x+cp)的图象向右平移二个单位得到函数g(x)的图象，若 g6(x)=g (-x),当|(p|最小时，(p 的 值 是()TC T T【解答】解：函数次x)=si n(2x+p)的图

14、象向右平移二个单位得到函数g(x)=si n(2x-g+(p)的图象，由于函数满足g(x)=g(-x),所以一号+年=匕1+刍,整理得(p =E+节(t ez)；当 欠=_ 1时，(p=一亲即明 的值最小，故选：A.x2 y28 .(5分)已知双曲线的方程是方一 七 =l(aO,b0),点 为，尸2为双曲线的两个焦点，以F l尸2为直径的圆与双曲线相交于点尸(点P在第一象限)，若N P F 1 F 2 s 9 则双曲线离心率的取值范围是()A.呼 +co)B.V3+1/+co)C.(1,D.(1,V3+1【解答】解：以F 1 F 2为直径的圆与双曲线相交于点P,./为尸放=9 0 在 P F

15、1 F 2中，由正弦定理有IP&Isinz.P F2F1P F2 _|F i f2lsinz.P F1F2 sinz.F1P F2=2c,所以|P F 1 1=2csi n /P F 2 Q,|P f21=2csi n /P F i 园,二2a=|P F 1|-P F2=2csi n ZP F2F1-2csi n ZP F尸2=2c si n (9 0 -Z P F 1 F 2)-si n ZP F1F2=2C(COSZ P FIF2-si n Z P F i F 2)=2V 2c*co s(Z P FIF2+45),：.-aT TV 6 V 2V ZPFXF2 o =30 ,.,.Z P F

16、 1 F 2+4 50 6(4 5,7 5,-4-,-1-&OS(/P FIF2+45。)/3x-2cos羽则/（x）=A/3+2sinx,TC 3n又 在 ,2，7 T 47r 47r 3TC当（一,）时，f （x）0,当 xE（一,一）时，f （x）VO,2 3 3 2Ti 47r 47T 37r即函数在（3,y）为增函数，在（与，-y）为减函数，则当x=等时函数/（x）取最大值，4由密位制中角的密位的运算可得孑个平角=40-00,故选：C.10.（5 分）如图，将一张边长为4 的正方形ABC。硬纸片，剪拼成一个正四棱锥的模型，以长、宽分别为2 和 1 的两个长方形拼接成边长为2 的正方形

17、作为模型的底面，使正四棱锥的表面积等于正方形ABC。的 面 积（不计接缝的厚度）若将正方形A8C。按图中虚线剪开，则该模型的体积为（）4A/7D.3V2【解答】解：正四棱锥P-E FG”是符合题意的模型，如图,J正方形E F G H 的边长为2,点。是其中心，点 M是边EF中点，连接P O,P M,0M,则P O,PM分别是正四棱锥P -E F G H的高和斜高，正方形E F G H的面积为4,而正四棱锥的表面积等于正方形A B C D的面积1 6,则面积为3,即有 SM E F=E F -P M =P M =3,又 0M=1,于是得 P。=7 P M 2-0 M2=2五,因此，Vp-E FG

18、H=/X 4 X 2V 2=8 j,所以模型的体积为 竽.故选：A.1 1.(5分)已知函数/(x)=|x+1-z|(x6 l,4 ),则f(x)的最大值g(w)的最小值是()1 1A.-B.-C.1 D.23 2【解答】解：令 尸 x+g(x H l，4 ),则=1-3=匕 .xen，2 时，函数y=x+g单调递减，x e 2,4 时，函数)，=x+g 单调递增，4所以可得y=x+-4,5 ,二当m W 3 时，函数/(X)的最大值为g (帆)=5 -?;值为 g(m)=m -4,时9-2心当当 区2 时，函数 g (in)5-m 2：当?3 时，g(加=?-4 *,1，函数g(w)的最小值

19、是3.故选：B.12.(5 分)在正方体48CQ-A1BC1D1中，|A8|=3,点 E 是线段AB上靠近点4 的三等分点，在三角形A1B。内有一动点P(包括边界)，则|以|+|PE|的最小值是()A.2 B.2V2 C.3 D.3次以。为坐标原点，分别以ZM、DC,1所在直线为无、y、z轴建立空间直角坐标系,由正方体的对称性可知,ACi_L平面 AiB。，A(3,0,0),C(0,3,3),E(3,1,0),设 A 关于平面 A1BO 的对称点为 A,4乙=(一3,3,3),ACr=V32+32+32=373,由等体积法求得A 到平面4 8。的距离h=ixix3x3x3|x|x3V2x3V2

20、x=V32 T：.AA =2 V 3,则44=豺 G=(-2,2,2),设 A(x,y,z),则4 4 =(x-3,y,z)=(-2,2,2),即 A(1,2,2),=(2,1,2),可得I必|+|P1 的最小值是)(2尸 +/+22=3.故选：C.二、填空题(本题共4 小题，每小题5 分，共 2()分)x y+1 N 013.(5 分)若 实 数JG y 满足卜+y NO,贝 U z=3x-4-的最小值是-4.%3,当且仅当 m=0 时取等号,故答案为：3.16.（5 分）已知加 0,若对任意的1日1,+8）,不等式2加-1 一1/。94%2 0恒成立，则相的最小值为 4-eln2【解答】解

21、：2*1 -4 o g d 0变形为2侬 一 1 一aog”2 0,即 2彩 口 Og2X,即，取/C 乙 J I L J I L2侬2 叫 212的公,设/(f)=f2 (Z0),f (r)=2+f2 ln 2 0,则/在(0,+)上单调递增,由/（校）2/（log2X）恒成立得如210g2X在（1,+）上恒成立，即 心“。号2上:在（1,+8）上恒成立,设 g(x)=等(X1)g(X需,1cx 0,函数g（x）在（1,e）单调递增,xe 时，g(x)0,g(x)在(e,+且(1)求数列 念 的通项公式：(2)若b =(-l)+i(2n +l)aaM+1,数列 为 前 n 项和为 T n,求

22、 了 2022.【解答】解：(1)数列 所 满足ai=l,an-anan.-an,1 1两边同除an-an,得一 -=1；an an-l所 以 是 以 1 为位首项，1 为公差的等差数列.1所以一=n,a九即 时=I-%=(-1 严黯=(-1严 吗+专)，1 1 1 1 1 1 1 1 1 172022=(1+2)-(2+3)+(3+4),+(2021+2022)一 2022+2023)=1-2023=20222023,18.(12 分)如 图，在三棱柱 ABC-AiBiCi 中，CCi_L平面 ABC,AC1BC,AC=BC=2,C C i=3,点 ,E 分别在棱A 4i和棱CCi上，且 A

23、Z)=1,CE=2,M 为棱AiBi的中点.(1 )求证：C1MJ_平面 BBiD；(I I)求二面角B-B E-D 的余弦值.【解答】(I)证明：因为CCi_L平面ABC,CAu平面ABC,C3u平面ABC,所以 CCiJ_C4,C C ilC B,又因为4C_LBC,所 以 CA、CB、CCi两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，Ci(0,0,3),4(2,0,0),B(0,2,0),D(2,0,1),M(1,1,3),TGM=(1,1,0),4B=(-2,2,0),AD=(0,0,1),所以GMAB=O,CjMMD=0,所以 CMAD,因为 ABu平面 BBiO,AOu平面 ABClA

24、O=A,所 以 CiM_L平面BBD.3),2),(I I)解：由(I)知 E(0,0,2),B(0,2,ED=(2,0,-1),EBX=(0,2,1),设平面BED的法向量为m=(x,y,z),E g =2 x-z =0,令 7=2,薪=(1.-1,m-EBr=2y+z=0平面BiEB的法向量为彳=(1,0,0),-T所以二面角B-B E-D 的余弦值为吁叼=W,|m|n|V6,1 619.（12分）为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送3 位同行专家

25、进行评审，3 位专家中有2 位以上（含 2 位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.3位专家中有1位专家评议意见为“不合格”，将再送2 位同行专家（不同于前3 位）进行复评.复评阶段，2 位复评专家中有1位 以 上（含 1位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为p（0p 0,g(0)在(o,上单调递增,当p e g,1)时，g,(P)o,g(p)在4，1)上单调递减,(p)的最大值为g(=，所以每篇论文平均评审费用的最大值是1 30元.32 y 2A2 0.(1 2分)圆 氏 京+京=l(ab0)的离心

26、率为三，且过点(1,彳)，点A,B分别为椭圆E的左顶点和右顶点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)是否存在定点M 6 0)(-a t a 对任意过点M的直线C O(C。在椭圆C上且异于4,8两点)，都有依。=3&AC.若存在，则求出/的值；若不存在，请说明理由.(1 3-由2 H-4-b-7z =1(a=2n【解答】解：由题意得：()由韦达定理可得%+y2=言 舞，y，2 =芯，所 以 一 及 四 一 =_ _ _ _ _ _ _ _ 匕丝_ _ _ _ _ _ _ _=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 匕丝_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=(Xi+2)(

27、x2+2)(m y1+t+2)(m y2+t+2)m2y1y2+m(t+2)(y1+y2)+(t+2)2/-4_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ m 2+4 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _t-4 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _而 写 1+7 n02)亨+”2)2 m2t2-4 m2-2 m2t(t+2)+(t+2)2(m2+4)-mz+4 、mz+4t2-4 14(t+2)2 一 1 2 解得/=1,所以存在点M(L 0),对任意过点M 的直线C O

28、(C,。在椭圆。上且异于A,5两点)，都有 kBD=3 kA C.2 1.(1 2 分)设函数/(尤)=e+e%g(x)=V 7 x -%2-1.(1)求曲线y=g (x)在 点(2,g(2)处的切线方程；(2)设(x)=f(x)-x2-2,求 h(x)的最小值；(3)证明：f(x)(x).【解答】解：(1)由g(x)=Sx /_ i,g /(%)=7 2%,27XX21即g (2)=4,且 g (2)=3,所以曲线y=g (x)在 点(2,g(2)处的切线方程为y-3 =4(x-2),即y =：x +2；(2)由 力(x)=f(x)-x2-2,得*(x)-e x-2x,从而1 =姬+2 2

29、2、心 L 2 =0,所以在 R上为增函数，注意到“(0)=0,则当 x V O 时,K(x)0 时,K(x)0,所以力(X)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，所以x=0 是力(%)的极小值点，也是(%)的最小值点，故力(x)的最小值为(0)=0；(3)证明：令 H(x)=f(x)-xgCx)=ex+e-x-xy/7x-x2-1(x 7 汽一%2 1癖0,而曲线y =x +,在 x=2处的切线方程为y =1 x +2.因为(x +J)-(1X+2)=+J-2 2 骁-2 =0(当且仅当x=2 时取等号)，2 1 X/所以 +2 成立，由此，即证二+2 7x%2 1.而6+2A

30、一 (V 7%-%2-I)2=|(%2)2 0 (当且仅当x=2时取等号).所 以:+2 -7%一-一 1 成立.综上，H(x)0,即f (x)(x)成立.(二)选考题：共 10分.请考生在第22、2 3 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2 B 铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑.选修4-4：极坐标与参数方程2 2.(10 分)在平面直角坐标系仙，中，圆 C1的 参 数 方 程 为 匕 二),os。(。为参数)，以原点。为极点,X 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为p s i n(。+7、3/24)=(1)求 圆 Ci 的极坐标方程及曲线C2

31、的直角坐标方程；(2)设射线1:9=a(0 Va，)与圆Cl交于异于原点O的一点M,与曲线C2 交于点N,求 0C M与 O Ci N 面积之比的最大值.【解答】解：(1)圆。的普通方程为(x-2)2+y2=4,所以圆Ci 的极坐标方程为p=4 cos 0.由p s i z i(。+今)=-,p(-sinQ +cos 0)=所以曲线C2 的只直角坐标方程为x+)，=3.(2)因为SAO C=*li|0 M|s i na,1SA O G N=)|O Ci|O N|s i na,即S&OC1M _|OM|SOCN|ON|且|O M =p i=4 cos a,O N=p2=而 捻 颉，SO J M

32、P i 4 2/n所以-=-=-cosa(sina+cos a)=y2sin(2a+)+1,SA OQN P2 3 3 4当且仅当a=患时，0C1M与0C1N面积之比的最大值是|(0 +1).选修4-5：不等式选讲(10分)23.已知函数/(X)=|x-2|+|2x-1|.(1)求不等式/(x)的解集；(2)已知对任意的xR,都有力，若a,b,c均为正实数，a+2b+2c=2t+2,在空间直角坐标系中，点(a,b,c)在 以 点(0,-1,-1)为球心的球上，求该球表面积的最小值.【解答】解：(1)当x W；时，/G)=2-x+1-2x=3-3x6,解 得xW-1,此 时xW 1;1当5:2

33、时，/(x)=2-x+2x l=x+16,解得 此时 x0；当 x22 时，/(x)=x-2+2x-l=3x-326,解得 x 2 3,此时 x23.综上所述，不等式/(x)2 3的解集为国式-1或x23；3 3x,%(2)由(1)可知 x+i,1 x 2所以，函数/(X)的单调递减区间为(8,1,单调递增区间为8,+00),所以，t=f(2)=2，所以，a+2b+2c=2f+2=5,因为a、b、c均为正实数，由柯西不等式可得(1+2+2)(a?+(b+1)?+(c+1)2+2(。+1)+2(c+1)/=81,所以，R2=J+(/I)2+(c+i)229,则该球表面积为411炉236TT,当且仅当。=券=竽，即。=1,h=l,c=l时取得等号.所以该球表面积的最小值为36n.