上海金山2023年高考仿真卷数学试题含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2 .答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4 .作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 .保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .函数y =/(x)满足对任意xeR都有/(x+2)=/(-x)成立，且函数y =/(x-l)的图

2、象关于点(1,0)对称,/(1)=4,贝|/(2 0 1 6)+2 0 1 7)+2 0 1 8)的 值 为()A.0B.2 C.4D.12 .设 Q =l o g 3().5,b=l o g0 2 0.3,C=23,则 的 大 小 关 系 是(A.a b C B.a c bC.c a hD.c h 0力 1满足a +Z =5,则一+-的最小值为()a b-l3+20 3+4 夜 C 3+2 7 2 八 3+4 7 2A.-B.-C.-D.-4 4 6 64.已 知 双 曲 线 2=1的一条渐近线方程是丫=且 工，则双曲线的离心率为(6 r 3V 3 R V 6 V 3 n 2G3 3 2 3

3、x+y-2 05.已知实数x,)满足约束条件x-2 y-2 4 0,则目标函数z =匕2的最小值为.x+1,1 1 1 ,.6 .已知等差数列 4的公差不为零，且 一，一，一 构成新的等差数列，S“为 4的前 项和，若存在使得S“=0,“1则二()A.10B.11C.12D.137 .下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是()A.正方体B.球体C.圆锥 D.长宽高互不相等的长方体 4V+3 r 1,则关于尤y的方程（1一 人）幺+9=后2 _ 所表示的曲线是（）A.长轴在y轴上的椭圆 B.长轴在X轴上的椭圆c.实轴在y轴上的双曲线 D.实轴在*轴上的双曲线1 0 .中国古代用算筹来

4、进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，则5 6 8 4 6可用算筹表示为（）1 2 3 4 5 6 7 8 9I II in m i m u T H H而 纵 式_ =X=工 横 式中国古代的算筹数码A.IIIIIIIIIT-lllllT c.T llllllD-lllllllll1 1.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1

5、7 4 2年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 1A.-B.-5 31 2.正三棱柱A BC-A笈G中，C.A4,=OAB,3 2一D.一5 3。是 的 中 点，则异面直线A O与A C所成的角为（)兀B.一4C.71 D.万3 2人2 21 3.已知实数。力 之 一,且/a =b，由 加=幺+里 的 最 大 值 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _2a b1 4 .若 函 数/(幻=必+(、为奇函数，则。=.1

6、 5 .函数/(x)=a e、与g(x)=-x-1的图象上存在关于x轴的对称点，则实数”的 取 值 范 围 为.1 6 .函数/(x)=的定义域为.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 21 7.(1 2分)已 知 椭 圆C:+%=1 (a b 0)的两个焦点分别为F i (0,0)、F 2 (、历，0).点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点N的坐标为(3,2),点P的坐标为(m,n)(m#3).过点M任作直线1与椭圆C相交于A、B两点，设直线A N、NP、BN的斜率分别为匕、k2、k3,若ki+k3=2 k2,试

7、求m,n满足的关系式.1 8.(1 2分)设 数 列 叫，其前项和S,=32,又 也 单调递增的等比数列，伪好3=51 2,a,+b,=a3+b3.(1)求数列 叫，出 的通项公式；h2(1 1)若%=9 _ 2)犷 一1)*求数列 5 的前n项 和 并 求 证：1 9.(1 2分)如 图，四棱锥P-ABCD的底面A B C O中，A/WO为等边三角形，B Q D是等腰三角形，且顶角Z B CD=120,P CY B D,平面尸8。平面 A B C。，/为R 4 中点.(1)求证：D M/平面P B C；(2)若 P D上P B,求二面角CP A-8的余弦值大小,2 0.(1 2 分)已知函数

8、/(X)=G?+c o s x(a e R)(1)当时，证明尸(xO,在 (),+.(1)设/心)=/3-3 1一|(九一1)2,求函数/z(x)在(0 上的零点个数；3(2)试探讨是否存在实数。(-2,+8),使得g(x)wx+4a对xe(a+2,+8)恒成立？若存在，求。的取值范围;若不存在，说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】根据函数y=/(x-1)的图象关于点(1,0)对称可得 X)为奇函数，结合/(x+2)=x)可得/(x)是周期为4的周期函数，利用/(0)=0及/(1)=4可得所求的值

9、.【详解】因为函数y=/(x 1)的图象关于点(1,0)对称，所以=y(x)的图象关于原点对称，所以“X)为R上的奇函数.由/(x+2)=/(-x)可得/(x+2)=-/(x),M./(x+4)=-/(x+2)=/(x),故 是 周 期 为4的周期函数.因为 2016=4x504,2017=4x504+1,2018=4x504+2,所以 2016)+/(2017)+2018)=/(0)+1)+2)=4+/(2).因为/(x+2)=/(x),故“0+2)=-0)=-/(0)=0,所以 2016)+2017)+2018)=4故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果R上的函数“X

10、)满足/(x+a)=-/(x)(a，o),那么/(x)是周期为2a的周期函数，本题属于中档题.2.A【解析】选取中间值o和1,利用对数函数y=lo g/,y=bg.2x和指数函数y=2 的单调性即可求解.【详解】因为对数函数y=log3 x在(),+。)上单调递增，flog30.5log3l=0,因为对数函数y=iog02 x在(),+8)上单调递减，所以 0=logo 21 log02 0.3 2。=1,综上可知故选:A【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3.A【解析】2 1 I

11、 7 1所求一+的分母特征，利用。+。=5变形构造。+3-1)=4,再等价变形一(一 +)口+(。-1),利用基本不a b-4 a h-等式求最值.【详解】解：因为。0,1满足 +g 5,则 2+1=（2 +）a+（匕 -1）x!a b-l a b-1-v 刀 4i 3+2（1）aH-b-乎+2 当且仅当2(7)=旦 时 取 等 号,a b-l故选：A.【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项

12、、添项应注意检验利用基本不等式的前提.4.D【解析】双曲线的渐近线方程是y=x,所以1=正，即。=6力=1 ,c2=a2+/72=4，即c=2,e=?百，a a 3 a 3故 选D.5.B【解析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数2=*的 几 何 意 义 为 动 点M(x,y)到定点。(-1,2)的斜率，利用数形结合即可得到z的最小值.【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数z=三1的几何意义为动点M(%,y)到定点D(-l,2)的斜率,当“位 于 一 与 时，此时D A的斜率最小，此时，_ 2 2 5.I 2；Z=_77F=_4故选B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点

13、之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.6.D【解析】利用等差数列的通项公式可得4=-6 1,再利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】1 1 1由 一，一，一构成等差数列可得%_ J_ _ _ 1 _6 ，。3a3a4 a a4又 =q +3d =q =2(4+3J)解得：%=6d又 S“=2q +(-l)d =5 (-12 0时，/(x)的单调性和零点，令/(/(x)=O,根据“x W O时,/(x)的取值范围 得到 X)=2x+l o g3%-9 =3,利用零点存在性定理，求得函数y =/(/(%)的零点所在区间.【详解】当x W O时，3 /(x)4.当

14、尤之0时,/(x)=2+l o g 9 f _ 9 =2+蜒3%-9为增函数，且 3)=0,则x =3是 唯 一 零 点.由 于“当x W O时，3 /(%)4.,所以令/(/(力)=0,得/(x)=2*+l o g 3 X-9 =3,因 为 3)=0 8 x l.4 14 +l o g33-9 =3.3 12 3,所以函数y =/(/(%)的零点所在区间为(3,3.故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9.C【解析】2 2根据条件，方程(1-%)/+9=公 1.即/-士-=1,结合双曲线

15、的标准方程的特征判断曲线的类型.【详解】解：,:kl,.l+O,*2-10,2 2方程(1 攵卜2+丁=左2-1,即 冒 力 一 缶 =1,表示实轴在y轴上的双曲线，故 选C.【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为/.-=1是关键.k2-l k+l10.B【解析】根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案.【详解】解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示,二.56846用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6,从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为8中的.故选：B.【点睛】本题主要考查学生的合情推理与

16、演绎推理，属于基础题.11.A【解析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有3+3=6,利用古典概型求解即可.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知，所求概率为尸=最故选：A.【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.12.C【解析】取中点E,连接4 E,C E,根据正棱柱的结构性质，得出则N C 4 E即为异面直线A。与A C所C E成角，求出ta n/C A E =7,即可得出结果.【详解】解：如图，取4 c l中点E，连接4 5，CE,由于正

17、三棱柱A B C-A q,则B旦1.底 面4片，而4EU底 面ABC一 所 以B8|J.A E,由正三棱 柱 的性质可知，A4G为等边三角形，所 以AE，4G，且4E B C=E,所 以AE，平 面84GC，而 ECu平面 BgCC，则 4ELEC,则 4E 孙 “E C =9 0,:.NC4E即 为 异 面 直 线AQ与4。所 成 角，设 A B=2，则 A A =2 f2,AE -6,C E -3,C E 3 l则 t a n Z C E-j=-乖）,E J 37TNCAE=故选：C.【点 睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.二、填空题：本 题 共4小 题，每 小 题5分

18、，共20分。IQ 3 册.13.-+12【解 析】将其转化为几何意义，然后根据最值的条件求出最大值【详 解】由。2。二 一 2化 简 得aa2 a=b b2 9 可得。？=a+b b2，b1=a+b a2一 b2 a2 a+b-a2 a+b-b2，b，a】b a 7 c则 M=+=-+-=1 +。+1+h=+a-b +2a b a b a b a b由几何意义得ge 也一 1,1+0,贝！收 1,1+0,为求最大值则当过点A或点3时a+h取最小值，可得M=V2-1+1+V2-+2=+12 2 2 2a.,.b1 30 ,所 以 朋=一 +一 的 最 大值是八一+1a b 2【点睛】本题考查了二

19、元最值问题，将其转化为几何意义，得到圆的方程及斜率问题，对要求的二元二次表达式进行化简，然后求出最值问题，本题有一定难度。14.-2【解析】由f(x)是定义在R上的奇函数,可知对任意的,/(-x)=-/(2 都成立，代入函数式可求得“的值.【详解】由题意,/的定义域为R J(x)=/+=x2f l +2+1 I 2+1J,f(x)是奇函数，则/(一%)=一/。),即对任意的一耳 1 +盟，=-*2(1+品)都 成 立，故 品=一 1 +整理得 2 =0,解 得 一 2.故答案为：-2.【点睛】本题考查奇函数性质的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.15.a【解析】先求得与g(X)关于X轴

20、对称的函数(幻=x+1,将问题转化为/(X)=a e 与(x)=x+1的图象有交点，即方程aex=x +l有解.对。分成a =0M 0三种情况进行分类讨论，由此求得实数a的取值范围.【详解】因为g(x)=-X-1关于X轴对称的函数为hx)=x+1,因为函数/(x)=a e与g(x)=-x-1的图象上存在关于%轴的对称点，所以x)=a e 与/z(x)=x+l的图象有交点，方程a e=X +l有解.a =0时符合题意.时转化为e =!(x+l)有解，即 =3 ,y =(x+l)的图象有交点，y =(x+l)是过定点(一 1,0)的直线，其a a a斜率为工，若。0,设丫=。1y =(x +l)相

21、aQa切时，切点的坐标为(九e”),则,加+1 a,解得。=1,切线斜率为，=1,由图可知，当,2 1,即0 a W l时,y =e y =(x +1)的图象有交点，此时，/(x)=a e-x 2与 力。)=一/+8 +1的图象有交点，函 数fx)=ae-x2a与g(x)=f x l的图象上存在关于X轴的对称点，综上可得，实数a的取值范围为a w l.故答案为：a【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力,推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识.1 6.j x|O x 0由题意可得，0X解：由题意可得，,L x解可得，o

22、 x，故答案为卜io/6)/6因为 ki+k3=一 彳 3=2 1 -2-又 ki+k3=2k2,所以 kz=ln 2所 以 m,n 的关系式为-=1,即 mn1=0m 3当直线1的斜率存在时，设 1的方程为y=k(x-1)2将 y=k(x1)代 入 上+y 2=,3整理得：(31?+1)x2-6 k2x+3k2-3=0设 A(xi,yi),B(X2,y z),则玉+6k2 _ 3攵 233.+1%-3 1 +1又 yi=k(xi 1),yz=k(xz1)所 以 ki+ka=2-y 2-y 2 n(2-y )(3-)+(2-3%3%(3 Xj)(3 一 /)_ _ 1)(3 _/)+2 _ 打

23、工2 _ DIG-F)xx2 _3(X+X2)+92kxx2-(4Z +2)(X+/)+6攵+12玉 九 2 .3(玉 +元2)+93 r _ 3 6kl2 0 J (4 女+2)x+6攵+12=3V+1 3公+1 _3Z2-3.6k2 八,-3 x-+93 攵 2+1 3k2+_ 2(12P+6)_212 公+6 一所以 2k2=2,所以 k2=-|=1m-3所以m,n 的关系式为mn1=0综上所述，m,n 的关系式为mn1=0.考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，18.(1)氏=-6+3,%=21 (2)详见解析.【解析】(1)当=1 时，a =S=-3,当之 2 时，an=Sn-Sn

24、_=-3n2-3(/?-1)2 =-6n+3,当=1时，也 满 足/=-6 +3,%=一6 +3,.等比数列也J,.他3=打2，:b、b2b3=Z =5 1 2 n 4 =8,又 q +=%+&，Q 1.3 d =-1 5 +8 q n q =2 或 q =(舍去)，q 2:.bn=b2q1-2=2n+；，八 杏 八、一加 _ 2+|_ 2 1 1(2)由(1)可得：%_(2鹏 _ 2)(2向 一1)(2 )(2 1 1)2 一 -2向.z 1 1 、，1 1 、z 1 1 、1 2 3 n 2-1 22-1 22-1 23-1 2 -1 2n+I-1=1一行一 1，显然数列 1是递增数列，2

25、 12 2:.即产1.)1 9.(1)见解析；(2)叵7【解析】(1)设A3中点为N,连接M N、DN,首先通过条件得出C8 _L AB,加。N _ L A B,可得DN/B C,进而可得DN/平面P B C,再加上M N/平面PBC,可得平面D W N 平面P 8 C,则D M/平面PBC；(2)设8。中点为。，连接AO、C O,可得P。，平面A B C。，加上B D _L平面PC O,则可如图建立直角坐标系O-x y z,求出平面Q钻的法向量和平面P A C的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.【详解】(1)证明：设 A B 中点为N,连接M N、D N,A B O为等边三角形，：.D

26、N A B,：DC=C B,Z DCB =120,NCB D=30。,.-.ZABC =600+30=9 0,即C 3 L 4 3,DN 工 A B,：.D N/B C,/B C u 平面 P B C,(Z 平面 P B C,二 DN/平面 P B C,MN为尸AB的中位线，:.MNHPB,.PBu 平面 P8C,W 平面 PBC,:.M N/平面 PBC,MN、ON为平面DMN内二相交直线，平面DMN/平面PBC,DWu 平面。MN,.D M/平面PBC；(2)设BO中点为。，连接A。、CO_ABO为等边三角形，一6 8是等腰三角形，且顶角/BC=120AO1BD,COA.BD,:.A.C、

27、。共线，PCLBD,BDA.CO,PC CO=C,PC,COu 平面 PCO平面 PCO.POu平面PCO:.BDPO平面PBO_L平面ABCD,交线为BD,P O u平面PBD.PO_L 平面 ABCD.设 AB=2,则 AO=3在 _3CD 中，由余弦定理，得：BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cos ZBCD又 BC=CD,：.22=2BC2-2BC2-COS120.r R r n 2G A/3.Co=CLJ=-CO=，3 3PDPB,0为 BD中点,：.PO=-BD =,2建立直角坐标系。-型（如图），则C-三,0,0 ,P(0,0,l),A(V3,0,0),B(0,l,0).I

28、3).-.B A =(V3,-l,0),P A =(g,0,-l),设平面B A B的法向量为=(%,y,z),贝(j,n-BA=0 V3 x-y=0 l，n-PA=0 yJ 3x z=0取 x =l,则 y=z =G，=(1,6,G),平面P A C的法向量为O B=(0,1,0),cos(n,OB)=n OB _V2 1而 丁二面角。一2 4-8为锐角,二面角C-P A-B的 余 弦 值 大 小 为 叵.7【点睛】本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.2 0.(1)证明见解析(2)卜甩一3【解析】(1)根据,f(x)=gx 2+c

29、 os x,求导广(X)-x-sinx,令(x)=x-s加，用导数法求其最小值.(2)设8(6 =尸(%)=2融一5浓,研究在_1 =()处左正右负，求导g(x)=2 a-c os x.,分a N；a -,:a 0.(2)因为 g(x)=fx)=2ax-sinx,所以 g (x)=2a -cosx.,当a时，g (x)l-c o 5x 0,所以函数尸(x)在R上单调递增.若x 0,则/(力 /(0)=0；若x 0,则 尸(x)(尸(0)=0,所以函数/(月 的单调递增区间是(0,+9),单调递减区间是(-8,0),所以/(%)在x=0处取得极小值，不符合题意，当 时，g (x)-1 -cosx

30、 0,则/(x)/(0)=0,若x 尸(0)=0；所以/(x)的单调递减区间是(0,+8),单调递增区间是(-8,0),所以/(%)在x=0处取得极大值，符合题意.当-ga 2a即 g (x)0,所以函数尸(x)在(0,x0)上单调递减，所 以/(x)iJ+c o s2A l+c o s2B G .6.所以-si n 2 A-si n2B ,2 2 2 2/3.c o s 2A /3 c o s 26 si n 2 A-=si n 2 8-,22 2 2si n 2A-=si n 2B-.2 A工=2 8-工 或2 4 工+2 3工=4，6 6 6 6A =B 或 A +3=-，因 为 标b,

31、所以4+3=与冗所以c=；3(II)由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC ,所以。2 +/=3+/?2 2 ab，所 以 必43,当且仅当a =8取等号,又 因 为b,所以a。3,所以=absinc=24-0,哈【点睛】本题主要考查二倍角公式，辅助角公式以及余弦定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.(1)J 个；(1)存在，(坐,2.【解析】试题分析：(1)设r (对=/-二-学姐笃，对其求导，及最小值，从而得到一,的解析式，进一步求值域即可；(1)分别对at。和a，0两种情况进行讨论，得到寸 的解析式，进一步构造1.I,通过求导得到最值，得到满足条件的a的范围.试题解析：

32、(1)设 外 力 二f-1 -21 n x,F(无)=2x-Z =1)(+1).1 分令 尸(x)0,得x l (x)递增；令 尸(x)0,得0 x 0,即 Llnx，/(力=x2-1.3 分设G(X)=3(X：(X 1)2,结合/(x)与G(x)在(0,1 上图象可知，这两个函数的图象在(0,1 上有两个交点，即 乙)M x)在(0,1 上零点的个数为1.5分(或由方程/(x)=G(x)在(0,1 上有两根可得)3(1)假设存在实数a e(-2,o),使得g(x)X+4 a对xe(a +2,-K)恒成立,则-x2+x+l n x x+4。2(2 14 3 7 fc i|x+2 +4。x+4。

33、I 2)2,对xe(a +2,+o。)恒成立,In x x 06分设 H(x)=In x-；x,(1)=2=2-x2x令H (x)0,得0 xv 2,(x)递增；令 (尤)2,(%)递减,:.H(x)1 a x=(2)=In 2-1,n 2 当 Ova+2 l n 2-l,a-，V a 0,e4故当a e (黑 ,()1时,岳不一；不 4。对无(+2,+00)恒成立,8 分当 a +2 2 2 即aN O时，”(x)在(a +2,+o o)上递减，H(x)H(a +2)=l n(a +2)g a l.V f l n(a +2)-g a-l7L-lo，A H(a +2)W(0)=l n 2-l

34、0,故当aN O时，l n x-g x 0 对 x e(a+2,+o o)恒成立，则 a +2 2 a之，”可一1,2.11 分由及得，一2 .故存在实数a e(-2,+o o),使得g (x)：x+4。对 x w (a +2,+o o)恒成立，且“的取值范围为(勺二1，2.11分考点：导数应用.【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题.本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理.也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.