2023年高考数学一轮复习易错题专项突破：数列的综合应用.pdf

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1、2023年 高 考 数 学 易 错 点 专 题 突 破：数 列 的 综 合 应 用 一、单 选 题 1.等 比 数 列 5,0 的=1使 不 等 式（。1-1）+a-J H（an-J W0成 立 大 自 然 数（）A.5 B.6 C.7 D.82.已 知 等 差 数 列 a7a（公 差 不 为 零）和 等 差 数 列%,如 果 关 于 x 的 实 系 数 方 程 9%2 一（的+a2 H-F a9）x+%+%H-F b9=0有 实 数 解，那 么 以 下 九 个 方 程 x2-atx+bt=0（i=1,2,3,.9）中，无 实 数 解 的 方 程 最 多 有（）A.3个 B.4个 C.5个 D

2、.6个 3.设 等 差 数 列 册 满 足=1,公 差 弓 当 且 仅 当 九=sin（a5+a6）9时，数 列&J的 前 项 和 又 取 得 最 大 值，求 该 数 列 首 项 的 的 取 值 范 围（）A 寻 号）B.营 用 C.弓 D.弓,妥 4.已 知 数 列 而 满 足 的=1,a2=2,an+2=（1+|sin y|）an+|cos y|（n WN+）,则。2018+lo g 2 a 2021 的 值 为（）A.2019 B.2020 C.2021 D.20225.银 行 按“复 利”计 算 利 息，即 把 上 一 个 月 的 利 息 和 本 金 加 在 一 起 算 作 本 金，再

3、 计 算 下 一 个 月 的 利 息.某 人 在 银 行 贷 款 金 额 为 A元，采 用 的 还 款 方 式 为“等 额 本 息”，即 每 个 月 还 款 1次，每 次 还 款 的 金 额 固 定 不 变，直 到 贷 款 的 本 金 和 利 息 全 部 还 完 为 止.若 月 利 率 p 固 定 不 变，按“复 利”计 算 本 息 和，分 个 月 还 清（贷 款 1个 月 后 开 始 第 1次 还 款），则 此 人 每 月 还 款 金 额 为（）A-T T-n A（l+p）,A.一 兀 B.yen nr(l+p)n-n/lp(l+p)n-J(l+p)n-l 儿 u(1+P)n-17L,6.已

4、 知 f(x),g(x)都 是 定 义 在 R 上 的 函 数，g(x)H 0,f(%)g(x)f(%)g(x)，月/(%)=a*(a 0,且 a。1)，架+铝=争 若 数 列 公 的 前 n项 和 大 于 g。)3 g m363,则 的 最 小 值 为()A.4 B.5 C.6 D.77.数 列 5 满 足*1=-吗+%1s*),at G(0,j),则 以 下 说 法 正 确 的 个 数()%i+l an al+al+aj+an 人 成 立.ma n+lA.1 B.2 C.3 D.48.“垛 积 术”（隙 积 术）是 由 北 宋 科 学 家 沈 括 在 啰 溪 笔 谈 中 首 创，南 宋 数

5、 学 家 杨 辉、元 代 数 学 家 朱 世 杰 丰 富 和 发 展 的 一 类 数 列 求 和 方 法，有 菱 草 垛、方 垛、刍 童 垛、三 角 垛 等 等，某 仓 库 中 部 分 货 物 堆 放 成 如 图 所 示 的“菱 草 垛：自 上 而 下，第 一 层 1件，以 后 每 一 层 比 上 一 层 多 1件，最 后 一 层 是 件，已 知 第 一 层 货 物 单 价 1万 元，从 第 二 层 起，货 物 的 单 价 是 上 一 层 单 价 的。.若 这 堆 货 物 总 价 是 100-200舄）”万 元，则 的 值 为()A.7 B.8 C.9 D.10二、填 空 题 9.已 知 等

6、差 数 列 册 的 公 差 为 2,前 项 和 为,且 Si，S2,S4成 等 比 数 列，令 bn=贝 I 数 歹 1 匕 的 前 99项 和.10.正 项 等 比 数 列&J满 足 的+=且 2a2，；&4，。3成 等 差 数 列，则(%。2(a2a3)(a/n+i)取 得 最 小 值 时 的 值 为.11.定 义 各 项 为 正 数 的 数 列 入 的“美 数”为 也+的+%(怵 2,若 各 项 为 正 数 的 数 列 的“美 数 为 三 7,且 匕=竽，则 氏+六+厂；-=.12.对 于 数 列 时,定 义 4=咄 必 产 二 久 为 数 歹 式 与 的“好 数”，已 知 某 数 列

7、5 的“好 数=2n+1,记 数 列 册-An 的 前 n项 和 为 S,若 又 2).(1)求 数 列%J 的 通 项 公 式；1(2)记 数 列 限 最 二 的 前 n 项 和 为 耳，若 对 任 意 的 71 e N*,不 等 式 5 a2-a恒 成 立，求 实 数 a 的 取 值 范 围.14.对 于 正 整 数，如 果 k(k e N*)个 整 数 的,a2,ar a2 ak 4),设(的,02,纵)是 n 的 一 个“正 整 数 分 拆”，月.=2,求 女 的 最 大 值；(HI)对 所 有 的 正 整 数，证 明：fn 0,数 列%满 足 以=logz.若 瓦=4,厉=3.(I)

8、求 数 列 a 的 通 项 公 式；(II)设 数 列 b n+m 前 项 和 为 又，若 当 且 仅 当 71=5时，S取 得 最 大 值，求 实 数，的 取 值 范 围.16.已 知 数 列%的 前 项 和 为 Sn，%=1,且 3+l)an=2Sn(n e N*),数 列%满 足 瓦=点 尻=；，对 任 意 n N*,都 有 以+i=-bn+i.(1)求 数 列%、%的 通 项 公 式;(2)令=电 瓦+a2b2+即 匕；(i)求 证：1 7；2；(日)若 对 任 意 的 n 6 N*,不 等 式 加 7；+2bnSn 2(An+23)恒 成 立，求 实 数 4的 取 值 范 围答 案

9、及 解 析 1.【答 案】C【解 析】解：T在 等 比 数 列%J，0 的 1,n=4时，an 0.an3 3 1 a7=a4-q=q=一 ai2 2 1即=*q=q=，a21 15=。4-=q=后.&-?+0-J+-?+Q-J+Q-1）+a-怖）+（a7-A。，ia2=f l l.q=,所 以 n 的 大 值 7.n 0,即 有 说 4b5，则 第 5 个 方 程 有 解，若=0,则 若 0,则。9 a8 a7 a6 a5,即 有 5 个 方 程 有 解，最 多 4 个 方 程 无 解,若 di a2 a3 a4 a5,即 有 5 个 方 程 有 解，最 多 4 个 方 程 无 解.3.【答

10、 案】3.2 2-2 2【解 析】解：等 差 数 列 满 足 空 三 空 子 也 1 士=1,5111卬 5+。6)(sina4cosa7 sina7cosa)(sina4cosa7+sina7cosciQ=sin(a5+a6)=(sina5cosa6+sina6cosa5),：sin(a4 a7)sin(a4+a7)=sin(a5+a6)=sin(a4+a7),即 sin(G4 a7)=1 或 sin(G4+a7)=0,:.sin(3d)=-1,d 6(1,0),*3d 6(3,0),则 3d=，d=_*N DSn=na1+d=-H2+)人 对 称 轴 方 程 为 n=?弧+刍，由 题 意

11、当 且 仅 当 n=9时，数 列 即 的 前 项 和 又 取 得 最 大 值，A+),2 7 T 1 1 2/2 解 得 中 V 的 V学4.【答 案】B【解 析】解：=1,a2=2,an+2=(1+|sin y|)an 4-|cos y|(n EN+).,当 为 奇 数 时，|sin y I=1,|cos y I=0,此 时 an+2=2/i，当 为 偶 数 时，|sin y I=0,|C O S y I=1,此 时 0n+2=%+1，J 瑞 河 为 球 二 而+为 偶 数，则。2018+log2a2021=1 x 2018+1 4-log221010=2020.5.【答 案】D【解 析】解

12、：因 为 银 行 贷 款 金 额 为 A元，月 利 率 p,分 个 月 还 清；所 以 本 息 和 一 共 为 4(1+p严 元，设 每 个 月 还 款 金 额 为。元，则 4(1+p)7 1=Q+Q(1+p)+Q(1+p p+Q(1+p)1,由 等 比 数 列 求 和 公 式 得 Q+(2(1+P)+0且 a 丰 1),芸=ax,又 f(x)g(%)，.z/W y _(x)g(x)-f g，(x)92W，里=谟 是 增 函 数，Q 1,.f(l)I f(T):10,9(1)P(-l)3,：.a+a-1=y,解 得 a=或 a=3,综 上 得 a=3.数 列 编 为 3与 数 列 嫖 的 前

13、项 和 大 于 363,3+32+33+3n=1 3n+1-3)363,1-3 2 即 3呀 1 729,n+1 6,解 得 ri 5.二 n的 最 小 值 为 6.7.【答 案】D2【解 析】解：对 于:由 已 知 得 限=成+即=（即 m+;,结 合 为 G（0 3）以 及 二 次 函 数 性 质 可 知 每+i 0,n N*所 以&l 0,nWN*又 与+1 an=-V 故 正 确；对 于（2）：冠+Q；+Q 曰+忌=Q Q2+dn 即+=Q an+l V al故 正 确；对 于：由 即+】=一 成+时,可 得 士=占 1所 以 一+二 一+一+一 m1 1。2 1。3 1a?n所 以

14、对 任 意 正 数，取 正 整 数 时，-b j b j!,+/m b1 1。2 1一。3 1故 正 确；对 于：当 71=1时，显 然 成 立；假 设 当 ri=k(k 1)时，ak 六 成 立/CT 1又 以+1-ak+ak=(以 一+因 为%V 所 以 以+1()+=卜 Q 二 k+1 2 K+1 k+lJ k+1(fc+1)2 k+2所 以 当 九=k+1时 也 成 立 故 而 每 故 正 确.8.【答 案】D【解 析】解：根 据 题 意 得，S=l+2 x+3x(),则 系=】W+2x(煞+3x(犷+.+呜 y2+nGF以 上 两 式 相 减，得，s=l+-+10 10(犷+扃 厂

15、雀(犷=1。一(1。+力(罪 10所 以 S=100-10(10+建)(S)”=1 0 0 200舄)n，解 得 3=1 59.【答 案】瑞【解 析】解：设 等 差 数 列 册 的 首 项 为 的,公 差 为 2,前 项 和 为 国,且 Si，S2,S4成 等 比 数 列.则：(2%+2)2=。1(4%+12),解 得：的=1,所 以：un-1+2(n 1)2n 1,所 以：bn=(_ l)n-l=(_1)n-l 4nanan+i(-1)(271+1)=(一 1尸(+),7 v2n-l 2n+l7所 以 为 9=(1+-)(-+-)+(-+-)+(-1-)=1-1-=3/3 5/、5 7)12

16、x99-1 2x99+1/2x99+1200199故 答 案 为 10.【答 案】2【解 析】解：正 项 等 比 数 列 册 的 公 比 设 为 夕，的+%=且 2 a 2,%成 等 差 数 列，可 得+ciiQ2=3%=2a2+%，即 d=2+q,解 得 q=2,at=4 4则 斯=；2T=2n-3,anan+1=2n3-2n-2=22 n5,ml n(2n-8)则(的。2).(G2a3).(1即+1)=2-3 2T 22 n-5=2-3-2+2 5=?-2 一 二 2九 2-4n _ 2(n-2)2-4当 刀=2时,(。1。2)(a2a3)取 得 最 小 值，故 答 案 为：2.11.【答

17、 案】黑【解 析 I 解：因 为 各 项 为 正 数 的 数 列 册 的“美 数”为 六 所 以 n 1。1+。2+r+。71 2114-1设 数 列&J的 前 项 和 为%,则%=7i(2n+1),S-i=(n-l)2(n-1)+1=2n2-3n+l(n 2),所 以 册=Sn Sn_i=4n l(n 2).1 1又 鼠 二 所 以 的=3,满 足 式 子 Q九=4九 一 1,所 以 册=4n l(n EN*).又=竽，所 以%=人 4匕 182 b2b3 匕 201982020 1x2 2x3 2019x20201 1 1 1 12 2 3 2019 20201 _ 20192020 20

18、20,12.【答 案】,引【解 析】解：由 题 意，当 几=1时，01=4 1=22=4,由 几 4 九=%+2 a 2+2%九，可 得(九 lM n-i=%+2a2+.+2n2an_1(n 2),两 式 相 减 可 得 九 4九(九 l)4n_i=2n1an,整 理 得 册=见 瑟?n-2n+1-(n-l)-2n f=-=4n-2(n-1)=2n+2,由 于%=2 x 1+2,则 数 列&J的 通 项 公 式 为 出 1=2n+2,则 册-kn=(2-k)n+2,由 于%2且 a 7-7/c 0,a8-8 k E 0，解 到 得 俎 杂 9 一.16.故 答 案 为 E，勺.4 713.【答

19、 案】解：(1)当 7 1 2 2时，2azi=图+国 二,即 V n-1=5，所 以 数 列 店 是 首 项 为 1，公 差 为：的 等 差 数 列，故 居=等，又 由 斯=三(塔 n+JSn_D=1(等+)=7(九 2 2),所 以 a。=2n+l-l,n=1(2)n=时,7=三,1 1 C/1 1、当 九 N 2时，=2n+12n+3=8(-),4 44 1 1 1 1 1 1:.7Ln)5 F 8%(-7-1-7-9-F H-2-n-+-1-2-n-+-3)J12 8,1 2-一，5 2n+3 5又 因 为 7 当，则 由 5%a 2 a,，12 a2 a,解 得 a 4.即 所 求

20、实 数。的 范 围 是 a 4.14.【答 案】解：(I)解：整 数 4 的 所 有“正 整 数 分 拆”有：(4),(1,3),(2,2),(1,1,2),(1,1,1,1,).(H)解：欲 使 人 最 大，只 须 见 最 小，当”为 偶 数 时，的=a?=纵=2,k=,当 为 奇 数 时，ar=a2=CLk-i ak=3,k=(III)证 明：当 为 奇 数 时，不 存 在 的,a2,以 均 为 偶 数 的 一 个 确 定 的“正 整 数 分 拆”,即 加=0,满 足 加 gn；当“为 偶 数 时，设,%)为 满 足 的，a2,以 均 为 偶 数 的 一 个 确 定 的“正 整 数 分 拆

21、”，则 他 至 少 对 应 了(1，1)和(1,1,1,ax-1,0 2-1,，要-1)这 两 种 各 数 均 为 奇 数 的 分 拆，fn-0i；当 九=2 时，心 均 为 偶 数 的“正 整 数 分 拆“只 有：(2),%均 为 奇 数 的”正 整 数 分 拆“只 有：(LI),f2=g2；当 ri=4时，心 均 为 偶 数 的”正 整 数 分 拆“只 有：(4),(2,2),%均 为 奇 数 的 正 整 数 分 拆”只 有：(1,1,1),(L3),回=%；当 九 6时，对 于 每 一 种 区 均 为 偶 数 的”正 整 数 分 拆“，除 了 各 项 不 全 为 1的 奇 数 分 拆 之

22、 外 至 少 多 出 一 个 各 为 1的 正 整 数 分 拆(1/，1)，fn 9n-综 上，使 得 加 工 坂 中 等 号 成 立 的 的 值 为 2,4.15.【答 案】解：(I)由 题 意,设 等 比 数 列 册 的 公 比 为 妻 则 瓦=l g2ai=4，即=24=16.b2=log2a2=3，即 a2=23=8.0.2 8 1%16 2,二 数 列 a 的 通 项 公 式 为 an=16-(1)n-1=25-n,n&N*.(H)由(I)知，bn=log225-n=5-n.故 bn+m=5 n+m.数 列 匕+m 是 等 差 数 列.当 且 仅 当 7 1=5时，数 列 g+7 7

23、 1 的 前 n项 和 又 取 得 最 大 值,(b5+m 0 r5 5 4-m 0,(h6+m 0，1(5-6 4-m 0解 得 0 m 2时，an=Sn-Sn_ I=史 警 九 i2.吗 7=(九-1)M，即 公=三(q 2),.c _ an-n_i C ta3 a2 八 n-.,一,一 dan-i an-2 a2 ain n 1 n 2 3 2=n-1 n-2 n-3.2 口=n(n 2)又 的=1,也 满 足 上 式，故 数 列 四 的 通 项 公 式 an=n,(n 6 N*),llln+l=bn,bn+2，旦 瓦。0,瓦=5，b2=-9可 知：数 列 bn 是 等 比 数 列，其

24、首 项、公 比 均 为 5 数 列 g 的 通 项 公 式：%=(，综 上 所 述：an=n,bn=(|)n(2)v anbn=n-(|)n,=：+2 x 2+3 x(|)3+九 x G)n,1 1 1 1 1小=(2)2+2 X q)3+(九 _ 1)x(-)+n x q)+i1 1 1 1 1-57 k=2+y2+(2r-n x q)+|.V 守-严，2：.Tn=2-嚎 0，数 歹 U Tn为 单 调 递 增 数 列，所 以 九=1时，7n取 得 最 小 值 点 即 7n综 上 所 述：1 Tn 2()由 知:5九=若 旦 由(2)知：及=2-嚎,不 等 式 施 17+2bnSn 2(An+2bQ恒 成 立，即 加(2-祟)+誓 2(An+分 即(1 4)建 2+(1 2A)n 4 V 0,(n G N*)恒,成 A L.设 f(ri)=(1-A)n2+(1-2A)n-4,(n e N*),当 A=1时，/(n)=-n-4 0恒 成 立，则 入=1满 足 条 件；当;I 1时，由 于 对 称 轴=-成 言，则 f(n)在 L+8)上 单 调 递 减,/(n)/(I)=-3 A-2 1 满 足 条 件.综 上 所 述，实 数；I的 取 值 范 围 是 1,+8)