《高等代数ii》课程期末考试试卷.pdf

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1、浙 江 大 学 2007-2008学 年 春 夏 学 期 高 等 代 数 I D 课 程 期 末 考 试 试 卷 开 课 学 院：理 学 院，考 试 形 式：闭 卷，允 许 带 入 场 考 试 时 间：2 0 0 8年 6 月 2 9 日，所 需 时 间:1 2 0分 钟,任 课 老 师：考 生 姓 名：_学 号：_专 业：理 科 试 验 班 题 序 二 三 五 六 七 八 总 分 得 分 评 卷 人-、选 择 题(每 小 题 3分，共 12分)1.设 卬=(。,。+。一 3 1 4/6 1 1,这 里 R 为 实 数 集，则()(A)W与 R?同 构。(B)W与 R 同 构。(C)W与 R)

2、的 一 个 真 子 空 间 同 构。(D)R?与 W的 一 个 真 子 空 间 同 构。2.设 匕，匕 是 偶 氏 空 间 V 的 两 个 子 空 间，则 匕 是 X 的 正 交 补 的 充 要 条 件 是()(A)-=%+%,h n%=o(B)V,1V2(C)V=Vi+V2,dimV=dimV,+dimV2(D)V=V,+V2,且 V a e%匕 有(a,)=03.设 A是 欧 氏 空 间 V的 线 性 变 换，则 A是 正 交 变 换 的 必 要 而 非 充 分 条 件 是()(A)V Z,G V,=(B)X/a G 丫,4 目=a(C)(Aa,A)=(a,/?)(D)A在 V的 任 何

3、一 组 标 准 正 交 基 下 的 矩 阵 是 正 交 矩 阵(注：其 中 Q 表 示 两 个 向 量 的 夹 角，(,)表 示 该 空 间 的 内 积。)4.设 4 是 线 性 空 间 V的 线 性 变 换，叱,，叱，都 是 V的 一 组 A-不 变 子 空 间，且 V 则 丫 中 一 定 存 在 一 组 基，使 A在 该 基 下 的 矩 阵 是()(A)对 角 矩 阵(B)反 对 称 矩 阵(C)可 逆 矩 阵(D)准 对 角 矩 阵二、判 断 题(对 的 打 J,错 的 打 X)(每 小 题 3分，共 12分)1.若 两 个 机 x 的 4-矩 阵 A(A)与 6(4)有 相 同 的 秩

4、，则 A(2)与 B 等 价().2.在 W 空 间 中，A 是 V 中 任 一 向 量 在 m y 平 面 上 的 垂 直 投 影 的 线 性 变 换，则 ImAnkerA=0.()；(ii)ImA+kerA=V.()3.欧 氏 空 间 中 保 持 长 度 不 变 的 变 换 是 正 交 变 换.()4.多 项 式/6f+i6x-14在 有 理 数 域 上 不 可 约.()三、填 空 题(每 小 题 4 分，共 16分)1.若 矩 阵 A 的 全 部 初 等 因 子 为 4 7,(2-1次(4+2)2,则 A 的 不 变 因 子 为 2.设 7,7 是 川 空 间 的 线 性 变 换，定 义

5、 为 b(x,y)=(0,x),r(x,y)=(y,x),Vx,yeR,则(2(T2-3r)(x,y)=.3.已 知/(x)=2x3-9x2+30 x-13有 一 个 根 为 2-3i,则 f(x)在 实 数 域 上 典 型 分 解 式 为/(x)=.4.设 s 为 有 限 维 复 线 性 空 间 上 的 一 个 线 性 变 换，/为 s 的 一 个 特 征 值，若 不 弓 分 别 表 示 s 的 属 于 特 征 值/的 特 征 子 空 间 和 根 子 空 间 的 维 数，3 表 示/的 重 数，则 不 弓，弓 的 大 小 关 系 满 足 o四、（本 题 15分）-3 3求 4=0-1,8 6

6、-2、0 的 若 当 标 准 形 和 最 小 多 项 式。五.（本 题 10分）.试 求 多 项 式/（尤）=/+-3x2-4x-1和 g（x）=V+尤 2-尤-1的 最 大 公 因 式。六.(本 题 10分)(1)设“，卬 2是 数 域 P上 的 有 限 维 线 性 空 间，dim叱=n,S 为 定 义 在 叫 上 取 值 于 吗 中 的 线 性 映 射，试 证 明 dim(Ims)+dim(Kers)=n。(2)试 利 用 的 结 论 解 释 齐 次 线 性 方 程 组 x=0 的 解 空 间 维 数 为 n-r(A)o七.（本 题 10分）设 A 是 数 域 P 上 的 阶 方 阵，证 明 A 与 4 相 似。八、（本 题 15分）实 二 次 型/=x；+x22+x,2+2ax1x2+2内 马+4/x2x3通 过 N 上 的 正 交 线 性 变 换 7化 为 标 准 型 g=y；+2y；,求 参 数 a,b及 所 用 的 正 交 变 换 7。