《线性代数》课后习题答案(陈维新).pdf

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1、第一章行列式习题1.11.证明：(1)首先证明。(6)是数域。因为。之。(6),所以。(6)中至少含有两个复数。任给两个复数为+%+区6 w 2(73),我们有(6!+4 V3)+(%+%=(。1 +&)+(仇+0 2)35+4 V3)-(a,+%,5/3)=(tZ)tz9)+(bj b,)V3。a+Z?1V3)(a2+b2 V3)=(a,a2+3Z 2)+(Z)Ia2+a 也),因为。是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以(Z|+&)+(牝+4 V)(1+a,)+(仇 +b,)V e Q(V)(?+仇 (d2+=(2)V3 6(2(A/3)(a 1+4,)(。2+%百)=(a 1的

2、+3Z?1Z?2)+(/?la2+4。2)8 e Q(V3)如果。2+62 6/0，则必有出，%不同时为零，从而。2 一%6/0。又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以4 (4 +仇 6)(。2-/g)5 42-3伍 2)+(仇9 +b 2 M(a2+b2v 3)(a2-b2v 3)a2婚-3战a22三等(后-3b 2综上所述，我们有0(6)是数域。(2)类似可证明。(后)是数域，这儿p是一个素数。(3)下面证明：若 p,q 为互异素数，则。(、万)二。(荷)。(反证法)如果。(赤)1 Q(&),则3a,b e。n =a+b R,从而有p =(y p)2-(a2+qb2)+2ab面。由于

3、上式左端是有理数，而 6 是无理数，所以必有2a b 6=0。所以有a =0或b =0。如果4=0,则 p =q/?2,这 与 是 互 异 素 数 矛 盾。如果。=0,则 有 而=a,从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。所以假设不成立，从而有Q（J7）ZQ（）。同样可得。（“）2。（而）。（4）因为有无数个互异的素数，所 以 由（3）可知在。和”之间存在无穷多个不同的数域。2.解：（1）P（C T）是数域，证 明 略（与上面类似）。（2）。（口）就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。而 见（Q）=c（Q）=复数域。（3）z（C i）不是数域，这是因为他关于除法不封闭。例 如;史

4、z（Q）。3.证明：（1）因为尸,K都是数域，所以。从而。q c K。故Fc K含有两个以上的复数。任给三个数a,b w/c K,0 w c e fc K,则有a,A c w/且a,Ac w K。因为K是数域，所以有。6,。仇 尸 且。b,a b,e K。所以。士仇。儿qG尸c K。C C C所以bC K是数域。F 2 K 一般不是数域。例如F=。（、,K=2（7 3）,我们有GFUK,怛是娓=6 石生F u K。习题1.22.解：项出3。3避42a 56%4a 6 5的符号为（一 1）出5+26 45）=习 题 1.31 1I.证明：根 据 行 列 式 的 定 义:1 111 _a.=1：=

5、E（-1）防“心2力”jJ l-J n1Z(-1产 收%)=0。jh-in所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的阶排列，故可以得到全体阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数样多，各占一半。1998 1999 20 0 02.解 20 0 1 20 0 2 20 0 320 0 4 20 0 5 20 0 61998 1999 120 0 1 20 0 2 120 0 4 20 0 5 11998 1 120 0 1 1 1 =020 0 4 1 110 010 0 0(2)022()020 0下三角

6、形1x 2x 6 x 8=96；0-330G+G0-36 040 0440 0 81110I111011101110(3)1101R0 0-1101114+凡011110 11R0-1010-10100 1201110 11100-1100-11a+b+c2bc a-bR(2b)R,(a+i4-(2c)R,7 2 2 2 22 7 2 2 2(5)2 2 7 2 22 2 2 7 22 2 2 2 71b +c)0 -I0G+W ci=21 1b-c-a 0 =(a +8+c)3。0 -c-a-b15 2 2 2 2|15 2 2 2 215 7 2 2 2 R R 0 5 0 0 015 2

7、 7 2 2-0 0 5 0 015 2 2 7 2，=2,3,4,5 0 0 0 5 015 2 2 2 7 0 0 0 0 5上三角形.=15x5x5x5x5=3 x 5。3.解：(1)x2y(提取每行的公因子为XX2X3X 3%性质4%0。%(2)c-C左端i =4,3,2h2c2d-2a+12b+l2c+l2d+l2a+3 2a+52b+3 2b+5 CC,2c+3 2c+5 c3-C,2d+3 2d+5a上三角形a2 2。+1 2 2b2 2b+2 2=0二右端oc2 2c+l 2 2d2 2d+2 21a a21 a2 aH_11+b a2an-R-R0仇 0 0(3)1I a2+

8、b2明：0 0%0i=2,1Q Q?0 0 0 hnM,1他2,也 T。原 式（先依次 C一C T，C“_ 一。“_2,C 一。1）=。=1 C,ij n 2，if n-2 原 式（先依次&一（-2,，R，一叫）=。，c，ij n 24.解：设展开后的正项个数为X。则由行列式的定义有O =x-（!-x）=2 x-!。又因为1D=(利用叫+叫,i=2,3,)0 020（下三角行列式）=2-o所以有112 22-=2x-n.,x=2-+n-2G+C 2+G5 .证明：(1)左端 2提取公因子4 +A +G。2+4 +C2。3+”3+q+%C2+。203+。3%+瓦a2+h2a3+4cC2%+耳 +

9、cl电+%+C2%+4 +C3(-1)C2;(-1)C3C+gbibi4qc2=右端。(2)利用性质5展开.6 .解：(3)与上面3(3)类似可得。7.解：利用行列式的初等变换及性质5。8.解:ai0016 0 Q j Q,0 01 1c,+cr +l ，i =1,2,，一 10 00 01 1设 原 行 列 式=D。则对D进 行 依 次 如 下 变 换 后-at 0 0 0 00 生 0 ,t ,0 0下三角形0 0 0 a w11 01 2 3 n-1 n9 .证 明5l O x C.J O x Q J O O Q a O Q.C,+Z G 所得的行列式D 第一列由题设中所给的5 个数i=

10、2字构成。从而由行列式的定义可知D 可 被 2 3 整除。又山行列式的性质知D =1()1。因为23是素数，且 1()1 不可能被23整除，所以D 可以被23整除。习题1.4IX01.解：(1)0a by 0e zh k0 0000u0按第5 行展开一a b 0 x c i hy 0 0按第4列展开,四 0 y 0e z 00 e zh k u80按第1 列展开y0 xu v=xy zu v；1 1 1 12 3 4 13 4 1 24 1 2 3按第1列展开11i =4,3,21 1 111112 3 00 1 2-11 -3 1(=2,3,40 0-4 0-3 1 10-400一 习题 1

11、.2 第 7-(4)题 3(3-1)0-4 0=(-1)2 (-1)(-4)(-4)=16；-4 0 0(3)方法一a b0 10 00 0c d en n n1 0 0 0U U U按第1列展开0 1 0 01 0 ca0 0 1 00 1 0d c h ac b ab c+(-l)5+le 100I0 0d e0 0第2个行列式按第4列展开0 01 01 0/+e(1)4+7 0 10 000=a2 e2；1方 法 二 逐次均按第2行展开可得同样结果，具体解法可参见下例。%0 0 0 10 a2 0 0 0q 0 10 0%0 00 a.0(4)逐次按第2行展开3=ci250 0 0 a”

12、i 01 0 an1 0 0 0 an5)阳q出2%1qJ2七qoO102oO1%O2oO1MO2再1%4%2/4ioO1占021oO1当02当oO1zO21/qJ2当q一19白打打a1%.%，芍%110 0 0v2 x3 0 0 04后 0 0 0c,1 1 12 C2 X2 X3 X%C3 X；X；X：=。(再,工2,*3)=(*3%)(%3 *2)(，2 一 再)；11111I248-24-8x2XX2,=0(1,2,-2,x)=(x+2)(x-2)(x-1)(-2-2)(-2-1)(2-1)=12(x 1)(/4)；（7）换行后可得到范德蒙行列式；（8）先把第一行加到第三行，再提取第三

13、行的公因式，换行后可得到范德蒙行列式。x002.解：,y 0 0 x y 00 x 000 0 0 xy 0 0 000按第1列展开yXx y 0+(-i),+1y00 0 00 3 0 0y0 0 x 0 00 x y=xn+(-l)w+l/;=l+a,；（此处有笔误）1=11+菁,1 +乂1 +王%1 +%2 2 1 +占北11 +X Jl+x“必l+x,MRR、2,3,，1 +x阴1 +/当(x2-x,)y2 1 （一再）二（七一6(X f)K=(x2-xl)(x3-xl)-(x-xt)1 +XM%1+%1,i+x y“据此当 =2时，原式=（%-6）（2-%）；当 2 时,原式=0 O

14、%力D.3.解：（1）将2按第列展开得:Xyy o-y 0y0zX0 -0Xy y yZXzx 000zx-0zXo-00=(-Dy000 X+x()zx 0000 X0000 z000 X000 zX=(-i)+yz小+屹 一（2）略（参考课本例中的叙述）。4.解：（1）交换行、列后得到三角块行列式，然后利用例1.4.6的结果；或者直接利用L a p l a c e定理。（2）左端先做变换G+。4，。2+。3,再做变换我4一 “，氏3一宠2,然后利用P 30推论。5.解：（1）7 6 5 43 29 7 8 94 3 7 4 9 70 05 3 6 10 00 0 5 60 00 0 6 8

15、0 0再分块,4=(-l)2x496437571342300006856:56344368=4；122112211221210101 02()0121 21 2(2)=.=9；201121 012 1 2 10012020100 210021(3)利用初等变换。附加：P 30 推论的证明：证(1)将 第 r+1 列与r 列交换，由将新的r 列 与 r-1 列交换，如此继续，直到将第r+1列交换到第1 列，这样共交换r 次；再将第r+2列如上方法交换至第2 列，也交换了 r 次，如此继续直到将r+s列交换至第s歹 I.于是交换了 r s次后得到,许CII.,0cll.人.air2 rl,arrc

16、rl,crsc,ca.a=(-irrlrsrlrr0 0bn,吼,瓦0 00 0,久，,久0 0将所得行列式的第r+1 行依次与第，行，行，第 1 行交换.交换r 次后，r+1 行交换至 第 1 行.类似地交换r 次后将r+2行交换至第2 行，交换r次后将第r+s行交换至第s行，于是交换r s次后得：瓦.0 0(-l)r v(-l)r0 0Cli.,。aw,%.cssrl,arr(2),(3)思路与(1)类似，证明过程略去。习题1.52.解：计 算 得D10 2 01 0 202 0 0 -1G+。40 0 0 -12 10 02 10 00 0 1 24 0 1 2第2行展开，八(-1)12

17、40 Z1 00 1=4/1 1根据克拉默法则，当。K0时，即/1 w工时,4原方程组只有零解。=aa2-an习 题 1.61.证明：方 法 一 归化1 +q 1 11 1 +4 1D“=1 1 1 +41 1 1q 0 0-an0 a2 0 -an0 0 a-an1 1 1 +a,登1、1“1 R-R 1 -1“=1,，一1.1 +aJI R 0 0-an.，1 0电0 乜凡+?”0 o%f,1|o。l+a“+%Z /=!q方 法 二 归纳法1=1 4当=1 时，=1+=%(1+).结论成立.假设 一 1时结论成立，即有=a.a2 an_i贝D当时，将 的 第 列 看 成1+0,1+0,+a

18、,故。，可表示为2个行列式之和，而第2个行列式按第n列展开可算出为a,。,一 从而D.1 +%1111 +U，21111 +%1111 +q1111 +。211 1 1 +41I1而111 1 +凡11111 +。111 +4211 1 1 +4111R -Rr.qoo0a20000 001111/=1,2,-1aia2 an-1111所以。产aya2 -an_+=%的%-i+a a-。+i=aya2 a”(1+Z )=右端.r=l ai方 法 三 递推由证明(二)可知Dn与 Q i存在以下递推关系:。“=。凸 q I+4。,1所以。“=a1a2-a”1+anDn_=aa1-aiJD.)=at

19、a2 a“(1+=右端.方 法 四 加边法1 -1-1-1c-c,1%0-0 k+为1 0 0 i=2 qz =2,3,7 2 +1 1 0 0 a 1 +J 0 01 4 01 0 a,1 0 02.证明：(1)注意当把行列式按第n列展开时，得到的递推公式中有三项，故归纳法第一步应验证n=l,2 时均成立。而归纳法第二步应假设当 i；最后按最后一列展开。4 .解：通过倍加行变换易知f(x)的次数最大为1；又因为如果全取零，贝 惰 f(x)=O。所以选(D)。5 .看自己或别人的作业。6 .解：方法一：利用课本中例1.4.3 的方法。方法二：设/（X）=Z）（X 1,X 2,x“,x）。则有f

20、（x）中x T的 系 数 为 又 因 为/（x）=n（x 七）口（占一为）（范德蒙行列式），所以f（x）中1的系数为。?所以可得，=。第二章线性方程组习题2.12.证 明.因IAIRO,说明即 出 q”不全为零，故当某个火尸0,通过适当的行互换,可使得a-位于左上角用akl-来乘第一行，然后将其余行减去第一行的适当倍数，矩阵A可以化为:1 41200an，由于I A匡0,此时必有I A/#0,故可以对4重复对4的讨论，此时A可经初等行变换化为ai210。13。231 an a2na3n,然 后 再 将 第 行 的 倍 加 到Ao1000 00.1第 i 行(i =1,2,.,1),再将第 一

21、1 行的 即“_)倍力倒第 i 行(i =1,2,.,n-2)，这样1 0 00 1 0继续下去，一直到将第2行的-2倍加到第1行，此时A就 化 为：0 0 0 1论成立。故所证结3 .证明：以行互换号为例：列互换可以同样证明.ail ai2%,ai%,若A =R,+(T)K)aj aj2%ajl Ui aj 2 ai2K+R,)%,号*T）居）aj ai aj2 ai2ajn ainF l f 2.,这相当于A中交换第，行和第1行，所以结论成立。J ai ail ain习题2.21 .解：A中一定存在不为零的r 1阶子式，否则秩（A）r 1,与题设秩（A）=r矛盾.由秩（A）=/知，4中至少

22、存在个7阶子式不为零，这表明A中的r阶子式只要有一个不为零即可，其余可以等于零，也可以不等于零.A中一定不存在不为零的r +1阶子式,否则A的秩至少是r +1,这也与题设秩（A）=矛盾。2 .提示：利用矩阵的行秩和向量的极大无关组证明。3 .略。4 .思路：可将矩阵写成一个列向量和一个行向量的乘积，从而由秩4 1；进而因为矩阵不等于零，所以秩0。5 .略。习题2.3略。习题2.42.证 明：(I)的增广矩阵为7 =aa2,-4a222,a2nb24-1,1an-,2.an-.nUi_ an&2-a,mb.因为系数矩阵的秩不超过增广矩阵的秩，所以有秩(4)2秩(A).观察可知，矩阵3其实就是在增

23、广矩阵A下面加了一行，所以秩(5)2秩(4).由题意知,秩(A)=秩(6),据此可得秩(A)N秩(A).综上知秩(4)=秩(4),故(I)有解。3.解：将增广矩阵只用初等行变换化为阶梯形矩阵.1I1-1-111-11-1I1-10h24b.ib.bb2b3%4+4+.+”当4+与+a H 0时，秩(4)H秩(A),所以线性方程组无解;当4+与+2=0时，秩(4)=秩(4)未知量个数，所以线性方程组有无穷多解.原 方 程 组 同 解 于 xlx2=bi,x2-x3=b2,X 3 T 4 =4,=*X =匕1 +匕2 +b3 T-1-b“_i+1,x2=b2+b3-卜 bn_i+1,故通解为 5

24、其中f为任意常数。J =%+，x,=t.秩（Q=.但是系数矩阵A是一个 x（1）的矩阵，所以秩（A）W-1 秩（N）.据 i i q.一 :a2*a2,n-*a2.n4.证 明：该线性方程组的增广矩阵7 =“3 1 3：。3.,由题意0 =|%卜0知，1 册1 ；ann_此秩（A）。秩（入），所以该线性方程组无解。第 三 章 矩阵习题3.14.解：（1）由矩阵乘法运可得：4。1 2 ,4%,4臼”ZM=4 r l；AD=4。2 1*0 2 2 ,4%_nan4a“2 -1 4M明1（2）与D乘法可换的矩阵A满足D 4 =A。故D4与AO的元素对应相等，利用（1 ）的结果，有4%=4,从而（4一

25、%）%=0。由于4力（i w j），可得：当i#j时，%=0,即A为对角矩阵。5.证明：（1）数学归纳法：当=2时，计算得1 1 02-i 2 r0 1 1=0 1 2,故结论成立0 0 10 0 1贝！当=上+1忖,-1 1 0-k-1 k Cl假设当=出时，结论成立，即有0 1 1=0 1 k_0 0 10 0 1100110当=左+1时，结 果 成 立.由 归 纳 法 原 理 知，对任意大于100k+C；k+l011100n10n11k+10(2)当=1 时,结果显然成立.当=2时，直接计算得82=E.假设当=女时，结果成立,即 Bk=aJ+出：+=0,w=,2,，由因为实数知=,=0,

26、%=，。加=0,Wi =1,2,”n A =O.证法二：利用二次型。习题3.24.思 路：注意到矩阵多项式的运算和一般多项式的运算一样就可以了。证 明：计 算(一4)(后+4 +屈+A i)=E A ,由 题 意 可 知 不=。，所以(E -A)(E +A +A 2 +A i)=E A*=E.根据定理 3.2.1 的推论可知 E A 可逆且其逆为 +4+2 +A l5.证明：计算(E-J)(E Jn)=E2-JE EJn+J；n-n-n-n1 1=E-=E一_-(nE-Jn)Jr l计算(E J )J n-1n-l-1-1-1n-1n-l-1-1九 一1据此(E-J“)(E 一 Jn)=E一一

27、-(n E-Jn)Jn=E，根据定理 3.2.1 的推论可知n-l Z 2 -1E -J“可逆且其逆为E 一 J.6.证 明：因为册A +a,i A4-F q A +a（）E=0 所以有m-lA(amAm-+am_tAm-2+,)=-a0E .由题意可知小 力。，所以可在等式两边同乘 上 一 工，由 此 可 得 -A(a,A i+a,1 4 菖+%)=E,整 理 得/o4-!-(册4 +4 _/-2+4)=，根 据 定 理 3.2.1 的推论可知A可逆且。0A =_ _(a,A T +,).。07 .证明：(1)由题意A 2 +A 4E =。可得知1(A +E)=,根据定理3.2.1 的推论可

28、4知 4 可逆并且A =；(A +E).(2)由 题 意 A 2 +A 4 E =O 可 得 A 2+H 2 E =2 E ,而 这 个 等 式 可 化 为(A-E X A +2 E)=2E,即 有 仍-项*+2 功=E,同样根据定理3.2 的推论可知A -E可逆并且(A EV=g (A +2 E).8.思 路：注意题设实际上是给出了矩阵多项式/0 4)=4 2 一4=0。所以一般情况下，2E-A如果可逆，其逆矩阵也应该是一个矩阵多项式。所以我们可以假设其逆矩阵为aA+bE(待定系数法)，从而由逆矩阵定义知应该有(2 E-4)(aA+鲂)=E,即-a A2+(2a-b)A+2bE=E .在注意

29、到题设是/(A)=A?-A =0 ,所以我们有E =-aA2+(2a-b)A+2bE=-aA+(2a-b)A+2bE=a-b)A+2bE,所以有a-b =0,2b=l,即。=/?=L。2A+F证明：因为A 2=A,所以(2 E A)-=-=E.所以。29.证明：(1),=卜=；;(2)由于 A 4*=|A|E,所以 A*=|A|A T=3 A-I,由此可得 41 =|3|=3 3,=2 7 x 1 =9;3(3)k2 A l =(2)3 =8x 3 =-2 4；|(3 4尸 =|3 A =同 尸=x 3)T =t ；由中分析可知A =3 肥，所 以:A*4A T =334 一 1)4 4 一

30、1=卜 3 4一=(_ 3)A =_ 2 7 x g =_ 9；(6)由(2)中分析可知 A*=3 A-i,则(A*)r=(3 4一|尸=(4-|尸=4。1 0 .证 明：都 可 逆，所 以 有AA*AE,BB*BE,由 此 可 知A=|A|A B=|B|B 1,从而得到8A*=ABBA-.另 一 方 面，由 于 4,8 都 可 逆 且 均 为 阶 方 阵，所 以 A8 也 可 逆，所以有(AB)*AB(ABY,而=|山忸忸 四-1综合上述可得(A B)*=|川忸忸*=8*4*.1 1 .略。1 2 .证明：假设A是可逆矩阵，那么在等式K=A两边都左乘A的逆矩阵4 一 1 可得A =E,这与题

31、设中Aw E矛盾！所以A不可逆.1 3 .证明：根据题意可知存在非零的n X t 矩阵B使 A B=0,B是非零矩阵所以必存在某一列ai上的元素不全为零，不妨设这一列为 1,a2i.由于A B =。，所以Aaia2i=-o-0,据4 ._ani_0 _此 可 知 是 线 性 方 程 组 AX=。的 个 非 零 解.由 于 AX=。有非零解，所以4.|川=0.1 4.略。1 5.解：(A)可逆的充要条件是闺 工 0而不是AK。,1设4 =00 *0,但 A不是可逆矩阵，所以选项(A)是错误的.(B)设 4 =E,6=E,显然4 8 都是可逆的，但是A +8=。不是可逆矩阵，所以选项(B)是错误的

32、.(0可逆的充要条件是|A|*0而w=|A.所以选项(0是正确的.(D)不可逆的充要条件是|A|=0；而网中至少有一行全为零只是M=0的充分条件。设A =I 1，但A不是可逆矩阵，所以选项(D)是错误的.习 题3.31.解:设4=-1 23 11 2-2 1,CI 34-1,D2314,则原式可以分块写成A OCOoBD,利用分块矩阵的性质计算得A O而A B得A O3211 2-50-2 11 7,CDoBC0ODACOOBD1 32 11 14_ 3 4_51 30,据此可oBC0OD 设 A =IE,B-102以分块写成AB0CAC0DGO-51070000BD00001 151 300

33、1,C=1 4,D=0 11 1 11111,利用分块矩阵的性质计算得11A0G-BC001001则原式可DGAD+BGCG而AD+BG=2ED+BG=2D+BG2222222100+12 220 1 00 0 1CG1 40 1 00 1 40 10 10 0 1据此可得A BO CDGAD+BGCG2220032410231412.解:(1)A-1 A E=A-A A-En=EnA；(4)AE.A-E“A3.证明：(1)EA-E“A-1 A 6A%A-EnE”A E lE，J A ,AE.A EnE,A En=A EAE.E.AA2A4 TAE._屋+纥。先证“n”,当。可逆时,则必有|。

34、-0.而|。|OBAO=(-D|A|忸I，所以有 忸 卜0,从而有|4卜0,怛卜0,因 此 均 可 逆.再 证“u”，A,8均 可 逆，则 有 同 工0,忸 卜0,所 以 有 同 忸 卜0,而O AB OQ =(1)川 用，所 以 工0,据此可知。可逆.综上即有Q可逆=A,B均可逆.C DF G(2)设 Q T,则有。Q iOBAOC DF GEE因为。可逆，由可知必AF=E而 0 A C D=AF AG,所以有AG=0B OJ L-F GJ _BC BDBC=0BD=E有可逆，所以由A G =。，8 C =0可得G =C=O.而由=BD=E可得F =.所以Q i5 .解设A2 1,B1 1A

35、0-IA-1 O0BO B-因 为AT2 11 -1可得A00B1 1-1 21O B A-1 O2 71 32 71 3则 原 矩 阵 为3-7-1 200A0-31OB7-2而,所以A-1 O2O B-000-307001-2习题3.44.解：(1)A中i行与，行互换相当于用初等矩阵E(i,j)左乘A得到E(iJ)A.由于(A-E(i,jylXE(i,j)A)=E,而 E(i,j)T=E(i,/),所 以 相 当 于 右 乘 了 初 等 矩 阵E(i,j),即-T中的i列与/列互换.(2)A中i行乘上非零数人相当于用初等矩阵E(i(Z r)左乘A得到伙)A.由于(A T E(i(Z)T)(

36、E(i(Z)A)=E，而 E(i(k)T=(z(1),所以相当于 4 T 右乘了初等矩阵E(i(：),即Ai 中i行乘上非零数千.(3)A 中 第/行 乘 上 数%加 到 第 i行相当于用初等矩阵E(i+)(k),J)左 乘 A得到+4 .由于(A T E(i+j(Z),/)T)(E(i+4：),j)A)=E ,而E(i +j(k),j)=E(i +j(-k),j),所以相当于 A-1 右乘了初等矩阵 (/+j),即4一 1 中第/行乘上数-k 加到第i行.7.解：由于 A(E CT B)T c r=E,所以 A E，-(。-力1 。，=E,即有AETCT-B C-)TCT=E,变 形 得 A

37、CT-BT(CC-)T=E,从 而 有A(CT-BT)=E.12而=340 0 01 0 0 T r,2 0 ,显 然 是 可 逆 矩 阵.所 以 只 需 要 求 出 即 得 到3 2 1A.下 面 只 用 初 等 行 变 换 把 8，E 化为 EA即可.10 0 02 10 03 2 104 3 2 110 0 00 10 00 0 100 0 0 11 0 00 1 00 0 10 0 00 10 0 00 -2 1 0 00 1-21 01 0 1 -2 11从而得到4=；00 0 01 0 0-2 1 01 -2 1习题3.51.证明：设 A为秩为r 的x 矩阵,则它必与矩阵W。一0

38、0等价，所以必存在两个可mxn逆矩阵P,。使得A =P0 0Q成立.而-与。一0 0可以写成r个只有一个元mxn L Jmx/j素 为 1 其余为零的，X 矩阵的和的形式:10E o l _O OL-Jmxn00 m-r,n-r _ m x n所以有A=P00000=P(10=p这 样A+E.O10om-r,n-r+01om-r,n-rmxnooQmxnooo0oi0000就 表 示Q+-+P01成 了 r 个 矩 阵 之和的 形)Q IX Q m-r,n-rtnxn式.而 任 一 个0P1Q.由于中间那个矩阵只有个元素非零，所以其00m-r,n-rinxn秩 为 1,而 P,。可逆,所以三个

39、矩阵的积的秩仍然为1.这样A 就表示成了 r 个秩为1的矩阵之和了.-12.解：设a00m-r,n-r“IX m-r,n-r显然4 （i =1,2,/）的秩都是1,但是他们的和A的秩是m-r,n-r1而不是r.所以该逆命题不成立.5.证 明：因 为A列满秩，所以存在可逆矩阵P,。使 得A =P j。=尸：，所以片弘=:。进而有0卜 以=纥。所以令C=0T 0尸即可。7 .证明：（1）因为r（A 6）V r（A）K m，所以结论成立。（2）由（1）知 不 满 秩，所以不可逆。（3）略。8.证明：因为 AB=Em,所以，”=r（AB）r（A）m,所以 r（A）=m。同理有r（B）=m。10 0 0

40、 0 1 19.解：设4=,B=,C=,0 O j|_ 0 1 J L1 0.fi ol fo ol Fi ol Fo il fo ol o r计算得 A S =O,ACB .0 0 j|_ 0 1 J L oj|_ o 1 J 0 0显然秩（AC B）=1,秩（A B）=0,两者不相等.所以秩（AC 8）与秩（4?）不一定相等.1 0 .解：设秩（A）=G，秩（8）=，贝1J存在四个可逆矩阵片M，鸟2使得一 E,0 纥。1 .A=Pt r,Qt,B=P2”&成 立 令 加=9 耳1首先因为 夕,都是可逆矩阵，所以M也是可逆的.又因为秩（A）+秩（8）易得.AH I-o 12=2 N1,所以(

41、3)不一定成立.0 1 2(4)设=瓦 5 =-&易得|4 +B|=|o|=0,|A|+忸|=2,此时|A +B 国 川 +冏,所以不一定成立.(5)(6)都是课本中提及的性质，是成立的.(4 8)=忸7=阳，卜 41四，所以(7)成立.2.解：设 4 =0 1 1则四1=1011显然此时|AAWATA|,所以该项不一定成立.(2)设 A =C1 1,B0 1D2 20 1,贝UMACBD1020112120102111计 算 得|A|回-Mq =l x l _ 2 x 2 =-3,而M中山于第二第四两行相同，所以M=0.因此此时 I M H|A|D|-|5|c|,所以此项不一定正确.MrA，

42、BT,所以ABCD不正确.(4)OBAO(-1)|A|S|,所以OBAO一忆词不正确.因为A,B为可逆矩阵,所 以 方 程 两 边 同 左 乘 再 右 乘8-即得X =4-1 0 6）所以是正确的.-1,2（6）因为n秩（1212nn0000101 0 0),nxn3.证 明:因 为 秩（A,“*“）=r,所 以A与ErOOOp Omx.ni使得B=PnmEr OO OErOOO】X,cEr Oo onxnErOOO100,所以因此这两个矩阵等价.等价，即存在两个可逆矩阵mxnErOOO令e x 1因为P3 Q”“是 可 逆 的 而的秩都为r,所 以 秩（8）=秩（C）=r.并且B是mx 的,

43、C是X的.而且计算可得BC=PmxmEr Oo oinxnE.OOOE,。o owx?i2x=A E O E O(2)只需令D =P 心,二 八 ，/=二 同分析可知这样构造-Im xm L-Intxn得到的，“神,耳”*即为所需的两个矩阵.1 r、(3)只需令/?=“、,“,S=Er O Qnxi l,同分析可知这样构造得到的rnj-rii rxn-Jmxr用“，5小即为所需的两个矩阵4.记住此结论。5.证 明：因为 r(A 8)+r(B C)r(8)+r(A 8 C),所 以 由 题 设 r(A 8)=r(6)知r(BC)4 r(ABC)。又因为 r(ABC)K r(B),所以 r(ABC

44、)=r(B)。第四章线性空间和线性变换习题4.12.记住此结论。习题4.21 0.证明：设f”,仆c P 使得，血+，2/?2+,+/、氏=。，则有(%+t2a2+%+，2七+七 一 他 1 +，,)%=0。因为四,该，线性无关，所以=七=4 T=。匕+4_|a t +4=0。所以 1 =2=4 0 o习题4.33.证明:设向量组(I)、(H)的极大无关组分别为典)、(IV)。则有(I)与(HI)等价，(II)与(IV)等价。所以(山)能用线性表示，(II)能用(IV)线性表示。因为能用(II)线性表示，所以(HI)能用(IV)线性表示。因为(IH)线性无关，所以(III)中所含向量的个数W(

45、IV)中所含向量的个数，即秩4 秩(II)。4.证明：由题设易知向量组/可由火 线性表示，下面只需证明%可由，,见/线性表示即可。因 为 可 由 四,线 性 表 示，所 以 存 在 数 匕,使 得p=kxa+-+kr_ar_i+krar o因为/?不能经线性表示，所以心工。所 以%=-(占/+%.1%_ 一/)，即%可 由 _|,线 性 表 示。kr5.证明：因为由 ,。，夕，/线性相关，所 以 存 在 不 全 为 零 的 数 片 左,r,f使得占 许+krar+r/3+t.下面分情况X、*/是 否 为 零 进行讨论(四种情况)。略。6.证明：(1)因为。2,。3,线性无关，所以a?,。3必线

46、形无关，又因为，。2,线性相关，所以必 能经。2,。3线性表示，并且表示方法唯一(2)若%能 经,a2,(Z3线性表示，不妨设表达式为4=+k2a2+k3a?,根据(1)名 能经线性表示，不 妨 设 表 达 式 为=/q+，2。3，把/带入到%=&乌+k 2 a 2+k 3 a 3 中 得%=k (ta2+12a3)+k2a2+k3a3=(姑+k2)a2+(k&+3)3即有。4一伏再+右)。2-(2+%)。3=。，从而得到。2,。3,。4线性相关，这与题意中a 2 ,CT,，。4线性无关矛盾！所 以 不 能 经 名，。2,%线性表示.习题4.41 2 12 3 33.解：由%a2 z3 0 0

47、 ：30 0 0 1:4所以方程组%a2 a3 a/X=a的 解 为,所以向量。在该基下的坐标为 6,-1,-1,4.解:(1)由%a2 a3可知%同样可计算得阵为M2-111111-23(2)X=M X=2-111118.解：因为21-11031053216613X=6,%=-1,X j 1,-4=4.邛。a,X =a/=%+%+%；3=1 -2a2+3a3.所以从基（I）到基（H）的过渡矩1-23132353232 5,所以坐标为一一，3 323-可作为 的一组基.1000010013103401,所 以 秩（4,。2，。3，。4）=4，所以设向量a =a,b,c,d f,则它在常用基下的

48、坐标为k，b,c,则有 a,a2 a?4 abcd=a,即要求(a a2 a3 tz4-)ab=0.2 0 51 3 3求解方程组(1 1 21 0 16 一 后/=。得 解 为 乂=卜，k,k,-k ,所以所求3的向量a =上，k,k,灯（左为任意值）.习题4.51,2.思 路：验证3 条。5.思 路：即证a,与/7,/等价。习题4.62.思 路：即说明这是解空间的一组基。4.思 路：注意要指出齐次线性方程组的基础解系只含有一个向量。7.证明：因 为 4 5 =。，所以秩（A）+秩（8），由于秩（8）=，所以秩（A）4 0,由此秩（A ）=0,即得A =O.（2）由题意知4 8 =6,所以（

49、A ）6 =。，利用（1）可知A E =。，因此A =E.9.证明：先证必要性，根据等价标准形可知存在矩阵RM M，S|X,，秩（R）=秩（S）=l,使A =R S .令 弓 吗，吗,为 R的机个分量，4也，也 为 S的个分量，则因为秩）=秩（5）=1所以，金和仇，与，4都不全为零.同时因为胃=宠5 即得%=生4(=1,2,，m ;j=1,2,，)成立.再证充分性，根据题意存在z 个不全为零的数4,，金 及 n 个不全为零的数仇也，瓦 使 4=%“（i=1,2,m ;j=1,2,.只 需 令B =a,a2,，%J,C=也，h2,bn,贝 L“=BC.因为秩（%“*“）秩（8 ）,又由于4,的，

50、4和 4也，也 都 不 全 为 零，所以%，*“中必有一非零元素，因此秩据此可得秩（%，,“）=1.1 0.证明:（1）由于秩（A）=n,所以|4 卜 0,而 A A*=|A|E,在等式两边同乘可得（1 A）A*=E,据此可知A*是可逆的，所以秩（A*）=n.A（2）秩（4）除1时 一，根据矩阵秩的定义可知A的所有一1 阶子式都为。，而 A*的元素就是A的所有-1 阶子式，所以A*的元素都是0,即A*=。，所以秩（A*）=0.（3）当 秩（A）=n-1 时，A不是满秩的，所 以 闺=0.又 因 为 A 4*=|A|E,所以4 4*=。，据此可知秩（A）+秩（A*）K，而秩（A）=n-1,所以秩