同济大学线性代数第五版课后习题答案1.pdf

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1、第 一 章 行 列 式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 0 1(1)1 -4 -1；-18 32 0 1解 1 一4 1-18 3=2 x(-4)x3+0 x(-l)x(-l)+l xl x8-O xl x3-2 x(-l)x8-l x(-4)x(-l)=一2 4+8+1 6-4=一4.cQbpc8ccQbbc匕解c1cc2Ibf e21a2=bc2+ca 2+ab2-a c2-ba 2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a).x y x+y(4)y x+y%.%+y x yx y%+y解 y%+y xx+y x y=%(x+y)y+yx(%+y)+(%+y)yx-y3_a+y)3 f

2、3=3xy(x+y)-y3-3x2 y-x-yi-x=-2(A：3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1)1 2 3 4;解 逆 序 数 为 0(2)4 1 3 2;解 逆序数为4:41,43,42,32.(3)3 4 2 1;解逆序数为 5:3 2,3 1,42,4 1,2 1.(4)2 4 1 3;解 逆 序 数 为 3:2 1,41,43.(5)13-(2n-l)24-(2n);解 逆 序 数 为 誓2：3 2(1 个)5 2,5 4(2 个)7 2,7 4,7 6(3 个)(2n-l)2,(2n-l)4,(2 一 1)6,(2 一 1)(2 一 2)(一

3、1 个)(6)1 3 (2H-1)(2n)(2n-2)-2.解逆序数为(-1):3 2(1 个)5 2,5 4(2 个)(2H-1)2,(2n-l)4,(2n-l)6,(2n-l)(2w-2)(w-1 个)4 2(1 个)6 2,6 4(2 个)(2)2,(2)4,(2场)6,(2n)(2n-2)(-1 个)3.写出四阶行列式中含有因子。1 1。23 的项.解 含 因 子 即423 的项的一般形式为(一 1)。11423a3/4s,其 中 rs 是 2 和 4 构成的排列，这种排列共有两个，即 24和 42.所以含因子 011123 的项分别是(l)a 11。23。32。44=(-1)a 1

4、1 G23432a44=-411。23。32。44,(1)a 1 1。23434a42=(-1)Cl 。23 34 42=1 23 34424.计算下列各行列式:420720211111411 00T23411 1 0=0472To2021T230411 00cQ4207202111oz-11411 00解o_O-24I11-119on9onc一一qO-24I1X-IXT23411 0-1112242361172o23150200423411-04112312T020242361T2o23151122423611T2o2315解-/?人匕o=02004230112o2310-双*4手3)a-c

5、/解11 =4abcdef.1 1=adfhc 1 -1ooldo1CT1bTo47007OOIJc-1 b-100100TooldO1CTToQ-loo解篙-1QoCT=(1)(1 产oC s+dCzT+ab a ad=-1 c l+cd0-1 0=(1)(1)3+211：0 ,d abcd+ab+cd+ad+.5.证明：a2 ah h2(1)2a a+b 2b=(a b)3;证明a?ah h2 c2-ci cr ab-(r b2-a22a a+b 2b la b a 2b-2a1 1 1|c3-C)|l 0 0=(T 七 笈 以=()。-研ax+byay+bzaz+bxay+bzaz+bx

6、ax+byaz+bxax+byay+bzx=(cv+bi)yzy zz%;%y证明ax+by ay+bz az+bxay+bz az+bx ax+byaz+bx ax+by ay+bz%ay+bz az+bxy ay+bz az+bx=ay az+bx ax+by+bz az+bx ax+by=a2z ax+by ay+hzx ay+bz zx ax+by ay+bzy z az+bxy az+bx x+b2 z x ax+byz ax+by yx y ay+bz-a3Xyy zyz x+b3 zXz x%yy zxy zXz x+b3 yyNz x yz xzXyX y z=(a3+b3)y

7、 z%z%ya2b2c1d23+1)2。+1)2(c+l)23+2)2(Z?+2)2(c+2)23+3)2(Z?+3)2(c+3)2=0;3+1)2 3+2)2 3+3)2证明a2b2c2d2(+1)2(0+1)2(C+l(I)?(a+2尸3 +2)2(c+2)2(d+2)23 +3)2S +3)2(c+3)2(3)2(C4-C3,C3 C2,C2-C 得)a2 2。+1b2 2b+lc2 2c+l2a+3 2a+52b+3 2b+52c+3 2c+5(C4-C3,C3-C2 得)d2 2J+1 2+3 2d+5RRa 1、弋 bir1rte i一2 2 2 22 2 2 2IIOllab)(

8、ac)(ad)(BIC)(bd)(cd)(a+B+c+s;点sIIoo-gbIab,eIa)0btb2lajcIadIac(clq)d(dl3%(c21a2)d2(d21a2)u(Bla)(cla)(dla)bedb2(B+a)C2(c+a)d2(d+a)111u(ba)(cIa)(d4)0cIbdlb0c(clb)(c+b+a)d(dlb)(d+b+3乂1a)(ca)(da)(cs(dm(c+1a)d(dA+a)H(alb)(alc)6ld)(blc)(bld)(cld)(a+b+c+d).F o J o x o L1 o：L。?X ；ooX+I:oo谷 1 证明用数学归纳法证明.当=2时，

9、2=+%+%,命题成立.50 人 I C t i假设对于(-1)阶行列式命题成立，即 一 1 .一2.Dn_i=x+a x+an-2X+an_i,则2按第一列展开，有 1 0 0 0&=皿1+4(-1 严 X T 0 01 1 X 1n .n.n ._ XL)n-+6Zn=X+一.因此，对于阶行列式命题成立.6.设阶行列式。=det（他），把。上下翻转、或逆时针旋转9 0。、或依副对角线翻转，依次得证明 因为D=det（a。所以R=an ann,2=an ann，。3=ann ana ana,anan a(一1)证明 2=4=(-1)2D,D3=D.=(一1)1(一1)-2a,一aina2 ,

10、a2nanann 3 1 0 3n=(-l)n(n-)+2+(-2)+(-1)D=(1)F D .同理可证n(n-l)2=(T)ka an（一 ）(一1)=(一1尸。7=(-1尸 D.(一l)2=（_ 1）丁 2=（-1）丁 （t）h o=（-i）（T）o=r）.7.计算下列各行列式（&为左阶行列式）：a 1（1）2=.,其中对角线上元素都是a,未写出的元素1 a都是0；解ooO004oaOQoOoODn=（按第n行展开）oOO1oOoaO=（一1严OO产OoQO-OOOOO100-0OOO-a+(-1产a(n-l)x(n-l)(n-l)x(w-l)a=(-1严(-)+a-an-a 2=dcT

11、-).a(-2)(-2)X Q Q(2)D“=a%0 ；a Qx解 将 第 一 行 乘(-1)分别加到其余各行，得D.QOO-Xaa a-x x-a0,a-x0 x-a a-x00 0再将各列都加到第一列上，得D“二=x+(n-1 .x+(n-l)aaa a0 x-a0 o00 x-a o0000 x-a解 根据第6题结果，有a(a 1)3-1尸(a-n)(a-八)Ta+尸aa-i a-n11,111 1aa-1 a-n%=(T)2an 3-1严(a-n)nla3 1)(a-n)n此行列式为范德蒙德行列式.2+I=(T)H 口 3，+1)3 7+1)n+li j=(-i 尸 n)n+l /J

12、1如+1)+(-1)+1 _ _ _=(-尸-.(-1)2 一 n(DW+l /J 1=K a-。+1 /;1b(4)4=q aC 1 4d“解anD2n=bA44q（按第1 行展开）4%bn-o(2naxqb 14*0o,odn于是而0Cln-bn-+(T产叫aC bidd n-0再按最后一行展开得递推公式。2 =。0 2 -2 b“D2n-2,即 D2n=(%d”bnCn)f)2n-2-a =n(M-皿)。2 2=i=2q h1q 4=a，i 一 姐,所以。2”=口(生4 一%)/=1(5)D=det(aij),其中 ai-jV,解 atj=i-j,0123.012.21o 11.3210

13、-“=det(%)=n-n-2 H-3 H-4r-r2弓 一4-1111-1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n-n-2 n-3 n-4111101234-.0oooo000-2-OO-22-)222.n-1 2n-3 2H-4 2n-5 n-=(DT(T)2-2.1+q 1 1(6)Dn=1 1 +W 1，其中幻色a M.1 1 1 +4”解1+Q 1 11 1 +出 11 1 1+。“0 0 10 0 10 0 1z 一C .2.3 0 0 00 0 0100 1 1 00-11000000an-%10-an+an0 0 ax0 0 魅i0 0 a：-1 1以0 1 1+。/

14、=a1a2 -an1 00 -0001 0 -00001 -00000 -01000 -00a；an-n1+&Ti=laxal=（4%）（1+X）/-=i ai8.用克莱姆法则解下列方程组:X1+X2+X3+X4=5%+2%2-毛+4%4=-2.2%3X2 玉5%=-2 3X1+X2+2X3+11X4=0解 因 为D=-142,2314-511=-142,D2=14+5114-11-212-315-2-2O2-14-5U5-2-2O11CN-11AD%-3一一aD西2a。%以所=1=051+6%+5X2+6X3X2+5X3+6X4=0.X3+5X4+6X5=0X4+5X5=1(2)为因解56

15、6=0006500651065106510051000=000650065106510c)clI)1151000=1507,D2=000650065106510651001Xc)112-00065c()c-IlcJ)0651065100510000006500651111165100510002=212,C(H)/00651065106510051000A=所以r_1507 _ 1145 _703 _-395 _2121 665 2 6 6 5，七 665 修 6 6 5，%6 6 5-ZY1+X2+X3=09.问 4 取何值时，齐次线性方程组 X+/zr2+x3=O 有 三 日玉+2肛+%3

16、=0零解?解系数行列式为2 1 1D=1 /z 1 =一.1 2 1令D=0,得-0或A=l.于是，当0或加1时该齐次线性方程组有非零解./(1 _ 4)尤 _ 2 x?+4马=01 0.问2取何值时，齐次线性方程组2%+(3-团%2+%3=。玉 +9+(1 -=0有非零解？解系数行列式为D=1 22 3-21 1411-21 4 3+/i=2 1-21 0411-2=(l-2)3+(/l-3)-4(l-/l)-2(l-/l)(-3-/l)=(l-2)3+2(l-/l)2+/l-3.令D=0,得/l=0,A=2 或 4=3.于是，当4=0,&2或4=3时，该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及

17、其运算1.已知线性变换:卜 1=2%+2%+为他=3%+%+5%，玉=3%+2%+3%求从变量修,2,巧到变量力,乃,力的线性变换.解由已知:、(2x2=33丫乂、%，人刈故(y八(2%2y i=-lxl-4X2+9X3,2=6X1+3X2-7X3.%=3%+2%24%32.已知两个线性变换%=2 y+%-7-4 96 3-73 2-4y=-3 Z +Z 2X、%，y3J=-2%+3%+2%,力2=2Z +Z 3 ,=4 y +%+5%=-Z 2+3Z3%=3W 2732 11 52 37求从ZI,Z 2,Z 3到Xi,%2,X3的线性变换.解 由 已 知(Xx=-24W 26 112-410

18、 10%|=-64-22+33所以有 马=12Z -4Z2+9Z3=-102-Z2+16Z3(1 1 1 13.设4=1 1 -11 1 -1 J(1 2 3 1B=-1-2 4,求 3 4 B 24 及 A B.I。5 1J解f l 13 AB-2 A=3 1 1(I T12 3、-2 45 Jf l-2 1u1 n-1-11 -110-2 13 22)-2-17 20(4 29-2)f l2 3、0AB=1 1-1-1-2 4 =01一1 1人0 5 1J25 598、74.计算下列乘积:4 x 7+3 x 2+l x l l x 7+(-2)x 2+3 x l =5x 7+7x 2+0

19、x l ,(3 5、6.4 9)解(1 2 3)2=(l x 3+2x 2+3 x l)=(10).(3)1(-1 2);解1(-1(2x(-1)2x 2)2)=1x(-1)1x 2,3 x(-1)3x2(-2 4)=-1 21-3 6；3212J211-3011114i4V43111214解3 1)-1 2 _ OA1刈120408.设4=0不求解首先观察12 222oO0 1刈14ZOooo vl A1zogowA2322光。犬ooA4=A3-A=A=A4-A=4宏6矛）矛4无，0 24 Jo o尤oozrAA5k 1 0尤1 5矛0九尤ooo用数学归纳法证明：当k=2时，显然成立.假设人

20、时成立，则时,Ak+i=Ak-A=0141X0oo无o 尤+1 (Z+1)无T 缺 如 无 T=0 尤M(k+1)无T,0 0 分+1 7由数学归纳法原理知：-2止-1)行尤g2左行无oooT79.设4 6 为阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明37A6 也是对称矩阵.证 明 因 为 所 以从而BAB是对称矩阵.10.设A,6 都是”阶对称矩阵，证明A8是对称矩阵的充分必要条件是46=氏 4.证明 充分性：因为*=4 B7=B,且AB=BA,所以(AB)T=(BA)r=ArBT=AB,即AB是对称矩阵.必要性：因为Ay=A,BT=B,且(A3)/=46,所以AB=(AB)T=BTAT=BA.11.求

21、下列矩阵的逆矩阵：I ；解 A=Q .=1,故A”存在.因为。、，cos。-sin。).(sing cos y解A=(渭 汽 歌.=1现 故 一 存 在.因 为4*=f Al A2=(COS。sin。)I/A2J(-sin。cos。/所以cos 0 sin。)-sin。cos所以 非=4/*=-W 3-1I /I I z，1-16 7-1J(4)(a a”M).I an)7 0、解A=%.,由对角矩阵的性质知0 an)f l q J_ 04-i _%0,11 2.解下列矩阵方程:2 51 3(1)X=4-6Y2 1 r解X=2 51 34 62 13-5Y4-6-1 2 2 12-230 8(

22、2 1 -A(2)X 2 11 -101J1 -1 3 43 2 5解X=1-31 23(22u11 1 10-一1 31(4、(11-20 1337解_(1 4YY3 1 Y 2 OX2j IO-1A-1 1J_(2-4Y3 1 Y1 O)-T2I1 1JI0-1A 12J_ f6 6Y1 OA_f 1 W o il 2 j-|o l3To-4O-20 A13oO1loorIoXVlooo1oG10JOOIloo3-o-4O-27o1ooroloX解3-oO-4-2T3o11=13OOIloo11nz-11uIoVlooo1o1 3.利用逆矩阵解下列线性方程组:X1+2X2+3X3=1(1)

23、2=2 1-1;故有X37 VX j-5v x2=0.、%3=3-3一5,1=0,314.设 屋=。（k 为正整数），证明（E 4尸=石+4+42+证明 因为屋=。，所 以 -屋=又因为E-Ak=(E-A)(E+A+A2+-+Ak-i),所以(E-A)(E+A+A2+-+Ak-)=E,由定理2推论知(E-A)可逆，且(E-A)=E+A+A2+-+Ak-证 明 一 方面，有 E=(E-A)-E-A).另一方面，由屋=。，有E=(E-A)+(A-A2)+A2-一。(屋-L屋)=(E+A+K+.+A&T)(E A),故(E-AyE-A)=(E+A+A2+-+AA-1)(E-A),两端同时右乘(ET)

24、T,就有(E-A)E-A)=E+A+A2+-+Akl.1 5.设方阵A满足A2_A_2E=a证明A及A+2E都可逆，并求 及(A+2E)T.证明 由屋-A-2E=0得A2-A=2E,BP A(A-E)=2E,或 A-1(A-E)=E,由定理2推论知A可逆，且AT=；(A-).由 A2-A-2E=O 得A2-A-6E=-4E,即(4+2EXA-3E)=4E,或(A+2E)-1(3E-A)=E由定理2推论知(A+2E)可逆，且(A+2E尸=；(3E-A).证明 由T-A-2=。得A2T=2 ,两端同时取行列式得142Tli=2,即 1AIIA-EI=2,故。0,所以 A 可逆，W A+2E=A2,

25、L4+2EklA2hL4l2 0,故 A+2E 也可逆.由 A2-A-2E=O nA(A-)=2n A 1 H-E)=2 A-Z n A=(A-E),又由 A2-A-2E=C=(A+2E)A-3(A+2E)=-4En (A+2E)(A-3E)=-4 E,所 以(A+2E)T(A+2E)(A 3E)=-4(A+2 E)-1,(A+2E)-1=i(3E-A).16.设 A 为 3 阶矩阵，求l(2A)T-5A*l.乙解 因 为A J/*,所以IAII(2A)-1-5A*I=|1A-1-5IAIA-1I=1A-1-A-1I2 2 2=l-2A-ll=(-2)3IA-1l=-8IArl=-8x2=-1

26、6.17.设 矩 阵A可逆，证 明 其 伴 随 阵4*也 可 逆，且(A*)-*4T)*.证明 由 篦=占4*，得A*=L4L4,所以当A可逆时，有IAIA=AnA-=An-O,从而A*也可逆.因为A*=L4L4,所以(A*)T=L4A.又人=击(小)*=1川(肥)*,所以IA I(A*)-1=IAr1A=L4r1IAI(A-1)*=(A-1)*.18.设阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：若141=0,则L4*l=0;(2)L4*I=L4IT.证明用反证法证明.假设L4*IM,则有A*(A*)T=E,由此得A=A A*(A*)T=IA IE(A*)-i=O,所以A*=0,这与L4*l w 0矛盾

27、，故当网=0时，有L4*l=0.由于贝l4 4*=L 4 l瓦取行列式得到I AIL 4 I L 4*I=L 4 I,!.若M,贝！L 4*I=AI T；若=0,由知L 4*l=0,此时命题也成立.因此 L 4*I=L 4 I T.(0 3 3、19.设4=1 1 0 ,AB=A+2 B,求区1-1 2 3)解 由 A3=A+2E 可得(A 2E)8=A,故B=(A-2 E YA=301/3-12-21Tz/m0 3 3、1 1 0l-l 2 3j(0=-1,13 3)2 3i o Jf i o n20 .设4=0 2 0,S.AB+E A2+B,求 5U 0 V解 由AB+E=A2+B得(A

28、-E)B=A2-E,即(A-E)B=(A-E)(A+E).因为I A-I=looo1oOOI=-1 W 0,所以(A-E)可逆，从而iml71o20307o1D=A+E=21.设A=diag(l,-2,1),4*A4=2R4-8E,求氏解 由 得(A*-2E)BA=-8E,B=-8(A*-2E)-1A-,=-8A(A*-2E)=-8(44*-2A)T=-8(141-24尸=-8(-2E-2A)-1=4(E+A)T=4diag(2,-1,2)-1=4diag(i-1,1)=2diag(l,-2,1).,1 0 0 0、22.已知矩阵A 的伴随阵A*=j g,、0-3 0 8,且4班-1=瓶 1+

29、3区 求 A解 由 L4*|=L4|3=8,得=2.由A比L=87L+3E得AB=B+3A,B=3(A-EylA=3A(E-A-l)YlA=3(E-1A*)-=6(2-A*)-1*求o24A=oXxm7ooo10060060360601-一oo0-6oo1oo11o31oTozf41-111A-zd-p中其2 3.解 由 pTAP=A,A=PKP 所以而故o2(2731 2732、1,-683-684j-2 4.设 AP=PA,其中 P=求双4)=心5石 64+屋).A71211o111111-解(A)=A8(5E-6A+A2)=diag(l,l,58)diag(5,5,5)-diag(-6,

30、6,30)+diag(l,l,25)=diag(l,1,58)diag(12,0,0)=l 2diag(1,0,0).以A)=尸板A)尸 t*(A)例产llpl-23T-20223oooo1on2-队oo/，-2f i i n=4 111.（H U25.设矩阵A、B及A+B都可逆，证 明A-+B-也可逆，并求其逆阵.证 明 因 为一5+心 方+人 工-。/,而A-A+B）B-是三个可逆矩阵的乘积，所 以A-A+B）B-1可逆,即川+小可逆.26.计算21001ooo1ooOYA011310201133-3220O1oO解 设A=3 4=1 9,4=e二），4=（o则而（A EYE始 4 4耳+

31、咐10 4人o 2厂（0 4B2 yA A+B）=（o 1B-1X-O-3）=（2 -4）&A,=（2 1Y-2 3，4 3）（0 3人 0 -3j-l 0 -9J所以f A EYE B=（A 4与+员）（o 4人o B2）o J2439-5240-21001oOr,2439-524-02100loozf3220o1oorloo0113102021001ooo/I27.A=B=-C=D=l力，验 证 町 w 罂 U 1 J I I I Z.X I解A BC Do1o-ooo22oo1oOTO_2一 001 020 1=4,o1oToo-1oo而IAI B_1ICI iz)r i故BD11（3

32、4 028.设A=4-3 求泌及履、。2 2J解 令 A=e4=（：2），则Ai o*故A8=_fA。8 0、1屋|=|看II段ITAFI甸8=10叱A OAo圈4=(54 00 54O、O24 026 24)29.设 阶 矩 阵A及s阶矩阵8都可逆，求 作 部；解嵋犷心则由此得(O AVQ C JA C.ACA_(En。B O)C3 c j-BC.BC2)-O EJAC.=En C3=A-1AC4=O.C4=O BC=O G=0 BC2=ES C2=B所以(O AY1 _(O B B 0)一 0 J-解由此得所以A-O-BB-z5.2AA2B设C犷但D则(A 0 D田/AZ),AD2(En

33、O(c B人2 D,)CD.+BD.CD2+BD4)O ES 叫=纥AD,=O _ CDX+BD3=O CD2+BD4=ES(A 0X _(A-C B)-B-yC3 0.求下列矩阵的逆阵:38-25328B-5003200852100r5200z(12211520038-0025-2500-1200-noA1ZT8AOAO32J008521oo520是于o21/z11-0004z/ll0031A=0212殳/72)解AMAcOB)=(.M 国。o04J0031021211/7711-4ioo1-312012-1652 4-21-21-8=第三章矩阵的初等变换与线性方程组1.把下列矩阵化为行最简

34、形矩阵:f l 213解o 2-n0 3 1 ;0 4司10 2-1、2 0 3 1 (下一步厂2+(-2加，厂3+(-3)厂1.)3 0 4 -31 o 2-r0 0-1 3(下一步：r 2+(-l),r 3+(-2).)0 0 -2 0；T-3O211ooO1oO（下一步：r 3 T）p o 2-n0 0 1-3(下一步：，3+3.)(0 0 0 3)10 2-P0 0 1 3(下一步：2+3小)(0 0 0 1 J 10 2-1、0 0 1 0 (下一步1+(-2 2,厂1+r3.)(0 0。D(1 0 0 0、0 0 10.(0 0 0 ”oo347-234n3-(0 2-3 r解 0

35、 3 4 3(下一步”2+(-3)，1,，3+(-2)人)10 4 -7 -1J3（下一步:n+七，乙+3r 2.）一 3,-31-1f oOOK10、3(下一步:n+2.)o1o200r ooo31074422-35344323-1323/I解f l -1 3-43-3 5-42-2 3-2(3-3 4 -2310（下一步:2-3小 3-2r i,）1000loozf4860-13435oooooo3-41 -21-21-23)22(下一步：厂 厂3 r2,r3-r2,r4-r2.)（下一步：r-lr2,r3-3r2,r4-2r2.）（下一步:r2+2 rb r3-8 rh r4-7r.）3

36、2002-200-o1oo-1Oooloozf7403-3234-10873223-7）-40323432-2-31421-1111129810874287(下一步：门5 2,2X(1),一)24o12ooooo)1o1oloo/1TolAIy701o1oONo1oloo369258(1,2-1)=147uIsolooroleA2225283.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵:715321211Muo1Vo1o111111-1422Toooxuo17o1oloo解1532123/2 0 1/2、0 7/2 21 一9/21OO1oTO3000022TO300U 0 0 7/6 2/30

37、 1 0-1-10 1 -1/2 02/2 J3-221-21111O-O23故逆矩阵为r3-2 22o121 0A7ooo1oo1oo1oo1oooT1210232-2221-3010/I解o1oo1O-3Oooo1oo1o2151-3292-21421ooo0142103-0ooo1oo1o211-13212-2100-1ooo/Im14o一T103-6ooo10012111111321021001ooozr2460-T-203-6TrT1To72ooo1oo1o2100Z1OOOK故 逆 矩 阵 为112036ooo1oo1oo1oo1ooo,I4460-T20364460f4 1 一2

38、14.设 A=2 2 113 1 -1J(1-3)B=2 2,求 X使AX=B;(3-J解 因 为4 1 -2(4 6)=2 2 1(3 1 -11 一312 23-U34V052111IlOOIo1oloo以所2 3刈-05202 设A=334求X 使 X4=R解考虑人灰乜户.因为123334(0 2-(Ar,Br)=2-1U 3一(2 -4A所以 XT=(ATr BT=-1 731ooOOIo1o4从而X=BAl=2-1-n-4 7 4-1oT1oA设1,AX=2 X+A,求 X.17解原方程化为(A-2E)X=4因为11zrO(A-2 E,A)=TL1Z1-O071oO1O1Oloo所以

39、 X=(A-2 E y A=T1071-O1X3O6.在秩是厂的矩阵中，有没有等于。的r-1阶子式？有没有等于。的 阶子式？解 在秩是r的矩阵中，可能存在等于0的r-1阶子式，也可能存在等于0的 阶子式.oooo例如，A=0 0c?oO1O1O,R(A)=3.是等于。的2阶子式,oooOOIo1o 是等于0的3阶子式.7.从矩阵A中划去一行得到矩阵民问的秩的关系怎样?解 R(A)NR.这是因为B的非零子式必是A的非零子式，故A的秩不会小于B的秩.8.求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5 阶下三角矩阵：

40、0 0oOOJooO1OoO1oO04000此矩阵的秩为4,其第2 行和第3 行是已知向量.9 .求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式:274024-17311解024204-1131132、1 （下一步：2.）4）-A2（下一步：r2-3 r i,r3 f.）T41OZT1755266(下一步：小一)T5O2604O矩阵的秩为2,；=-4是一个最高阶非零子式.1 17上333-2JK2-2-1-1攵zf(-A设(1 R 4 =1;2 R A =2;(3 R A =3.(1 -2 3n解 A=-1 2 k-3I k-2 3)r loe-1。k-一（左 一1）也+2）当攵=1时,R=1;当 k

41、=2 且 bl 吐 R(A)=2;(3)当 M 且后-2 时,R(A)=3.12.求解下列齐次线性方程组:jt1+x2+2x3-x4=0 2%+%2 +%3 8 4=。；2%+2X2+毛 +2X4=0解 对系数矩阵A进行初等行变换，有1 21 1 12 1 2)f l 0-1 0、0 1 3 -1(0 0 1-4/3,于是_ 4X 一铲4%2=3%4 _ 4工一铲4x4=x4故方程组的解为（k为任意常数）.4-3-341 31左=、X 1 +2X2+X3-X4=0(2)3 X +6X2-x,-3X4=0;+1 O x?+刍 一 5%=0解 对系数矩阵A进行初等行变换，有A=260-noc?O1

42、O200noe于是故方程组的解为、/11()11/I2女+2100（舟，后为任意常数）.2玉+3%2 七+514=。(3%+%2+2%3 7%=0.4X1+X2-3X;(+6X4=0?%2X2+4X3-7JC4=0解 对 系 数矩 阵A进行初等行变换，有O/O(2O1O137O1O1OA436OO7O4-7 J 1 0oooO-=一一不超七期是于故方程组的解为%=0 0 x3=0居=3%+4 一 5乃+7%4=0(4)2%-3+3为 -2%=04X1+11X2-13X3+16X4=07百 一2%2+X 3 +3%4=0解 对 系 数 矩 阵 4 进行初等行变换，有是于(3 4-5 7)2-3

43、3 -24 11-13 16(7 -2 1 3)O1oO1ooO/I31 71 91 7003-70-70111-1 2-1AOJ%1 31 72 01 7-故方程组的解为为，后为任意常数）.13.求解下列非齐次线性方程组:(1)4X1+2X2-A3=23-1A+2X3=10;1 1X+3X2=8解 对增广矩阵6进行初等行变换，有208-12o2T34313001310-1于是R(A)=2,而R(6)=3,故方程组无解.2x+3 y+z=4z 9 xlx-2y+4z=-5.U 3 x+8y-2z=13 4%y+9 z=-6解 对增广矩阵3进行初等行变换，有32-r21111429loon/In

44、!42于是即x=-2z-ly=z+2,z=z(-21+(-12IB（k为任意常数）.=384536-1-O1oOoOO33y =k2x+y-z+w=l 4x+2y-2z +w=2;2x+y-z-w=l解 对增广矩阵6进行初等行变换，有2OOJ2 oooo-2/11oo1Az(o72r24=Do(2 1-1-1 11,1是于卬z =z=o囱,4 2为任意常数）.A71-20oO+1-2O11O2+1-21oO-XyzVVzfl2%+y z +w=l(4)3%-2 y+z-3 w=4 .x+4 y-3 z+5 w=-2解 对增广矩阵3进行初等行变换，有4-2j(00 1l o 0-1/7 -1/7

45、 6/7、-5/7 9/7 -5/7OOO)（右k 2为任意常数）.6-75-70+1-79-7016-75-71-79-71-75-7z-Xyz是于2+11-757-11O,1xyZVV14.写出一个以x=cx2)-310J+0240为通解的齐次线性方程组.解 根 据 已 知，可得x2=G23102401与此等价地可以写成X1=2C1-C2X2=-3C+4C2，3 =或或(xi=2x3-x4X2=-3X3+4X4?%一2巧+%4=0+3 七 一 4%4=0这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15.2取何值时，非齐次线性方程组/lr1+x2+x3=l X+AX2+X3=A.%+%2+讯=矛

46、(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多个解?7122A1111X11114/11111-Do解r(1 2 22 0 A l 1 A 4(1 4).Q 0(1-A)(2+A)(1-)(A+1)2J(1)要使方程组有唯一解，必 须 R(A)=3.因此当加1 且加-2时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解，必须R(4)R(B),故(l-2)(2+/l)=0,(l-2)(/l+l)20.因此於-2 时，方程组无解.(3)要使方程组有有无穷多个解，必须R(A)=R(3)0,(1-2)(2+1)2=0.因此当正1 时，方程组有无穷多个解.1 6.非齐次线性方程组 2|+w+演=2X-2X2+X3=Ax

47、i+x2-2x3=当4取何值时有解？并求出它的解.解f-2B=1.11 1 一21-2 1 21 -2 22J1-2 0 1、0 01 X、-1|(丸 1)0(2-1)(2+2)?要使方程组有解，必须(1-积/1+2)=0,即加1,&-2.当加1时,XInoo 1-oloo2rz111-1212on=1方程组解为俯=巧+1%=玉+1或卜2=毛 ，x2=x3也为任意常数）.G%刈当加-2吐o111oo oo224112-121-211B方程组解为%=凡+21%2=七+2%1=%3+2或卜2 =巧+2,%3=%3即马=4 1 +2（4为任意常数）.(7(2 4)玉+2X2 2刍=11 7.设，玉+

48、(5_?1)%2_4%3=2 2|4X2+(5-4)退=一 丸 一 问九为何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解.222-2-解2-2 n5-2 -4 2 4 5 A A 12 5-2 -4 2)o 1-7 1-/J 1-2、0 0(1-2)(10-/)(1-2)(4-2),要使方程组有唯一解，必 须R(A)=R(B)=3,即必须所以当 归1且 加10时，方程组有唯一解.要使方程组无解，必 须R(A)/?(3),即必须(l-A)(10-2)=0 且(1 4)(4一zl)wO,所以当2=10时，方程组无解.要使方程组有无穷多解，必 须R(A)=R(3)3,即必须(1 一

49、4)(10 4)=0 且(1一 丸)(4一4)=0,所以当2=1时，方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为BnoIOJ-20O200方程组的解为西=-马+退+1 x2=x2X3=X3或(xA(-2+晨0 +vJU7出，后为任意常数).18.证明R(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量。及非零行向量，使ARK证明 必要性.由R(A)=1知A的标准形为o、oo1 o o0 0?(1=?(1,0,0),oj即存在可逆矩阵尸和。，使卬P A Q=(1,0,-,0),oj或0(1,0,0)Q T.L o；令。=尸7 0,=(1,0,10)0，贝I。是非零歹i j向量,“是非loj零行向量，且ARH充分性.

50、因为。与V是都是非零向量，所以A是非零矩阵,从而R(4)因为1r)=min 1,1=1,所以 R(A)=1.19 .设A为MX及矩阵，证明(1)方程A X=&有解的充分必要条件是7?(A)=m;证明 由定理7,方程A X=&有解的充分必要条件是R(A)=R(A,而&I是矩阵(4&)的最高阶非零子式，故R(A)=R(A,E”)=m.因此，方程AX=&有解的充分必要条件是R(A)=九(2)方程YA En有解的充分必要条件是R(A)=.证明 注意，方 程YA=En有解的充分必要条件是ATYT En有解.由 */=&有解的充分必要条件是/?(4)=.因此，方程YA=En有解的充分必要条件是R(A)=R