用空间向量求空间的角和距离（高二、高三）.pdf

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1、 I、带格式的：右侧：2厘米用空间向量求空间的角和距离（高二、高三）杨帆（乌鲁木齐市高级中学830002）空间向量立体几何里的应用非常广泛。空间向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野，也为我们解决数学问题带来了一个全新的思想方法，向量法。近两年高考的立体几何题都是兼顾A,B两种教材方案的。而相比较而言，用空间向量的方法解决空间几何图形中的距离和角的问题简便得多。|一 、用向量法求异面直线间的距离 带格式的：项目符号和编号）如 图1,若CD是异面直线。、b的公垂线段，A、B分别为4、上的任意两点.令向量 _L a,J_b,则 CD.v AB=AC+CD+DB，/.AB n=

2、AC-n+CD-n+DB-n.,短 不=.回 臼=|西 加，卜AB-/?_两异面直线。、b间的距离为：其中 与。、&均 垂直，A、B分别为两异面直线上的任意两点.例 例1如图2,正四棱锥S-ABCO的高SO=2,底边长48=血，求异面直线6。和SC之间的距离.分析：建立如图所示的直角坐标系，则DA,0),B,0),S(0,0,2).,丽=(&,后,0),2。，C（一 日 冬）,带格式的：项目符号和编号 一）cs=,2).令向量 =(x,y,l)，且G J.D及7_L在，则n-DB=0n-CS=0(x,y,l)(0)=0/2 5(x,y,1)(一 半 2)=0 x+y=0 x-y+2/2=0.卜

3、=-,4=（-立 应 ）.,.异面直 y=&线BD和SC之间的距离为:,0)(-7 2,5/2,1)|(-V 2,V 2,1)|1 +1+0|_2A/57(-V 2)2+(V 2)2+l2 5三一二、用向量法求点到平面的距离例如图3,已知A B 为平面a的一条斜线段，5 为平面a的法向量，求证：A到平面 带格式的：项目符号和编号 一)事实上-cos=.j,/.|AC|=|AZ?|-|cos|HR例 2 (2 0 0 5 湖 北)如图4的多面体是由底面为A B C D的长方体被截面A E C.F 所截面而得到的，其中A B=4,B C=2,C C i=3,B E=1.(I )求 B F 的长；(

4、I I)求点C到平面A E C F 的距离.(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0),B (2,4,0),A (2,0,0),C (0,4,0),E (2,4,1),C i (0,4,3).设 F(0,0,z).A E C F 为平行四边形，.由A E C/为平行四边形，由/=元 得,(-2,(),z)=(-2,0,2),z=2.:.F 0,0,2).EF=(-2,-4,2).于是I而11=2#,即 的 长 为2 n.(I I)设为平面A E G F 的法向量，显然不垂直于平面4 O F,故可设*=(x,y,l),n,AE=0,由%AF=0,得0 x x+4 x y+l=0 即

5、-2 x x+0 x y+2=04y+1=0,2x+2=0,x=1,y4又 同 =(0,0,3),设司与 的夹角为a,则C0S6Z=CC%ICCI-IIA C到平面AECF的距离为 d=1 CC.Icosa=3x*=上 二.33 11例3(2003年，全国高考题)如图5,已知正四棱柱A8C。一 A fR,A 8=l,A4=2,点 E 为CG 中点，点F为5,中点。求点。到平面BDE的距离。3去了该题的问)解：以D为原点，建立如图9所示的直角坐标系，则 0(0,0,0),5(1,1,0),E(0,l,D (0,0,2),:.BD=(-1-1,0),BE=(-1,0,1),BD,(-1,-1,2)

6、,设 平 面BDE的法向量为n=(x,y,l),则rilB Dnl.BE.n BD=0.f-x-y =0(y=-l -,n BE=0 1-x+l=0 x=ln=(1-1,1),则点，到平面BDE的距离为d=世口=之=2后，Ini V3 3三一三、用空间向量求直线到平面的距离例4、如图6,已知边长为4五的正三角形4BC中，E、F分别为BC和AC的中点，P4_L面A 8 C,且PA=2,设平面a过PF且与4 E平行，求4E与平面a间的距离.解：设 而、族、及的单位向量分别为不、公、选：取 ,月，作为空间向量的一组基底，易知 带格式的：项目符号和编号图6BE=21，通=26耳 屈=2亚PF=PA+A

7、F=+=PA+(AE+E C)=-2et+46e2+-Jie,设n=xq+)0+q是平面a的一个法向量，则n1 AE,n1 PF,/”=0,即n-PF=02/6y|e2|=0_2xj +V6.yp2|2+V2p3p=0y=0近，X=2.1 =手 录+5.直 线A E与 平 面a间 的 距 离四四、用空间向量求两平行平面间的距离-例 题5 如 图7,在 棱 长 为1的 正 方 体ABC。-A 4G A 中.(1)求证:平面 4B|C 平面 AG。；(2)求平面A.C与平面4G。间的距离.证明：(1)略。(2)建立如图所示的直角坐标系，(x,y,l).(1,0,1)=0(x.y,l)-(0,1,1

8、)=01带格式的：项目符号和编号)设平面4G。的一个法向量G =(x,y,l),则+三=,即n-DC=0n I-AD-nn=(-1,-1,1),平面AB.C与平面A,C,D间的距离/37(-l)2+(-l)2+l2 3五.用空间向量求异面直线所成的角例6己知 是正方体ABCD-ACM的棱G”的中点，试求向量而与无所成的角.解：在正方体4G中，要 求 向 量 而 与 而 所 成 的角，则可利用向量的数量积，只要求 出 而 万元及 而 和I瓦唧可.求得 向 量 而 与 无 所 成 的角.解：设 正 方 体 的 棱 长 为1,A B =a,A D -b,A/=c，则a=b=c=,a bb c=c a

9、=0.1 .I又AG=4民+8G-AB+AD=a+b,DE=DD D1E=DD+DC a,-1 1 1 1 9 1/.A,CI DE=(界6)(c+a)=a cb c+a+a b=a=.1 1 2 2 2 2 2 2 2 2又 而|=V2,DE|=,2/.cos AG，DEC,WDE 好 102-A/I Ij.3(AtCt,DE)=arccos 毛-,即 AtCt 与 DE 所成的由“Vio为 arccos-.10例7.在正四面体S-ABC中，棱长为“，E、F分别为SA和BC的中点，求异面直线8E和 所成角.解：如图 8,BEBS+SEBE SF(,BS+SE)-(SB+SC)2=LBS.SB

10、+L .SC+LSE SB+-SESC2 2 2 2a2cos 120。+4121 ,a2a2cos60+a2cos60 =4Bl BE=a,2刷邛a/.cos =232 2又异面直线BE和SF所成的角范围为(0,2arccos。3六、利用空间向量求直线和平面所成的角TT生 ，故异面直线BE和SF所成的角为2设。为直线/与平面。所成的角，夕为直线，的方向向量y与平面a的法向量之间的夹角，则有夕=生一。(图1 1)或=卫+。(图12)2 2兀jr特别地 =0时，夕=一，/a；夕=时，6=0,I j a或IH a2 2例8(2003年江苏、辽宁卷高考题)如图1 1,在直三棱柱A 5 C-A/|G中

11、，底面是等腰直角三角形，ZACB=90,侧棱 AA|=2,D,E 分别是 CG 与 4 5的中点，点E在平面ABD上的射影是A45。的重心G。求与平面ABD所成角的大小。(结果用反三角函数表示)解：以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立直角坐标系，设C4=C3=Q,贝ij A(a,0,0)-B(0,a,0),A,(a,0,2).D(0,0,1)E(-,-,1).G GE=BD=(0,-a,l),2 2 3 3 3 6 6 3V点E在平面ABD上的射影是AABO的重心G,.G E L平面ABD,GE BD=0f解 得a=20GE=(1,p|),西=(2

12、,-2,2),丽 L平面 ABD,次 为平面_ _ 4ABD的一个法向量。由cos=学 叫=-.巫GE-BAt 比.2 6 33,A/2得 v GEBAy=arccos,，与平面A B D所成的角为-arccos，即arccos。2 3 3七、用空间向量求平面和平面所成的二面角例9 (2 0 0 5全国H I四川、陕西、云南等地区)在四棱锥V-A B C D中,底面A B C D是正方形，侧面V A D是正三角形，平面V A D J _底面A B C D.(I )证明 A B J _平面 V A D.(I I)求面V A D与面V D B所成的二面角的大小.证明：(1 )作A D的中点0建立如

13、图空间直角坐标系，则 A (，0,0),B (一,2 2,则 V 0 _ L 底面 A B C D.并设正方形边长为1,p.J i,o),ci,o),|Z-.Z2A-图1 2D (-,0 ,0 ),V (0 ,0 ,),2 2 1 J 3AB=(0,l,0),AP=(l,0,0)M V=(-,0 )由 43 A。=(0,1,0)(1,0,0)=0 n A3 _L AOX B A V=(0,l,0)(-p 0,y-)=0=XBXv又 A B C 1 A V=A 平面 V A D(I I)由(I )得 通=(0,1,0)是面V A D的法向量设7 =(1,y,z)是面V D B的法向量，则n-VB

14、=0(i,=()_n BD=0 (1,Z).(-1,-1,0)=0(0,1,0)-(1,-LA J:.co s =-=-3又由题意知，而V A D与面V D B所成的二面角,Jz =_ 且 =，今-,1所以其大小为a r c c o s q7例 1 0 (2 0 0 5 江西)如图1 4,在长方体A B C D ABCD,中，A D=A A i=l,A B=2,点 E 在棱A D 上移动.(1)证明：D i E _ LA i D；(2)当E 为 A B 的中点时，求点E到面A C D 的距离；(3)A E 等于何值时，二面角5 E C D的大小为工.4解：以D 为坐标原点，直线D A,D C,

15、D D i 分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设A E=x,贝IJAI(1,0,1),D,(0,0,1),E (1,x,0),A (1,0,0)C (0,2,0)(1)因为两，万石=(1,0,1),(1,x,-1)=0,所以两(2)因 为 E为 A B 的中点，则 E (1,1,0),从而5 =(1,1-1),XC=(-1,2,0),福=(-1,0,1)，设 平 面ACD,的 法 向 量 为-,fn-AC=0,n=(a,b,c),贝叫_ _ _ _.n AD 0,|tz+2/?=0 a=2b 一也即 ，得,从而 =(2,1,2),所以点E到平面AD的距离-+?=()a=c,l a E n l 2+1-2 1h=J-=-=.(3)设平面 D i E C 的法向量7 =(a力,c),C E =(1/一2,0),麻=(0,2,-1),函*=(0,0,1),n-DXC=0,(2b c 0n-CE=0,a+b(x-2)=0.令 b=l,.*.c=2,x、:./?=(2-x,l,2).1.函Il l 函 I依题意COS出4V2 2 V22(x-2y+5 2 M=2+73(不合，舍去),=2 V3.，AE=2-百 时，二面角D EC D的大小为X.4