中考数学第一轮复习材料.pdf

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1、九年级中考第一轮复习材料全套几何篇1.三角形的有关概念知识考点:理解三角形三边的关系及三角形的主要线段(中线、高线、角平分线)和三角形的内角和定理。关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解儿何题是这部分知识常用的方法。精典例题：例 1已知一个三角形中两条边的长分别是a、b,且 a b,那么这个三角形的周长 L 的取值范围是()A、3a L 3 b B、2(a+b)L 2aC、2a 6+b L 2b+a D、3 a-b L a+2b分析：涉及构成三角形三边关系问题时，定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。答案：B变式与思考：在AABC中，A C=5,中线A D=7,

2、则 AB边的取值范围是()A、1AB29 B、4AB24 C、5AB19 D、9AB Z A；(2)试判断在aA B C 外，又和点A 在直线/的同侧，是否存在一点Q,使/B Q C /A,并证明你的结论。问题一图分析与结论：(1)连结A P,易证明/P /A；(2)存在，怎样的角与N A 相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造AABC的外接。0,易知弦BC所对且顶点在弧A加B,和弧A C 上的圆周角都与/A 相等，因此点 Q 应在弓形A?B 和 A C 内，利用圆的有关性质易证明(证明略)。【问题二】如图，已知P 是等边aA B C 的 B C边上任意一点，过 P 点分别作AB、AC的垂

3、线PE、P D,垂足为E、D 问：4A E D 的周长与四边形EBCD的周长之间的关系？分析与结论：(1)DE是4A E D 与四边形EBCD的公共边，只须证明AD+AE=BE+BC+CD(2)既有等边三角形的条件，就 有 60的角可以利用；又有垂线，可造成含30角的直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。略解：在等边AABC中，N B=N C=60A又PELAB 于 E,PD_LAC 于 D；./B P E=/C P D=3 0 不妨设等边4A B C 的边长为1,BE=x,CD=y,那么：BP=2x,PC=2y,x+y =L ffu AE=1-x ,A D=l-y DBJ 问题

4、二P图CAD+AE=BE+BC+CD从而 AD+AE+DE=BE+BC+CD+DE即AAED的周长等于四边形EBCD的周长。评注：本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全等三角形”的道路是很难奏效1、三角形的三边为1,1-a,9,则a 的取值范围是。2、已知三角形两边的长分别为1和 2,如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为。3、在aABC 中，若/C=2 (Z A+Z B),则NC=度。4、如果ABC的一个外角等于150,且N B=N C,则NA=。5、如果aA B C 中，ZACB=90,CD 是 AB边上的高，则与N A 相等的角是。6、如图，在AABC中，NA=80,NABC和/

5、A C B 的外角平分线相交于点D,那么NBDC7、如图，CE 平分N A C B,且 CEJ_DB,NDAB=NDBA,AC=18cm,ZCBD 的周长为28 c m,贝 i j DB=。8、纸片A A BC中，NA=65,/B=7 5 ,将纸片的一角折叠，使点C 落在A A B C内(如图），若2 1=2 0 ,则N 2 的度数为 o9、在aABC 中，/A=5 0 ,高 BE、CF 交于点 0,则NB0C=。10、若aA B C 的三边分别为。、b,c,要使整式（。一匕+c）（a 匕 c）”0,则整数机应第 8 题图二、选择题：1、若aA B C 的三边之长都是整数，周长小于1 0,则这

6、样的三角形共有（）A、6 个 B、7 个 C、8 个 D、9 个2、在aA B C 中，AB=AC,D 在 AC上，且 BD=BC=A D,则/A 的度数为（）A、300 B、36 C、45 D、723、等腰三角形一腰上的中线分周长为15和 12两部分，则此三角形底边之长为（）A、7 B、11 C、7 或 11 D、不能确定4、在aA B C 中，ZB=50,A B A C,则/A 的取值范围是（）A、0ZA180 B、0ZA 80C、50ZA130 D、80ZA1305、若a、B、7 是三角形的三个内角，而x=a +/?.y-/3+y,z-y +a,那么x、y、z 中，锐角的个数的错误判断是

7、（）A、可能没有锐角 B、可能有一个锐角C、可能有两个锐角 D、最多一个锐角6、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2 倍，且等于它不相邻内角的4 倍，那么这个三角形一定是（）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形三、解答题：1、有 5 根木条，其长度分别为4,8,8,10,1 2,用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？2、长为2,3,5 的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什么？3、如图，在4A B C 中，/A=9 6 ,延长BC到 D,/A B C 与/A C D 的平分线相交于4，N A|B C 与N&C D 的平分线

8、相交于A 2,依此类推，/A,B C 与NA&CD的平分线相交于A 5,则/A 5 的大小是多少？4、如图，已知O A=a,P 是射线ON上一动点（即 P 可在射线ON上运动）,ZAON=6 0 ,填空：(1)当 0P=时，AAOP为等边三角形；(2)当 OP=时，AOP为直角三角形；(3)当 0 P 满足 时，AAOP为锐角三角形;(4)当 OP满足 时，A O P 为钝角三角形。一、填空题：1、-9 a 0,长为2+a,3+a,5+a 的三条线段可以组成三角形设长为5+a 的线段所对的角为a,则a 为AABC的最大角又由(2+a)2+(3+a)2-(5 +a)2=1 12当“2-1 2 =

9、0,即a=2 j 5 忖，4A B C 为直角三角形。3、34、(1)a；(2)2a 或色；(3)-0 P 2 tz；(4)0O P 2a2222.全等三角形知识考点：掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等。精典例题：【例 1】如图，已知 AB_LBC,DC1BC,E 在 BC 上，AE=AD,AB=BC。求证：CE=CD分析：作 AFLCD的延长线(证明略)评注：寻求全等的条件，在证明两条线段(或两个角)相等时;若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：连结某两个已知点；过已知点作某已知直线的

10、平行线；延长某已知线段到某个点，或与已知直线相交；作一角等于已知角。【例 2】如图，已知在aA B C 中，Z C=2Z B,Z1=Z 2,求证：AB=AC+CD。分析：采用截长补短法，延长AC至E,使 A E=A B,连结DE；也可在AB上截取AE=A C,再证明EB=CD（证明略）。探索与创新：【问题一】阅读下题：如图，P 是4 A B C 中 B C边上一点，E 是 A P上的一点，若 EB=EC,N1=N 2,求证：APBCo证明：在4ABE 和4ACE 中，EB=EC,AE=AE,Z1=Z2.二 ABE丝 ACE（第一步）A AB=AC,Z 3=Z 4 （第二步）AAP1BC（等腰三

11、角形三线合一）上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。略解：不正确，错在第一步。正确证法为：VBE=CEAZEBC=ZECB又：N1=N2；./A B C=N A C B,AB=AC.ABE乡 ACE（SAS）；./3 =N4又；AB=ACAAPIBC评注：本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计而成的阅读性试题，其目的是考查学生阅读理解能力，证明过程中逻辑推理的严密性。阅读理解题是近几年各地都有的新题型，应引起重视。【问题二】众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，

12、使这两个三角形全等吗？请同学们参照下面的方案（1）导出方案（2）（3）（4）。解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方 案（1）：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。方 案（2）：若这个角是直角，则这两个三角形全等。方 案（3）：若此角为已知两边的夹角，则这两个三角形全等。评注：这是道典型的开放性试题，答案不是唯一的。如 方 案（4）：若此角为钝角，则这两个三角形全等。（5）：若这两个三角形都是锐解（钝角）三角形，则这两个三角形全等。能有效考查学生对三角形全等概念的掌握情况，这类题目要求学生依据问题提供的题设条件，寻找多种途径解决问题。本题要求学生着眼于弱化题设条件，设计

13、让命题在一般情况不成立，而特殊情况下成立的思路。跟踪训练:一、填空题：1,若ABCgZXEFG,且NB=60,N F G E-/E=5 6 ,则/A=度。2、如图，ABEFDC,NABC=90,A B=D C,那么图中有全等三角形 对。3、如图，在AABC中，ZC=90,BC=40,AD是NBAC的平分线交BC于 D,且 DC：DB=3:5,则点D 到 A B 的距离是第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图4、如图，在aA B C 中，ADBC,CE_LAB,垂足分别为D、E,AD、C E交于点H,请你添加一个适当的条件：,使AEHg/CEB。5、如图，把一张矩形纸片ABCD沿 BD对折，使

14、 C 点落在E 处，BE与 AD相交于点0,写出一组相等的线段（不包括AB=CD和 AD=BC）。6、如图，/E=N F=9 0,/B =NC,AE=AF。给出下列结论：N1=N2；BE=CF；AACN且AABM；CD=DN。其 中 正 确 的 结 论 是 （填序号）。二、选择题：1、如图，AD1AB,EA1AC,AE=AD,AB=AC,则下列结论中正确的是（)A、AADFAAEGC、ABMPACNGB、AABEAACDD、AADCAABE填空第5 题图选择第1 题图2、如图，AE=AF,AB=AC,EC 与 BF 交于点 0,/A=60,N B=2 5,则NEOB 的度数 为（）A、60 B

15、、70 C、75 D、853、如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所C、互余 D、互补或相等对 的 角（）选择第2 题图B、不相等选择第4 题图4、如图，在A A BC中，A D 是N A 的外角平分线，P 是 A D 上异于A 的任意一点，设 PB=m,P C=,A B=c,AC=b,则(机+)与(b+c)的大小关系是()m+n b +c B m+n /E=/3 =AE=ACZ1=Z.BD AB(1)上述证明过程中，用了哪些定理(写出两个定理即可)；(2)在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内()数形结合思想 转

16、化思想 分类讨论思想答案：转化思想(3)用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知A D 是4 A B C 中/B A C 的角平分线，AB=5cm,AC=4cm,B C=7 cm,求 BD 的长。35答案：cm9评注：木题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。跟踪训练：一、填空题：1、如图，/A=52,O 是 AB、A C的垂直平分线的交点，那么NOCB=。2、如图，已知AB=AC,N A=44,A B的垂直平分线MN交AC于点D,则NDBC=。B C第 2 题图第 3 题图第 4 题图B C3、如图，在aA B C 中，ZC=90,ZB=15,A B的中垂线D E交 B C 于 D 点，E

17、为垂足，若 B D=8,贝 i j AC=。4、如图，在ABC41,AB=AC,DE是 A B的垂直平分线，ZBCE的周长为24,BC=10,则 AB=8 cm 14cmC、8 cm 8 cm、14cm 或 12 cm、12 cm 6cmB、D、4、如图，RtZABC中，ZC=90,C D是A B边上的高，是中线，CF是N A C B的平分线，图中相等的锐角为组,共 有（）A、0组C、3组12 cm 12 cm 6cm以上答案都不对CE则B、2组D、4组5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A、锐角三角形 B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定三、解答题：1、如

18、图,R tA A B C的N A的平分线与过斜边中点M的垂线交于点D,求证：M A=第1题图2、在AABC 中，ABWAC,D、E 在 BC 上，且 D E=E C,过 D 作 DFBA 交 AE 于点 F,D F=A C,求证：AE 平分NBAC。3、如图，在a A B C中，/B=22.5,/C=6 0,A B的垂直平分线交B C于点D,BD=6啦，AE_LBC于点E,求EC的长。4、如图，在 RtZABC 中，NACB=90,AC=BC,D 为 BC 的中点，C E 1 A D,垂足为E,BFA C交C E的延长线于点E 求证A B垂直平分DF。cD第 4 题图参考答案一、填空题：1、3

19、8；2、24；3、4；4、14；5、68二、选择题：CBCDB三、解答题：1、过 A 作 AN1.BC 于 N,证ND=NDAM；2、延长FE到 G,使 E G=E F,连结C G,证4DEF也4CEG3、连结 AD,DF 为 AB 的垂直平分线，A D=B D=6 j,ZB=ZDAB=22.5Z ADE=45,A E=AD=x 6-72=62 2又；/C=60；.EC=AE正4、证ACD小CBF6.平行四边形知 识 考 点：理解并掌握平行四边形的判定和性质精 典 例 题：【例 1】已知如图：在四边形ABCD中，AB=CD,A D=B C,点 E、F 分别在B C 和AD边上，AF=CE,EF

20、和对角线BD相交于点0,求证：点 O 是 B D 的中点。分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明B 0=D 0略证：连结BF、DE在四边形 ABCD44,AB=CD,AD=BC/.四边形ABCD是平行四边形；.ADBC,AD=BC又：AF=CE；.FDBE,FD=BE四边形BEDF是平行四边形例 1 图.-.B 0=D 0,即点0 是 B D 的中点。【例 2】已知如图：在四边形ABCD中，E、F、G、H 分别例 2 图是 AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。分析：欲证四边形EFGH是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由 E、F、G、H分别是各边上

21、的中点，可联想到三角形的中位线定理，连 结 A C后，E F和 G H 的关系就明确了，此题也便得证。（证明略）变 式 1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。变式5：若 AC=BD,A C B D,则四边形EFGH是正方形。变 式 6：在四边形ABCD中，若 AB=CD,E、F、G、H 分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形。娈式7 图变式7：如图：在四边形ABCD中，E 为边A B上的一点，4A D E 和4B C E

22、 都是等边三角形，P、Q、M、N 分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形PQMN是菱形。探索与创新：【问题】已知如图，在4 A B C 中，/C=9 0 ,点 M 在 B C 上，且 B M=A C,点 N 在AC上，且 AN=MC,AM和 BN相交于P,求NBPM的度数。分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN。略证：过 M 作 MEA N,且 M E=A N,连 结 NE、B E,则四边形AMEN是平行四边形，得 NE=AM,ME/7AN,AC1BCAME1BC在ABEM和AAMC中

23、，ME=CM,ZEMB=ZMCA=90,BM=ACAABEMAAMC；.BE=AM=NE,Z1=Z2,Z 3=Z 4,Z l+Z3=90；./2+N 4=9 0 ,且 BE=NE/.BEN是等腰直角三角形/BN E=45VAM/7NE；./B P M=/B N E =45跟踪训练：探索与创新图一、填空题：1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5 和 7,则它的一条边长。的取值范围是。2、U3ABCD的周长是30,AC、BD相交于点O,AOAB的周长比OBC的周长大3,则 AB=o3、已知O 4 B C D 中，A B=2A D,对角线BD_LAD,则/B C D 的度数是。4、如图：在 O

24、ABCD 中，AE_LBD 于 E,ZEAD=60,AE=2,A C+B D=16,则4BOC的周长为 o5、如图：6JA B CD 的对角线AC、B D 相交于O,E F过 点 0,且 E FL B C 于 F,Z1=30,Z2=45,O D=2五，则 AC 的长为。6、如图：过 2K B C D 的顶点 B 作高 BE、B F,已知 B F=*B E,BC=16,/EBF=30,4则 AB=o7、如图所示，Q A B C D 的周长为30,AEJ_BC于点E,AFLCD于点F,且 AE：AF=2：3,/C=1 2 0 ,则平行四边形ABCD的面积为。二、选择题：1、若乙公BCD的周长为28

25、,aA B C 的周长为17cm,则 A C的 长 为（）A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm2、如图，zOABCD和 O E A FC 的顶点D、E、F、B 在同一条直线上，则下列关系中正确的 是（）A、DEBF B、DE=BF C、DE 0),DG HD阅读下列材料，然后回答下面的问题:如上图，连结BD.AE _ AH FC _ GCBE HD BF DG；.EHBD,FGBD连结A C,则 EF与 GH是否一定平行，答：；当女值为 时，四边形EFGH是平行四边形；在的情形下，对角线AC和 BD 只需满足 条件时，EFGH为矩形；在的情形下，对角线A C和 B D 只需满足

26、 条件时，EFGH为菱形；3、已知，在四边形ABCD中，从ABDC；AB=DC；ADBC；AD=BC；N A=N C；/B=N D 中取出两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请你具体写出这些组合。4、如图，在aA B C 中，ZACB=90,D、F 分别为AC、A B的中点，点 E 在 B C的延长线上，ZC D E-ZA o(I)求证：四边形DECF是平行四边形;3(2)若s i n 4=,四边形EBFD的周长为2 2,求 D E的长。5跟踪训练参考答案一、填空题：64七1、l a 0,：.k 2,故 七=应舍去。-3(2)当人=12 时，AB+BC=10,AB

27、 BC=2Z=2 4,由于 A B B C,所以 AB=4,3 AE ADB C=6,山 =3 S M 可得 A E=3E M=-A M。易证AEDsMBA 得=，的 4 MB AM设 A E=3a,A M=4a,则 MB=2 a2,而 AB2+BM2=AM2,故4?+4/=16a2,解得=2,MB=la1=4o 即当 MB=4 时，SMD=评注：本题将几何问题从“形”向“数”转化，这类综合题既有几何证明中的分析和推理，又有代数式的灵活变换、计算，其解题过程层次较多，步骤较复杂，书写过程也要加强训练。探索与创新：【问题一】如图，四边形ABCD中，AB=n，B C=5-V 3 ,C D=6,且N

28、ABC=135,N B C D=120,你知道A D 的长吗？分析：这个四边形是一个不规则四边形，应将它补割为规则四边形才便于求解。略解：作 AE_LCB的延长线于E,DFJ_BC的延长线于F,再作AGLDF于 G,/ZABC=135,/.ZABE=45.,.ABE是等腰直角三角形又；A B=V,.A E=B E=73V Z BCD=120,.,.Z FC D=60ADCF是含30的直角三角形：CD=6,CF=3,DF=373*E F-J 3+(5 A/3)+3=8山作图知四边形AGFE是矩形；.AG=EF=8,FG=AE=A/3从而 DG=DFFG=2V3在 AADG 中，ZAGD=90EA

29、 DB C问题二图 AD=ylA G2+D G2=764+12=V76=2 M【问题二】把矩形ABCD沿 BD折叠至如上图所示的情形，请你猜想四边形ABDE是什么图形，并证明你的猜想。分析与结论：本题根据题设并结合图形猜想该四边形是等腰梯形，利用对称及全等三角形的有关知识易证。跟踪训练：一、填空题：1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4,周长为5 6,则 这 个 矩 形 的 面 积 为。2、已知菱形的锐角是6 0 ,边长是20cm,则较短的对角线长是 cm。3、如图，矩 形 ABCD中，O 是对角线的交点，若 AELBD 于 E,且 O E：O D=1：2,AE=V3 cm,则 DE=cm。4

30、、如图，P 是矩形 ABCD 内一点，PA=3,PD=4,P C=5,则 PB=.5、如图，在菱形 ABCD 中，ZB=ZEA F=60,Z B A E=20,则/C E F=二、选择题:6、在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、D A 上分别取点E、F、G、H,使 EFGH为矩形,则这样的矩形（）A、仅能作一个C、一般情况下不可作B、可以作四个D、可以作无穷多个7、如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=12cm,P 点在AD边上以每秒1 cm 的速度从A 向 D 运动，点 Q 在 BC边上，以每秒4 cm 的速度从C 点出发，在 C B 间往返运动，二点同时出发，待 P 点到达D 点为

31、止，在这段时间内，线段PQ 有（）次平行于AB。A、1 B、2 C、3 D、4第7题图第8题图8、如图，已知矩形纸片ABCD中，AD=9cm,AB=3 cm,将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后D E的长和折痕EF的长分别是（）A、4cm、V10 cm B、5cm V10 cmC、4cm、2-73 cm D、5cm、2百 cm9、给出下面四个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形;有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形;菱形的对角线的平方和等于边长平方的4 倍。其中正确的命题有（）A、B、C、D、10、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个

32、四边形一定是（）A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形11、如图，在矩形ABCD中，F 是 BC边上一点，A F的延长线交D C的延长线于点G,DELAG于 E,且 D E=D C,根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。A12、如图，在ABC44,ZACB=90,C D 是 AB边上的高，/B A C 的平分线A E交C D 于 F,EG_LAB于 G,求证：四边形GECF是菱形。13、如图，以4 A B C 的三边为边在B C 的同一侧分别作三个等边三角形，即AABD、BCE,A A CFo请回答下列问题(不要求证明)：(1)四边形ADEF是什么四边形？(2)当AA

33、BC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？(3)当A B C 满足什么条件时,以A、D、E、F 为顶点的四边形不存在？跟踪训练参考答案一、填空题：1、180；2、20cm；3、3；4、3技 5、20提示：4 题过点P 作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解；5 题连结A C,证4ABE丝ZACF得 A E=A F,从而aA E F 是等边三角形。二、DDBBA三、解答题：II、可证4DEA会4ABF12、略证：AE 平分N B A C,且 EG_LAB,E C 1 A C,故 E G=E C,易得/A EC =/C EF,VCF=EC,E G=C F,又因 EG_LAB,C D 1A B,故 E

34、GCF。四边形 GECF 是平行四边形,又因E G=F G,故 GECF是菱形。13、(1)平行四边形；(2)ZBAC=150；(3)当NBAC=60时，以 A、D、E、F为顶点的四边形不存在。8.正方形知识考点：理解正方形的性质和判定，并能利用它进行有关的证明和计算。精典例题：例 1如图，E、F 分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且 EFA C,在 DA的延长线上取一点G,使 AG=AD,EG 与 DF相交于点H。求证：AH=AD。分析：因为A 是 D G 的中点，故在DGH中，若 A H=A D,当且仅当DGH为直角三角形，所以只须证明DGH为直角三角形(证明略)。评注：正方形除了

35、具备平行四边形的一般性质外，还特别注意其直角的条件。本例中直角三角形的中线性质使本题证明简单。【例 2】如图，在正方形ABCD中，P、Q 分别是BC、C D 上的点，若/PA Q=45,求证：PB+DQ=PQ。分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明。变式：若条件改为P Q=P B+D Q,那么/P A Q=?你还能得到哪些结论？探 索 与 创 新：【问题一】如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E 是 AC上一点,过 A 作 AGLEB于 G,AG交 BD于点F,贝 O E=O F,对上述命题，若点E 在 A C的延长线 匕 A G E B,交 EB 的延长线于点G,

36、A G 的延长线交D B的延长线于点F,其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理山。问题一图1分析：对于图1通过全等三角形证明0 E=0 F,这种证法是否能应用到图2 的情境中去,从而作出正确的判断。结论：(2)的结论“0 E=0 F”仍然成立。提示：只须证明aAClF丝B 0E 即可。评注：本题以正方形为背景，突破了单纯的计算与证明，着重考查了学生观察、分析、判断等多种能力。【问题二】操作，将一把三角尺放在边长为1 的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q。探究：设 A、P 两点间

37、的距离为X。(1)当点Q 在边C D 上时，线 段 PQ 与线段PB 之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论；(2)当点Q 在边C D 上时，设四边形PBCQ的面积为y,求 y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑行时，4PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使4PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x值；如果不可能，请说明理 由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。分析：（1）实验猜测：PQ=PB,再利用正方形性质证明；（2）将四边形面积转化为三角形面积求；（3）可能。略解：（1）如图 1,易证 BP=PD,Z1=Z2,ZPQD=1

38、800-ZPQC=ZPBC=ZPDQ；.PB=PD=PQ问题二图1（2）如图2,易证aBOP会4PEQ.Q E=P O=A O-A P 4 T,S 四边形 PBCQ=S APBC+S APCQ=PC(BO+QE)=PC PE+EC)=-F C2=-(V 2-x)22 2y x A/2X+1 (X x )-2 2（3）APCQ可能成为等腰三角形。当点P与点A重合时，点Q与点D重合，这时PQ=QC,ZSPCQ是等腰三角形，此时x=0；当点Q在边DC的延长线上，且CP=CQ时，4PCQ是等腰三角形（如B B 历图 3）。此时，QN=PM=x,CN=CP=1-x,所以 CQ=QN-CN=V Ir 1,

39、2 2 2当 正 一x=J I r l时，解得=1。评注：本题是一道新颖别致的好题，它考查学生实践操作能力和探究问题的能力。跟踪训练：一、填空题：1、给出下面三个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形;对角线互相垂直的矩形是正方形。其中真命题是（填序号）。2、如图，将正方形ABCD的BC边延长到E,使CE=AC,AE与CD边相交于F点，那么CE：FC=。第2题图第3题图3、如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A 8CO 的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=V2，则正方形移动的距离A 4是4、四边形ABCD的对角线AC、BD相交

40、于点0,给出以下题设条件：AB=BC=CD=DA；AO=BO=CO=DO；A0=C0,B0=D0,AC1BD；AB=BC,CD=DA。其 中 能 判 断 它 是 正 方 形 的 题 设 条 件 是 （把正确的序号填在横线上）。二、选择题：1、如图，把正方形ABCD的对角线AC分成段，以每一段为对角线作正方形，设这个小正方形的周长和为p，正方形ABCD的周长为S ,则S与p的关系式是。A、S p C、S =p D、S 与无关2、如图，在正方形ABCD中，DE=EC,/C D E=60,则下列关系式：N1:/4=4：1；N1:Z 3=l：1；（/1 +N2）:（Z3+Z4）=5：3 中，正确的是（

41、）A、B、仅 C、仅和 D、仅和B C第1题图第2题图A B E第3题图3、如图，正方形ABCD的面积为256,点F在AD上，点E在AB的延长线上，RtACEF的面积为200,则BE的 值 为（）4、有若干张如图所示的正方形和长方形纸片，表中所列四种方案能拼成边长为（a+的正方形的是（）数 量(张)(片方案(1)(2)(3)A112B111C121D211三、解答题：1、如图，在正方形A B CD中，E是 A D的中点，B D与 CE交于F 点，求证：AF BE02、已知正方形A B CD中，M 是 A B 的中点，E是 A B 延长线上一点，M N LDM 且 交/C B E 的平分线于No

42、(1)求证：M D=M N；(2)若将上述条件中的“M 是 A B 的中点”改 为“M 是 A B 上任意一点”，其余条件不变，则结论“M D=M N”还成立吗？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由。第 1 题图3、如图，A B CD是正方形，P是对角线上的一点,证：(1)A P=E F；(2)AP E Fo弓|P E J_BC 于 E,P FJ_D C 于 F。求第 3题图4、如图，过正方形A B CD的顶点B 作 BE C A,作 A E=A C,又 C F AE,求证：Z1BC F=NAEB。2跟踪训练参考答案一、填空题：1、；2、V2+1；3、A/2 1 ；4、二、选择题：CDCA

43、三、解答题：1、易证4ABF也CFB A B A E A C D E,由4ABF丝C F B n/A FB =/B F C=/FAD=ZDCE；由B A E g/C D E n/D C E=N A B F。所以N D A F=N E A B,故/E H A=Z EAB=90,AF1BE,2、（1）如 图 1,取 A D 中点F,连 结 M F,由 MN_LDM得N D A M=90,易证N l=Z 2,又因NMNB=/N B E Z 2=4 5-Z2,NDMF=Z A F M-Z 1 =4 5-N 1,所以ZDMF=Z M N B,又因 D F=B M,所以D MFgZMN B,故 MD=MN

44、。(2)成立，如 图 2,在 A D 上 取 D F=M B,则易知：/1=9 0 N D M A,又/2+NDMA=90,.,.Z1=Z 2,又NDMF=45 N l,Z MN B=45-Z 2,ZDMF=ZMNB,又 DF=MB,.DMF丝M N B,故 MD=MN。3、略证：延长A P与 EF相交于点H,连 结 P C,因为BD 是对角线，易证PA=PC,N l=/2,根据 PE_LBC 于 E,PF_LDC 于 F,知 PECF 为矩形，PC=E F,且 D A H=/F P H,又因为N1=/2=N 3,所以在PHF 中，ZFPH+Z 3=Z 4+Z 1 =9 0 ,所以4PHF 为

45、直角三角形，故 APLEF。4、提示：证 AEFC是菱形，过 A 点作B E的垂线构造30角的直角三角形。9.梯形知识考点：掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的判定和性质，并能熟练解决实际问题。精典例题：【例 1】如图，在梯形ABCD中，ABD C,中位线E F=7,对角线ACJ_BD,ZBDC=3 0 ,求梯形的高AH。分析：根据对角线互相垂直，将对角线平移后可构造直角三角形求解。略解：过 A 作 AMBD 交 C D 的延长线于M。VAB/7DC,；.DM=AB,NAMC=/BDC=300又 中 位 线 EF=7；.CM=CD+DM=CD+AB=2EF=14XVAC1BD,A AC AM,AC=

46、-CM=72V AHI CD,./ACD=60.AH=ACsin60=Z 62评注：平移梯形对角线、平移梯形的腰是解梯形问题时常用的辅助线。【例2】如图，梯形ABCD中，ADBC,E、F分别是AD、BC的中点，/B +/C=90,AD=7,B C=15,求 EF 的长。分析：将AB、CD平移至E点构成直角三角形即可。答 案:EF=4探索与创新：【问题】已知，在梯形ABCD中，ADB C,点E在AB上，点F在DC上，且AD=a,BC=b o(1)如果点E、F分别为AB、DC的中点，求证：EFBC且EF=出；2(2)如 图2,如 果 仝=上土=竺，判断EF和BC是否平行？请证明你的结论，并EB F

47、C n用a、b、m、n 的代数式表示EF分析：(2)根 据(1)可猜想EFB C,连结AF并延长交BC的延长线于点M,利用平行线分线段成比例定理证明即可。略证：连结AF并延长交BC的延长线于点MVAD/7BM,AF _ AD _ DF AE _ D F _ mFM C M FC EBFCnAF 在aABM中有FMAEEB；.EFBC,AE EFAB 一 BMmm+n,n rm BM 一tn(BC+CM)m+ADDF m=一.几，c na而 一故 CM=AD=CMFC nm m,n rm 八.“m z,na、mb+nam+nm+n m m+n评注：本题是一道探索型试题，其目的是考查学生观察、归纳

48、、抽象、概括、猜想的能力，它要求学生能通过观察进行分析和比较，从特殊到一般去发现规律，并能概括地用数学公式表达出来。跟踪训练：一、填空题：1、梯形的上底长为3,下底长为7,梯形的中位线所分成的上下两部分的面积之比为。2、等腰梯形中，上 底：腰：下底=1：2：3,则 下 底 角 的 度 数 是。3、如图，直角梯形ABCD中，ADBC,CD=10,N C=6 0,则 A B的长为。第 3 题图第 6 题图4、如图，梯形 ABCD 中，ABCD,N D=2/B,A D=a,CD=b,那么A B的长是5、在梯形 ABCD 中，ADBC,AD=2,BC=3,BD=4,A C=3,则梯形 ABCD 的面积

49、是6、如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC,AB=DC,CD=BC,E 是 BA、C D 延长线的交点，Z E=4 0,则NACD=度。二、选择题：1、在课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为 450cm2,则对角线所用的竹条至少需（）AN 30V2 cmB、30 cmC、60 cm D、6OV2 cm2、如图，直角梯形ABCD中，ABBC,AD=1,BC=3,CD=4,E F为梯形的中位线，D H为梯形的高 下列结论:NBCD=6。；四边形EHCF是菱形;=京 皿 以 A B为直径的圆与CD 相切于点F。其中正确的结论有（）A、1个 B、2 个 C、3

50、个 D、4 个3,已知如图，梯形 ABCD 中，ADBC,ZB=45,N C=120,AB=8,则 CD 的长为（）A、-V 6 B、4A/6 C、-V 2 D、4723 34、如图，在直角梯形ABCD中，底 AB=13,CD=8,A D 1 A B,并 且 A D=1 2,则 A 到B C 的距离为（）A、12 B、13 C、10 D、12X21+135、如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC=BC+A D则/D B C 的度数为（）A、30 B、45 C、60 D、900三、解答题：1、如图，梯形ABCD中，ADBC,A B=D C,在 AB、D C上各取一点F、G,使 BF=CG,E 是