向量的概念与运算.pdf

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1、一、知识网络向量的概念与运算向量的减法向量的运算向量的数量积二、高考考点续段的定比分点非零向垂直的充要条件1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选择题或填空题的形式出现。2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容,对此，高考的考点主要是：（1）向量的加法、减法的儿何意义与坐标表示的应用；（2）向量共线的充要条件的应用；（3）向量垂直的充要条件的应用；（4）向量的夹角的计算与应用；（5）向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的认知与转化。3、线段的定比分点线或平移问题。4、以向量为载体的三角求

2、值或图象变换问题，以向量为载体的函数或解析儿何问题（多以解答题的形式出现）。三、知识要点（一）向量的概念1、定义（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。（2）向量的模：向 量 而 的 大 小（即长度）叫做向量猫的模,记作I丽I。特例：长 度 为o的向量叫做零向量，记作：；长 度 为1的向量叫做单位向量.（3）平 行 向 量（共线向量）：一般定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.特殊规定：与任一向量平行（即共线）.（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。零向量与零向量相等。认知：向量的平移具有“保值性”。2、向量的坐标表示（1）定义：在直角坐标系内，

3、分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量；、J作为基底，任作一个向量*，则由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y 使得三端+,将有序实数对（x,y）叫做向量工的坐标，记作；-内；并将；力 叫做向量w的坐标表示。（2）认知：相等的向量，其坐标也相同，反之成立。（二）向量的运算1、向量的加法 2、向量的减法3、实数与向量的积（1）定义（2）实数与向量的积的运算律：（3）平面向量的基本定理：如果漆工 是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量？，有且只有一对实数：”：2 使；=鼻+为之，这两个不共线的向量亲己叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（4）向量共线的充要条件：（i）

4、向量F 与非零向量嚷共线=有且只有一个实数：使已武（i i）设；=（：43|）5=（町yJ威乌 贝 I：:4*而 叼，一叼】=04、向量的数量积（内积）（1）定义：（i）向量的夹角：已知两个非零向量工和！，作京=1国=匕 0 Z A O B=e a rM 6 M ia n叫做向量 与口的夹角。（i i）设两个非零向量*和？的夹角为三，则把数量丽b 叫做;与？的数量积（内积），记 作;a-b=O;（i i i）a-aaT=a坐标表示 设 非 零 向 量；=6%）工=&。，则a-b=K1Kl+作%,；J_SoK*：+yiya=0（i i）设；=&办 陶=质 产,（4）运算律（自己总结，认知）四、经

5、典例题例 1.判断下列命题是否正确：（1）若;“讯有的方向相同或相反；（2）若的3财力底（3）若 荏 匝.则函，则A、B、C、D四点组成的图形为梯形；分析：（1）不 正 确.；=。或，=网.县有病.但有不能比较方向。（2）不正确 当时，虽然对任意M t 都有af/b,tf/G 包与2不一定平行。（3）不正确 国带厅“楂 无 共 线 ，故这里的已知条件也包含A、B、C、D四点共线的情形。点评：判断或证明向量的共线或垂直问题，务必要注意有关向量为零向量的情形，判断失误或解题出现疏露，多是零向量惹的祸。例 2.设点。为 AAB C 所在平面内一点(1)若 玄+画+反=6 ,则。为 AAB C 的()

6、A、外心 B、内心 C、垂心D、重心(2)若 黄 质=丽 祝=硬 仅，贝 IJ 二 为 AAB()A、外心 B、内心 C、垂心D、重心画=派+M 空+空 共 1 之 Q)(3)若动点P 满足 IA BI IA Q，则点P的轨迹一定通过)A、外心 B、内心 C、垂心D、重心 若 动 点 P满足|A B|C8 B lA QcofC,则点P轨迹一定通过 AB C 的()A、外心 B、内心 C 垂心D、重心分析:(1)借助向量加法分析已知条件:以 国、O C 为邻边作平行四边形O B D C,并设0 D C B C=E,则由平行四边形性质知，E为B C 和 0 D 中点。-.-=OB+OC 且 丽+曲

7、=我 由、得赤.A、O、E、D、四点共线 且 网=函 痛=丽 于是由、知。为 ABC的重心，应选D(2)由 O A O C -(O A-O Q =00B CA=04=OBAC同理可得OAJLBC,OC_LAB 于是可知，0为AABC的垂心，应选C_,*u AD AB-OP-QA=M+牝)=立-(3)由已知得|AB|Aq 令|AB|,则勺是豆 一 _ 一A B上的单位向量，令而一，则及是后上的单位向量。.由得：AP=M +?)令 氏V+三，则 点Q在 角A的平分线上 又由知的或与前共线且同向(或屈=6)动点P在角A的 平 分 线 上.,.点P的轨迹一定通过 ABC的内心，应选B。AB(4)注意到

8、|A B|8*B的几何意义,+端威前AB-BC+AC-BC-|AB|cosB|AC|cosC回1JB)+国 8.CccB coC=0又由已知的得:AB|AC|coiC；.AP.BC=QAPBC动点P在BC边 的 高 线 上 动 点P的轨迹一定通过 ABC的垂心，应选c。点评：品味各小题，从中参悟解题思路以及三角形的各心的向量特征。例 3：（1）h-bHI+IM（b*q）成立的充分必要条件为（）A、a=A b（i 0）B、；=龙。3D、-2分析：（1）注意到不等式1；-3 目；|包山，当且仅当M、F反向或：、?中至少有一个为丁时等号成立，.由得虱F反向或；=6 由此否定A、B、C,本题应选D（2

9、）注意到条件的复杂以及已知式变形方向-的迷茫，故考虑从“目 标”分析切入，主动去沟通“已知”，一设 Bl=JLA C 则试一由=乂氏-由（刻意变形，靠拢已知）.；，=疝-&二 3cl+酒一/（目标的延伸）又由已知得:-ma 4-3b（已知的变形或延伸）2_,3.根据两向量相等的条件由、得：I二 于是可一 1=-1知，点A 分B C所成的比 3,应 选 A点评：(i)(1)对任意向量;、i都有|；卜后日；-芯国；1+内，其中，当且 仅 当 同 向 或；中至少有一个为：时左边的等号成立；当且仅当；反向或；8中至少有一个为百时右边的等号成立；当且仅当；g中至少有一个为：时，左右两等号同时成立。(i

10、i)对 于(2),“已知”与“目标”相互靠扰，只是切入点是 从“已知”切入还是从“目标”切入，需要仔细分析。例 4：设；、J分别是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的两 个 单 位 向 量，在 同 一 条 直 线 上 有 A、B、C 三 点，O A=-a+m j,(=ni+X O C=5-j,OA.QB,求实数 m、n 的值。解：由 题 设 知 =(-2.m),OT=(a,D,OC=(5,-0二 AB=(Q+2.1-m).AjC=(7,-1-m)V 融与硬 共 线二 7(1-m)=(Q+2)(-1-m)47(m-0=(n+SXm+D 乂 5X _L,O-2n+m.=0in=为 代入得：7

11、(2 n-l )=(n+2)(2 n+l)=(n-3)(2 n-3)=0On=或n=323当2时代入得：m=3 当n=3时代入得：m=63m=6,n=3 或 m=3,2点评：不失时机地利用向量的坐标表示，是解题的基本技巧。例5.设京丽 为 反 通园或 试 求 满 足：丽 冰 谕 向 犍 标(这里0为原点)分析：注意到话的坐标即点D的坐标，可从设丽=，)坐标,由(x,y)切入，去建立关于x,y的方程组。解：设3=区 力，则 点 D坐 标 为(x,y)则由已知条件OD+6A=OC 得：CC=+3j+D二 BC=O C-O T=(i+4j-D由(r+3)+2(y+D=0=x-2 y+l=0 由 5成

12、 得：x+4=3(y T)=x-3 y+7=0 tz=ll _ _“6 二 所 询=(IL6)点评：本题是对向量坐标的概念，向量的垂直与向量的平行的充要条件的综合应用，借此练习，可进一步认识与把握关于向量的概念与公式。例6.设向量；或之满足;十U6(1)若*=3南=5点=7,求g与=的夹角；_(2)若盲=3扇=1国=4.求J 的值。8*6 .b _ b解：(i)设:与 F 的夹角为三，则=南=石 va4-b+-c=0;+，=超 迫 患二 野 播 齿 孑 二 由 迎 够.，吟 CQ8 0=A于是由代入得：2 注意到手G 0,霜,可得结e=-果 3(2)解法(着眼于对；B 等各个击破)一方面由已知

13、得：又：；+，=；-h+A=M(4)由、得 f+M=K+W注意到1；+耳刖 ,当且仅当！，F 同向或；，H 中至少有一个为：时等号成立,由得l与F 同向 另一方面，又由；+%：知，*与E 反向鼠与三的夹角为0 ,彳与？的夹角为18 0。，与M的夹角为 18 0 原 式=|；问 皿 叫|，向 1 8 0%|；|；怆 8 1 3 0=3 X 1-1X 4-3 X 4=-13解法二(着眼于寻求目标与已知的整体联系)：.(a+b+Haf+lbf+lcf+a-b+bc+cS)由 已 知 条 件 得 0=9+1+16+2-b+b.c+ca)二 a-b+b-c+c-a=-13解法三(从寻求目标局部的值切入)

14、：1百式:1 E+，5*d+c a+E；+；5Xa-b4-b-c=b-(a4-i=b-(-b)=-|bf=-1同理，；+；=荷=-16?.；+；.，=讨=-9 二原4=-*u 6-方=13点评：解法二与解法三，均着眼于整体代入，解题过程简明，比解法一有明显优势。但是，解法一中对已知数值的利用，却对今后的条件求值有着不可替代的潜在作用，条件求值中对已知数据的应用主要有以下三个方面：(1)利 用 数 值 本 身(代 入)；(2)分别利用数值的绝对值和符号；(3)利用有关数值的关系沟通有关元素间的联系(比如，由 3+1=4,3 2+4 2=5 2 沟通联系等)。例7 .已 知，=尴+后=(%瓦2)凌

15、&强 的 夹 角 为 12 0 ,且=，试 求 叫 n及嚷与手的夹角。解法一：(利用内积的定义)，设工与二的夹角为三，由 3=(碉 W=4 再 由-V n gjfiH cod zcrM q fcffiifih Z二由2 =(ma+al.c mac+iiBc 二W 0口 =4 二又由，c=(ma+ie，=m(ab)+D|SiP 精|m(a-b)=12 再由：a-c=(m.a-l-iil0-a4a-c=m|ar+n(a-b)&n-l-n(a-b)=0由，得m=coiG=耳 =土 将代入得：a-b=1 2#W 2 于是由，得所求血=土#,n=-4,须 的 夹 角 为 3 0。或1 5 0 点评1：本

16、题已知条件繁多，头绪纷乱，更需要在解题时梳理思绪。注意到所求m、n 含在，=m；+n S中，故在求出H、M的值之后,以 曰=m；+n，的变形为主线展开求索：变形 1 c=m a-F ab c-c=m（a-4-n（b-c）=-变形 2,c=m i+n b o，c=+口 声=-变形 3.c=ma+nba-c=mjp+n（a-b）-于是，整个解题过程既显得有条不紊，又感觉酣畅淋漓。解法二（利用向量的坐标）：设；=&加=&融，:与 手的夹角为:，由已知得向=2 二 由=+=0 由 日；=4 28+2%=4 又 x+y：=8 x22+y22=4 勺=点|xj=*2二l；H 2阳+2。吗4|讣|2崂H衅注

17、意到这里;；,；=1，|由8 f鸟，且乳014 0 Ha-c o a-r =-=-=cm -,2若之由、得到C9S0|=于是由、得由、得.a-B .,1、1因此由得 UQ 4-=finr-61)=2a-p_ x解 得 丁=与点评：在这里，利用实数与向量的乘法的法则，将，表为2cos （CM 今疝 猊，炳f t gn/W）,从而为简化R及H的表达式以及简化8c%，一的表达式奠定良好的基础。五、高考填题（-）选择题、1、P是 AABC 所在平面上一点，且试而=亩记=记京，则 P是 AABC 的（）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心分析：由 瓯 屈=丽 丽 题 匹 丽=0二 函 京=0.二 C

18、Ai raJ N C AX P B同理，ABP C,BC P A 点P为 AABC 的垂心，应选D2、已知向量臣,干，且 君=；+以.忌=-4+6?.方=7；-以，贝|J 一定共线的三点是（）A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、DD.A、C、D分析：利用两向量共线的充要条件来判定，从寻找所给向量的联系切入.BD=2AB平分线定理得即W=3 则向量M 与F 的夹角为由 题意得 B C+=2；+4b=2ABA、B、D三点共线，应选A3、已知点 A(疝，1),B(0,0),C (石，0),设N BAC 的平分线A E 与 B C 相交于E,那 么 有 前=建，其中？等 于()2A、2 B、彳

19、 C、-3 D、1-3分析：从认知目标切入，由题设易知前与3反向，故，0又由三角形内角眄=幽=2.P q _|BEMEq_1|BE|_?叫|Aq*|CE|p q p q于是由、得 三-3,应选C4、若 Ri ,即2：=；+GH2K,()A、3 0 B、6 0 C、1 2 0 D、1 5 0 F f CO0=-5-分析：令向量五与七的夹角为三，则 IHM 又由；K .得 a-c=O a-(a+b)=O Tp 二$=0 二；$=-1 C48e=-于是将已知与代入得 2 所 得6=120，应选c5、在 ABC 中，”=弼，AB=(k.D,肥=0 3，则 k的值是()OA、5 B、-5 C、二 D、一

20、 三分析：循着一般思路，欲求k的值，先寻找关于k的方程，可以通过解方程获取k的值，为此我们利用题设条件寻找等量关系切入：由题设知公1正二初的=%A C-(A C-=0,由此得3)(2-k,2)=0 =2 (2-k)+6=0解得k=5,故应选Ao6、设向量等 于()。A、(1,1)B、(-4,-4)C、-4 D、(-2,-2)分析：循着向量的坐标表示与有关公式得：a b=(-l)x2+2x(-l)=4,+b=(l.l).原式=-4 (1,1)=(-4,-4)，应选 B7、已知 A(3,1),B(6,1),C (4,3),D 为线段 BC 的中点，则 向 量 而 与 云 的 夹 角 为()n 4

21、arccMA、2 5B.arcMS-分析1：(特征分析法)：画 出 AABC 及其中线AD,又将向量O A平移到短，则可见萩与而成钝角，而选项中A、B 为锐角，D为负角，故只能选C。分析2：(直接法)：由题设D (5,2)一 一 二皿 而 灰二 DA=(24XAC=(l 为|AQDA|力 百 5所求两向量夹角应为1 1 t t?)，应选C8、已 知 向 量 说 句，满足对任意t R ；,之匕白，则()A、a c Ba(a-iQ CeX(a-e)D(a-l-e)(a-)分析：从已知不等式的等价变形切入，去认识所含向量M ,3的关系由 已 知 得G鬲整理得-2(a eX+C2a e-DO注意到对任

22、意&都成立。二 4=4(a-?)1-4(2 a-e-D 0即(a e y 卜-cofO a S 4-)a 4-(cos 9 4-an 6)?山+混 。-热舟=2 J t+coXO+由 题 设 向+加 增2咛哮又cfos(e+/)=2coi*(2 十8-)-1由、得“与玲=王.,n02n5n 8,z 9n 一十一 8 2 8 8于是由、得w点评：首先运用向量的公式化生为熟，进而运用“方程思想”去求解K2 V的值，这是求解本题所运用的基本策略。也是解决本类问题的基本思路2、已知向量a=(2co1,taQ(5+).b=(应皿合+手/皿-9).(*)=a-b,是否存在实数x G 0,可，使 f(x)+

23、f(x)=0(其中 f(x)是 f(x)的导函数)若存在，则求出x的值；若不存在，则证明。分析：对于这样以平面向量为载体的 问题，首先仍是运用向量的知识将其转化为熟悉的三角函数问题。=2-/2 +CO tarf-+-S tarf2 2 4 2 4 2 4 4 22或喈净吟十多畛2SD-cos+2cosa 12 2 2=s i n x+co s xf (x)=co s x-s i n x 若 f(x)+f (x)=0,则 2 co s x=0 即co s x=0由x 0,又由题意：万x/一BPx#jbr+-(tcZ)“加+至 22综上：0,冗 内不存在f(x)+f (x)=0 的x 值。点评：函数式的变形要注意保持等价性，特别是在变形过程中不可 改 变 函 数 的 定 义 域，由 到 ，需 要 附 加-4-5#W B#ta c-5(k Z)4 2 2 2)的制约，以保证函数的定义域不发生变更.3、设 EQO=-6,其中向*；=(28.1)=(城 平移后得到函数y=2 s i n 2(x-m)+n 的图象。,2f 3=l+a g+2iiii2Q+和由题设 6 12、2an2(*4-1=2an(2Kn)4-iiL P 12点评：函数y=f(x)的图象按向量X W O 平移后所得图象的函数解析式由y-k=f(x-h)确定，上面求解利用了这一结论。