高考数学重点难点复习(18)：不等式的证明策略.pdf

《高考数学重点难点复习(18)：不等式的证明策略.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学重点难点复习(18)：不等式的证明策略.pdf（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.难点磁场()一知 a0,b 0,且 a+b=l.j_ _ 1 _ 25求证：(a+。)(b+8)2 4.案例探究1 1 1 C 厂1H r=H-1=+-1-j=2、n 例1证明不等式 J2 J3 J(nN*)命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属级题目.知识依托：本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应

2、用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：+3 +占 上+4 工+工+3-2 =而 2/2 v3 v y/f i /n 4tl这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：本题证法 采用数学归纳法从n=k到n=k+l的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.证法一：(1)当n等 于1时，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立；1 1 I!I 假 设n=k(k l)时，不等式成立，即1+血 后&V 2&,则 1+3 +4=+V2 V3 v m V

3、TM=2 西回+1 J+R+Lg,.,.当n=k+l时，不等式成立.I 1 1 1 1综合(1)、(2)得：当nGN*时，都 有1+及 百&o,2 yj k(k+1)+1 0,Zyfk H/2 J k +1.4k+221又如:2 V m-2 次=-4+1 +血 A/TH+VT+T-VF+T,2 yk+-X=/2-l)+2(V 3-V 2)+-+2(7 n-V n l)=2 V n.证法二:2 匹 _(1 +设 f(n)=f(k)因此，对任意 n d N*都有 f(n)f(n-l)f(l)=l 0,I1 I 1V 2 J 3 yin0,y 0)恒成立的a的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求

4、最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与 c o s710、s i n。来对应进行换元,即令4=c o s 0 ,=s i n。(0 9 V 2),这样也得a s i n 0 +c o s0，但是这种换元是错误的,其原因是：(1)缩小了 x、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了 X、y=l”这样一个条件，显然这是

5、不对的.技巧与方法：除了解法 经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a 满足不等关系，a f(x)，则 a m i n=f(x)m a x；若 a W f(x),则 a m a x=f(x)m i n,利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2 0,.x+y 2 2 ,当且仅当x=y 时，中有等号成立.比较、得a的最小值满足a 2 1=1,：.a2=2,a=2 (因a 0),；.a 的最小值是五._4x+yy _ l(V x +7 7)2 _

6、 x+y+2y/xy _ I 2y/xy解法二：设G+y 一1 f fV x 0,y0,，x+y 2 历(当 x=y 时 =”成立)，2向 2瓦x +N W l,X +V的最大值是1.从而可知，u的 最 大 值 为 f =后,又由已知，得 a u,；.a 的最小值为行.解法三：V y 0,原不等式可化为，t a n。+1 W a a n +1 ；即 t a n 0+l W a s e c 07t/.a s i n 0 +c o s 0 二叵 s i n(0 +4),兀n又：s i n(0 +4 )的最大值为1(此时6 =4).由式可知a 的最小值为血.锦 囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比较

7、法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这-辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2 .不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要

8、证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.歼灭难点训练一、填空题a h-1-1 .()已知x y是正变数，a b是正常数，且)=1,x+y 的最小值为.2 .(*)设正数a、b、c、d满足a+d=b+c,且l a-d I V I b-c l,则 a d 与b e 的大小关系是3 .(*)若 m V n,p q,且(p m)(p n)V O,(q m)(q n)0,则 m、n、p、

9、q 的大小顺序是.二、解答题4 .()已知 a,b,c 为正实数，a+b+c=l.求 证:(I)a 2+b 2+c 2 2 3(2)J 3 +2 +J3 b+2 +J3 c +2 W 6_ L 25 .()；!知 x,y,zGR,且 x+y+z=l,x 2+y 2+z 2=2 ,证明：x,y,z G 0,3 6 .(*H正明下列不等式：b+c 2 c+a 2 a+b-x +-y+-(1)若 x,y,z R,a,b,c R+,贝 ij a b c z 2 2 2(x y+y z+z x)(2)若 x,y,z R+,且 x+y+z=x y z,则 x 丁 z 221 y Z)7 .()已知 i,m

10、、n 是正整数,且 l V i W m V n.证 明:n i Am (1 +n)m8.(*)若 a0,b0,a3+b3=2,求证：a+bW2,abWl.参考答案难点磁场证 法 r （分析综合法）欲证原式，即证 4(ab)2+4(a2+b2)25ab+420,即证 4(ab)233(ab)+820,即证 abW 4 或ab28.V a0,b0,a+b=1,.,abN8 不可能成立V l=a+b 2 ,A a b 4,从而得证.证法二：（均值代换法）11设 a=2+ti,b=2+t2.11；a+b=l,a0,b0,.,.tl+t2=0,ItlK 2,It2l16-j.425T显然当且仅当t=0,

11、即a=b=2时,等号成立.证法三：（比较法）2Va+b=l,a0,b 0,:a+b22猴,A ab 4,1、1、25 ai 2*+l b2+25 4a2b2+33ab+8(1-4ab)(8-ab)、八i|25即得(a+L)S +)N a b 4歼灭难点训练贝 I x=asec2 0,y=bcsc2 0,x+y=asec2 0+bcsc2 0=a+b+atan2 6+bcot2 0 2a+b+2 Va tan2 0-fecot2 9=a+b+2 疝.答案：a+b+2 m2.解析：山 OWIadIVIbcl=(ad)2V(bc)2O(a+b)24adV(b+c)24bc*.*a+d=b+c,/.4

12、ad be.答 案:adbc3.解析：把 p、q 看成变量，则 mVpVn,mVqn.答案：m p q 0a b 4 a b 4 4ab 4ab二.(Q+)(Z?+)2 3a b 4证法四：(综合法)j_Va+b=l,a0,b0,；.a+b22疯，；.abW 4.:.-a b 1 =3 =(1-ab)9 2 9=16 4ab(1-)2+1 25ah=4i i 25即(a+)3 +)证法五：(三角代换法)71*.*a0,b0,a+b=l,故令 a=sin2a,b=cos2a,a G(0,2)11 7 1 9 1(a+)(b+)=(sin a+-)(cos-a+-)a b sin a cos a_

13、 sin4 a+cos4 a-2sin2 a cos2 a +2 _(4-sin2 a)2+164 sin2 2a 4sin2 2asin2 2a 25sin2 2a 4(4-sin2 2a尸4 sin2 2a2ba一、1.解析：令 x=cos2 0,y=sin2 0,2=3 3a2+3b2+3c2-(a+b+c)2=3 3a2+3b2+3c2a2b2c22ab2ac2bc=3 (ab)2+(bc)2+(ca)2.,.a2+b2+c2证法二：;(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bcWa2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2)(a+b+c)2=

14、l a2+b2+c2 3W +.2+/2 卜+-+C a+b+c证法三：丫 3 V 3,.a2+b2+c22 3；a2+b2+c2N 3j_ X 1证法四：设 a=3+&,b=3+B,c=3+丫 .a+b+c=1,/.a+0+Y=0j_ j_ j_a2+b2+c2=(3+Q)2+(3+0)2+(3+丫 )2j_ 2=3+3(a+p+Y)+a2+P2+Y 2j_=3+Q 2+B 2+Y 2 2 3 a2+b2+c22 3(2)证法-：*/R3a+2=y(3a+2)x 1 +；+!同理J36+2 生 2,j 3 c +2 g22 2J 3 a+2+J36+2+j3 c+2 3(+,)+9 =62原

15、不等式成立.，3a+2+j3b+2+j3 c +2 /(3a+2)+(3b+2)+(3c+”证法二:333(a+b+c)+6V 3-J 3A+2+d3b+2+J 3c+2 3/3 V6，原不等式成立.5.证法一：由 x+y+z=l,x2+y2+z2=2,得 x2+y2+(1 xy)2=2,整理成关于 y 的一元二次方程得：2y2-2(l-x)y+2x2-2x+2=0,V y e R,故 A 20j_ 2 2 4(1-x)24X2(2x22X+2)2O,得 0WXW 3,A xe 0,3 2同理可得y,z 0,3 j_ j_ j_证法二：设 x=3+x，y=3+y,z=3+z，,贝 llx+y+

16、z=0,j_ J_ J_ j_于是 2=(5+x，)2+(3+y7)2+(3+z7)2j_ 2=3+x 2+y 2+z，2+3(xz+y+zf)j_ j_(y+z)2 J 3=3+x 2+y，2+zz 2，+x 2+2=3+2 乂 21 _ 1 _ 2 2故 x 2 9 ,X,e L-3,3,XG 0,3 ,同理 y,ze 0,3 j_证 法 三：设 x、y、z 三数中若有负数，不 妨 设 x 0,2=x2+y2+z22(y+z)2(l-x)2 2 一 3 2I 人 人1 1-X 4-2 2,矛盾.x、2 2 j_z三 数 中 若 有 最 大 者 大 于 不 妨 设 x ,plij 2=x2+

17、y2+z2(y +z)2(1 7)2 3 1x2+2=x2+2=2 x2x+23 2 _L _L=2 x(x 3)+2 2；矛盾.2故 x、y、z 0,3 6.(1)证、T IE明-b-+-c 2 c+Q 2 a+b 2、x+-y+-z-2(xy+yz+#)2 b c=(.b x29 +67 y9 -2xy)+(C y7 2+Z 7 z9 2-2_ yz).+(z C l z22 +c x22 -2-zx)、a h h c c a=椁-m+徐-肾+启-日丫*b+c 2 C+Q a+b 2 、-x+-y+-z-22(xy+yz+。)a b c(2)证明：所证不等式等介于2 2 2/V +Z Z+

18、X 工+八、。/、2x y z(-+-+-)2(xy 4-+x)x y z 孙z-yz(y+z)+zx(z+x)+xy(x+y)2(xy+yz+zx)2=(x +y+z)(y z+yz x+vc+厂y +孙)2(x2y2+y2z2+z2x2)+4(x2yz+xy2z+xyz2)=z+yz3+z3x+zx3+x3y+xy3 2x2yz+2xy2z+2xyz2 y z(y-z)2+zx(z-x)2+x y(x-y)2+x2(y-z)2+y2(z-x)2+z2(x-y)2 0 ,上式显然成立，原不等式得证.7.证明:(1)对于 l W m,且 Am=m.(mi+1),A.m nr-I 1 r=iTm

19、 A,n n-l n-i+l=.,1 可埋一A .tn1 m m m n1 n n nn-k m-k-由于m V n,对于整数k=l,2,，i1,有，mA A，即加A；nlMm所以加(2)由二项式定理有：12n(l+m)n=l+Cn m+S m2+C mn,1 2 m(1+n)m=1+C m n+C|n2+-+C w,nm,丛,C：=&由(1)知 miA：niA；(ICiWm),而 C =4 miCinniCim(l m n2Cw,nt m m+1 nmmCw nm Cw,mm+lC 0,，mnC 0,12 n 1 m/.1+C m+C“m2+C mn 1+C m n+C2mn2+C”?nm,

20、即(l+m)n(l+n)m 成立.8.证法一：因 a0,b0,a3+b3=2,所以(a+b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6=3 ab(a+b)2=3 ab(a+b)-(a3+b3)=3(a+b)(ab)2W0.即(a+b)3W 23,又 a+b 0,所以 a+bW 2,因为 2痴 Wa+bW2,所以abWLm=a+b证法二：设 a、b 为方程x2mx+n=0的两根，则【一,因为 a0,b 0,所以 m 0,n 0,且=m24n20 因为 2=a3+b3=(a+b)(a2 ab+b2)=(a+b)(a+b)23ab=m(m2 3n)m2 2所以n=3 3/n

21、 m2 2将代入得m 2-4(3 32)2o,-机3+8即 3 z e o,所以一m 3+8 2 0,即 m W 2,所以 a+bW2,由 2Nm 得 42m 2,又 m 2N 4n,所以 4N4n,即 nW l,所以abWl.证法三：因 a0,b0,a3+b3=2,所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2ab)2 (a+b)(2abab)=ab(a+b)于是有 623ab(a+b),从而 823ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3,所以a+b所2,(下略)/+/J+/7-i-(-)证法四：因为 2 2_(Q+b)4a2+4b2-4ab-a2-b2-2ab _ 3(+b)(a-b)2882 0,所以对任意非负实数a、b,有 2 2/+b，(&+b因为 a0,b0,a3+b3=2,所以 1=2 2 2a+b：.2 w i,即 a+bW 2,(以下略)证法五：假设a+b 2,则a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)=(a+b)(a+b)23ab(a+b)ab2ab,所以 ab2(223ab)因为a3+b3=2,所以22(43 a b),因此a b l,前后矛盾，故 a+bW2(以下略)