新课标人教A版高中数学必修5教案.pdf
《新课标人教A版高中数学必修5教案.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《新课标人教A版高中数学必修5教案.pdf(52页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、1.1.1 正弦定理 教学目标知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两
2、边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程课题导入如 图 1.1-1,固定A A B C 的边C B 及/B,使边A C 绕着顶点C转动。思考:ZC的大小与它的对边A B 的长度之间有怎样的数量关系?显然,边 A B 的长度随着其对角NC的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来?二.讲授新课 探索研究在初中,我们己学过如何解直角三角形,下血就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图,在 R t A A B C 中,设 B C=a,A C=b,A B=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义,b,7bW =s i n J,c=s i n 8,又s i n C =l =
3、,Ca则s i n/s i n 6 s i n Cab从而在直角三角形A B C 中,s i n/sinB sinC思 考 1:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:如 图 1.1-3,(1)当A A B C 是锐角三角形时,设边A B 上的高是C D,根据任意角三角函数的定义,有 C D=a s i n 6 =A s i n/,贝 ijbs i n J sinB同理可得一ysmcbsinB从而as i n/bsix BsinC(2)当 A B C是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导)思考2:还有其方法吗?由
4、于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这问题。(证法二):过点A作单位向量,万,由向量的加法可得 AB=A C +CB则 J-A B =J-(A C +CB):.J-AB=J-A C +J-CB|;|Af i|c o s(900-/l)=0+|;|C f i|c o s(900-C)c s i nA=a s i nC ,即:=-./;s i nA s m c同理,过点C作元,可得 上=3s i n 3 s m C从上面的研探过程,可得以下定理从而b _ cs i n Jsix B sinC正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即s i n J s i n s i ne 理解
5、定理(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,口口存在正数 k 使a =4 s i n4 ,b=k s i n B ,c=ksinC;(2)3=上=,等 价 于-=上,-=上,3=3s i n J s i n8 s i n。sin A sinB s i nC s i n 笈 s i n/sinC思考:正弦定理的基本作用是什么?已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如a =经 呼;s m B已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如s i n4 =m sin 6。b般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析例
6、 1.在A A 8 C 中,已知 A=32.0,8=81.8,a=4 2.9c m,解三角形。解:根据三角形内角和定理,C=180-(4+B)=180-(32.0+8 1.8)=66.2;根据正弦定理,b=“inB 42.9sin8空秘岫);sin A sin32.0根据正弦定理,0=42.9沏6号2。74sin A sin32.0评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。练习:在M 8C中,已知下列条件解三角形。(1)A 45,C 30,c=10cm,(2)A-60,8=45,c-20cm例2.在AABC中,已 知a=20cm,b=28cm,A=40,解三角形(角度精确到1 ,边长精确到1
7、cm)。解:根据正弦定理,s in 8=28s翌40-0 8999,因为 0 8 。),这个k与AABC有什么关系?sin/smz?sine三.课时小结(由学生归纳总结)定理的表示形式:品bsinBsinCa+b+csin 力+sin8+sin。=A(Q)或 a=A sin/,b=ksinB,c=ksinC(A 0)(2)正弦定理的应用范围:已知两角和任一边,求其它两边及一角;已知两边和其中一边对角,求另一一边的对角。四.课后作业:P10面1、2题。1.2 解三角形应用举例第一课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的测量相关术语2、激
8、发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值;同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点、难点教学重点:由实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解决三角形,得到实际问题的解教学难点:根据题意建立数学模型,画出示意图三、教学设想1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形?2、设置情境请学生回答完后再提问:前面引言第一章“解三角形”中,我们遇到这么一个问题,“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?”在古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离,是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢?我们知道,对于未知的距离、高度等,
9、存在着许多可供选择的测量方案,比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法,或借助解直角三角形等等不同的方法,但由于在实际测量问题的真实背景下,某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间,不能用全等三角形的方法来测量,所以,有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用,首先研究如何测量距离。3、新课讲授(1)解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确做出图形,把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解(2)例 1、如图,设 A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在
10、A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出A C 的距离是5 5 m,Z B A C=5 1,Z A C B=7 5。求 A、B两点的距离(精确到0.1 m)ffll.2-1提 问 1:A A B C 中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较适当?提问2:运用该定理解题还需要那些边和角呢?请学生回答。分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题,题目条件告诉了边A B 的对角,A C 为己知边,再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出A C 的对角,应用正弦定理算出A B 边。解:根据正弦定理,得 AB=4 csin Z ACB sinZ ABCAB=ACs
11、inZ ACB-5 5 s i n Z 4 C B _ 5 5 s i n 7 5 0 -55s i n 7 5 g g 7加)s i n Z A B C s i n Z A B C s i n(l 8(P-51-7 5O)s i n 54答:A、B两点间的距离为65.7 米变式练习:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a k m,灯塔A在观察站C的北偏东30 ,灯塔B 在观察站C南偏东60,则 A、B之间的距离为多少?老师指导学生画图,建立数学模型。解略:V 2 a k m例 2、如图,A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A、B 两点间距离的方法。分析:这是例1 的变式题,研究
12、的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形,所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法,分别求出A C 和 B C,再利用余弦定理可以计算出A B 的距离。图 1.2-2解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得C D 二 a,并且在C、D两点分别测得N B C A=a ,Z A C D=p,Z C D B 二 丫 ,Z B D A =8,在 A D C 和 B D C 中,应用正弦定理得A C =a s i n(/+(y)s i n 1 8(F-(/7 +/+(7)a s i n&+6)s i n 0 +y +6)B C t -s
13、 i n 7s i n 1 8(F-(a+/7+/)a s m/s i n(a+P+y)计算出A C 和 B C 后,再在A A B C 中,应用余弦定理计算出A B 两点间的距离A B =VAC 2+BC 2-2AC X BC c o s a分组讨论:还没有其它的方法呢?师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练:若在河岸选取相距40 米的C、D 两点,测得/B C A=60,N A C D=30,N C D B=45,Z B D A =60略解:将题中各已知量代入例2 推出的公式,得 A B=2 0 而评注:可见,在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案,但有些过程较繁
14、复,如何找到最优的方法,最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来选择最佳的计算方式。4、学生阅读课本4 页,了解测量中基线的概念,并找到生活中的相应例子。5、课堂练习:课本第1 4页练习第1、2 题6、归纳总结解斜三角形应用题的一般步骤:(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解四、课后作业1、课本第2 2 页 第 1、2、3 题2、思考题:某人
15、在M汽车站的北偏西2 0 的方向上的A处,观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40、开始时,汽车到A的距离为3 1 千米,汽车前进2 0 千米后,到 A的距离缩短了 1 0 千米。问汽车还需行驶多远,才能到达M汽车站?解:由题设,画出示意图,设汽车前进2 0 千米后到达B处。在A A B C 中,A C=3 1,B C=2 0,A B=2 1,由余弦定理得c A C2+B C2-A B2 2 32 A C B C 3 1贝 I s i n 2 c =1-c os2C =夕3 12s i n C =-,3 1所以 s i n Z M A C =s i n (1 2 0
16、 -C)=s i n l 2 0 c os C -c os l 2 0 s i n C 二更叵6 2在A M A C 中,由正弦定理得M C J C s*C*=3 5s i n Z A M C 6 6 22从而有 M B=M C-B C=1 5答:汽车还需要行驶1 5 千米才能到达M汽车站。1.2解三角形应用举例第二课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法,养成良好的研究、探索习惯。3、进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点、难点重点:结合实际测量工具,
17、解决生活中的测量高度问题难点:能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键条件三、教学过程I .课题导入提问:现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢?又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢?今天我们就来共同探讨这方面的问题H.讲授新课 范例讲解例1、A B是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度A B的方法。图 1.2-4分 析:求A B长的关键是先求A E,在A A C E中,如能求出C点到建筑物顶部A的距离C A,再测出由C点观察A的仰角,就可以计算出A E的长。解:选择一条水平基线H G,使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G
18、两点用测角仪器测得A的仰角分别是a、/,C D =a,测角仪器的高是h,那么,在A A C D中,根据正弦定理可得A C =as i n-s i n(a一 夕)A B=A E +h=A C s i n a +h=s i n as i n/7 +hs i n(a-p)例2、如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角a=5 4 4 0 ,在塔底C处测得A处的俯角2=5 0 1 。已知铁塔BC 部分的高为2 7.3%求 出 山 高 C D(精确到1 m)师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗?若在 A BD 中求C D,则关键需要求出哪条边呢?生:需求出BD 边。师:那如何求BD 边呢?生:可首
19、先求出A B边,再根据/B A D=a 求得。解:在A A BC 中,Z BC A=9 0 +/?,Z A BC =9 0-,Z BA C=a-夕,NBA D =a .根据正弦定理,s i n。一4 8s i n(9 0 0 +p)所以 A B-8 C s i n(9 O0+0 -B&O甲sin(a-J3)s i n(z 0在 RtA A BD 中,得 B D=AB sin/B AD=将测量数据代入上式,得 BD2 7.3 co s 5 0 T s i n 5 业K Ts i n 6 4 4 O-5(f l)2 7.3 co s 5 0 r s i n 5 4 4(y 皿 /、-o-弋1 7
20、7 (m)s i n 4 3 9fC D =BD -BC 1 7 7-2 7.3=1 5 0 (m)答:山的高度约为1 5 0 米.思考:有没有别的解法呢?若在A A C D 中求C D,可先求出A C。思考如何求出A C?例 3、如图,辆汽车在条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶I)在东偏 南 1 5 的方向上,行驶5 km后到达B 处,测得此山顶在东偏南2 5 的方向上,仰角为8,求此山的高度C D.思 考 1:欲求出C D,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢?(在A B C D 中)思考2:在A B C D 中,已知BD 或 BC 都可求出C D,根据条件,易计算出
21、哪条边的长?(BC 边)解:在A A BC 中,Z A=1 5 ,Z C=2 5 -1 5 =1 0 ,根据正弦定理,=,BC =4sin 弋 7.4 5 2 4(km)C D=BC x tan Z D BC =BC x tan 8 0 =s i n A s i n C1 0 4 7(m)s i n C答:山的高度约为1047米III.课堂练习:课本第17页练习第1、2、3 题IV.课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化。V .课后作业1.2解三角形应用举例 第三课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、
22、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题2、通过综合训练强化学生的相应能力,让学生有效、枳极、主动地参与到探究问题的过程中来,逐步让学生自主发现规律,举一反三。3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并激发学生的探索精神。二、教学重点、难点重点:能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系难点:灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题三、教学过程I.课题导入 创设情境提问:前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一
23、定的航速和航向呢?今天我们接着探讨这方面的测量问题。H.讲授新课 范例讲解例 1、如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东7 5 的方向航行67.5 n m ile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东3 2 的方向航行54.0 n m ile后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1 ,距离精确到0.Oln mile)南学生看图思考并讲述解题思路分析:首先根据三角形的内角和定理求出A C 边所对的角/A B C,即可用余弦定理算出A C 边,再根据正弦定理算出A C 边和A B 边的夹角/C A B。解:在A A B C 中,Z A
24、B C=1 8 0 -7 5 +3 2 =1 3 7 ,根据余弦定理,A C=A B2+B C2-2 A B x B C x c o s Z A B C=A/6 7.52+5 4.02-2 x 6 7.5 x 5 4.0 x 0 0 8 1 3 7 0 弋1 1 3.1 5根据正弦定理,BC=/s in N C A B =B C s in 8 C =5 4.O s in 1 3 7 一s in Z C A B s in Z A B C AC 1 1 3 .1 50.3 2 5 5,所以 Z C A B =1 9.0 ,7 5 -Z C A B =5 6.0答:此船应该沿北偏东5 6.1 的方向
25、航行,需要航行1 1 3.1 5 n m il e例 2、在某点B处测得建筑物A E 的顶端A的仰角为。,沿 B E 方向前进3 0 m,至点C处测得顶端A的仰角为26,再继续前进1 0 gm至 D 点,测得顶端A 的仰角为4。,求。的大小和建筑物AE的高。解法一:(用正弦定理求解)由已知可得在A A C D 中,AC=BC=30,AD=DC=10 6,ZADC=180-4 0,.!A =-。因为 s in 4 6=2s in 2eco s 2。s in 2/9 s in(180 一 4。).co s 2(9=,W 29=30 0=15,.在 R t AADE 中,AE=ADs in 60 =
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 新课 标人教 高中数学 必修 教案
限制150内