2020-2021学年四川省成都市郫都区高二下月考数学试卷（理科）4月份（附答案详解）.pdf

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1、2020-2021学年四川省成都市郫都区高二（下）月考数学试卷（理科）（4月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.对抛物线x2=12y,下列判断正确的是（)A.焦点坐标是(3,0)C.准线方程是y=-3 B.焦点坐标是(0,-3)D.准线方程是x=32.计算sin5cos55+cos5sin5宁的结果是（)A.1 2 1-2 B 污一2c 范一2D 3.函数f(x)=(x-1)护的单调递增区间是（)A.(-oo,0)B.(0,1)C.(1,4)D.(0,+oo)4.设一组样本数据X1,Xz,.,Xn的方差为0.01,则数据10 x1,10 x2,.lOxn的方差为（)A.0.01

2、 B.0.1 C.1 D.10 5.已知a,/3是空间中两个不同的平面，m,n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（)A.若m/a,n/3，且a/3，则m/nB.若m/a,n/3，且a.1/3，则m/nC.若m.1a,n/3，且a/3，则m.1n D.若m.1a,n/3且a.1/3，则m.1n6.在区间-4,1上随机地取一个实数X,若x满足冈l是“f(a)f(l)的（)A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件10.若函数f(x)=x-;sin2x+asinx在R上单调递增，则a的取值范围是（)A.悼B.1，扛C.-1,1 11.在四棱锥P-ABCD中，底面

3、ABCD是边长为2的菱形，LBAD=120,PA=2,PB=PC=PD,E是PB的中点设F是直线BC上的动点，当点E到平面PAF距离最大时，直线AF与平面EAC所成线面角的正弦值为（)A 污一5 D.-1,扛p B 2 翌7c 行一7D 12.定义在R上的可导函数f(x)满足f(2-x)=f(x)-2x+2,记f(x)的导函数为f(x),当X:,;1时恒有f(x)O)的一个焦点为F(2,0)，则双曲线的离心率为.吐214.在长方体ABCD-A1B1C1队中，AB=BC=1,AA1=,/3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.15.函数f(x)=2,/3sinxcosx+cos2x在O，亢

4、内的单调递减区间为.16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1队的所有棱长均为4,且LABC=120,点E是棱BC的中点，则过点E且与B队垂直的平面截该四棱柱所得截面的面积为.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知等差数列an的前n项和为S九，且a1=l,S11=66.(1)求a妒(2)若bn=zan+an,求数列bn的前n项和Tn第2页，共18页18.在!:i.ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csinA=acos(C-;).亢6(1)求角C的大小；(2)若cosB=-,c=7,求AB边上的高19.已知曲线f(x)=kxsinx+b在点(:,f笱）处的切线方程为2

5、x-y-3=0.(I)求k,b的值；(II)判断函数f(x)在区间(0,：）上零点的个数，并证明20.为了解某水果批发店的日销售岱，对过去100天的日销售蜇进行了统计分析，发现这100天的日销售量都没有超出4.5吨，统计的结果见频率分布直方图甘0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5日销售量（吨）(1)求这100天中日销售立的中位数（精确到小数点后两位）；(2)从这100天中随机抽取了5天，统计出这5天的日销售量y（吨）和当天的最高气温x(C)的5组数据(xi,Ya,(i=1,2,.,5)，研究发现日销售量y和当天的最高气溫x具有线性相关关系，且I伈xi=82,I比Yi=18

6、心伈X=l620,L=1(Xi一句(yi-y)=68.8求日销售麓y（吨）关于当天最高气温x(C)的线性回归方程-y=bx+a 参考公式：b=比(xl-x)（-y)=2?=1X,y，一九:I比(xi-x)2If:1 xf-nx 飞a=y-bx21.如图，已知BD为圆锥AO底面的直径，若AB=BD=4,C是圆锥底面所在平面内一点，CD迈，且AC与圆锥底面所成角的正弦值为五2(I)求证：平面AOC.l平面ACD:(JI)求二面角B-AD-C的平面角的余弦值第4页，共18页A B-六-二D C、22.已知椭圆C:+=l(abO)的左右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,离心率为f，点B是椭圆上的动点，

7、t:,.ABF1的而积的最大值为丑二2 2(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点片的直线l与椭圆C相交千不同的俩点M,N,线段MN的中垂线为l若直线l与直线l相交于点P,与直线x=2相交于点Q,求卢贵的最小值答案和解析1.【答案】C【解析】解：抛物线x2=12y,焦点坐标是(0,3)，准线方程是y=-3.故选：C.直接由抛物线的方程得出结论本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础2.【答案】D【解析】解：sin5cos55+cos5sin55=sin(5+55)=sin60 J=.2 故选：D.利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值化简已知即可得解本题主要考查了两角和的正弦

8、函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想的运用，屈千基础题3.【答案】D【解析】解：f(x)=xe汽令f(x)O,解得：X 0,故f(x)在(0,+oo)递增，故选：D.求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题4.【答案】C第6页，共18页【解析】解：样本数据X1,X2,.,Xn的方差为0.01,根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，数据lOxl10 x2,.,lOxn的方差为：100X 0.01=1,故选：C.根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，求出新数据的方差

9、即可本题考查了方差的性质，掌握根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长是解题的关键，本题属千基础题5.【答案】C【解析】解：由m/a,n/3，且a/3，得m/n或m与n异面，故A错误；由m/a,n/3，且aJ_/3，得m/n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由mJ_ a,a/3，得mJ_/3，又n/3，则m上n,故C正确；由mJ_ a,n/3且aJ_/3，得m/n或m与n相交或m与n异面，故D错误故选：C.由考查空间中直线与直线、直线与平面及平而与平面位置关系逐一核对四个选项得答案本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用，考查空间

10、想象能力与思维能力，是中档题6.【答案】D【解析】解：4,1上随机地取一个实数X,区间长度为5,而在此范围内满足lxl a的区间长度为1+a,概率为即号2=：，解得a=3:故选：D.解不等式|xia,可得axa，以长度为测度，即可求在区间-4,1上随机取一实数X,该实数x满足lxl a的概率，即可得到的参数a.本题考查几何概型，解题的关键是解不等式，确定其测度7.【答案】C【解析】【分析】考查基本初等函数和积的导数的计算公式，以及已知函数求值的方法可以求出导函数f(x)=exlnx+:古，从而可求出f(l)=e-1.【解答】e X 解：f(x)=exlnx+-=,1 2 X X e1 1:.f

11、(l)=e1lnl+7-:;=e-1.1 12 故选：C.8.【答案】D【解析】解：y五丁了的导数为y万台于可得在点(0,-1)处的切线斜率为，1 2 设P(m,lnm)，由y=lnx的导数为y=:,1 X 可得曲线y=lnx在点P处的切线斜率为K一，1？九由两切线垂直可得1 1 一.(-)=-1 m 2 解得m=，可得P(,-tn2).故选：D.求得y=了了的导数，可得在点(0,-1)处的切线斜率，设P(m,lnm)，求得y=lnx的导数，可得点P处的切线斜率，再由两直线垂直的条件，解方程可得P的坐标本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属千中档题9

12、.【答案】A【解析】解：函数f(x)=x3-3x,:.f(x)=3x2-3=(x2-1),令f(x)=O,解得x=土1,当lxl时，f(x)O,当Xl时，f(x)0,第8页，共18页：函数f(x)在(-001-1),(1,+oo)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，当al时，f(a)f(l)，充分性成立，当f(a)f(l)，不能得到a1，故必要性不成立，故选：A.先判断函数的单调性，再根据充分必要条件的定义判断即可本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，屈千中档题10.【答案】A【解析】解：因为函数f(x)=x-sin2x+asinx在R上单调递增2 所以f(x

13、)=1-cos2x+acosx 0恒成立，3 2 故1-(2cos2x-1)+acosx 0,3 即acosx-cos2x+o恒成立，令t=cosx E -1,1,4 5 则3-t2+at+o对tE-1,1恒成立，3 设g(t)=扣at+,t E-1,1，图象开口向下，则g(1)=；-a之0g(l)=+a 2:0，解得沪a分即a的取值范围是一，1 1 3 3 故选：A.由题意可得f(x)=1-;cos2x+acosx 2:0恒成立，利用二倍角公式及换元法可得t2+at十2:0对tE-1,1恒成立，令g(t)=-t+at+-,结合扒函数的图象与性质即可求解a的范围本题主要考查利用导数研究函数的单

14、调性，考查转化思想与运算求解能力，屈于中档题11.【答案】D【解析】解：取BC中点M,连接PM,AM,四边形ABCD是菱形，且LBAD=120,:.AM.lBC,:PB=PC,:.PM上BC,:AM n PM=M,:.BC上平面PAM,:PA c平面PAM,:.PA 上BC,同理可证PA上DC,:DC n BC=C,:.PA 上平面ABCD,:PAC平面PAF,:平面PAF上平面ABCD,平面PAFn平面ABCD=AF,点B到直线AF的距离就是点B到平面PAF的距离，过B作AF的垂线段，在所有的垂线段中，长度最大的为AB=2,此时AF必过DC的中点，J.z x/-V:E为PB中点，此时点E到平

15、面PAF的距离最大，最大值为1,AF 此时，tan60=.AF=ABtan60=23,AB 以A为坐标原点，直线AF,AB,AP分别为X,y,Z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),C(-/3,1,0),(0,1,1),B(0,2,0),则兀（我1,0)，万（0，1,1)，吓（2-/3,0,0),设平面AEC的法向翩(x,y,z),则尸冗-;3:z+:o=O症叶y+z=O，取y=l,得计（寻，1,-1),直线AF与平面EAC所成线而角为0,则直线AF与平面EAC所成线面角的正弦值为：,IAF司2打sin0=I cos AF,冗I=-陑l冗I-2范7.故选：D.取BC中点M,连接PM.AM

16、,则AM.1BC,PM.1BC,从而PA.1BC，同理可证PA.1DC,PA.1平面ABCD,由PAC平面PAF，得平面PAF.1平面ABCD,由平而PAFn平面ABCD=AF,得点B到直线AF的距离就是点B到平面PAF的距离，过B作AF的垂线段，在所有的垂线段中，长度最大的为AB=2,此时AF必过DC的中点，此时点E到平面PAF的距离最大，最大值为l,AF=ABtan60=2,/3，以A为坐标原点，直线AF,AB,AP分别为X,y,Z轴，建立空间直角坐标系，利用向撒法能求出直线AF与平面EAC所成线面角的正弦值本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

17、查运算求解能力，是中档题第10页，共18页12.【答案】D【解析】解：由条件得：函数f(m)-f(1-Zm)3m-1 f(m)-m f(1-Zm)-(1-Zm),所以构造函数F(x)=f(x)-x,f(m)-f(l-Zm)3m-1 F(m)F(l-Zm)由千/(2-x)=f(x)-2x+2;所以/(2-x)-(2-x)=f(x)-x,即F(2-x)=F(x),所以F(x)的对称轴为X=l;又:F(x)=f(x)-1,当X:s;1时恒有f(x)O,F(x)是增函数；x E(-oo,1,F(x)f(m)-m f(1-2m)-(1-2m)，所以构造函数F(x)=f(x)-x,所以不等式F(m)F(l

18、-2m);由于条件f(2-x)=f(x)-2x+2=/(2-x)-(2-x)=f(x)-x,即F(2-x)=F(x)所以F(x)的对称轴为X=1;且F(x)=f(x)-1,还可以得出F(x)的单调性，即可解出m的取值范围本题考查了导数与函数，涉及到构造函数以及对称轴的性质，难度比较大，屈千中档题13.【答案】迈【解析】解：双曲线-=l(aO)的一个焦点为F(2,0),a2 2 可得C=2,所以a2+2=4，解得a=12,所以双曲线的离心率为：e=-=2 a迈=12.故答案为：迈利用双曲线的焦点坐标求解C,推出a,然后求解离心率本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题14.【答案】

19、五s【解析】z【分析】本题考查了用向立法求异面直线所成的角，属中档题先建立空间直角坐标系，再列出点的坐标，再结合向擞法求异面直线所成的角得：设顽，厮的夹角为0，则cosO=顽丽|忒|万|=五，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为5 A x.,.,.,.,.节令，,.Dr有气，l,:.:;.,;.:.,;:.,:.:.仑KA.,C1 B1.y B c 解得,污一5【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA=l,则有：D(0,0,0),A(l,0,0)，队(0,0迈），81(1,1,句所以页句（1,1，乔），刀汀（1,0，乔），设页斤，丽的夹角为e,则cosO=瓦丽廷|丽|1丽Is=

20、即异面直线AD1与D81所成角的余弦值为立5 故答案为：五5 15.【答案】：年【解析】解：因为f(x)=z13sinxcosx+cosZx西sinZx+cosZx=Zsin(Zx+),令2x+;E 2krr十:,2KTC平，kE Z,解得xE krr十;,krc气，kE Z,令k=0,则XE：年，又因为xE O,re,所以函数的单调递减区间为兀2兀6 3 第12页，共18页故答案为 兀2TC6 3.利用辅助角公式化简函数解析式，然后利用整体代换思想，求出函数的单调递减区间，再结合已知定义域即可求解本题考查了三角函数的单调性，考查了学生的运算能力，属千基础题16.【答案】；【解析】解：取881

21、靠近点B的四等分点G,取A8的中点F,连接EF,EG,FG,如图所刀，c1 A1 A B.，直四棱柱ABCD-A1B凸Dl:.D1D J.底面ABCD,:.D1D.lAC,.，底面ABCD为菱形，:.AC J.BD,又:DD1 n BD=D,:.AC J.平面D1DB,:.AC J.8D1.，点E是棱BC的中点，点F是AB的中点，:.EF/AC,:.BD1.lEF,取A1队的中点P,连接D1P,BP,贝foPB18-l:,GBF,:.PB J.GF,:l:,D凶队为等边三角形，:.D1P J.A181,又，平面A1B凸D1J.平面A迅BA，且平面A1B凸D1n平面A1B1BA=A1B1,:.D

22、1P.l平面A1B1BA,:.D1P.lGF,又:PB n D1P=P,:.GF J.平而D1PB,:.8D1.lGF,又:EF n GF=F,:.BD1.l平面GEF,:.l:,EFG为过点E且与B队垂直的平面截该四棱柱所得的截面，易求GE=GF寸1l沪污，底面ABCD为边长是4的菱形，且LABC=120,:.AC2=AB2+BC2-ZAB BC coslZ0=48,:.AC=4戎，:.EF=AC=z./3,2:.St.EFG=X 2乔xJ岳）2_（3)2=拓即过点E且与B队垂直的平面截该四棱柱所得截面的面积为,/6.取BB1靠近点B的四等分点G,取AB的中点F,连接EF,EC,FG,先证出

23、AC.lBD1，进而BD1.lEF,取A1队的中点P,连接D1P,BP,由t:,PB1B-t:,GBF可得PB.lGF，由D1P.lA1队可证得D1P.l平面A1B1BA,所以D1P.lCF,进而证出CF.l平面D1PB,所以BD1.lCF,BD1.l平面GEF,t:,EFG为过点E且与BD1垂直的平而截该匹棱柱所得的截面，再利用边长条件求出t:,EFG的面积即可本题主要考查了空间中直线与平面垂直的位置关系，考查了平面与平面平行的位置关系，是中档题17.【答案】解：（1）设等差数列吐的公差为d,则S11=1la1+d=66,解得d=1,:.an、=a1+(n-l)d=n.(2):bn=za.,

24、.+an,:.加沪n,则Tn=2+2歼沪1+2+.+n=2(1-2n),n(n+l)-,n-1-1,.,1.?,1+=2n+1-2+n2+n.1-2 2 2 2【解析】(1)设等差数列钰的公差为d,由S11=66,可得d=1,即可求解；(2)可得b九沪n,利用分组求和即可本题考查了等差数列的通项、分组求和，属千中档题18.【答案】解：（1）由正弦定理，知a C=,sinA sine 兀:csinA=acos(C-;),6 亢:.sinCsinA=sinAcos(C-;-),6:sinA*O,第14页，共18页亢,fj.1:.sinC=cos(C-;)=cosC+sinC,6 2 2:.tanC

25、=,/3,:CE(0,亢），:.C 亢=-3 范即sinC=Y2cosC,2 2(2):cosB=且B为t,.ABC的内角，:.sinB=石寻B=勹言=孚b 7 由正弦定理，知b c,sinB sine 即飞亏言，解得b=8,7 2 4我11范3迈而sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=一X-+(-)x-一7 272 14 3乔12-./3:.AB边上的高h=b sinA=8 x.=14 7【解析】(1)利用正弦定理将已知等式中的边化角，可得sinC=cos(C-：)，再结合余弦的两角差公式展开化简，即可得解；(2)由cosB,得sinB的值，由正弦定理求出b的值，而

26、sinA=sin(B+C)，利用正弦的两角和公式展开后，代入相应数据进行运算，再根据h=b sinA,得解本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，包含正弦定理、两角和差公式等基础公式，还涉及边化角的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属千中档题19.【答案】解：（I）因为f(x)=kxsinx+b的导数f(x)=ksinx+kxcosx,所以f笱）ksin巴kx巴COS巴k,2 2 2 又因为f（孚）kx巴sin+b=rr+b,2 2 2 曲线f(x)在点(,f（子）处的切线方程为2x-y-3=O,k 可得k=2,一1Cb=1C一3,2 所以k=2,b=-3:(II)/(x)=2xsinx-

27、3在(0,：)上有且只有一个零点证明：因为f(x)=2sinx+2xcosx,x E(0,：），所以f(x)0,即有f(x)在XE(0，今上为单调递增函数且图象连续不断，因为f(O)=-3 0,所以f(x)在（0，号）上有且只有一个零点【解析】(I)求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率和切点，结合已知切线方程，可得k,b的方程，解方程可得所求值：(II)f(x)=2xsinx-3在(0,:）上有且只有一个零点由函数零点存在定理，计算可得结论本题考查导数的运用：求切线方程，以及函数的零点个数问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属千中档题20.【答案】解：（1）由频率分布直方

28、图性质知，各组频率之和为1,所以0.5X(0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a)=1,解得a=0.3,设中位数为X,则0.04+0.08+0.15+0.20+(x-2)X 0.52=0.5,解得Xo:;2.06,即这100天中日销售蜇的中位数约为2.06吨；(2)因为x=拉i:r=1Xi=16.4,y=i:r=1Yi=3.6 骂凸Yi-nxy=L比(xi-x)(y)v)=68.8 所以b=比xiYi-nxy68.8 沪=竺主0.25,l=l X12-nx2 1620-5X16.42 275.2;=y-X=3.6-0.25 X 16.4=-0.5 所以销售量y

29、（吨）关于当天最高气温x(C)的线性回归方程是：y=0.25x-0.5【解析】(1)根据各组频率之和为1求出a=0.3,设中位数为X,则0.04+0.08+0.15+0.20+(x-2)X 0.52=0.5,求解即可(2)首先利用最小二乘法求出回归直线方程本题考查线性回归方程，考察学生的运算能力，属千中档题21.【答案】解：（I）证明：由AB=BD=4及圆锥的性质，所以ABD为等边三角形，AO上圆0所在平面，所以AO=2乔，LACO是AC与底面所成的角，第16页，共18页B A r D 又AC与底面所成的角的正弦值为五？，7 AO 在Rtt:,_ AOC中，AC 丽严扛互OC寸AC2-AO2迈

30、，7 由CD.,/2,OD=2,在1:,.OCD中，OC2+CO2=OD气所以CD.LDC,圆锥的性质可知：AO.L圆0所在平面，因为CDC圆0所在平面，所以AO上CD,又AO,oc C平面AOC,所以CD1-平面AOC,又DCC平面ACD,故平面AOC.L平面ACD(II)过点0作OF.LAD交千F,过F作FH上AD交DC千H,连接HO,所以LOFH为二面角B-AD-C的平面角，在Rtt:,.OFD中，因为AD=4,LFOD=：，所以FD=1,OF=疗，HF AC 因为Rtt:,.HFD咄t1:,.ACD,所以一一，即HF17,则HD=2.f.祛c是HD的中点，DF CD 所以OH=2,在1

31、:,.0FH中，0沪OF2+F沪20F FHcosLOFH,即4=(-f3)2+(17)2-COSLOFH,所以COSLOFH=-.每7【解析】(I)求出oc=12，由CD=2,OD=2,在t:.OCD中，OC2+CD2=OD气进而求解；(II)过点0作OFj_ AD交千F,过F作FHJ_ AD交DC千H,连接HO,所以LOFH为二面角8-AD-C的平面角，在t:.OFH中，OH2=OF2+FH2-20F FHcosLOFH,即4=（迈）气（./7)2-cosLOFH，进而求解；考查圆锥体的理解，勾股定理的逆定理的应用，线线垂直证明而面垂直的应用，二而角余弦值的求解，余弦定理的应用，屈千中档题

32、；X 迈22.【答案】解：（1）由已知，椭圆C:+=l(abO)的离心率为，则e=-=-,c迈a2沪a 2 即a2=2c2.:a2=b2+c2,.-.b=c.设B点的纵坐标为Yo(Yo*0).则S1:,ABF1叶(a-c)IYol：扣c)b气:2,即（迈b-b)b拉1.:.b=1,a=迈2 椭圆C的方程为王沪1.2(2)由题意知直线l的斜率不为O,故设直线的方程为X=my-1,设M(x1汃），N(x心），P(xp,yp),Q(2,yQ)联立x2+2沪2 X=my1，消去X,得（m2+2)沪2my-1=0.此时t:,.=8(m2+1)O.2m 1:.yl+Y2=万Y1Y2=-由弦长公式，得IMN

33、I=l+m可Y1-Yzl=1+m2 寸4m2+4m2+8m2+2 整理，得|MN1=2-/2-号Y1+Y2 _ m _ _ _ 1 _-2 又YP=一一，:.Xp=myp-l=一2 m2+2 m2+2.:.IPQI汀二叩21=汀言了气苦岛2嘉点孚王亨（石古忐）2,当且仅当石产了T言妇，即m士1时等号成立当m=土1,即直线l的斜率为土1时，岛吩取得最小伯2.【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质，注意由椭圆的几何性质求出椭圆的方程(1)根据题意，由椭圆的离心率公式可得e=竺，即a2=2c2,设B点的纵坐标为a 2 Yo(Yo*0)，分析ABF1的面积可得（奻访b)b=迈仁1,解可得a、b的伯，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；(2)根据题意，设直线的方程为X=my-1,联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系以及弦长公式分析可得IMNI的值，同理可得IPQI的值，进而可得盖贵的表达式，由基本不等式的性质分析可得答案第18页，共18页