苏科版数学八年级下册9.4矩形、菱形、正方形（解答题）.pdf

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1、9.4矩形、菱形、正方形（解答题）1.如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4,点 E、F 分别是BC、AD的中点.（1）求证：ABEgACDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.2.如图，四边形ABCD是菱形，CELA B 交 A B 的延长线于点E,CFLA D 交 AD的延长线于点F,求证：DF=BE.3.如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到aACD,再将AACD沿 DB方向平移到（：，的位置，若平移开始后点D，未到达点B 时,A C 交CD于 E,D C交 CB于点F,连接E F,当四边形EDD午为菱形时，试探究A，DE的形状，并 判

2、断 与EFC是否全等？请说明理由.4.已知：如图，在菱形ABCD中，点 E、F 分别为边CD、AD的中点，连接AE,C F,求证：4ADE丝4CDF.5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点。，过点D 作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明：四边形ACDE是平行四边形;(2)若 AC=8,BD=6,求4ADE 的周长.6.如图，把AEFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E,F,P 分别在线段AB,AD,AC 上，已知 EP=FP=6,EF=6,ZBAD=60,且 A B 6 .(1)求NEPF的大小；(2)若 AP=10,求 AE+AF 的值；(3)若4 E F P 的三

3、个顶点E、F、P 分别在线段AB、AD、A C上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值.7.如图，在AABC中，ZACB=90,D,E 分别为AC,AB的中点，BFCE交 DE的延长线于点F.(1)求证：四边形ECBF是平行四边形;(2)当NA=30。时，求证：四边形ECBF是菱形.CR 8.如图，AEBF,AC平分N B A E,且交BF于点C,BD平分N A B F,且交AE于点 D,AC与 BD相交于点0,连接CD(1)求NA0D的度数;(2)求证：四边形ABCD是菱形.ADE9.如图，A B C g A A B D,点E在边A B上，C E B D,连接D E.求证:(1)Z C E

4、B=Z C B E；(2)四边形B C E D是菱形.1 0 .如图，在R t A B C中，Z B=9 0,点E是AC的中点，A C=2 A B,N B AC的平分线AD交B C于点D,作A F B C,连接D E并延长交A F于点F,连接FC.求证：四边形A D C F是菱形.1 1 .如图I,在四边形A B C F中，N A C B=9 0。，点E是A B边的中点，点F恰是点E关于A C所在直线的对称点.（1）证明：四边形C FA E为菱形;（2）连接E F交A C于点0,若B C=1 0,求线段O F的长.12.如图，在平行四边形A B C D中，以点A为圆心，A B长为半径画弧交A

5、D于点F,再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接A P并延长交B C于点E,连接EF.(1)四边形ABEF是；(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(直接填写结果)(2)AE,BF相交于点0,若四边形ABEF的周长为40,BF=10,则A E的长为_ _ _ _,NABC=.(直接填写结果)13.如图，A C是矩形A B C D的对角线，过A C的中点。作E F,A C,交B C于点E,交A D于点F,连接AE,CF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若AB=,ZDCF=30,求四边形AECF的面积.(结果保留根号)14.如图，已知B D是矩形A B C D的对角线

6、.(1)用直尺和圆规作线段B D的垂直平分线，分别交AD、B C于E、F(保留作图痕迹，不写作法和证明).(2)连结BE,D F,问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由.15.如图，A C为矩形A B C D的对角线，将边A B沿A E折叠，使点B落在A C上的点M处，将边C D沿CF折叠，使点D落在A C上的点N处.(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若A B=6,A C=1 0,求四边形A E C F的面积.DBE1 6 .如图，矩形A B C D中，延长A B至E,延长C D至F,B E=D F,连接E F,与B C、AD分别相交于P、Q两点.(1)求证：C P=A Q；(2

7、)若 B P=1,P Q=2 a,N A E F=4 5,求矩形 A B C D 的面积.1 7 .如图，矩形A B C D的对角线A C,B D相交于点0,若A B=A 0,求NABD的度数.1 8 .已知：如图，在矩形A B C D中，点E在边A B上，点F在边B C上，且B E=C F,E F D F,求证：B F=C D.1 9 .如图，矩形 A B C D 中，A B=4,A D=3,AM对折，得到A N M.(1)当AN平分NMAB时，求DM的长;(2)连接BN,当D M=1时，求ABN的面积;（3）当射线BN交线段CD于点F 时，求 DF的最大值.20.证:如图，菱形ABCD的对

8、角线AC,BD相交于点0,且 DEAC,AEB D.求四边形AODE是矩形.如图，将平行四边形ABCD的边AB延长到点E,BC于点F.(1)求证：BEFgZCDF；（2）连接BD、C E,若NBFD=2NA,求证：四边形BECD是矩形.2 2.阅读下面材料:在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H 依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC.结合小敏的思路作答（1）若只改变图1 中四边形ABCD的形状（如图2）,则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题:（2）如图

9、2,在（1）的条件下，若连接AC,BD.当AC与 BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明;当AC与 BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论.2 3.如图，点 P 在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A,C 重合，过点P 分别作边AB,AD的平行线，交两组对边于点E,F 和G,H.（1）求证：PHC四CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系.2 4.已知,如图，正方形ABCD中，E 为 BC边上一点,且 CE=AF.连接 DE、D F.求证：DE=DF.2 5.如图,在正方形ABCD中，点 E（与点B、C 不重合）

10、是 BC边上一点，将线段 EA绕点E 顺时针旋转90。到 E F,过点F 作 BC的垂线交BC的延长线于点G,连接CF.(1)求证：ZXABEgaEGF；(2)若 AB=2,SM B E=2SAECF，求 BE.DB E C G2 6.已知：如图，在正方形A B C D中，点E在边C D上，A C U B E于点Q,D P 1 A Q于点P.(1)求证:A P=B Q；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.2 7.在平面直角坐标系中，点0为原点，点A的坐标为(-6,0).如图1,正方形O B C D的顶点B在x轴的负半轴上，点

11、C在第二象限.现将正方形O B C D绕点0顺时针旋转角a得到正方形O EFG.(1)如图2,若a=6 0。，O E=O A,求直线EF的函数表达式.(2)若a为锐角，t a n a=2，当A E取得最小值时，求正方形O EF G的面积.(3)当正方形O EFG的顶点F落在y轴上时，直线A E与直线F G相交于点P,O E P的其中两边之比能否为加：1?若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由28.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,N A C F的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接E0.(1)已知E 0=&,求正方形ABCD的

12、边长；(2)猜想线段E M与C N的数量关系并加以证明.29.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，ZAEF=90,EF交正方形外角的平分线CF于F.求证：AE=EF.备用图30.如图，在正方形ABCD中，E是边A B的中点，F是边BC的中点，连结CE、D F.求 证:CE=DF.答案与解析1.（2016安顺）如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4,点 E、F 分别是BC、AD的中点.（1）求证：4ABE名ACDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等.第（2）要求菱形的面积，在第（1）

13、问的基础上很快知道4A BE为等边三角形.这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得.【解答】（1）证明：.,在 回 ABCD中，AB=CD,，BC=AD,ZABC=ZCDA.又：BE=EC=LBC,AF=DF=AD,2 2/.BE=DF.,.ABE ACDF.（2）解：.四边形AECF为菱形,/.AE=EC.又,点E 是边BC的中点，BE=EC,即 BE=AE.又 BC=2AB=4,.AB=?BC=BE,2，AB=BE=AE,即4A BE为等边三角形，0ABCD的 BC边上的高为2*5仍 60。=炎，.菱形AECF的面积为2M.【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力.（1）用SA

14、S证全等；（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB,所以4 A B E为等边三角形.2.（2016 广 安）如图，四边形ABCD是菱形，C E LA B交A B的延长线于点E,C F LA D交A D的延长线于点F,求证：DF=BE.【分析】连接A C,根据菱形的性质可得A C平分NDAE,CD=BC,再根据角平分线的性质可得CE=FC,然后利用HL证明RtCDF且R t C B E,即可得出DF=BE.【解答】证明：连接AC,四边形ABCD是菱形，.AC 平分NDAE,CD=BC,VCE1AB,CF1AD,，CE=FC,ZCFD=ZCEB=90.在 RtACDF 与 RtACB

15、E 中，fCD=CBicF=CE，A RtACDFRtACBE（HL）,ADF=BE.【点评】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.同时考查了全等三角形的判定与性质.3.（2 01 6 荆州）如图，将一张直角三角形AB C 纸片沿斜边A B 上的中线C D 剪开，得到 A C D,再将4 A C D 沿 DB 方向平移到 AC D，的位置，若平移开始后点D，未到达点B 时，A C交 C D 于 E,D C 交 C B 于点F,连接EF,当四边形EDD乍为菱形时，试探究内口 的

16、形状，并判断内口 与EFC 是否全等？请说明理由.A A D D B【分析】当四边形EDD午为菱形时，AADE是等腰三角形，AQE EFU.先证明C D=DA=DB,得 至【N DAC=N DC A,由A(:AC 即可得至l j N DAE=N DEA由 止 匕 即可判断A D A 缶 的形状.由 EFAB 推出N C EF=/EAD,N EFC=N ADC=N ADE,再根据AD=DE=EF即可证明.【解答】解：当四边形EDD乍为菱形时，AADE是等腰三角形，ADEg EFC.理由：B C A是直角三角形，Z AC B=9 0,A D=D B,，C D=D A=D B,/.Z D A C=Z

17、 D C A,.A C A C,，/D A E=N A,N D E A =N D C A,.Z D A,E=Z D E A,.,.D A =D E,.A D E 是等腰三角形.四边形D E F D，是菱形，E F=D E=D A ,E F D D ,.N C E F=N D A E,N E F C =N C D A ,：CD/CD,：.N A D E=N A D C =/E F C ,在a A D E 和E F U 中，N E A D=Z Cy E F A D=E FN A D E=/E F C.ADE 之EFC.【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理

18、等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型.4.(2016淮安)已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连 接AE,C F,求证：4ADE丝ZCDF.【分析】由菱形的性质得出AD=CD,由中点的定义证出DE=DF,由SAS证明4ADECDF即可.【解答】证明：四边形ABCD是菱形,.AD=CD,.点E、F分别为边CD、AD的中点,/.AD=2DF,CD=2DE,，DE=DF,AD=CD在ADE 和ACDF 中，ZADE=ZCDF，D E=D F/.ADEACDF(S A S).【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质；熟练掌握菱形的性质，证

19、明三角形全等是解决问题的关键.5.(2016苏州)如 图，在菱形ABCD中，对 角线AC、BD相交于点0,过 点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；(2)若 AC=8,B D=6,求AADE 的周长.【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可.【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，A BCD,AC1BD,；.AECD,ZAOB=90,V D E B D,即 NEDB=90,ZAOB=ZEDB,A D E A C,二四边形ACDE是平行四边形；（2）解：.四边形 ABCD 是菱形，AC=8,BD

20、=6,，A0=4,D0=3,AD=CD=5,：四边形ACDE是平行四边形，/.AE=CD=5,DE=AC=8,.ADE 的周长为 AD+AE+DE=5+5+8=18.【点评】此题考查平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可.6.（2016枣庄）如图，把4E FP放置在菱形ABCD中，使得顶点E,F,P分别在线段 AB,AD,AC 上，已知 EP=FP=6,EF=6j,N BAD=60,且 AB6（1）求/E P F的大小；（2）若 A P=10,求 AE+AF 的值；（3）若4 E F P的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、A C上运动，请直接写出AP长的最大值和最

21、小值.D【分析】(1)根据锐角三角函数求出N FP G,最后求出NEPF.(2)先判断出RtAPM ERtAPNF,再根据锐角三角函数求解即可,(3)根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值.【解答】解：(1)过点P 作 PGEF于点G,如图1 所示.A E B图1VPE=PF=6,EF=W5,在 RtZFPG 中，sin/FP G=）=返,PF 6，NFPG=60,.,.ZEPF=120.（2）过点P 作 PM LAB于点M,作 PNLAD于点N,如图2 所示.V A C为菱形ABCD的对角线，.,.ZDAC=ZBAC,AM=AN,PM=PN.在 RtPME 和 RtPNF 中，PM

22、=PN,PE=PF,RtAPMERtAPNF,，ME=NF.又 AP=10,NPAM=*DAB=30。，AM=AN=APcos30=10 X 叵5 ,，AE+AF=(AM+ME)+(AN-NF)=AM+AN=10我.(3)如图，当EFP的三个顶点分别在AB,AD,AC上运动，点P在，P之间运动,，P0=P0=3,A0=9,A A P的最大值为12,A P的最小值为6,【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解本题的关键是作出辅助线.7.（2016三明）如图，在ABC中,NACB=90。，D,E分别为AC,A B的中点,BFCE交DE的延长线于点F.（1

23、）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当NA=30。时，求证：四边形ECBF是菱形.【分析】（1）利用平行四边形的判定证明即可；（2）利用菱形的判定证明即可.【解答】证明：.胆，E分别为边AC,A B的中点,，DEB C,即 EFBC.又；BFCE,.四边形ECBF是平行四边形.(2)V ZACB=90,ZA=30,E 为 AB 的中点,.*.CB=AB,CE=4B.2 2/.CB=CE.又 由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，四边形ECBF是菱形.【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，利用平行四边形的判定以及菱形的判定是解题关键.8.（2016抚顺）如图，AEB

24、F,AC平分N B A E,且交BF于点C,BD平分NABF,且交AE于点D,AC与BD相交于点O,连接CD（1）求NAO D的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形.【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到NDAC=NBAC,ZA B D=ZD B C,然后根据平行线的性质得到NDAB+/CBA=180。，从而得到N B A C+N A B D q（ZDAB+ZABC）=-X 180=90,得到答案NAOD=90；（2）根据平行线的性质得出/A D B=/D B C,ND AC=NBCA,根据角平分线定义得出NDAC=NBAC,NABD=NDBC,求出NBAC=NACB,Z A B D=Z

25、A D B,根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD,根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案.【解答】解：（1）:AC、BD分别是NBAD、NABC的平分线，/.ZDAC=ZBAC,ZABD=ZDBC,.AEBF,AZDAB+ZCBA,=180,.NBAC+NABD（ZDAB+ZABC）=-X 180=90,2 2，ZAOD=90；(2)证 明:.AEBF,/.ZADB=ZDBC,ZDAC=ZBCA,VAC.BD分别是NBA是 NABC的平分线,.,.ZDAC=ZBAC,ZABD=ZDBC,/.ZBA C=ZA C B,ZABD=ZADB,；.AB=BC,AB=AD，

26、AD=BC,.ADBC,二四边形ABCD是平行四边形，VAD=AB,四边形ABCD是菱形.【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键.9.(2016沈阳)如图，A A B C A A B D,点E在边A B上，CEB D,连接D E.求证：(1)ZCEB=ZCBE；【分析】（1）欲证明/C E B=/C B E,只要证明NCEB=NABD,N C B E=/A B D即可.（2）先证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BC=BD即可判定.【解答】证明；（1）V A A B C A A B D,/.ZA B C=ZA B

27、 D,.CEBD,.*.ZCEB=ZDBE,/.ZCEB=ZCBE.（2）V A A B C A A B D,BC=BD,V ZCEB=ZCBE,；.CE=CB,，CE=BDVCE/7BD,，四边形CEDB是平行四边形,VBC=BD,【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型.10.（2016聊城）如图，在 RtZXABC 中,NB=90。，点 E 是 AC 的中点,AC=2AB,ZB A C的平分线AD交BC于 点D,作AFB C,连 接DE并延长交AF于 点F,连接FC.求证：

28、四边形ADCF是菱形.【分析】先证明4AEF且A C E D,推出四边形ADCF是平行四边形，再证明4AEDA B D,推 出D F L A C,由此即可证明.【解答】证明：AFCD,NAFE=NCDE,在4A FE和4CD E中，NAFE=/CDE ZAEF=ZCEDAE=CE.AEFACED.AF=CD,.AFCD,.四边形ADCF是平行四边形.由题意知，AE=AB,ZEAD=ZBAD,AD=AD,/.AED A AB D./.Z A E D=Z B=90o,E|J DFAC.四边形ADCF是菱形.【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键

29、是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型.11.（2016德阳）如图，在四边形ABCF中，NACB=90。，点E是A B边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点.（1）证明：四边形CFAE为菱形；（2）连 接EF交AC于 点0,若B C=10,求线段O F的长.【分析】（1）根据直角三角形的性质得到CE=AB=EA,根据轴对称的性质得到AE=AF,CE=CF,得 到CE=EA=AF=CF,根据菱形的判定定理证明结论；（2）根据菱形的性质得到0A=0C,O E=O F,根据三角形中位线定理求出0 E,得到答案.【解答】（1）证明：NACB=90。，点E是A B边的中点，.CE=

30、*AB=EA,点F是 点E关 于AC所在直线的对称点，AE=AF,CE=CF,；.CE=EA=AF=CF,四边形C F A E 为菱形；（2）解：.四边形C F A E 为菱形；A O A=O C,O E=O F,，0 E-B C=5,2.,.0 F=5.【点评】本题考查的是菱形的判定和性质、轴对称的性质，掌握四条边相等的四边形是菱形、菱形的对角线垂直且互相平分是解题的关键.1 2.（2 0 1 6 梅州）如图，在平行四边形A B C D 中，以点A为圆心，A B 长为半径画弧交A D 于点F,再分别以点B、F 为圆心，大于5 B F 长为半径画弧，两弧交于一点P,连接A P 并延长交B C

31、于点E,连接E F.（1）四边形A B E F 是 菱 形；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2）A E,B F 相交于点0,若四边形A B E F 的周长为4 0,B F=1 0,则 A E 的长为1 0 V 3 _ Z A B C=1 2 0 .（直接填写结果）【分析】（1）先证明4 A E B 丝Z S A E F,推出N E A B=N E A F,由A D B C,推出N E A F=Z A E B=Z E A B,得到B E=A B=A F,由此即可证明.（2）根据菱形的性质首先证明aAOB是含有3 0。的直角三角形，由此即可解决问题.【解答】解：（1）在 A

32、E B 和4 A E F 中，A B=A F N E A B 二 N E A F，A E=A E.,.A E B 之A E F,/.Z E A B=Z E A F,.A D B C,，N E A F=N A E B=N E A B,，BE=AB=AF.VAF/7BE,二四边形ABEF是平行四边形VAB=AF,四边形ABEF是菱形.故答案为菱形.(2).四边形ABEF是菱形,AAE1BF,B0=0F=5,ZABO=ZEBO,VAB=10,/.AB=2B0,V ZAOB=90/.ZBA0=30o,ZABO=60,.*.AO=V3BO=5/3，ZABC=2ZABO=120.【点评】本题考查菱形的判定

33、和性质、平行四边形的性质、作图-基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，想到利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型.13.（2016贺州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点。作EFJ_AC,交BC于 点E,交A D于 点F,连接AE,CF.（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=愿，ZD C F=30,求四边形AECF的 面 积.（结果保留根号）【分析】（1）由过AC的中点。作EFJ_AC,根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF,AE=CE,OA=OC,然后由四边形ABCD是矩形，易证得AOF四（：,则可得A F=CE,继而证得结论；（2）由四边形ABCD是矩形，

34、易求得CD的长，然后利用三角函数求得C F的长,继而求得答案.【解答】（1）证明：是A C的中点，且EF_LAC,，AF=CF,AE=CE,OA=OC,四边形ABCD是矩形，ADBC,ZAFO=ZCEO,在AOF和CO E中，Z A F 0=Z C E 0 Z A 0F=Z C 0E,0A=0C.,.AOFACOE（AAS）,，AF=CE,.AF=CF=CE=AE,.四边形AECF是菱形；（2）解：.四边形ABCD是矩形,/.CD=AB=V3，rn在 RtaCDF 中，cosNDCF=褚，ZDCF=30,r _ C D,CF-COS300-2,.四边形AECF是菱形,，CE=CF=2,二四边形

35、AECF是的面积为：ECAB=2我.【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识.注意证得AOF丝 是 关 键.14.（2016衢州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线.（1）用直尺和圆规作线段B D的垂直平分线，分别交AD、B C于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）.（2）连结BE,D F,问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由.D-C【分析】(1)分别以B、D为圆心，比B D的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；(2)连接BE,D F,四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分B D,得到BE=DE,Z D E F=Z B E F,再由A D与B

36、C平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF,再由BF=DF,等量代换得到四条边相等，即可得证.【解答】解：(1)如图所示，EF为所求直线；(2)四边形BEDF为菱形，理由为：证明：:E F垂直平分BD,；.BE=DE,ZDEF=ZBEF,：ADBC,NDEF=NBFE,/.ZBEF=ZBFE,；.BE=BF,VBF=DF,；.BE=ED=DF=BF,四边形BEDF为菱形.【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图-基本作图，熟练掌握性质及判定是解本题的关键.15.(2016扬州)如图，A C为矩形ABCD的对角线，将边A B沿A E折叠，使点B落在A C上的点M处，

37、将边C D沿C F折叠，使点D落在A C上的点N处.(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB=6,A C=10,求四边形AECF的面积.【分析】(1)首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB=CD,ADBC,ZANF=90,ZC M E=90,易得A N=C M,可得AANF丝CME(A S A),由平行四边形的判定定理可得结论；(2)由 AB=6,A C=10,可得 B C=8,设 C E=x,贝!J EM=8-x,CM=10-6=4,在 Rt CEM中，利用勾股定理可解得x,由平行四边形的面积公式可得结果.【解答】证 明：I折叠,，AM=AB,CN=CD,ZFNC=ZD=90,ZA

38、ME=ZB=90,；.NANF=90,ZCME=90,四边形ABCD为矩形，/.AB=CD,ADBC,，AM=CN,.*.AM-MN=CN-MN,即 AN=CM,在a A N F和CME中，/FAN=/ECM AN=CM，ZANF=ZCME.ANFACME(A S A),；.AF=CE,又：AFCE,.四边形AECF是平行四边形；(2)解：VAB=6,A C=10,，BC=8,设 C E=x,则 EM=8-x,CM=10-6=4,在 RtACEM 中，(8-x)2+42=X2,解得：x=5,四边形AECF的面积的面积为:ECAB=5X6=30.【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行

39、四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键.16.(2016遵义)如图，矩形ABCD中，延长A B至E,延长CD至F,BE=DF,连接E F,与BC、A D分别相交于P、Q两点.(1)求证：CP=AQ；(2)若 BP=1,P Q=2&,Z A E F=4 5,求矩形 ABCD 的面积.【分析】(1)由矩形的性质得出NA=NABC=NC=NADC=90。，AB=CD,AD=BC,ABCD,ADB C,证出/E=N F,AE=C F,由 ASA 证明 ACFP四A E Q,即可得出结论；(2)证明ABEP、a A E Q是等腰直角三角形，得出BE=BP=1,AQ=AE,求出PE=

40、%B P=&,得 出EQ=PE+PQ=3加，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3,求出 AB=AE-BE=2,DQ=BP=1,得出 AD=AQ+DQ=4,即可求出矩形 ABCD的面积.【解答】(1)证明：四边形ABCD是矩形，A ZA=ZABC=ZC=ZADC=90,AB=CD,AD=BC,ABCD,ADBC,/.Z E=Z F,VBE=DF,；.AE=CF,NC=/A在ACFP 和AAEQ 中，CF=AE，NF二NE.,.CFPAAEQ (A S A),，CP=AQ；(2)解：V A D B C,.ZPBE=ZA=90,VZAEF=45,.BEP、aA EQ是等腰直角三角形，.

41、*.BE=BP=1,AQ=AE,PE=V0P=5/，EQ=PE+PQ=、&2n=3 加，AQ=AE=3,，AB=AE-BE=2,V CP=AQ,AD=BC,DQ=BP=1,.AD=AQ+DQ=3+1=4,二矩形ABCD的面积=ABAD=2X4=8.【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.17.（2016广州）如 图,矩 形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,若AB=AO,求NABD的度数.【分析】首先证明OA=OB,再证明aABO是等边三角形即可解决问题.【解答】解：.四边形ABCD

42、是矩形，AOA=OC,OB=OD,AC=BD,/.AO=OB,VAB=AO,.AB=AO=BO,/.ABO是等边三角形，/.ZABD=60.【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型.18.（2016岳阳）已知：如图，在 矩 形ABCD中，点E在 边A B上，点F在边BC 上，且 BE=CF,E F 1 D F,求证：BF=CD.【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再 由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利 用A S A得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三

43、角形对应边相等即可得证.【解答】证明：四边形ABCD是矩形，NB=NC=90。，VEF1DF,.NEFD=90,/.ZEFB+ZCFD=90,VZEFB+ZBEF=90,，NBEF=NCFD,在ZXBEF 和ZkCFD 中,NBEF=NCFD BE=CF，ZB=ZC.,.BEFACFD（ASA）,/.BF=CD.【点评】此题考查了矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键.19.（2016福州）如图，矩 形ABCD中，AB=4,AD=3,M是 边CD上一点，将ADM沿直线A M对折，得到ANM.（1）当A N平分N M A B时，求D M的长；（2）连接B N,当

44、DM=1时，求a A B N的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值.【分析】（1）由折叠性质得N M A N=N D A M,证出N D AM=N M AN=N N AB,由三角函数得出DM=ADta n N D A M=即可；（2）延长M N交AB延长线于点Q,由矩形的性质得出/D M A=N M A Q,由折叠性质得出 NDMA=NAMQ,AN=AD=3,M N=M D=1,得出 N M A Q=N A M Q,证出M Q=A Q,设 N Q=x,则 AQ=M Q=l+x,证出N A N Q=90,在 RSANQ 中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4,A Q=5,

45、即可求出4 A B N的面积；（3）过点A作A H 1B F于点H,证明A B H sB F C,得出对应边成比例骂=累,得出当点N、H重 合（即AH=AN）时，A H最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：A D=A H,由AAS证明ABH之B F C,得出CF=BH,由勾股定理求出B H,得出C F,即可得出结果.【解答】解：（1）由折叠性质得：A N M之ADM,/.ZM A N=ZD A M,TAN 平分NMAB,NMAN=NNAB,，ZDAM=ZMAN=ZNAB,四边形ABCD是矩形，.,.ZDAB=90,/.ZD AM=30o,.*.

46、DM=ADtan Z DAM=3 X tan30=3 X=、q；3（2）延长M N交AB延长线于点Q,如图1所示:四边形ABCD是矩形,，ABDC,.NDMA=NMAQ,由折叠性质得：ANM也ZXADM,；.NDM A=NAM Q,AN=AD=3,MN=MD=1,NMAQ=NAMQ,MQ=AQ,设 N Q=x,则 AQ=MQ=l+x,VZANM=90,，NANQ=90,在R g A N Q中，由勾股定理得：AQ2=AM+NQ2,（x+1）2=32+X2,解得：x=4,，NQ=4,AQ=5,VAB=4,AQ=5,SANAB=TSANAQ:Z_ X-AN NQ=-1-X X 3 X 4=-；O 3

47、/3 N O（3）过点A作AH_LBF于点H,如图2所示：四边形ABCD是矩形，ABDC,/.ZHBA=ZBFC,VZAHB=ZBCF=90,.ABHABFC,.BH CFVAHAN=3,AB=4,二当点N、H重 合（即AH=AN）时，A H最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH,VAD=BC,，AH=BC,NHBA=/BFC在ABH 和aBFC 中，NAHB=NBCF，AH=BC.,.ABHABFC(A A S)，CF=BH,由勾股定理得：B H=JA定-A HM-3 WV，/.C F=V 7A D F的最大值=DC-C

48、F=4-夜.【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键.20.（2016吉林）如图，菱 形ABCD的对角线AC,BD相交于点。，且DEAC,AEB D.求证：四边形AODE是矩形.【分析】根据菱形的性质得出AC_LBD,再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形.【解答】证明：四边形ABCD为菱形，.AC1BD,，ZAOD=90,；D E A C,A E B D,四边形A O D E 为

49、平行四边形,二四边形A O D E 是矩形.【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定,掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.21.（2016南通）如图，将I 2A B C D 的边A B 延长到点E,使 B E=A B,连接D E,交边B C 于点F.（1）求证：4B EF 会ACD F；（2）连接B D、CE,若N B F D=2 N A,求证：四边形B ECD 是矩形.【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB=CD,AB CD,再由B E=AB 得出B E=CD,根据平行线的性质得出N B EF=N CD F,N EB F=N D CF,进而可得出结论；（2

50、）根据平行四边形的性质可得AB CD,AB=CD,N A=N D C B,再由AB=B E,可得CD=EB,进而可判定四边形B ECD 是平行四边形，然后再证明B C=D E即可得到四边形B ECD 是矩形【解答】（1）证明：四边形AB CD 是平行四边形，V AB=CD,AB CD.V B E=AB,；.B E=CD.AB CD,/.Z B EF=Z CD F,N EB F=N D CF,在Z B EF 与a CD F 中，2B EF=NCD FVJB E=CD，,ZEBF=ZDCF/.B EF ACD F (AS A)；（2）证明：.四边形ABCD是平行四边形,，ABCD,AB=CD,ZA