线性代数期末考试试题及答案.pdf

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1、2005-2006学年第一学期填 空 题（每小题3分，共15分）（叫小 盟2.若阶方阵A的 秩r 1000-100-1101-20、，通解为我自+叫E，（匕冉,求向量组的秩及一个极大线性无7关组，并把其余向量用极大线性无关组表示.解：7 1 1r111、q1 1、10 2A =(,)=1-1 30-2201-101-12130-1100000 0、315,、0-22,、o00,、00 0极大无关组用,必，且a3=2d,-a2.七.（1 0分）讨论之取何值时，非齐次线性方程组x,+x2(1 +2)X3=0X +(1 +X j A.(1 +4)X +X j +=下解:法 1|A|（1）有唯一解;无

2、解；（3）有无穷多解.1 11 1 +21 +2 11 +211-22(2 +3)1 ）当/1。0且3时，有 同H 0,方程组有惟一解;(2 )当/1 =一3时，A11-21-21-2110-391001-30-2300-36R(A)=2 000110%卜3,令4，即010变换矩阵C0,0-2、0 ,|C|=1 0.标准形/=y；-2 y；6 y；.1020230九.（1 0分）求矩阵40、04,的特征值与最大特征值所对应的特征向量.解：|A 花|=(4一4)2(/1 +1),特征值=4=4,4=1当4 =4=4时，解（4-4 E）工=0得/1、2。.一的全体特征向量为=%&+%，（k；+w

3、0）.十.(每 小 题5分，共1 0分)1.设向量组出，跖 点3线性无关，讨论向量组用，d+%，而+外+&3的线性相关性解：令4名+%2(&|+&2)+a(氏+&2+1 3)=,即优+k2+&)名+(k2+k3)a2+k3a3=0k+k2+k3=0因为d0 2,Z线性无关，所以有&+%2=0 ，&二 0由于方程组只有零解，故d，d+&2,d +1 2 +&3线性无关。2.设A为满足等式4 2-3 4 +2 E=。的矩阵，证明A可逆，并求解：A2-3A+2E=O=A(A-3E)=-2E=A-(A-3E)=E2所以A可逆，且 A T=(3 E A)2008-2 0 0 9学年第一学期A卷一、填 空

4、 题(共7 5分每空3分)|得分|1 0 0、1.设 A=1 2 0 ,则|-A|=-6J 1 3,100A-1=-1/21/20-1/6-1/61/3 1，卜 3 6o 1 Y 12.0 1 0 2、0。山1、02,13.行 列 式 2 1 23 3 62 0 0=1 8 行 列 式 0 1 -20 2 21 24.两个向量 =(1,1,0),/=(1,2,1)的 内 积 为：工,夹 角 为：向 6;把。2用 施 密 特 正 交 化 方 法 得：4=%，A=(-1/2,1/2,0),5.若 向 量 夕=(4,7),a：=(1,2),a；=(2,3),则 4 用%，%组 合 的 表 达 式 是

5、(3=2al+a2.6.向量组a：=(2,0,0),a；=(1,-1,l),a；=(0,1,0),a1=(3，3)的线性相关性为:线性相关,它的秩是 3.7.已知向量组 a 1=(1,0,0),a 2=(2,5,2),a 3=(l,5,k)线性相关，则 k=2.8.若 3 阶方阵A 的三个根分别是1,2,3,则 方 阵 A 的行列式间包；1 0-1 0 0、9.设矩阵A=0 1 0-1 0,则矩阵A 的 秩 为 2,线性方程组A X=。、0 0 0 0 0,的基础解系的向量个数为二一10.给定线性方程组X +工 2 +X 3=1 x,+AJC2+X3-A.,%1+%2+(4+1)Xj=则：当入

6、W 1且入wo 时,方程组有唯一解；当人=1 时方程组有无穷解；当X =0 时方程组无解.2 0 0、11.矩阵A=1 2-1 的特征值为:口 0 1,2 1,对应于特征值几=1的特征向量为:12.设A设方阵A满足4A=E，则同=+1.13.二次型/区,12,)=4 +2X/2+2xj+2当+2月的矩阵的系数矩阵为:1 0、A=1 2 1 ,该二次型为正 定二次型.1 2,二、计 算 题(共5分)得分设矩阵A=r J,求矩阵X,使AX=A+2E解 由 AX=A+2E得 X=AT(A+2E)(A(2A+2E)=4 fl 01 3厂10 13-2-2 5)T3三、计 算 题（共6分）已知向量组得分

7、11：求向量组外,。2,。3,的一组极大线性无关组，并把其余向量用此组向量表示i出来.由此可知，%,%，%为一组极大线性无关向量组,1 1 3 2、1 0 2 01 2 4 2r0 1 1 0解(,a2,av a4)=1 1 3 20 0 0 111-1 1.0 0 0 0%=2%+a2得分(另巡KM郛翦黏)：四、计 算 题（共6分）在求非齐次线性方程组*一 一 七+4=-2的通解.：2匹 一 2X2+x3-x4=2：（1 -1-1 10/、：r（-1 0 0:解增广矩阵8=2-2 1-12-21:0 0 1-1 2都还原成线性方程组l”一 “2x3=x4+21可得方程组通解为2五、限 选 题

8、（共8分）得分（经管类学生可选做第1、2 小题中的一题，理工类学生仅限做第2 小题）（1）（理工类学生不做此小题）已知二 次 型=a）出二次型所对应的矩阵Ab）用配方法将二次型化为标准型，C）写出相应的可逆线性变换矩阵。t 0 -A解 a）A=0 1 0 2 10 1,b)f(x)=x；+x；+Xj 2%|X j =(X 1 -X j)+x：2 W X 3令.%=X2芈=七再=%+为即有变换卜2 =为/3=为1 0 1、/、y九 2=0 1 0力kX3、001 把二次型/（%）=X；+X；+X；-2X,X3化为标准型f（x）=城+4 2 1 0 1、C)对应变换矩阵P=0 1 00 I2（2）

9、（理工类学生必做此小题）已知二次型/（x）=ax：+x；+3x1-2X1X2的秩为2,a）写出二次型所对应的矩阵A,并求参数ab）求出二次型所对应的矩阵A的特征值c）求正交变换x =py,把二次型化成标准形（不写正交变换）.a-1 O 解 a)A=-1 1 0、0 0 3,/R(A)=2,.=0 =a =1b)解特征方程|A-4 目=0 ,得 4 =0,4=2,4=3C)分别解方程组(A-4)X=O,i =l,2,3,得单位特征向量Tr2 2V 2，207及正交矩阵p=92_ V 220 0、P 3 =oO7V12V2一2、在2V2-2zr正:父变换x =p y2 I。0 U把二次型变为标准型

10、：/=2+3$r2008-2 0 0 9学年第一学期B卷一、填 空 题（共6 6分每空3分）|得分|U 2 2、1.设矩阵A=0 2 2、0 0 3,1 2 0、B=2 3 0 ,则行列式：|-A|=、0 0 2,-6阿=-1 2 _ _ _ _,A 1|=1/6_fk*l=2 0 0 r 1 22.设 4 =0 2 0,B=4 5、0 0 2)4|+1/12/Ip+=8 2 G j；4|+26!+2 0 3 3=0 其中4为的代数余子式.1 2 2、4.A=0 2 2 ,它的第3行第2列元素0的代数余子式4 32 =、0 0 3,-2 1-1 0、A =0 1/2 -1/3、0 0 1/3

11、6 -6 04的伴随矩阵A*=0 3-2、0 0 25.向 量 优=(1,1,0)与向量夕=(0,-1,1),则：向量a的长度网、历，a与夕的夹角6.向量a：=(1,2,1)a：=(3,4,3),a；=(1,1,1),则向量组药,a2,%的秩等于，_该 组 向 量 线 性 相 关.2 07.设 A =1 A3 10 1 (2、2 ,B=0 ,XJ S/、X=x2，则当；2 时，线性方程组A X =8有唯一解:q、当4 =1时，线性方程组A X =8的解X =k-3,k为任意常数.J ，8 .设A 1=6,A是4 x 5阶矩阵，R(A)=2,则基础解系中含有3个解向量.9 .设4,不 是对称阵A

12、的两个不同的特征值，“，人 是对应的特征向量，则 “，万/0.1 0设2阶实对称矩阵A的两个特征值分别为-2,-3,则矩阵A为 负定 定矩阵,A=6；多项式 f(x)=x2-x-l,则|/(A)|=55.二、选 择 题(共14分每空2分)得分1 .设元线性方程组A M =B ,S.R(A)=R(A,b)=n,则该方程组(B )A.无解 B.有唯一解 C.有无穷多解 D.不确定2 .设元线性方程组且A(A)=“1,则该方程组的解由(A )个向量构成.A.有无穷多个 B.1 C .n-k D .不确定3.设 为 阶 方 阵，满足等式4?=。，则 必 有(B ).A.A =O 或 6 =0 B.=0

13、 或忸|=0 C .A +B O D .|A|+04.设A W。,8 H。为阶方阵，满足等式A 6 =。，则 必 有(I).A.R(A)=0 B.R(B)=0 C.R(A)+R(8)=nD.R(A)+R(B)n5.设P为正交矩阵，则P的 列 向 量(C )A.可能不正交 B.有非单位向量 C.组成单位正交向量组 C.必含零向量6.”阶方阵A的行列式同=0,则A的列向量(A )A.线性相关 B.线性无关 C.R(A)=0 D.R(A)k O7 .阶方阵A的行列式|4卜0是矩阵A可 逆 的(C )A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件三、计 算 题(共6分)得分|向量=(1,2,2

14、)/=(2,1,2),/=(2,2,-1),用：=(0,3,0),/V=Q 3,3)请把向量组夕1，区 表示成向量组外,av 4的线性组合.解q-2(%,av%,%,/?,2-12 2-2 0 0、1 0 0 2 4、2 1 10 1 0-1 14-1 0 1；、0 0 1 2 1,由此可知0、-2%-%+2%J32=4%+%+%2四、计 算 题（共6分）得分非齐次线性方程组A X j-九2 -%3 =一七+疝2 -3 =一几当几取何值时（1）无解；（2）有唯一解；（3）有_ _%2 +=丸-无穷解，并相应的通解.解方程组的系数矩阵4=2-1-12-1-T-1的行列式图=(X 2)(/1+1)

15、22,(1)(2)当4 H-11.2 H 2时，方程有唯一解;当2=2时，方程组无解；rv(3)当九=一1时，增广矩阵6 1 10 00 01 -ro o0 0,可得方程组有无穷多解1、1通解为X=J 1 +c2 0(0)+-1、0、0，2五、计 算 题(共8分)得分试求一个正交的相似变换矩阵，把矩阵A1000210、化为对角矩阵2J解 解特征方程|A-洱=0,得特征值4=4=1，4=33rrC；+C；H 0解方程(A 4)X=0,得相应的特征向量Xolx,I-解方程(A 4)x =。,得相应的特征向量X2x7o3ooo1loozr,正交相似变换P A P =o_LfIO11V21oo2008

16、-2 0 0 9学年第一学期C卷一、填 空 题(共6 0分每空3分)|得分|31.行列式：222 23 2=28 ,它的第2行第3列元素1的代数余子式43=-22 32.若A,B 为3阶方阵，且 间=2,同=2,则卜2川=-16|(A-B)1=4,.=1/2.3.设A0,00110、12,0,00200、02,则A B1 0 0、0 2 20 2 4,*10002-10-1174.设4是3阶方阵，间=3,则:aw +a12Al2+。13Al331121+%2422+/3 A2 305.向量a =(l,0,D与向量夕=(1,1,0),贝ij：。与/的夹角=|,6.向量 =(1,2,3)a；=(3

17、,2,1),a；=(1,1,1),则向量组四,a2,。3 的秩等于 2该 组 向 量 线 性 相 关.(k7.设A1、00、02,B龙2，则11000,X当力工 0时，线性方程组AX=B有唯,解;当4=2时，线性方程组AX=8的解X =(1,-1,0)8 .设A 1=0,A是3 x 4阶矩阵，基础解系中含有1个解向量，则R(A)=二9 .设4,不 是对称阵A的两个不同的特征值，瓦 是对应的特征向量，则 他，瓦 0.10.设3阶实对称矩阵A的三个特征值分别为1,2,3,则矩阵A为 正 定矩阵.A的行列式|川=立 111.二次型f(X，%2，3)=*+X；+X；+2尤2%3所对应的矩阵为A =00

18、0、1011,该矩阵的最大特征值是 2，该特征值对应的特征向量是c0 1,C H 0.7二、选 择 题(共20分每空2分)得分|1.设 元 线 性 方 程 组=B ,且 砥A,B)=+1,则该方程组(B)A.有唯一解B.有无穷多解 C.无解 D.不确定2.设元线性方程组41=。，且R(A)=女，则该方程组的基础解系由(C )个向量构成.A.有无穷多个 B.有唯一个 C.n-k D.不确定3.设矩阵A8,。为”阶方阵，满足等式A B =C,则下列错误的论述是(B ).A.矩阵。的行向量由矩阵A的行向量线性表示；B.矩阵。的列向量由矩阵A的列向量线性表示；C.尺耳=|。|；D.矩阵。的行向量山矩阵

19、6的行向量线性表示.4.设 矩 阵A,8,。为阶方阵，满足等式A B =C,则下列关于矩阵秩的论述正确的是(D).A.H(A)H(C)B.R(8)/?(C)5.设P为正交矩阵，则P的列向量(C )A.可能不正交 B.有非单位向量 C.组成单位正交向量组 C.必含零向量6.阶方阵A,B的乘积的行列式|4叫=5,则A的列向量(B)A.方阵A的列向量线性相关 B.方阵4的列向量线性无关C.R(A)=5 D.R(A)2+2乃*3=%即有可逆线性变换 匹）（-1-2、x2=0 1 2X3）I。必、乃。3,2把二次型/(x,x2,x3)=x；+2x；-2x j +2X1%2-423化为标准形/（占,%2，）=%2 +4-64r附:试 卷 命 题 计 划课程名称线性代数考试时间课程性质必修考试班级本科理工、经管类各班级考试方式闭卷题号题型所占比例(%)与出题说明出题人1填空7 5%考察向量、矩阵、方阵的行列式、线性方程组的解法与矩阵的关系等等基本概念李绍明，刘群锋2计算题5%考察用矩阵李绍明、刘群锋3计算题6%李绍明，刘群锋4计算题6%求解简单线性方程组李绍明，刘群锋5限选题8%矩阵的特征值与特征向量、二次型的标准型等李绍明，刘群锋