线性代数课后习题答案1.pdf

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1、第 一 章 行 列 式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 0 1(1)1 -4 -1；-18 32 0 1解 1 一4 1-18 3=2 x(-4)x3+0 x(-l)x(-l)+l xl x8-O xl x3-2 x(-l)x8-l x(-4)x(-l)=一2 4+8+1 6-4=一4.cQbpc8ccQbbc匕解c1cc2Ibf e21a2=bc2+ca 2+ab2-a c2-ba 2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a).x y x+y(4)y x+y%.%+y x yx y%+y解 y%+y xx+y x y=%(x+y)y+yx(%+y)+(%+y)yx-y3_a+y)3 f

2、3=3xy(x+y)-y3-3x2 y-x-yi-x=-2(A：3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1)1 2 3 4;解 逆 序 数 为 0(2)4 1 3 2;解 逆序数为4:41,43,42,32.(3)3 4 2 1;解逆序数为 5:3 2,3 1,42,4 1,2 1.(4)2 4 1 3;解 逆 序 数 为 3:2 1,41,43.(5)13-(2n-l)24-(2n);解 逆 序 数 为 若 立：3 2(1 个)5 2,5 4(2 个)7 2,7 4,7 6(3 个)(2n-l)2,(2n-l)4,(2 一 1)6,(2 一 1)(2 一 2)(一

3、 1 个)(6)1 3 (2H-1)(2n)(2n-2)-2.解逆序数为(-1):3 2(1 个)5 2,5 4(2 个)(2H-1)2,(2n-l)4,(2n-l)6,(2n-l)(2w-2)(w-1 个)4 2(1 个)6 2,6 4(2 个)(2)2,(2)4,(2场)6,(2n)(2n-2)(-1 个)3.写出四阶行列式中含有因子。1 1。23 的项.解 含 因 子 即423 的项的一般形式为(一 1)。11423a3/4s,其 中 rs 是 2 和 4 构成的排列，这种排列共有两个，即 24和 42.所以含因子 011123 的项分别是(l)a 11。23。32。44=(-1)a 1

4、 1 G23432a44=-411。23。32。44,(1)a 1 1。23434a42=(-1)Cl 。23 34 42=1 23 34424.计算下列各行列式:3X4+04121-T2341110=0472To2021420720211111411100解-23041100=oO-24I11-11901790117Q1-2q+O-24I1X-IX42072021111141100T234110-1112242361172o23150200423411-oz-112312T020242361T2o2315Q-11J2242361T2o2315解o=02004230112o2310-efeef

5、ad-a-c川解=adfbce=4abcdef.ooldo1CT1bTo47007OOIJc-1 b-100100TooldO1CTToQ-loo解篙-1QoCT=(1)(1 产oC s+dCzT+ab a ad=-1 c l+cd0-1 0=(1)(1)3+211：0 ,d abcd+ab+cd+ad+.5.证明：a2 ah h2(1)2a a+b 2b=(a b)3;证明Q2 ah h2 c2-ci cr ab-(r b2 a22a a+b 2/?la b a 2b 2a1 1 1|c3-C)|l 0 0=（一1产ab-a1 b-crb-a 2b-2a=(b a)(b a)：号=(a-b)

6、3.ax+byay+bzaz+bxay+bzaz+bxax+byaz+bxax+byay+bzx=(cv+bi)yzy zz%;%y证明ax+by ay+bz az+bxay+bz az+bx ax+byaz+bx ax+by ay+bz%ay+bz az+bxy ay+bz az+bx=ay az+bx ax+by+bz az+bx ax+byz ax+by ay+hzx ax+by ay+bzx ay+hz=a2 y az+bxz ax+byzx+b2yzyXz az+bxx ax+byy ay+bzx=a3 yzy z yz x+b3 zx y xz x%yy zX二yzy z x yz

7、 x+b3 y zx y z xzXyx y z=(a3+b3)y z%z%ya2 3+1)2 (a+2)2 3+3)2。+1)2 s+2)2 g+3)23 屋2 (c+l)2 (c+2)2 (c+3)2 2 (d+l)2 (d+2)2 (3)2证明a2(a+l)2 (a+2)2 3+3)2Z?2 (/?+l)2 (/?+2)2 (3)2 4 0 AC2(C +1)2 (C +2)2 (C +3)2 C 3,C 3 C 2,C 2 Q 得)2 3+1)2 3+2)2 3+3)2a1 2a+l 2a+3 2a+5b 2/7+1 抄+3 +5c2 2 c+l 2 c+3 2 c+5d2 2d+2d

8、+3 2d+5(C 4-C 3,C 3-C 2 得)2222RRa 1、弋 bir1rte i一2222IIOl lab)(ac)(ad)(BIC)(bd)(cd)(a+B+c+s;ws二二abedR=2%414、4L4。II。1blabjba)0=2(521、)cladlac(clq)d(dl3%(c21a2)d2(d21a2)u(Bla)(cla)(dla)bedb2(B+a)C2(c+a)d2(d+a)111H(ba)(cia)(daoclbdb0c(cb)(c+b+a)d(dB)(d+B+a)乂ba)(ca)(da)(cb)(dc(c+b+a)d(dA+a)H(alb)(alc)6ld

9、)(blc)(bld)(cld)(a+b+c+d).ga o ：o xR O：X Lf o-oS x；o ox+L :OOw ,证明用数学归纳法证明.当 H=2 时，D2=%-1出 X +Q=x2+ax+a2,命题成立.假设对于（-1）阶行列式命题成立，即Dn-=X，1 1+Q 2+.+Q 21+。一 1,则 2按第一列展开，有因此，对于阶行列式命题成立.10 00。广 叫T+4（-1严X 1 0011 X 1n.n.n .=xD n-i+an=x+aX+6.设阶行列式。=det（他），把。上下翻转、或逆时针旋转90。、或依副对角线翻转，依次得4 =.ain，2=%”annaan，0 3 =a

10、nnanau5n(n-)证明。尸。2=（一 1）.D,D3=D.证明 因为O=det（的），所以D=（一 1 尸a an=(-l)+2+(-2)+(-1)n(n-)D=(1)F D .同理可证n(n-l)2=(T)ka an（一 ）(一1)=(一1尸。7=(-1尸 D.n(n-)nn-V)n(n-)。3 =(-1)2=(-1)丁 (一1)丁。=(-1)2。=。.7.计算下列各行列式（&为攵阶行列式）：a 1（DB=.,其中对角线上元素都是a,未写出的元素1 a都是0；解（按第n 行展开）040-00Q oo-o1004ooooooooooooQon+ooQloo4 ooooa+(_ 1产40

11、0 0a 0(一 1)x(-1)a(n-l)x(zi-l)a+an=an-an2=an2(c-1).a(w-2)(n-2)X(2)4 =faC L C Lxaax,得解9Goo二,oGo一o X-4-030X XXX-D-n=再将各列都加到第一列上，得x+(n-I)aa a x-a 0 0 x-aoaoDn =解 根据第6题结果，有00 0 0 x-aa+尸an 伍 1)aT 3-l)T(a-ri)n(a-ri)nxa a-1 1 a-n 1=x+(nl)a(x a)n.此行列式为范德蒙德行列式.11 1m+i)aci 1 a-n%=(T)2 a3-1严(a-n)nan3 1)”(a-n)n2

12、+I=（T）H 口 3 ，+1）3 7+1）n+li j=（-i尸 n）n+l /J 1如+1）+（-1）+1 _ _ _=（-尸-.（-1）2一 n（DW+l /J 1=K a-。+1 /;1b“（4）%=a b、j 4b解D2=/（按第1行展开）*dn-00 0 dn0Cln-bn-于是而+（T产叫aC bidd n-0再按最后一行展开得递推公式D2=a温nD2n-2 。金。2-2,即，?金）。2-2.与=n（M-皿）。2 2=i=2q h1q 4=a，i 一 姐,所以。2 =口(4 一%)/=1(5)D=detQ),其中 ai-jV,解 atj=i-j,，尸det(%)=0123.012

13、-211O11.32101234.-.“r-riG 一 弓n n-2 n-3 n-4-1111-1-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n-n-2 H-3 H-4 011110oooo000-2-OO-22-)222.n-1 2n-3 2H-4 2n-5 n-=(DT(T)2-2.1+q 1 1(6)Dn=1 1 +W 1，其中幻色a M.1 1 1 +4”解D“=1+q11 1l+a2 111 l+an0 0a2 0a3 a30 00 00 0 10 0 10 0 1-%1-an+an100 1 1 00-110000000 0 ax0 0 魅i0 0 a：-1 1以0 1 1+。/

14、1 00 00备101 0 00al001 00000 01an-000 001 +&7i=l=（4%）（1+一）-/=iai8.用克莱姆法则解下列方程组:X+X2+X3+X4=5%+2%2-毛+4%4=-2.2%3X2 玉5%=-2 3X1+X2+2X3+11X4=0解 因 为/-114-11111,-2-2-2O1232D3%-一一aD西1+5114-1JI14-5U-1-1t2112-11i15114-15-2-2O12-31d2n211%玉以所=1=05 1 +6%+5X2+6X3X2+5X3+6X4=0.X3+5X4+6X5=0X4+5X5=1(2)为因解566=0006500651

15、065106510051000=000650065106510c)clI)1151000=1 5 0 7,D2=000650065106510651001Xc)112-00065c()c-IlcJ)0651065100510000006500651111165100510002=212,C(H)/00651065106510051000A=所以/LX,+X2+X3=O1 5 0 71 1 4 57 0 3-3 9 52 1 26 6 5 *26 6 5，天 一6 6 5%6 6 5，/6 6 59.问4 取何值时，齐次线性方程组3+欣+%3=。有非x1+2/zr2+x3=0零解?解 系 数 行 列 式 为2 1 1D=1 /z 1 =一.1 2 1令D=0,得-0或A=l.于是，当 0或 加1时该齐次线性方程组有非零解./(1 _ 4)尤 _ 2x?+4马=01 0.问2取何值时，齐次线性方程组2%+(3-团%2+%3=。玉 +9 +(1 -=0有非零解？解 系 数 行 列 式 为D=1 22 3-21 1411-21 4 3+/i=2 1-21 0411-2=(l-2)3+(/l-3)-4(l-/l)-2(l-/l)(-3-/l)=(l-2)3+2(l-/l)2+/l-3.令D=0,得/l=0,A=2 或 4=3.于是，当4=0,&2或4=3时，该齐次线性方程组有非零解.