线性代数课后习题答案05.pdf

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1、第五章相似矩阵及二次型1.试用施密特法把下列向量组正交化:(1 n(1),。2，。3)=1 2 4;(1 3 9)解根据施密特正交化方法,b、=a、=b=a 一 瓦4)_2一 2瓦如4 一r-n0 ,1 1/(n3 3瓦4产 心 也 冲,i 2 3 2 U(2)(%,电,。3)=(1 1 -A0 -1 1-1 0 1I 1 1 oj解根据施密特正交化方法,1321-/I1一=3仇2/41J4499也也=2(TJ32Q力992L2133一72.下列矩阵是不是正交阵:1(1)_121I 31 n2 3i 1解此矩阵的第一个行向量非单位向量，故不是正交阵.8-91-94-9-_1-98-94-92)

2、解 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵3.设x为维列向量,，x=l,令 H=E-2 xx,证明”是对称的正交阵证 明 因 为Hr=(E-2 xxT)=E-2(xxy=E-2(xxr)T=E 2(x7)7x7=E 2 xx T,所以是对称矩阵.因为HTH=HH=(E-2XXT)(E-2XXT)=E-2XXT-2XXT+(2XXT)(2XXT)=E-4xxl+4x(xx)xl=E-4XXT+4XXT=E,所以“是正交矩阵.4.设A与B都是阶正交阵，证明A3也是正交阵.证明 因为A,B是 阶正交阵，故AW,B-=BT,A B)r(A B)=BrArA B=B-xxA B=E,故A

3、3也是正交阵.5.求下列矩阵的特征值和特征向量:2-1 2、(1)5-3 31-1 0-22 A|A 阳二 5 1解-1 2 3 4 3=(4+1)3,0 2 4故A 的特征值为心-1(三重).对于特征值加-1,由3-1 2)A+E=5-2 3一 1 0-1；11/(O、711O11OoO得方程(A+)x=O的基础解系0=(1,1,-1),向量P l就是对应于特征值-1 的特征值向量.fl 2 3、2 1 3;(3 3 6)1-A 2 3解|A-阳=2 1-A 3=-2(2+l)(A-9),3 3 6-Aloo一、;336213123zrA=故A 的特征值为为=02=-1,4=9.对于特征值4

4、=0,由311 ,0J得方程4x=0的基础解系夕产(-1,-1,1)1 向量P i是对应于特征值为=0的特征值向量.对于特征值4=-1,由(2A+E=213得方程(A+)x=0的基础解系P 2=(-1,1,0)1向量n就是对应于特征值200r2oown33722311oA2=-I的特征值向量.对于特征值4=9,由A-9 E =28382311-201111loorz2=(0,1,-1,0匕向量”和P 2是对应于特征值为=4=-1的线性无关特征值向量.对于特征值丸3=4=1,由0-1100 1-10A-E=,1 0 00 1-100 0 0 0、0 0 0 0)得方程(A )x=0 的基础解系

5、P 3=(l,0,0,1)7,P 4=(O,1,1,0)7,向量P 3 和P 4是对应于特征值4=几=1的线性无关特征值向量.6.设A为”阶矩阵，证 明 与A的特征值相同.证 明 因 为H7-花|=|(A-花)1=H-在 二H-在所以4与A的特征多项式相同，从而“与A的特征值相同.7.设阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)%证明A与3有公共的特征值，有公共的特征向量.证明 设 R(A)=r,R(B)=t,则 r+t，故即做，an-r,bi,b2,，瓦 i 必线性相关.于是有不全为0的数相相,。邑 使左 1。|+左2 a2+k“_,a“_r+/ibi+/2 b2+/-厂=0.记 产 上 1。1+:

6、2。2+院_ 1aH一 产 一(1也 i+l2 b2+1+/-力 n-r),则3,k2,k i不 全 为0,否则Zi,h,41T不全为0,而lb 1+/2岳_1-力”-尸0,与白，岳，瓦T 线性无关相矛盾.因此，产0,渥A的也是B的关于/M)的特征向量，所以A与B有公共的特征值，有公共的特征向量.8.设 K 3A+2E=。，证明A 的特征值只能取1 或 2.证明 设%是A 的任意一个特征值,x 是A 的对应于2的特征向量，则(42-34+2)%=公一3&+2%=(矛-32+2比=0.因为x M,所以才一32+2=0,即4是方程 34+2=0的根，也就是说加1 或/1=2.9.设 A 为正交阵，

7、且|*二-1,证 明*-1 是 A 的特征值.证明 因为A 为正交矩阵，所以A 的特征值为-1 或 1.因为囿等于所有特征值之积，又囿=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即亚-1 是 A 的特征值.10.设加0 是 机 阶 矩 阵 的 特 征 值，证明2也 是 阶 矩 阵 比 1的特征值.证明 设%是 4 B 的对应于小0 的特征向量，则有(A B)x=A x,于是 B(A B)x=B(A x),或 BA(B x)=M Bx),从而4是B A的特征值，且&是 的 对 应 于 2的特征向量.11.已知3 阶矩阵A 的特征值为1,2,3,求-5屋+74|.解 令/为二万_5/12+74贝侬1)=3

8、,或2)=2,a 3)=3是4 A)的特征值,故|A3-5A2+7A|=|a4)|=.1 4 2 4 3)=3x2x3=l 8.12.已知3 阶矩阵A 的特征值为1,2,-3,求|A*+3A+2E|.解 因为囿=1x2x(-3)=-6M,所以A 可逆，故A*=A A=-6A,A*+3A+2 =-67 T+3A+2 令久冷=-6”+3/1 2+2,则低1)=-1,/2)=5,a-3)=-5是在4)的特征值,|A*+3A+2 E|=|-6A-1+3A+2 E|=|A)|=奴1)奴 2)奴-3)=-l x 5x(-5)=2 5.1 3.设 A、6 都是阶矩阵，且 A可逆，证明A8与氏4 相证 明 取

9、 尸=A,则PlA BP=A xA BA=BA,即AB与B A相似.(2 o 口1 4.设矩阵A=3 1 x可相似对角化，求 工.(4 0 5；解 由2-A 0 1|4一 犯=3 1-/1 x =-(4-1)2(),40 5-/1得 A的特征值为4=6,丸 2=禽=1.因为A可相似对角化，所以对于2 2=4=1,齐次线性方程组(A-E)x=0有两个线性无关的解，因此R(A-E)=L 由(1 0 1、(A-E)=3 0 x4 0 41 0 10 0 X-3知当户3 时 R(A-)=1,即=3为所求.2-121 5.已知p=(l,1,-1)7 是矩阵A=5 a 3的一个特征向量.(1)求参数a,b

10、及特征向量0所对应的特征值;解 设4是特征向量。所对应的特征值，则(2-4(A-AE)p=O,即 5I 1-1 2 丫 1 )62 A 3 1h-2-A -lJ0解之得心-1,a=-3,h=0.(2)问A能不能相似对角化？并说明理由.解 由2 4 1 2|4 花|=5-3-A 3-3,1 0 2几得A的特征值为4=4=/l3=L由(12)/A-E=5I 1 1-2b0 1)1 -10 o j3 0T 八知R(A E)=2,所以齐次线性方程组(A-)x=0的基础解系只有一个解向量.因此A不能相似对角化.1 6.试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称阵化为对角阵:(2-2 0(1)-2 1-2;1

11、 0-2 0 J解将所给矩阵记为A.由2 A 2 0A-AE=-2 1-A-2=(l-A)(2-4)(A+2),0-2 -A得矩阵A的特征值为4=-2,小=1,加4.对于九=2,解方程(A+2)x=0,即 4-2 0丫玉、2 3 2 4 0,10-2 2人中得特征向量(1,2,2)7，单位化得小=(岩,对于4=1,解方程(A x=0,即-2O-2O12-zfO得特征向量(2,单位化得P 2 吗，步对于4=4,解方程(A 4 x=0,即得特征向量(2,-2,1)丁，单位化得3=库-割 尸 于是有正交阵 P=(P i,P 2,P 3),使尸AP=d i a g(-2,1,4).(2 2 2、(2)

12、2 5-4.1-2 -4 5 J解将所给矩阵记为人由2 4 2 2l A-AE k 2 5-2 -4 =_(%_ 1)2(4 1 0),2 4 5 A得矩阵A 的特征值为4=4=1,丸 3=1 0.对于4=4=1,解方程(4 E)x=0,即12AI 7马T44V-244OAOc?得线性无关特征向量(-2,I,。),和(2,0,1),将它们正交化、单位化得必二表(一2,1,0)，,02=(2,4,5)/对于几3=1 0,解方程(A-1 0E)x=0,即00。一一HH7国当不/245_254二822/I得特征向量(-1,-2,2)。单位化得P 3=；(-1,-2,2)T.于是有正交阵 P=(Pi,

13、p2,P3),使 P-AP=diag(l,1,10).一4)(5(1-2、17.设矩阵A=-2 x、4 2-2与 人=-4 相似，求x,y;并求一个y)1 J正交阵P,使P%P=A.解 已知相似矩阵有相同的特征值，显然心5,心-4,亚丁是A的特征值，故它们也是A的特征值.因为&-4是A的特征值，所以5-2-4|A+4E=-2 x+4-2=9(%-4)=0,-4-2 5 1解之得4 4.已知相似矩阵的行列式相同，因为|昨42一-1242_-245=100,廿-4=一20丁,所以一20尸一100,尸5.对于在5,解方程(A-5)x=0,得两个线性无关的特征向量(1,0,-阴(1,-2,0/.将它们

14、正交化、单位化得P1=*(L-4,1)7.对于心 4,解方程(A+4)x=0,得特征向量(2,1,21，单位化得P3 号(2,1,f 1V2于是有正交矩阵尸=01V 22313231 3724-3721372 ),使 p T AP=A.1 8 .设3阶方阵A的特征值为4=2,y-2,后=1;对应的特征向量依次为 P i=(0,1,1)T,P 2=(1,1,P 3=(1,1,0)7,求 A解 令 P=(Pi,P2,P3),则 P l P=d i a g(2,-2,1)=A,A=PK P因为ro i I Y1p-=1 1 1f-1 1 01 -1 1I 1 -v所以f o 1 1A=P X Px=

15、1 1 1U 1 0O-2O200To 11/MVo1V3543321 9 .设3阶对称阵A的特征值为4=1,A2=-l,4=0;对应为、4的特征向量依次为 P i=(l,2,2)p 2=(2,1,-2)求人 x2 毛、解 设4=.不，贝IAp i=2,4;2=2 02,即f x1+2 x2+2 x3=l X2+2X4+2X5=2,-X3+2X5+2X6=22 x)+/2%3=22 1 2+4 4 2%=-L-(2)2X3+X5-2X6=2再由特征值的性质，有羽+必+招=4+=。.-(3)由解得2-3220O112TO2-1-3A=a一一招此令因2 0.设 3 阶对称矩阵A 的特征值九=6,=

16、3,几 3=3,与特征值为=6 对应的特征向量为小=(1,1,1)1 求4 芯x2忍、解 设 A=马 及85 因为九=6 对应的特征向量为。1=(1,1,1)所以有%+%2+%3=6,E p s x2+x4+x5=6-.毛+毛+%6=64 2=4 3=3是 A的二重特征值，根据实对称矩阵的性质定理知R(A-3E)=1.利用可推出因为R(A-3E)=1,所 以 应 二 九4-3=x5 且冷=%5=%6-3,解之得工2三孙=%5=1,%1三孙=%6=4.4 1 -因此 A=1 4 1 .U 1 4 j2 1.设 a=a,4 2,.:“，Q i。,A=aaT.证明/M)是A 的n-重特征值；证明 设

17、2 是A 的任意一个特征值,x 是A 的对应于2 的特征向量，则有A x=A x,x=A 2x=aa Taa Tx=a TaA x=A a Tax,于是可得=加%,从而心0或石丘设 加 卷 ,是A的所有特征值，因 为 的 主 对 角 线 性 上 的 元素 为 素，,所以ci-u,2 +a/。=为+小+,+4“这说明在办，省,川中有且只有一个等于而其余八-1个全为0,即心0是A的-1重特征值.(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量.解 设为=74,力2=一=%=0.因为A a=aaTa=(aTa)a=/ha,所以p=a是对应于九N的特征向量.对于用=.=4=0,解方程A x=0,即aaT

18、x=0.因为a M,所以aTx=0,即。1%+“2%2+,+anx=0,其线性无关解为P 2=(一。2,4 1,0,.：,0)1P 3=(-。3,0,0)1p=(-at),0,0,.：-,2i)r.因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为一%：z、4 0(P/2,)=2 1 0 q/4 2、2 2,设4=0-3 4,求 A10.l0 4 3；解 由A=-(2-l)(2-5)(2+5),243-A4-43A-oo1A|A 花|=得A的特征值为/I尸1,4=5,力3=-5.对于为=1,解方程(A-E)x=0,得特征向量”=(1,0,O f对于九=5,解方程(A-5 E)x=0,得特征向量P 2=(2,

19、l,2 f对于为=5,解方程(A+5 )x=0,得特征向量P 3=(l,2,1)7.令 P=(P 1，P 2，P 3),贝IP-1AP=d i a g(l,5,-5)=A,A=PAP了。=尸 人1 0 尸-1因为A1 00=d i a g(l,51 00,51 00),f lPx=001-21015-270 5、2 ,1 J所以i p川0-o5 1 0(2 11 -22 1151 0051 0001-2二050 10 5IOO-A；I O O o0 51 005 5、22 3.在某国，每年有比例为。的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村，假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不

20、变.把年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为工 和(1)求关系式玉+i二A%”%中的矩阵A;解 由 题 意 知xn+i=xn+qyn-pxn=(-PA)P-|=P(A1O-6A9+5A8)P-1=P A8(A-E)(A-5 E)P-1=P d i a g(l,1,58)d i a g(-2,0,4)d i a g(-6,-4,O)P-=P d i a g(12,0,0尸16-V 3 V 2 Y 1 2V 3 V 2 009(1 1-2 1=2 1 1-21-2 -2 4 J2 5.用矩阵记号表示下列二次型:(1)/=f+4 xy+4 y 2+2 xz+z、4 yz；f l 2 1丫6解

21、f=(x,y,z)2 4 2 y.U 2 1J U J(2)f=jC+y1-rlz-2 xy-A xz-yz,(1-1 一2丫.解 f=(x,y,z)-1 1-2y.2 -2 -7人zj(3)六 汨 +必 +工3+犬4 2 x|X 2+4X 1 X32修/4+6工2工34工2工4.解 了=(%,%2，%3，工4)f 1-1 2-1 1 3-22 3 1 0 x2(一1-2 0 1AX472 6.写出下列二次型的矩阵：(1)/(*)=%：卜；解二次型的矩阵为(2)/(x)=x.369258147解 二 次 型 的 矩 阵 为4=3692581472 7.求一个正交变换将下列二次型化成标准形:(1

22、)j2x j+3 2+33+4X2-3；(2 0 0、解 二次型的矩阵为人=0 3 2.由(0 2 3)2 2|A-AE|=O00 03-A 2=(2-A)(5-A)(l-A),2 3-A得A的特征值为4=2,4=5,为=1.当为=2时，解方程(A-2)x=0,由fo 0 0、A-2E=0 1 2(0 2 1J,使/=2 y i2+5 y22+y32.(2)/=%2+%22+32+%42+2 1 2-2 1%4-2%2 3+2%3 4.1 1 0 -P解二次型矩阵为A=:?.由U 1 1 11-1 0 1 1J1-/L 1 0-1花上 Q Cfi=(A+1)(A-3)(A-1)2,-1 0 1

23、 1-A得A的特征值为4=-1,4=3,4=4=1.当办=-1时,可得单位特征向量P1=(；,!-另)7.当4=3时，可得单位特征向量P 2=(另,当4 3=九=1时，可得线性无关的单位特征向量科 二+，忐 入 二(0,击，0,古力于是有正交矩阵T=(p l,P 2,P 3,P 4)和正交变换x=7,使f=-y i2+3y22+y32+y42.2 8.求一个正交变换把二次曲面的方程3x2+5y2+5z2+4xy-4xz 10yz=1化成标准方程.3 2 一 2、解二次型的矩阵为4=2 5-5.1-2-5 5)3 A 2 2由|4-花 卜2 5 4-5=-A(2-2)(A-ll),得A的特征值为

24、4=2,2 5 5 4A，2=11,力3=0,.对于4=2,解方程(A-2)x=0,得特征向量(4,-1,1)丁，单位化得对于4=11,解方程(4-11比=0,得特征向量(1,2,-2)1单位化得。2=(；，|，-|).对于几3=0,解 方 程Ax=o,得 特 征 向 量(0,1,1)7,单位化得于是有正交矩阵尸=(P i,p2,3),使尸一1P=d i a g(2,11,0),从而有正交变换ln7WVW01rv 2 J1-32-32-3使原二次方程变为标准方程2u2+Uv2=l.2 9.明：二次型户，A x在想|=1时的最大值为矩阵A的最大特征值.证 明A为实对称矩阵，则有一正交矩阵。使得7

25、 X厂i=d i a g(4,4,，4 J=A成立，其中为，省 ,4为A的特征值，不妨设为最大.作正交变换尸值，EP x=Try,注意到L=,有fi=xTAx=yTTATTy=yTXy=Ay2+A2y22+.因为产n：正交变换，所以当想1=1时，有|y|=lkll=l,即 yi2+y22+y2=l.因此4 2 y 2?+,又当力=1,乃=乃=%=。时/=为，所以/m a x=4.3 0.用配方法化下列二次形成规范形，并写出所用变换的矩阵(1)f(X,X2,1 +3.X22+5X32+2X%2 4%3；X2,X3)X +3 2 2+5 3 +2%1X2-4为%3=(%1+%2-2%3)2+4%2

26、 3+2%22+32=(为+x2-2%3)-2%2 2+(2%2+8 3)2.yi=xi+x2-2x3%=历2y3=2x2+x3令5 口百 二y一.2+2%即 2%3=-%+%二次型化为规范形222户y-乃+乃，所用的变换矩阵为fl 1 -AC=0 1 0.l o-i 1J(3)/(X i,%2,-3)=2X +2 2+4 X 3 2+2X|%22%2-3 1解%2,%3)=2/+工 2+4%3+2%1%2 2%213 2(%+g%2)2+；芯+4%；2%2天=2 a +巧 2天)2 +2%；.乙 乙令111忑 力 一/3%2=回2 +*%1y=0（X+；2）%=2七）,即，%二3 七二次型化

27、为规范形户“+”2+乃2,所用的变换矩阵为1 -1-A0 2 2.0 0 1 J3 1.设，仁X)2+X 2 +5 X 3 2+2 l J C 1 2 2%1 1 3+4尤2%3为正定二次型，求。.解二次型的矩阵为人=(1 a-1a 1 2,其主子式为1-1 2 5)11 C L 111=1,0；=1一。2,a 1 2=-。(5。+4).因为f 为正主二次型，所 以 必 有 I-d 。且_q（5q+4）0,解之得4-0.3 2.判别下列二次型的正定性：(1)/=-2xi 2-6%22-4%32+2%1%2+2%1%3；f-2 1 1 1解二次型的矩阵为4=1 -6 0.因为I 1 0-4；an=-2 0,|A-380,所以/为正定.33.证明对称阵A 为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵。，使A=UTU,即A 与单位阵E 合同.证明 因为对称阵A 为正定的，所以存在正交矩阵P 使尸 幺 尸=diag（九，爸 ，4）=A,即A=PAPT,其中九，爸 ，%均为正数.令 A=diag（b，仇,，口），贝！JA=AIA1,4=PAIA|T尸.再令。=A7尸 贝I 。可逆，A=UTU.