2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第16讲 动点产生的面积问题(含详解).pdf

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1、第16讲动点产生的面积问题运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的儿何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系.解题的关键是分清几何元素运动的方向和捷径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些不是变量，通常要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、方程和函数等知识，本节课的内容涉及三角形、特殊的四边形的面积问题.模块一：面积计算的问题知识精讲本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形进行求解.例题解析例 1.(2 0 1 8 上海八年级期中)一次函数y =+m的图像

2、经过点尸(-2,3),且与x轴、轴分别交于点A、8,求 A Q B 的面积.例 2.(2 0 2 0 上海市静安区实验中学八年级期中)一次函数y =(m-2)廿 匕 付 的 图 像随x增大而减小，且经过点4 1,6).求(1)mn的值；(2)求该直线与坐标轴围成的三角形的面积及坐标原点到直线的距离.例3.（2 0 1 9 上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）在直角坐标平面内，。为原点，点A的坐标为（1,。），点。的坐标为（。,4）,直线。/x轴.点5与点A关于原点对称，直线y =x +6（为常数）经过点3,且与直线CM相交于点。.（1）求力的值和点。的坐标；（2）在x轴上有一点。，使的 面 积

3、 为8,求。点的坐标；（3）在x轴的正半轴上是否存在一点P,使得A P O。为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.例 4.(2 0 2 0 上海市位育实验学校八年级月考)如图，直线八的解析式为V =-3 x +3,且八与x 轴交于点D,直线/2 经过点A,B,两条直线交于点C,在直线上存在一点P，使得4 A D P 的面积是4 A D C 面积的2 倍，那么点P的坐标为例 5.(2 0 2 0 上海市南汇第四中学八年级月考)如图，直线L:y =-；x +3与x轴、轴分别交于A、B两点，在 轴上有一点。(0,9),动点M 从 A点以每秒2个单位的速度(2)求V C O M

4、的面积S 与 M的移动时间f(秒)之间的函数关系式；(3)当f 何值时 C O M 丝 A O B,并求此时“点的坐标.(4)当f 何值时V C O M 的面积是AAOB一半，并求此时M点的坐标.例 6.(2 0 19 上海嘉定区 上外附中八年级月考)如图，已知一次函数y=k x+3 的图形经过点A (1,m),与 x 轴、y 轴分别相交于B、C 两点，且N A B 0=4 5 ,设点D的坐标为(3,0)(1)求 m 的值；(2)联结CD、A D,求4 A C D 的面积；(3)设点E为 x 轴上一动点，当N A D C=/E CD 时，求点E的坐标.例 7.(2 0 19 上海市市西初级中学

5、八年级期中)如图，在平面直角坐标系中，点A(-6,0),8(T,3),边 AB上有一点P(机,2),点。，。分别在边Q 4,OB上，联结C D,CD!/AB,联结 PC,P D，B C.(1)求直线A8的解析式及点P 的坐标;(2 当时，求出点。的坐标；(3)在(2)的条件下，点/?在射线BC 上，SM H O SARIiO,请直接写出点R的坐标.例 8.（2 0 2 0 上海嘉定区八年级期末）在平面直角坐标系x 0 y 中，已知一次函数4丫=一一无+匕的图像与轴、y轴分别相交于点A、B,且与两坐标轴所围成的三角形的3面积为6.（1）直接写出点A与点B的 坐 标（用含8的代数式表示）；（2）求

6、b的值;4（3）如果一次函数y =+8的图像经过第二、三、四象限，点 C 的坐标为（2,m）,其中机 0,试用含机的代数式表示 A B C 的面积.例 9.（2020 上海金山区八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=仪。0）的图像经过点A（l,g）,点 B的坐标为（2,6）.（1）求Z 的值：（2）求 。山 的面积；（3）若点C（不与点A重合）在 此 正 比 例 函 数（左。0）图像上，且点。的横坐标为a,求A A B C的面积.（用a的代数式表示）3例 10.(2 0 19 上海市西延安中学八年级期中)已知一次函数y=-x+6的图象与坐标轴交于 A、B点(如图)，A E 平分N

7、 B A O,交 x 轴于点E.(1)求点B的坐标；(2)求直线A E 的表达式；(3)过点B作 B F J _ A E,垂足为F,连接0 F,试判断O F B 的形状，并求O F B 的面积.例 11.如图，已知直线/：y=-2x+2 与 x 轴、y 轴分别交于点8、C,将直线y=x向上平移1 个单位长度得到直线用，点。是直线P A与 y 轴的交点，求四边形P3W的面积.例 12.如图，已知直线48：y=x+2 与直线 ：y=g x 交于点4与直线如：y=3x交于例 13.如图，已知直线y=x+3 的图像与x 轴、y 轴分别交于48 两点，直线/经过原点，与线段4?交于点。，把力如的面积分为

8、2：1 两部分，求直线/的解析式.例14.如图，已知，在矩形力腼中，AB=IO,於12,四边形夕浏的三个顶点反F、分别在矩形4 a边4?、B C,加 上，AE=2.(1)如 图1,当四边形3为正方形时，求67 U的面积；(2)如图2,当四边形济皿为菱形，且ma时，求(；尸C的面积.(用含。的代数式表示)例15.如图1,正方形4%力的边长为2,点/(0,1)和点在y轴正半轴上，点8、。在第一象限，一次函数y=A x+2的图像/交/久 切 分 别 于 氏F.(1)若戚与应尸的面积比为1：2,求力的值;(2)联 结 跖 当 花 平 分/物 时，求才的值.例16.如图，在平面直角坐标系中，函 数 尸2

9、 x+12的图像分别交x轴、y轴于4、6两点，过点力的直线交y轴正半轴于点北 且点材为线段如的中点.(1)求直线4 的表达式；(2)试在直线4 4/上找一点只 使 得 见.=心“的 请求出点夕的坐标；(3)若点为坐标平面内任意一点，是否存在点/,使以/、B、M、为顶点的四边形是等腰梯形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.例 17.如图1,已知直角坐标平面内点/(2,0),一是函数尸x(x 0)图像上一点，P Q L4。交 y 轴正半轴于点Q.(1)试证明：AP=P Q；(2)设点尸的横坐标为a,点 0 的纵坐标为b,那 么 6关于a 的函数关系式是(3)当 丛 的=-力,小时，

10、求点夕的坐标.3模块二：与面积相关的函数解析式知识精讲本节主要研究点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这个面积变化的几个量是怎样变化的，重点在于思维能力的培养，难度较大.例题解析例 1.如图，矩 形 力 中，/1,4分2,M是 5 的中点，点 在矩形的边上沿 A f 3 f 运动,试写出?!掰的面积y 与点夕经过的路程x 之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像.DM例2.如图，在 梯 形 中，AD/BC,AB=CAAD=5 c m,BC=1 1 a n,点、P 从点、D 出发沿DA边以每秒lc/的速度移动，点。从点6出发沿式 边以每秒2 c必的速度移动（当点尸到达

11、点4时，点尸与点。同时停止移动），假设点户移动的时间为x （秒），四边形的少的面积为y CHI）.（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四 边 形 少 的 面 积 与 四 边 形。物 的 面积相等时x的值；（3）在移动过程中，是否存在x使得加=力8若存在，求出所有的x的值；若不存在,请说明理由.例3.已知：如 图1,在线段4的同侧作正方形力及力和正方形戚G （班V 4 6）,连结 G并延 长 交 于 点M作协U/1 8,垂足为爪朗V交劭于尸.设正方形/以力的边长为1.（1）证明：X CMG乌IX NBP；（2）设班=x,四边形1侬V的面积为y,求y关于x的函数

12、解析式，并写出定义域；（3）如果按照题设方法作出的四边形滋娘是菱形，求原的长.ANB例4.己知：在梯形侬力中，AD/BC,/6=9 0 ,/8=8 C=4,点 在 边 加 上，CE=CD.(1)如 图1,当/及力为锐角时，设4?=%口!应的面积为必 求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；(2)当 加5时，求侬的面积.例5.如图1,四边形的比是矩形，点/、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点是线段比1上的动点(与端点8、C不重合)，过点作直线=-彳+?交折线。1 6于 点 2(1)当点创合为四中点时，求必的值；(2)当点6在线段的上，记 应 的 面 积 为y,求y与0的函数关系式并写

13、出定义域；(3)当点 在线段的上时，若矩形的a 1关于直线场的对称图形为四边形。4台6,试判断四边形U 4 6 G与矩形的%的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S关于0的函数关系式.例6.如图1,在正方形/皮力中，点/在 边 上(点 与点4 8不重合)，过 点 作用，DE,R 7与边8 C相交于点E与边力的延长线相交于点G.(1)当 是1 8中点时，求证力(7=班(2)当 在边4 8上移动时，观察班、AG.4 E之间具有怎样的数量关系?并证明你所得到的结论；(1)联 结 肮 如果正方形的边长为2,设4=x,%的面积为y,求y与x之间的函数解析式，

14、并写出函数的定义域.例7.如图1,梯 形/腼 中，AD/BC,ZJ9=90,4 9=1 8,8 c=2 1.点户从点/出发沿以每秒1个单位的速度向点匀速运动，点。从点C沿 以 每 秒2个单位的速度向点E 匀速 运 动.点 只。同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t秒.(1)当四=1 0时，设 小B、Q、尸四点构成的图形的面积为S,求S关 于2的函数关系式，并写出定义域：(2)设 昆 户 为4 8、缪的中点，求四边形/W是平行四边形时力的值.例8.如图1,在菱形力物中，N5=45,4 8=4.左右作平行移动的正方形瓦诩的两个顶 点 尺G始 终 在 边 回 上.当 点G到边6

15、c中点时，点6恰好在边四上.(1)如 图1,求正方形如笫的边长；(2)设点8与点厂的距离为x,在正方形乃叩作平行移动的过程中，正方形必Q/与菱形/版 重 叠 部 分 的 面 积 为 必 求y与x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)联 结 欲H C,当 是 等 腰 三 角 形 时，求郎的长.例9.如图1,在平面直角坐标系中，0为坐标原点，四 边 形。是矩形，4(0,4),0(5,0),点是y轴正半轴上一点，将四边形物比沿着过点的直线翻折，使得点0落在线段18上的点1处.过 点 作y轴的平行线与x轴交于点儿 折痕与直线EV交于点M联结DE、OM.设 OD=t,MN=s.(1)试判断四边形瓦MV的

16、形状，并证明；(2)当点在线段如上时，求s关 于，的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)用含力的代数式表示四边形加M与矩形的肥重叠部分的面积.OB v例 1 0.已知：如图 1,梯形 4%中，AD/BC,N 4=9 0 ,Z C=4 5 ,4 5=4 9=4.是直线加上一点，联 结 圾 过点 作牙工缈交直线缪于点尸.联结册（1）若 点 V 是 线 段 四 上 一 点（与点4 不重合），（如图1 所示）求证：BE=EF；没DE=x,婀 的 面 积 为 y,求 y 关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域；（2）直线 上是否存在一点E,使 戚 是/应1 面积的3 倍，若存在，直接写出必的长，若不

17、存在，请说明理由.例1 1.如图，已知正方形力腼的边长为3,菱 形 砒7/的三个顶点反G、分别在正方形的边1 8、CD、的 上，A H=,联结(1)当G=1时，求证菱形以创为正方形；(2)费,DG=x,的面积为y,写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；(3)当 及?=&6时，求/肱 的 度 数.3例1 2.已知：如图，四边形力的四个顶点坐标分别为0(0,0),1(8,0),5(4,4),C(0,4),直 线/：y=x+勿保持与四边形f l 4 8 c的边交于点M、加(M在折线4 0 C上，/在折线/6 C上).设四边形28 C在/右下方部分的面积为S,在/左上方部分的面积为$,记5=6

18、 (5 2 0).(1)求 的 大 小；(2)当 以/V重合时，求/的解析式；(3)当 后0时，线段1 6上是否存在点儿使得S=0?若存在，求加的值；若不存在，请说明理由;(4)求S与必的函数关系式.例1 3.在边长为4的正方形4 8 5中，点。是对角线4。的中点，户 是 对 角 线 上 一 动 点，过氤P作PELCD于点、F,作 砌 _ 如 交 直 线 切 于 点 色 设序=x,ScE=y.(1)求证：DAEF；(2)当点尸在线段4。上时，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；(3)点夕在运动过程中能否使笫为等腰三角形?如果能，请直接写出身的长；如果不能，请简单说明理由.随堂检测L如图

19、，直线y =-x +4与y轴交于点4,与直线y =3 x +3交于点8,且直线y =x +3 5 5 -5 5与*轴 交 于 点G求力比的面积.2.已知直线y =-x +2与x轴、y轴分别交于1点和6点，另一条直线丫 =依+优女*0)经过点。(1,0),且把力仍分成两部分.若/如被分成的两部分面积比为1：5,求A和方的值.3.直线y =-(x +6与坐标轴分别交与点4、6两点，点 只0同时从。点出发，同时到达4点，运 动 停 止.点0沿线段以运动，速度为每秒1个单位长度，点一沿0 -8 fA运动.(1)直接写出4、8两点的坐标；(2)设 点。的运动时间为f秒，质 的 面 积 为S,求出S与f之

20、间的函数关系；(3)当5 =竺 时，求出点的坐标，并直接写出以点。、P、0为顶点的平行四5边形的第四个顶点 的坐标.4.如图，已知：过点1(8,0)、B(0,8百)两点的直线与直线 =氐 交 于 点 G 平行于 y 轴的直线，从原点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到 C点时停止；/分别交线段6C、8 于点、E,以龙为边向左侧作等边废汽，设庞尸与以力重叠部分的面积为S(平方单位)，直线/的运动时间为t(秒).(1)写出点C的坐标和t 的取值范围；(2)求 s 与/的函数关系式.第16讲动点产生的面积问题运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的儿

21、何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系.解题的关键是分清几何元素运动的方向和捷径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些不是变量，通常要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、方程和函数等知识，本节课的内容涉及三角形、特殊的四边形的面积问题.模块一：面积计算的问题知识精讲本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形进行求解.例题解析例1.(2018 上海八年级期中)一次函数y=+m的图像经过点尸(-2,3),且与x轴、轴分别交于点A、3,求AO8的面积.【答案】-4【详解】先将点。坐标代入函数解析

22、式，可求出加值，再根据函数解析式求出/、6两点坐标即可求出AAO B的面积.解：将尸(2,3)代入y=-2x+m得，m=-1,/.y=-2 x-l.当 y=0 时，x=-g,点力坐标为(,0),2当冗=0时，y=-l,点夕坐标为(0,-1),/.OA=,0B=1.2S ACR ,OA-OB=x x l .-AB 2 2 2 4例 2.（2020 上海市静安区实验中学八年级期中）一次函数 =（?-2）/匕吁2+的图像随x增大而减小，且经过点A（l,6）.求（1）mn的值；（2）求该直线与坐标轴围成的三角形的面积及坐标原点到直线的距离.27【答案】（1）加=-9;（2）该宜线与坐标轴围成的三角形的

23、面积为一，坐标原点到直2线的距离为2厢.10【分析】（1）由一次函数的定义和性质列出方程和不等式求出m的值，代入A点坐标，可求出n 值；（2）山解析式可得轴截距与X轴截距，然后根据三角形面积公式求解；利用勾股定理求出直线与坐标轴围成的三角形的斜边长，然后用等积法求解.【详解】解：（1）y =（x-2）x 2，-2+”是一次函数nr 2m 2=1即（加 一 3）（，+1）=0解 得 班=3；=-1.又y随增大而减小m-2 0即机2m-一次函数解析式为：y =-3 x+代入点A（l,6）得6 =-3 +n=9mn-9（2）由（1）得：y =-3 x+9丁轴截距：b=9b 9x轴截距：一 7 =-=

24、3k-3，该直线与坐标轴围成的三角形的面积；5=-.&.-1 =-x 3 x 9 =2 k 2 2该直线与坐标轴围成的三角形的斜边长：+匕2=V 32+92=3M设坐标原点到直线的距离为/l .WS=-x 3 V 10 x/7 =2 2h=V i o10 坐标原点到直线的距离为2屈.10【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.例 3.（2019 上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）在直角坐标平面内，。为原点，点A的坐标为（1,。），点。的坐标为（。,4）,直线。/x 轴.点 5 与点A关于原点对称，直线 y =x +6 （为

25、常数）经过点3,且与直线CM 相交于点。.（1）求6的值和点。的坐标；（2）在轴上有一点。，使的面积为8,求。点的坐标；（3）在轴的正半轴上是否存在一点P,使得APOO为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)b =l,0(3,4)；(2)0(3,0)或&(-5,0).(3)存在.耳(5,0)或(6,0)或25仁).【分析】（1）先求出点B的坐标，由直线过点B,把点B的坐标代入解析式，可求得b的值；点 D在直线C M上，其纵坐标为4,利用求得的解析式确定该点的横坐标即可；(2)过点。作轴，根据三角形面积公式求出B Q 的长，可得Q点坐标；(3)a P O D 为

26、等腰三角形，有三种情况：O P =OD,P D =OD,P D =P O,故需分情况讨论，要求点P的坐标，只要求出点P到原点。的距离即司一；【详解】解：(1)8与A(l,0)关于原点对称5(-1,0)y =x+b 过点 8 1 4-Z?=0b=y =x +l当 y =4 时，x+l =4x =30(3,4).b=l,0(3,4).(2)过点。作轴，垂足为,则。E=4 OE是在边BQ上的高.S&J3QD=5 B Q D E=8B Q=4在x轴上存在两个。点满足条件.即：9(3,0)或 0(-5,0).(3)存在.0 D =IOC2+C D2=/42+32=5 当。尸=8 时；O P =O D =

27、5,0(0,0)6(5,0)当P O =OD时/P D =OD,D E x DE是 OP边得中线O E=P Ev DEA.X,O D=5,D E =4O E =3O P=6(6,0)当 PD=PO时设 P(a,0)PD=PO：.PD =a 在 R t A P E D 中,PD =a,P E=a-3,D E =4c i =(a 3)+4 25解得：a =.62 5,0)62 5综 上 所 述:耳(5,0)或 g(6,0)或 居(3,0).【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，次函数图像上点的坐标特征以及等腰三角形的判定和性质，注意分情况讨论是解决本题的关键.例 4.（2 0 2 0 上海市位

28、育实验学校八年级月考）如图，直线/i 的解析式为y =-3 x +3,且 人与 x 轴交于点D,直线八经过点A,B,两条直线交于点C,在直线人上存在一点P，使得4 A D P 的面积是4 A D C 面积的2 倍，那么点P的坐标为yhh32X(4,0)X【答案】（8,6）或（0,-6）【分析】已知L的解析式，令 y=0 求出D点坐标，设 k的解析式为y=k x+b,由图联立方程组求出k,b的值，联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出S w c,A D P 与A D C 底边都是A D,根据A A D P 的面积是a A D C 面积的2 倍，可得点P的坐标.【详解】由丫=+3,令 y=0,得

29、-3 x +3=0,x =1,A D (1,0)；设直线L的解析表达式为y=k x+b,3由图象知:x =4,y=0；x =3,y =,代入表达式y=k x +b,24k+b=033k+b=-2,3k=-2,b=-63直 线 L的解析表达式为y=-x-6;2由，y=-3x+3尸*6解得x=2y=-?A C (2,T),V A D=3,1 9SAABC X 3 X -3 =一,2 2V A A D P与A D C底边都是A D,A A D P的面积是4 A D C面积的2倍，/.A D C高就是点C到直线A D的距离的2倍，即C纵坐标的绝对值=6,则P到A D距离=6,.点P纵坐标是 6,3V

30、y=x-6,y =6,23A-x-6=6,2解得x=8,.-.P.(8,6).3.y -x-6,y =62.3 。八.-x-6-6,2解得x=0,.P，(0,-6)综上所述,P i (8,6)或 R (0,-6).故填：(8,6)或(0,-6).【点睛】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键.例5.(2 0 2 0 上海市南汇第四中学八年级月考)如图，直线L：y =；x +3与x轴、轴分别交于A、B两点，在V轴上有一点C(0,9),动点M从4点以每秒2个单位的速度沿x轴向左移动.(1)求 A、B两点的坐标(2)求VCOM的面积S与A 7

31、的移动时间f (秒)之间的函数关系式；(3)当f 何值时 C O M 也 A O 8,并求此时“点的坐标.(4)当/何值时VCQ0的面积是AAOB一半，并求此时点的坐标.【答案】(1)A(9,0)；(2)B(0,3)；(2)S=Q 1-9r+y(O Z 4.5)(3)当 t=3,M(3,。)，当 t=6,M(-3,。)；当 t寺，当(-I，。)【分析】(1)对于L ：y =-g x +3 ,令 x=0 可求出B点坐标，令 y=0 可求出A点坐标;(2)分点M在原点左侧和右侧两种情况，根据三角形的面积公式解答即可；(3)分点M在原点左侧和右侧两种情况，根据全等三角形的性质列式求出t 的值，进而可

32、求出点M的坐标；(4)根据三角形的面积公式列式求出0 M 的长，进而分点M在原点左侧和右侧两种情况，可求出t 的值及点M的坐标.【详解】解：当 x=0 时,y=3,；.B(0,3).当 y=0 时，0 =-x +3 ,x=9,3A A (9,0)；(2)9+2=4.5 秒,当点M在原点右侧时，即 0 W tW 4.5 时，由题意得，0 M=9-2 t,|1 Q 1：.S-O M OC=-(9-2 t)x9 -9t+.2 2V 2当点M在原点左侧时，即 t 4.5时，由题意得，0 M=2 t-9,1 1 Q 1：.S=-O M-OC=-(2t-9x9 9 t-,2 2V 2Q 1-9/+y(O

33、r 4.5)(3)当点M在原点右侧时，即 0 W t W 4.5 时,A O M-O B,A 9-2 t=3,t=3,/.0 M=9-6=3,AM(3,0)；当点M在原点左侧时，即t 4.5时,:CO M AAO B,.O M=O B,.,.2 t-9=3,；.t=6,；.0 M=1 2-9=3,AM(-3,0)；综上可知，当 t=3,M(3,0),当 t=6,M(-3,0)；1 1 27(4)SAAOB=OA-OB=-x 9 x 3=,2 2 21 1 1 27：.-O M OC=-O M x9=-x 2 2 2 232当点M在原点右侧时,39-2 1-,2.t_ 1 5 I-,43此时 M

34、 (一,0)；2当点M在原点左侧时,32 t-9=,2.t_ 2 1“了，3此时 M(一一，0),2综上可知，当 t=，M (,0)；当 1=下，M(,0).4 2 4 2【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，全等三角形的性质，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键.例 6.(2 0 1 9 上海嘉定区 上外附中八年级月考)如图，已知一次函数y=kx+3 的图形经过点A (1,i n),与 x 轴、y 轴分别相交于B、C两点，且NA B 0=4 5,设点D的坐标为(3,0)(1)求 m的值；(2)联结C D、A D,求4 A C D 的面积；(3)设点E为 x 轴上

35、一动点，当NA D C=/E C D 时，求点E的坐标.3【答案】(1)m=4；(2)S/。=3；(3)点 E 的坐标为(5,0)或(6,0).【分析】(1)求出点B坐标，利用待定系数法求出直线B C 的解析式即可解决问题；(2)根据=S JBD-S R CD 进行计算即可；(3)分点E 在点D左侧和点E在点D 右侧两种情况，分别求出直线C E i 和直线C E?的解析式即可得到对应的点E的坐标.【详解】解：(1)一次函数y=kx+3 的图象与x 轴、y轴分别相交于B、C两点，ZA B 0=4 5,.*.0 B=0 C=3,A B (-3,0),将 B (-3,0)代入 y=kx+3 得：0=

36、-3 k+3,解得：k=l,(4 =%+8代入A(L 4),D。)得:二.解 得:工直线BC的解析式为：y=x+3,当 x=l 时，y=x+3=4,，m=4；(2)VB(-3,0),C(0,3),D (3,0),A(1,4),ABD=6,s ACO=S ABD-S BCD=，仓K 4-3=3；t rK isu zjczy 2 2(3)如图所示，当点E在点D左侧时，.ZADC=ZEICD,AAD/ZCEi,设直线AD的解析式为:y=kix+b(k#0),k=2b=6工直线AD的解析式为：y=-2x+6,故设直线CEi的解析式为：y=-2 x+c,代入 C(0,3)得：c=3,直线CEi的解析式为

37、：y=-2 x+3,3当y=0时，解得：尢=一,23.E)(-,0)；2当点E在点D右侧时，AD与CEz交于点F,VZADC=ZE2CD,FC=FD,V0B=0D=3,ZAB0=45,A ZCDB=45,A ZACD=45+45=90,即 NACF+NFCD=90,V ZCAF+ZFDC=90,.ZACF=ZCAF,.FC=FA,F为线段AD的中点,.点F的坐标为(2,2),设直线C E?的解析式为：y=k2x+3,代入 F(2,2)得：2 =2 月+3,解得：&=一 g，直线C&的解析式为：y =(x +3,当 y=0 时，解得：x =6,.E2(6,0),3综上所述，点 E的坐标为(一，0

38、)或(6,0).2【点睛】本题是一次函数与儿何综合题，考查了待定系数法求函数解析式，-次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算以及等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握待定系数法，灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键.例 7.(2 0 1 9 上海市市西初级中学八年级期中)如图，在平面直角坐标系中，点4 6,0),8(-4,3),边 A3上有一点P(m,2),点。，。分别在边Q4,OB上，联结C D,CD/AB,联结P C,P D，BC.(1)求直线AB的解析式及点P的坐标;(2当C Q =8 Q时，求出点。的坐标;k=-(3)在(2)的条件下，点R在 射 线 上，SM B

39、0=S&R BO,请直接写出点R的坐标.3 14【答案】(1)直线A B解析式为y=-x+9,P点坐标为(-一，2)(2)C点坐 标 为(-2,2 30)(3)R(2,-6).【分析】(1)由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线A B的解析式，再把P点坐标代入直线解析式可求得P点坐标；(2)由条件可证明B P Q四0),可证得四边形B D C P为平行四边形，由B、P的坐标可求得B P的长，则可求得C D的长，利用平行线分线段成比例可求得0 C的长，则可求得C的坐标；(3)由条件可知A RB 0,故可先求出直线O B,B C的解析式，再根据直线平行求出A R的解析式，联立直线A R、B

40、C即可求出R点坐标.【详解】(1)设直线A B解析式为y=kx+b,-4k +b =3把A、B两点坐标代入可得 ，八，解得-6k +b =Q3直线A B解析式为y=-x+9,2,/P(九2)在直线A B上,3-14.2 m+9,解得 m=-,2 314.P点坐标为(-一，2)；3(2)CD/AB.,.Z P B Q=Z D C Q,在和a D C Q中ZPB Q=N D C Q =履（左。0）中得：k=-（2）设直线协的解析式为丁 =如，将 川 2,6）代入，得：2 m=6,解得：m-3，直线如的解析式为：y =3 x过点/I 作 4a x轴，交仍于点AOAB=2 X 2 A。=（3）由题意可

41、得：C 点坐标为过 点 C 做 血 y 轴，交 四 于 点 6设直线四的解析式为y =x +b,将 4 1,；）,川2,6）代入，得:,1 ,1 1L +b =-k、=1 2 ,解得：22 k +b =6 h =-5.直线4 f 的解析式为：=日 一5 点坐标为（百 ）：.EC-I，一 w1 1 1 1 111 10 10-a-4 11 11【点睛】本题考查一次函数与几何综合，掌握一次函数图像上点的坐标特点，利用数形结合思想解题是关键.3例 1 0.(2 0 1 9 上海市西延安中学八年级期中)已知一次函数y=-x+6的图象与坐标轴交4于 A、B点(如图)，AE 平分N B A 0,交 x 轴

42、于点E.(1)求点B的坐标；(2)求直线AE 的表达式；(3)过点B作 B F L A E,垂足为F,连接0 F,试判断O FB 的形状，并求O FB 的面积.【答案】(1)B (8,0)；(2)直线AE 的表达式为y=-2 x+6：(3)O FB 为等腰三角形，SA(产 8.3【分析】(1)对于一次函数y=-x+6,令 y=0 和 x=0 求出对应的x与 y的值，确定出0 A4及 0 B 的长，即可确定出B的坐标；(2)由(1)得出A 的坐标，利用勾股定理求出AB 的长，过 E作 E G垂直于A B,由 AE 为角平分线，利用角平分线定理得到E O=E G,利用HL 可得出直角三角形AO E

43、 与直角三角形AGE 全等，可得出A O=A G,设 O E=E G=x,由O B-O E 表示出E B,由 A B-A G=A B-A O 表示出BG,在直角三角形BE G 中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定I I I 0 E 的 长,得 出 E的坐标，设直线A E 的解析式为y=k x+b (k W O),将 A 和 E的坐标代入，得到关于k与 b的方程组，求出方程组的解得到k与 b的值，即可得到直线A E 的解析式；(3)延长BE 与 y 轴交于K点，由A F 为角平分线得到一对角相等，再由A F与 BF垂直得到一对直角相等，以及A F为公共边，利用A S A

44、 得出三角形A K F与三角形A BF全等，可得出A K=A B,利用三线合一得到F 为 BK 的中点，在直角三角形O BK 中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到O F 为 BK 的一半，即 O F=BF,过 F 作 FH垂直于x 轴于H 点，利用三线合一得到H 为 0 B的中点，由 0 B的长求出0 H的长，即为F 的横坐标，将求出的横坐标代入直线A E 解析式中求出对应的纵坐标，即为HF的长，以0 B 为底，FH为高，利用三角形的面积公式即可求出三角形BO F的面积；3【详解】(1)对于y=-：x+6,4当 x=0 时，y=6；当 y=0 时，x=8,，0 A=6,0 B=8,在 R t

45、 Z A O B中，根据勾股定理得：A B=1 O,则 A (0,6),B(8,0)；(2)过点E作 E G _ L A B,垂足为G；A E 平分N BA O,E O A O,E G 1 A G,；.E G=O E,AE=AE在 R t Z X A O E 和 R t Z X A G E 中，EO=EG.R t A A O E R t A A G E (HL),.A G=A O,设 O E=E G=x,则有 BE=8-x,BG=A B-A G=1 0-6=4,在 R t Z BE G 中，E G=x,BG=4,BE=8-x,根据勾股定理得：X2+42=(8-X)2,解得：x=3,Z.E (3

46、,0),设直线A E 的表达式为尸k x+b (k W O),b=67 伏=2将 A (0,6),E (3,0)代入 y=k x+b 得：”，/,解得9 ,3k+b=2 b=6则直线A E 的表达式为y=-2 x+6；延 长 B F 交 y 轴于点K,V A E 平分 N BA O,/.Z K A F=Z BA F,又 BF_ L A E,Z A FK=Z A FB=90,?A F=A F.,.A FK A A FB,A FK=FB,即 F 为 K B的中点，又,BO K 为直角三角形，,.0 F=BK=BF,2.,.O FB为等腰三角形，过点F 作 FH_ L O B,垂足为H(如图所示)，

47、V O F=BF,FHX O B,.,.0 H=BH=4,；.F点的横坐标为4,设 F(4,y),将 F(4,y)代入 y=-2 x+6,得：y=-2,FH=|-2|=2,则 SA。1 产 O B FH=X 8X 2=8.2 2例 11.如图，已知直线/：y=-2x+2 与“轴、y 轴分别交于点8、C,将直线y=x向上平移1 个单位长度得到直线用，点。是直线序与y 轴的交点，求四边形图如的面积.【难度】【答案】-6【解析】由题意可得：直线处的解析式为y=x+l令二二解得一 .点。是 直 线 四 与 y 轴的交点，/.2(0,1).,宜线/：y=-2x+2 与 x 轴、y 轴分别交于点反C,:.

48、B(1,0),C(0,2).S四 边形P Q04=S4COB _ S&CPQ=_x2 x l-x l x【总结】考察四边形面积的求法，不规则图形的面积用割补法来解决.例 12.如图，已 知 直 线/氏 y=x+2 与直线以：y=交于点4与直线 仍：y=3x交于点夕两点.求力如的面积.【难度】【答案】4.y=x+2 (3【解析】令|y=L，解得：一_；，则4(-3,-1).令 3解得：0=3 则吗)设宜线46与 x 轴相交于G 则 C(-2,0),S a O A B=S OAC+S&OCB=-x 2 x 3+x 2 x l=4.【总结】考察三角形面积的求法,不能直接求面积则用割补法来解决，注意交

49、点坐标的求法.例 1 3.如图，已知直线y=x +3 的图像与x 轴、y 轴分别交于4、3 两 点,直线/经过原点，与线段48交于点G 把/纺的面积分为2：1 两部分，求直线/的解析式.【难度】答案y=2 x s K y=x .【解析】.直线y=x +3 的图像与x 轴、y 轴分别交于4、6 两点,：.A(-3,0),B(0,3),.1 9；5AOAB=-X3X3=-2当 SAOBC=g 时，i7 9则x 3x yc =X,则 y。=2，。点在直线4?上，.（一1,2）,则直线，的解析式为：y=-2 x：当 S&OBC=3 S 40 BA 时 1 1 Q则耳 x 3 x c =1 x 5,则

50、ye =1，。点在直线4?上，（一2,1）,则直线7的解析式为：y-x.2综上直线/的解析式为y=-2 x或y=-；x.【总结】考察面积的求法，本题中要注意分类讨论.例1 4.如图，已知，在矩形4题 中，4庐1 0,小1 2,四边形如67/的三个顶点反F、分别在矩形加如边/氏BC、为 上，AE=2.（1）如 图1,当四边形仍加为正方形时，求斤C的面积；四边形硒击为正方形时，Z A E H +ZBEF=90（2）如图2,当四边形冰必为菱形，且ma时,示）B1:-3-RF B图1【难度】【解析】过 点。作Gk优 于 U：B Y M 图1求的面积.（用含。的代数式表史DF图2比0F M C图2 ZA