高考数列复习专练.pdf

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1、高考数列专题复习专练数列专题复习专练1 .已知数列 a n 是公差dWO 的等差数列，其 前 n 项和为Sn.I-B.I.I：.II I.(2)过点Q 1(L a l),Q 2(2,a 2)作直线1 2,设 U 与 1 2的夹角为0 ,2.已知 数 列 an中，Sn 是其前n 项和，并且Sn 1 4 a n 2(n 1,2,),a l 1,设数列b n a n 1 2a n(n 1,2,),求证：数 列 bn是等比数列；设数列c na nn2 求 数 列 an的通项公式及前n项和。,(n 1,2,),求证：数 列 cn是等差数列；3 .设 a l=l,a 2=5 35 323,a n+2=a

2、n+l-a n (n=l,2,-),令 b n=a n+l-a n (n=l,2-)求数列 b n 的通项公式，(2)求数列 n a n)的前n项的和Sn。*4.数列 a n 中，a l 8,a 4 2 且满足 a n 2 2a n 1 a n n N 求 数 列 an的通项公式；设 Sn|a l|a 2|a n|,求 Sn；设 b n 二In(1 2 a n)(n N),T n b l b 2 b n(n N),是否存在最大的整数*m,使得对任意n N,均 有 T nm 3 2成立？若存在，求 出 m的值；若不存在，请说明理由O第 1页 共 1 3 页 5.定 义“等和数列”：在一个数列中，

3、如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列 a n 是等和数列，且 a l 2,公和为5,那 么 a l 8的值为,这个数列的前n项 和 S n 的计算公式为K k 6.已知数列 a n 中，a l=l,a 2k=a 2k T+(T),a 2k+l=a 2k+3,其中 k=l,2,3,(1)求 a 3,a 5；(2)求 a n 的通项公式7.数列 a n 的前n 项和为S n,且a n 1及数列 a n 的通项公式.*8.已 知 数 列 an满 足 a l 1,a n 1 2a n 1 (n N).求 数 列 an的通项公式；1 3

4、Sn,n=l,2,3,求 a 2,a 3,a 4 的值第 2 页 共 1 3 页 9.已知数列a n 4 n 2 和 b n24n 1,设 c nanbn，求数列 cn 的前n 项和Tn.10.设 an 是等差数列，bn 是各项都为正数的等比数列，且 al bl 1,a3 b5 21,a(II)求 数 列 n的前n 项 和 Sn.a5 b3 13(I)求 an,bn 的通项公式;bn11.已知数列 an 的通项公式为an=12.设 Sn是 等 差 数 列 a n 的前n 项和，已知S3与3114S 4的等比中项为15S5,13s3 与14S4 的n 12,设 Tnlai a3la2 a4lan

5、 an 2,求 Tn.等差中项为1,求 数 列 a n 的通项.第 3页 共 1 3 页 1 3.已知数列 a n 、b n 都是公差为1 的等差数列，其首项分别为a l、b l,且 a l*,则数列 c n 的 前 1 0 项 和 等 于()b l 5,a l,b l N.设 c n a b n (n N)(A)5 5 (B)7 0 (C)85 (D)1 0 01 4 .若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设 a n 是公比为q的无穷等比数列，下列 a n 的四组量中：S1 与 S2；a 2与 S3；a l 与 a n；q与an.其中一定能成为该数列“基本量”的 是 第 组.

6、(写出所有符合要求的组号)1 5 .已知等比数列 a n 的前n项和为Sn a 2n b,且 a l 3.(1)求 a、b的值及数列 a n 的通项公式；(2)设 b nn a n，求数列 b n 的前n项和T n.1 6.已知数列 a n 中，a l 1,且点P(a n,a n 1)(n N)在直线x-y+l=0 上.(1)求数列 a n 的通项公式；(2)若函数f(n)求函数f(n)的最小值；(3)设 b nl a n,Sn 表示数列 b n 的前n项 和.试 问：是否存在关于n的整式g (n),使In a lIn a 2In a 3In a n(n N,且 n 2),得 SI S2 S3

7、 Sn 1 (Sn 1)g(n)对于一切不小于2 的自然数n恒成立?若存在，写 出 g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，说明理由.1 7.设数列 a n 是等差数列，a 5 6.(I)当 a 3 3时,请在数列 a n 中找一项a m,使得a 3,a 5,a m 成等比数列；*(1 1)当 23 2 时，若 k l,k 2,k n(n N)满足 5 k l k 2 k n ,使 得 a 3,a 5,a k,a k,ak,是等比数列，求数列 k n 的通项公式.12n第 4页 共 1 3 页 1 8.数列 a n 的前n 项 和 Sn 满足：Sn 2a n 3 n(n N ).(1)求数列

8、a n 的通项公式a n；(2)数列 a n 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由.1 9.在 等 差 数 列 an中，a l 1,前 n 项 和 Sn 满足(I)求 数 列 an的通项公式；(II)记 b n a n p (p 0),求 数 列 bn的前n项和T n.a n S2n Sn 4 n 2n 1,n 1,2,第 5页 共 1 3 页答案部分1.已知数列 a n 是公差dWO 的等差数列，其 前 n 项和为Sn.：|,；：.)：1：.，：二：.i i.：1：-!1 设 bn=l n(12 a n)(n N),T n bl b2 b

9、n(n N),是否存在最大的整数*m,使得对任意n N,均 有 T nm 3 2成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。解：(1)由题意，a n 2 a n 1 a n 1 a n,a n 为等差数列，设公差为d,由题意得 2 8 3 d d 2,a n 8 2(n 1)10 2 n.(2)若 10 2 n 0 则 n 5,n 5 时,S n|a l|a 2|I a na l a 2 a n8 10 2 n2n 9 n n,2n 6 时，S n a l a 2 a 5 a 6 a 7 a nS 5 (S n S 5)2 S 5 S n n 9 n 4 02n 9 n 4 011111(

10、3)bn ()n(12 a n)2 n (n l)2 n n 1故 S n 9 n n22n 5 n 6T n12 m(112)1213)(1314)(mIn 1In)(InIn 1)n2(n 1)若 Tnn 116nlml*(n N)的最小值是，m的最大整数值是7。n 12162m.即存在最大整数m 7,使对任意n N*,均有Tn 323 2对任意n N*成立，即n对任意n N*成立，5 .定 义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。己知数列 a n 是等和数列，且 a l 2,公和为5,那 么 a l 8

11、的 值 为 3 ,这个数列的前 n项 和 S n 的计算公式为一当n为偶数时，S n5 2n；当 n为奇数时，S n5 2 n12K k6 .已知数列 a n 中,a l=l,a 2 k=a 2 k T+(T),a 2 k+l=a 2 k+3,其中 k=l,2,3,(1)求 a 3,a 5；(2)求 a n 的通项公式解：(I)a 2=a l +(1)=0,a 3=a 2+3=3.a 4=a 3+(1)=4 a 5=a 4+3=13,所以，a 3=3,a 5=13.(II)a 2 k+l=a 2 k+3 k =a 2 k-1+(-1)k+3 k,所以 a 2 k+l-a 2 k l=3 k+(

12、l)k,同理 a 2 k l-a 2 k-3=3 k-l+(-l)k-l,a 3-a l=3+(-l).所以(a 2 k+l-a 2 k l)+(a 2 k-l-a 2 k-3)+-+(a 3-a l)=(3 k+3 k-l+-+3)+(-l)k+(-l)k-l+-+(-l),由此得a 2 k+l-a l=3 21122(3 k-l)+12(l)k1,第8页 共1 3页于是a2k+l二k3k 1212(1)l.a2k=a 2 k-l+(-l)=kk3k212(1)k-1-1+(-1)=k3k212(1)=1.a n 的通项公式为：n 1当 n为奇数时,a n=32n 12n(1)2121；当

13、n为偶数时，a n3 2 2n(1)2121.7.数列 an的前n项和为S n,且al=1,an 1及数列 an的通项公式.解：(I)由 al=l,an 1a213S113al 13131313Sn,n=l,2,3,求 a2,a3,a4 的值Sn,n=l,2,3,得 13s2 1313(al a2)49,a3,a44313S313(al a2 a3)1627由 a n 1 a n 又 a2=13(S n S n 1)14n 2a n (n 2 2)，得 a n 1 a n (n 2 2),所 以 a n 二()3 3(n 2 2),n l n，21,数列 a n 的通项公式为a n 14 n

14、20 3 3*8.已 知 数 列 an满足a l 1,a n 1 2 a n 1(n N).求 数 列 an的通项公式；*解：a n 1 2 a n 1(n N),a n 1 1 2 (a n 1),a n 1是以a l 1 2为首项，2为公比的等比数列.a n 1 2.n*即 a n 2 1(n N).n9.已知数列a n 4 n 2和 bn24n 1,设 c na n bn，求数列 c n 的前n项和T n.解：c n a n 4 n 2 (2 n l)4 n 1,bn2 4n 1T n c l c 2 c n 1 3 4 5 4 (2 n l)4 4 T n 1 4 3 4 5 4(2

15、n 3)423n 112 n 1(2 n 1)4n第 9页 共 1 3 页两式相减得3 T n 1 2 (4 4 4 4 T n19(6 n 5)4 5 .n123n 1)(2 n 1)4n13(6 n 5)4 5 n10.设 a n 是等差数列，bn 是各项都为正数的等比数列，且 a l bl 1,a 3 b5 2 1,a n（I）求，的通项公式；（II）求数列a 5 b3 13 a n bn）的前n项 和 S n.bn41 2 d q 2 1,解：（I）设an的公差为d,b n的公比为q,则依题意有q 0且21 4 d q 13,解得 d 2,q 2.所 以 a n 1(n 1)d 2 n

16、 1,bn q n 1 2 n 1.(II)a n bn2 n 12n 1.S n 12 n 3 2 2 2n 33 215 222 n 3 2n 22 n 12n 1，2 S n 2 35 22 n 12n 2,2 n 12n 1一得Sn 2 222222n 2111 2n 12 2 12 n 2 n 1222212 212n 1162n 32n 1122n 12n 11 1.已知数列 an)的通项公式为an=n 12,设Tnlai a3la2 a4lan an 2,求 Tn.解：lan an 2lai a31n 14(n l)(n 3)1=2(In 1In 314).Tna2 a41lan

17、 an 2+=2 (12-)+(1315)+(1416)+,+(InIn 2)+(n 3)=2 (1213In 2In 3).第 1 0 页 共 1 3 页 12.设 S n 是 等 差 数 列 an的前n 项和，已知S 3 与3114S 4 的等比中项为15S 5,13S 3 与14S 4 的等差中项为1,求 数 列 an的通项.2 11 12 3 a d 5 d 0 1S 3 S 4 (S 5)3 4 5 解：由 已 知 得，即，52 a l d 2 IS IS 22 3 44 312d 0 3 2 12 d 解 得 或 n 5 a n 1 或 a na 15 5 1 a 411 3.已知

18、数列 a n 、bn 都是公差为1 的等差数列，其首项分别为a l、b l,且 a l*,则数列 c n 的 前 10 项 和 等 于(C)bl 5,a l,bl N.设 c n a bn (n N)(A)5 5 (B)7 0 (C)8 5 (D)10 014 .若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设 a n 是公比为q的无穷等比数列，下列 a n 的四组量中：S 1与 S 2；a 2 与 S 3；a l 与 a n；q与an.其中一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号)n15 .已知等比数列 a n 的前n项和为S n a 2 b,且 a l 3.(I

19、)求 a、b 的值及数列 a n 的通项公式；(2)设 bnn a n，求数列 bn 的前n项和T n.n 1解：(1)当 n 2 时，a n S n S n 1 2 a.1 In 1而 a n 为等比数列，得 a l 2 a a=3,即 a 3,从而a n 3 2.又 a l 2ab 3,b 3.(2)bnl T nn a nn 3 2n 1,T n13(12 23 22n 2n 1)112 3 n l n(2 3 n 1 n)2 3 2 2 2 2 2l l l l l n两式相减得T n (1 2 n 1 n),2 3 2 2 2 2因此，T n4 3(112nn 2n 1).1 6.已

20、知数列 a n 中,a l 1,且 点 P(a n,a n 1)(n N)在直线x-y+l=O 上.(2)求数列 a n 的通项公式；(2)若函数f(n)求函数f(n)的最小值；(3)设 bnl a n,S n 表示数列 bn 的前n项 和.试 问：是否存在关于n的整式g(n),使In a lIn a 2In a 3In a n(n N,且 n 2),得 S I S 2 S 3 S n 1 (S n 1)g(n)对于一切不小于2的自然数n 恒成立?若存在，写出晨n)的解析式，并加以证明；若不存在，说明理由.第 11 页 共 13 页解：(1)P(a n,a n 1)(n N)在直线 x-y+l

21、=O 上a n a n 1 1 0a l a 2 1 0,a 2 a 3 1 0,a n 1 a n 1 0,以上各式相加，得a l a n n 1 0,a n a l1 n.In 1111(2)f(n)n 22nllll，f(n 1)n 2n 32n2n 12n 212n 112n 2 故 12InIn 112n 212n 2n 17f(2).121f(n 1)f(n)f(n)是单调递增的(3)bnIn0.,f(n)的最小值是s n 1 l n(n 2),s n s n 1 B|J n s n (n 1)s n 1 s n 1 1,(n 1)s n 1(n 2)s n 2 s n 2 1.，

22、n s n s i s i s 2 s n 1 n 1,2 s 2 s i s i 1,s i s 2 s n 1 n s n n (s n 1)n(n 2),g(n)n.故存在关于n的整式g(n)n,使等式对于一切不小2的自然数n恒成立.17.设数列 a n 是等差数列，a 5 6.(I)当 a 3 3时,请在数列 a n 中找一项a m,使得a 3,a 5,a m 成等比数列;*(II)当 a 3 2 时，若 k l,k 2,k n(n N)满足 5 k l k 2 k n ,使 得 a 3,a 5,a k,a k,ak,是等比数列，求数列 k n 的通项公式.12n解：(I)设 a n

23、公差为d,则由a 5 a 3 2 d,得 d3 22.,a 3,a 5,a m 成等比数列，/.a m a 3 a5解得m 9.故 a 3,a 5,a 9 成等比数列.(II)a 3 2,a 5 6,A d12n2,故 a n a 3 (n 3)d 2 n 4又 a 3,a 5,a k,a k,ak,是等比数列，则 qa 5 a 36 23,a k n a 3 qn 12 3n 1,n 1,2,3,n In 12 又 a k 2 k n 4,/.2 k n 4 2 3,.k n 3n18.数列 a n 的前n 项 和S n 满足：S n 2 a n 3 n(n N ).(1)求数列 a n 的

24、通项公式a n；(2)数列 a n 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由.解：(1)当 n N 时有：S n 2 a n 3 n,S n 1 2 a n 1 3(n 1),两式相减得：a n 1 2 a n 1 2 a n 3a n 1 3 2 (a n 3)a n 1 2 a n 3又 a l S I 2 a l 3,a l 3,a l 3 6 0第 1 2 页 共 1 3 页J数列 a n 3 是首项6,公比为2的等比数列.从而a n 3 6 2 n 1,a n 3 2 n 3.(2)假设数列 a n 中存在三项a r,a s,a t,

25、(r s t),它们可以构成等差数列，a r a s a t,1 2t r因此只能是a r a t 2 a s,r s t,r s、t 均为正整数，r ts r ts 1(3 2 3)(3 2 3)2(3 2 3)即 2 2 22s 1 r.(*)(*)式左边为奇数右边为偶数，不可能成立。因此数列 a n 中不存在可以构成等差数列的三项。19.在 等 差 数 列 an中，a l 1,前 n 项 和 S n 满足(I )求 数 列 an的通项公式；(II)记 bn a n p (p 0),求 数 列 b n的前n项和T n.a nS 2 n S n4 n 2 n 1,n 1,2,解：(I )设

26、等 差 数 列 an的公差为d,由S 2 n S n4 n 2 n 1得a l a 2a l3,所 以a 2 2,即 d a 2 a l 1,所 以a n n.n 2 3 n In(II)由 bn a n p,得 bn n p.故 T n p 2 p 3 p (n l)p n p,a n当 p 1 时，T nn 122 3 4 n n 1当 p 1 时，p T n p 2 p 3 p (n l)p n p,(1 P)T n p p p pn 1,P 1 2即 T n nP(1 P)n 1 n p,p 1 1 p2 3 n 1P n pn n 1p(l p)1 pnn pn 1第 1 3 页 共 1 3 页