2022届福建省福州市高考数学考前最后一卷预测卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选

2、项中，只有一项是符合题目要求的。1.执行如图所示的程序框图，若输出的止=5,则输入的整数P的最大值为（）A.7 B.15 C.31 D.632.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）4032 2015 2016A.-B.-C.-2017 2016 20173.若复数z=(3-i)(l+i),则 忖=()20151008A.272 B.2A/5 C.M D.204.已知平面向量获满足同=2,W=1,与B的 夹 角 为 葺，且0+筋）_L（2石），则实数X的 值 为（）A.-7 B.-3 C.2 D.35.如图所示，为了测量A、8两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在。的北偏西45的

3、方向上，B 在。的北偏东15。的方向上，现在船往东开2百海里到达E处，此时测得3在E的北偏西30。的方向上，再开回。处，由C 向西开2 几百海里到达。处，测得A在。的北偏东2 2.5 的方向上，则 A、8两座岛屿间的距离为（）B.3 亚D.47 26.在 AABC中，A B =3,AC=2,A B A C =60,点。，E 分别在线段 A 3,C D 上，且 瓦)=2 A D,C E =2ED,则 屁 丽=()7.复数z =-l)+(a l)i(a e R)为纯虚数，则 z =(B.-2i8.已知函数/（幻=一%+皿 有两个不同的极值点引，x2,若不等式/（XJ+/（X 2）2（N+W）+。有

4、解，贝打的取值范围是（）A.(co,-2 In 2)B.(-00,-2 In 2 C.(-oo,-l l +2 1n 2)D.(-oo,-l l +2 1n 2 9.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）10.已知平面向量a,反c,满足|5|=2,|a +B|=l,c=a +方且 1 +2 =1,若 对 每 一 个 确 定 的 向 量 记|c|的最小值为机，则当变化时，加的最大值为（）1 1 IA.B.-C.D.14 3 22 21111.也过双曲曲纹线 cC:5-探7=l（a 0力0）则的4右3 埼焦昆点尸作双曲线C 的一条弦A8,且 放+

5、而=0,若以A5为直径的圆a b经过双曲线。的左顶点，则双曲线。的离心率为（A.72B.73D.V512 .已 知 函 数/(*)=依+1 +疝2+改 一1 (a e R)的最小值为0,贝!|。=()1 1A.-B.-1 C.1 D.-2 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。13 .已知一个四面体A B C O的每个顶点都在表面积为9乃的球。的表面上，且A B =C D =a,A C =A D =B C =B D =#,则。=.14.已知复数z =是纯虚数，则实数“=，0=.1 -z15 .工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固

6、定紧，但不熊连缓固定相邻的2个 螺 栓.则 不 同 的 固 定 螺 栓 方 式 的 种 数 是.16 .已知三棱锥。一A B C,PA =PB =PC,A3c是边长为4的正三角形，D,E分别是Q 4、A3的中点，F乃7为棱8C上一动点(点。除外)，N C D E =一,若异面直线AC与。尸所成的角为6,且cos6 =一 ,则C E=_.2 10三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .(12分)已知等差数列/的前项和为S,等比数列也“的前n项和为7“，且q=4=1 ,%=S3，%+2=15 .(1)求数列 4 与 的通项公式；(2)求数列 坪 口 的前项和.18

7、.(12分)已知非零实数。力满足a 0.(1)求证：a3-/?3 =1,由余弦定理求得。C的值，由屁 丽=（而+屁）丽=丽 丽+方 后 通=丽 而 可 得 结 果.【详 解】根据题意，A 8=3,8O=2 A。，则 A =1在AAOC中，又A C =2,NS4 C=6 0 则。C?=A D?+A C2 -2 A。.oc c os Z R4 C=3则 D C=#)则 CDL4 5则 丽 丽=(而+国 南=丽 丽+诙 丽=丽 丽=3 x2 xc os l80 =-6故选：B【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.7.B【解析】复数z=(1 1)+(l)

8、j(a e R)为纯虚数，则实部为0,虚部不为0,求出。，即得z.【详解】z=(4-1)+(-1)/(e R)为纯虚数，2 :,解得a =-1.a-1 0z=2i.故选：B.【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.8.C【解析】先求导得了 (x)=2kI 1 (x0),由于函数/(%)有两个不同的极值点玉，转化为方程2口?工+i =。有X两个不相等的正实数根，根据4 xt+x2,X,-x2,求出。的取值范围，而/.(xJ+HwAz Q+w)+f有解，通过分裂参数法和构造新函数旗)=-高-1*)(。0),X因为函数,/(X)=ax2-x+lnx有两个不同的极值点网，乙,所以方程2G?%+1 =o

9、有两个不相等的正实数根，=1 8。0,于是有,玉+=-0,解得0 a 0,4-2a若 不 等 式/(%)+/(赴)2(玉+工2)+，有解，所以/a)+)-2(%+w)皿因为/(xj +/(%2)-2(玉 +9)=axf-玉+ln X +渥一9 +ln w -2(x,+%)=(再+x2)2-J-3(%1 +x2)+I n(xtx2)=-l-ln(2).设 h(a)-.1 ln(2 i z)|0 a 0,故力(。)在0=上单调递增，4 a-k 8；故/z(a)U =T l +2 1 n 2,所以，-ll+2 n 2,所以/的取值范围是(8,U+2 1 n 2).故选：C.【点睛】本题考查利用导数研

10、究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.9.A【解析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积.【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2,1Q直观图如图所示，V =-x 2 x 2 x 2 =-.3 3【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键.10.B【解析】根据题意,建立平面直角坐标系.令而=,砺=万 五=.七 为08中点.由，+目=1即可求得P点的轨迹方程.将2 =筋+成 变 形，结合X +2 =1及平面向量基本定理可知P,C,E三点共线

11、.由圆切线的性质可知|c|的最小值m即为。到直线P E的距离最小值，且当P E与圆”相切时，加有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离，即为，的最大值.【详解】根据题意,|方|=2,设 丽=(羽 田,而=石=(2,0),反=,(1,0)则 诙=52由 口 +q =1 代入可得 x +2)2+y2=1即P点的轨迹方程为(x+2+y 2=i-(b .又因为2 =%。+6,变形可得，=/1。+2 -，即0。=7。尸+2。,且九+2 =1所以由平面向量基本定理可知P,C,E三点共线,如下图所示:所 以I2|的 最 小 值m即 为0到 直 线PE的距离最小值

12、根据圆的切线性质可知，当PE与 圆M相切时，机有最大值设 切 线PE的 方 程 为 卜=%（%一1）,化 简 可 得 乙一 y-k=0-2k-k由切线性质及点M到直线距离公式 可 得 J =1,化 简 可 得8k2=1J F+i+(1)24 J所 以 切 线 方 程 为 立x-y-3=0或旦+y-立=04 4 4-4_ V|4 1所 以 当Z变化时，。到 直 线P E的 最 大 值 为m=-即 加 的 最 大 值 为，3故选:B【点 睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用，圆的轨迹方程问题，圆的切线性质及点到直线距离公式的应用，综合性强，属于难题.11.C【解 析】由 丽+丽

13、=0得 歹 是 弦A 5的中点.进而得A 8垂 直 于X轴，得S =a+c,再 结 合 关 系 求 解 即 可【详 解】因 为 西+丽=0,所以厂是弦A 8的中点.且A 8垂直于x轴.因为以4 B为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以一 =a+c,即-=a +c,贝!|c-a =a,故6=2.故选：C【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题.1 2.C【解析】设 g(X)+/7(X)=O X+lg(x)-(x)=+ax-2 g (x),g(x)Z/?(x)2h(x),g(x)h(x)计算可得/(x)=再结合图像即可求出答案.【详解】设 g(X)+/7(X)=

14、O X+lg(x)-/z(无)=2 x2+ax-g(x)=/+ax/?(%)=1-x2则则”x)=g(x)+M x)+1g(x)j(x)m%)热由于函数/(x)的最小值为0,作出函数g(x),(x)的大致图像,所以 Z =1 .故 选:c【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.272【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上,设长方体的长宽高为x，z,由题意可得：x2+y2=a2 2 0解得：a=2V2 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析

15、图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.14.1 1【解析】根据复数运算法则计算复数z=+四，根据复数的概念和模长公式计算得解2 2【详解】a+i复数z=占+(Q-l)+(a+l)i0-0 0+0=2ci 1。+1 .-1-12 22 .复数z是纯虚数】解 得 片】，故答案为：1,L【点睛】此题考查复数的概念和模长计算，根据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于熟练掌握复数的运算法则.15.60【解析】分析：首先将

16、选定第一个钉，总共有6种方法，假设选定1号，之后分析第二步，第三步等，按照分类加法计数原理,可以求得共有1 0种方法，利用分步乘法计数原理，求得总共有6 x 1 0 =6 0种方法.详解：根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有1 0种方法，所以总共有1 0 x 6 =6 0种方法，故答案是6 0.点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理和分步乘法计数原理，在解题的过程中，需要逐个的将对应的过程写出来,所以利用列举法将对应的结果列出，而对于第一个选哪个是机会均等的，从而用乘法运算得到

17、结果.51 6.-2【解析】取A C的中点G,连接GP,GB,取P C的 中 点 连 接D M，M F,D F,直线A C与。尸所成的角为N M D F,计算加/2=一2 4 +2,。尸2=/一4。+1(),根据余弦定理计算得到答案。【详解】取A C的中点G,连接GP,GB,依题意可得A C A.G B,所以平面G P B,所以TT因为O,E分别P A、的中点，所以DE/B P,因为N C D E =一，所以2所以 平面 P A C,故 8 P _ L A P,故 PA =PB =P C =2故PA,PB,PC两两垂直。取P C的中点M，连接D M，MF,D F,因为。儿/AC,所以直线AC与

18、D F所成的角为N M D F,设C E =a(O n n所以，数列n的前项和为(1 x 21+2x 2+x 2)(1+2+f设 匕=l x 2 l+2 x 2 2 +(-l)x 2 T+x 2”，则 2匕=l x 2 2 +2 x 2 3 +(l)x 2 +x 2 +|，一得 C=x 2 i-(2 +2 2+2 3+.-+2 )=(一l)x 2 +i+2,综上，数列 号F1的前n项和为(一l)x 2 i【点睛】本题考查求等差等比的通项公式，考试分组求和及错位相减法求数列的和，考查学生的计算能力，难度一般.1 8.(1)见 解 析(2)存在，2 G-1,3【解析】(1)利用作差法即可证出.(2

19、)将不等式通分化简可得-+,讨论a人0或a。0,分离参数，利用基本不等式即可求解.a2b2 ab/一段-(2 a%-2/”(a-/?),?+a b+%-2ab(a-b)【详解】=(f z-/?)(a2-ab+b2=(a-b(。一号)ah,：.a-h0I 2 j 4a3-b3 0时，(*)即24二+于：上a b a3 J+-/?4+州+1恒成立bb ah aa b a b=2(当且仅当=人时取等号)，故丸3当时，心O,(*)XNb2+ab-a2 ba2b2b、a)a、b+色+1恒成立bb a一 十 a b+(当且仅当a=-b时取等号)，故力之一1综上，Ae-1,3【点睛】本题考查了作差法证明不等

20、式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.以口)T【解析】(I)根据条件由正弦定理得/-a c ,又c=2 a,所以Z?2=2 ,由余弦定理算出co s 8,进而算出s i n 8；2(II)由二倍角公式算出s i n 2 8co s 2 8,代入两角和的正弦公式计算即可.【详解】19 91(I)f t s i n B-as i n A=as i n C,所以由正弦定理得 一。=QC,2 2又c=2 a,所以=2/,由余弦定理得:cosB=*,一匕 I，又Be(O,乃)，所以s i n 82ac也.43 771(II)s i n 2B=2 s i n Bco s B=-,co s

21、 2 B=2 co s2 B-l=，8 871乃(JI 冗 乃/.s i n 2B+=s i n 2 Sco s 4-c o s s i n 3币+至)1 6333【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，运用二倍角公式和两角和的正弦公式求值，考查了学生的运算求解能力.2-A专；3+乎【解析】（1）根据三角形面积公式及平面向量数量积定义代入公式，即可求得t an A,进而求得A的值；（2）根据正弦定理将边化为角，结 合（1）中A的值，即可将表达式化为8的三角函数式；结合正弦和角公式与辅助角公式化简，即可求得3和C,进而由正弦定理确定a:。:c,代入整式即可求解.【详解】（1）因 为 班S=A，3

22、所以由三角形面积公式及平面向量数量积运算可得 反s i n A -cco s（乃 -A）=-becos A ,所以 t an A =因为0 所以A=.3(2)因为G(Z?+c)=2 a,所以由正弦定理代入化简可得G(s i n B+s i n C)=2 s i n A =G ,由(1)A,代入可得G s i n B+s i n fB +|=6,3 L I 3 )Ji 展 开 化 简 可 得sin B H-cos B =yfi,2 2,根据辅助角公式化简可得sin 8+?)=1.因为OB9,所以B=,所以C=J,3 6 6所以 A A 8 C为等腰三角形，且 a:c=sin A:sin B:si

23、n C =6：1:1 ,所以 +生+上=3+正+=3+空.be ac ab 3 3 3【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，平面向量数量积的运算，正弦和角公式及辅助角公式的简单应用，属于基础题.21.（1）（0填表见解析3）没有9 9%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”（2）详见解析【解析】（1）由已给数据可完成列联表，（i i）计 算 出K2后可得;（2）由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为g,J的取值为0,1,2,3,由二项分布概率公式计算出各概率得分布列，由期望公式计算期望.【详 解】解运动达人非运动达人总计男352560女142640总

24、计4951100(u)由2x2列联表得左=1 X(35X2 6 T 4X25)5.229 6.63560 x40 x49x51所 以 没 有9 9%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”2（2）由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为擀，.易知 J =k)=C；所以自的分布列为0123P125343150343403438343西+*+2 x 9 +3343 343 343 3436 1【点 睛】2本题考查列联表,考查独立性检验,考查随机变量的概率分布列和期望.属于中档题.本题难点在于认识到J .22.（1）夕2_6pcose 2夕sin6+4=0,表 示 圆 心 为（3,1）,半

25、 径 为2的圆；（2）罕+2【解 析】（1）根据参数得到直角坐标系方程（x-3）2+（y-1）2=4,再转化为极坐标方程得到答案.（2）直线方程为y-2x=l,计算圆心到直线的距离加上半径得到答案.【详解】x=3+2cosa,、2,、2.（1）,即（x 3）一+（y一1）一=4,化简得到：x2+/-6 x-2 y +4=0.y=l +2sina、即02_6pcos6-2psine+4=O,表示圆心为（3,1）,半径为2的圆.（2）sin。-2COS6=L,即y-2x=l,圆心到直线的距离为d=-馥=述.P V5 5故曲线C上的点到直线I的最大距离为“+=述+2.5【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.