数学分析1期末考试试卷(A卷).pdf

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1、数学分析1 期末考试试卷(A卷)一、填空题(本题共5 个小题，每小题3 分，满分15分)1 设+=8,贝 ij a=_ _ _ _ _ _。1双 x a)ex-12、设函数/(%)=-，则函数的第一类间断点是_ _ _ _ _ _,第二类间断点双X-2)是 O3、设 y =ln(x +J l+/),则 dy=。14、设/(x)是连续函数，且/(x)=x +2/4，则/(%)=_ _ _ _ _ _oJo5、J a r cta n x 7 x=_ _ _ _ _ _。Jo二、单项选择题(本题共5 个小题，每小题3 分，满分15分)1、设数列xn与数列yn满足li8m Xx:(A)若龙”发散，则y

2、”必发散。(C)若”有界，则y“必为无穷小。2、设函数/(%)=X国，则(0)为(A)lo(B)不存在。0,则下列断言正确的是()。(B)若“无界，则y“必无界。(D)若工为无穷小，则以必为无穷小。龙“)o(C)0 o (D)-lo3、若/(r)=/(x)(一 00%+00),在(00,0)内/(为0,/(),则/(无)在(0,+o o)内有()o(A)/(九)0,/(%)0/(%)0。(C)/,(x)0,/,z(x)0o(D)/V)0o4、设/(x)是连续函数，且/(%)=(/(。流，则尸(x)等 于()。X(A)-e-xf(e-x)-f(x)o(B)-e-xf(e-x)+f(x).(C)e

3、-xf(e-x)-fM o (D)e-x f(e-x)+f(x)01JI5、设函数/（%）=a si n x +si n 3x在尤=处取得极值，贝U （）。（A）。=1,/（一）是极小值。（B）。=1,/（一）是极大值。（C）。=2,/（；）是极小值。（D）。=2,/（不）是极大值。三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分）心V l+ta n x -V 1+si n x1、求 li m-D ln（l +A:）.nx+ax+h,，、,2、设h m-=4,求 a、b。f x -x3、设y=y(x)由参数方程x=ln(l+r)dy所确定，求 y-t +arctan t dxd-ydx4、设

4、/(x)在x=0处的导数连续，求 limx70+z7f(sin2 A/GC)dx5、十 于士工m 八 XSH1X J求不定积分-dx o COS X6、求定积分J cos 4xdx o7、设/(x)=sin2 xxexx 03求|f(x-2)dx o四、证明下列不等式（本 题 10分）1、sinx,71x e(0,)；2石 ，Jsinx 冗2、1-dx Jo x 2五、(本题10分)设/(%)=x _n，其 中g(x)具 有 二 阶 连 续 导 数，且g(0)=Lg(0)=-1。(1)求/(无)；(2)讨论/(无)在(-8,+0 0)上的连续性。六、(本题8分)设函数/在。，”上可导，证明：存

5、在勾，使得2S)-/()=&-/)/。(8 分)答案一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设 li m（正 网 =8,则 In 2。x-a）-ex-12、设函数/（%）=，-，则函数的第一类间断L，第二类间断点%（尤-2）是2 o3、设 y =ln（x +7 1+x2），则 dy-.1 dx。J l+/14、设/（幻 是连续函数，且/（%）=x +2/Q）小，则/（无）=尤一1。5、（a r cta n x d x=-In V 2 0Jo4二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设数列与数列y“满足=0,则下列断言正确的是（D）。00（A）若%“发散，则先

6、必发散。（C）若x“有界，则y”必为无穷小。（B）若龙“无界，则y“必无界。（D）若-为无穷小，则y”必为无穷小。2、设函数/（x）=X 4 则（0）为（C）0(A)lo (B)不存在。(C)0o(D)-lo3、若/(一 x)=/(%)(-o o x+o o),在(o o,0)内/(x)0J(%)0,则/(九)在(0,+8)内有(C )o(A)/(x)0J (x)0。(C)/(x)0J(x)0。(D)/z(x)0o4、设/(x)是连续函数，且/(%)=/力，则尸(x)等 于(A )oX(A)-e-xf(e-x)-fMa(B)-e-x f(e-x)+f(x)a(C)e-xf(e-x)-fM o(

7、D)e-xf(e-x)+fMo1兀5、设函数/(%)=。5巾工+)5也3%在工=1 处取得极值，贝 I j (D)o(A)a =l,/(g)是极小值。(B)a =l,/(g)是极大值。(C)a =2 J(g)是极小值。(D)a =2 J(g)是极大值。三、计算题(本题共7个小题，每小题6分，满分42分)”.V l+ta n x -V l+si n x1、求 li m-1)皿 1+马a、*J l+ta n x-J l+si n x J l+ta n x-J l+si n x解:h m-；-=li m-；-x f ln(l+x )i o x1 +ta n x-l-si n x 1 ta n x -

8、si n x 1=li m -=li m-=/(J i +ta n x +J l+si n x)2 x 4.（2 分）.（6 分）、“，.x2+ax+b“一,2、设h m-=4,求。、b。3 x -xM：,.-li m（x2+ax+b）=O=+a+b-O,b-（1+a）.（2分）X-1x2+ax+h 2X+Q-4 ,“八、li m -=li m-=2+。=4=。=2/=-3.（6 分）x f XZ X x f 2x-l3、设y =y（x：解:立=2Idx +tdy ddx dt）由参数72/2/2/1 +r/2+、2 t）1程 卜=ln（l+）y =f +a r cta n t2+t2 2t力

9、 _ -2）（1+户,dx 4t3u 匕 3 4dy dy所确定，求、9 Odx dx.（3 分）.（6 分）4、设/(%)在x =0 处的导数连续，求 li m 支 0 x f O+dx解：li m G in=li m /z（si n2 V x）2si n V x co sV x .（4分）io+dx io+2sjx=li m f/si n2 4）空 正 =r（0）.（4 分）5、求不定积分|12芈。Jco s3 X解：p4/x=），同（co s-2 X）.（2 分）J co s x J co s x 2 J1 r x r dx 1 r x “八、2 co s x co s x 2 co s

10、 x6、求定积分J cos 4xdx o解：令G =t,dx=2tdt,x=Oj=0;光=4,f=2.C 2分)j cosy/xdx=j 2fcos以f=2zsin-sinfd=2(2sin2+cos2-l).(6分)7 出 sin。x 0 i解：令x 2=t,dx=dt,x=l/=-l;x=3 j=L.（2分）./(%-2)办=(。山=1：sin2 xdx+xe7 dx1 -cos 2x,-ax2.|1 2 cl|1 ,1e d(-x2)=x sin2%,ex.(4分)。2 2 2 1 2 o1 2=1 sin 2+.(6分)4 e四、证明下列不等式（本题10分）1、sinxx,71x e(

11、0,1)；22、17Tsinx,7iI -ax Jo x 2sinx证明：设/（X）=X1x e（0E）则函数在x=0处连续，月.x=0f，(/x)、=-x-c-o-s-x；-s-i-n-x-=cosx(xz -tan x)、0八,x 小 乃、八八、G(0,).G分)x x 2所以,当X（0,C）时,/（x）单调减少，1（6分）2）7i x2x.2 zr rj sin x.sin x 1 =-I -dx 0%x-0=limg(X)+g=limx-o 2x x-*og(x)-e-xxXg”(O)-l 0=limx-0g(x)x122(3分)/。)=x(g(%)+、)(g(x)-%g(%)-g(x

12、)+(1+x)ex/(%)=x2xgx)-g(x)+(l+x)exX2x2g(0)T2x w 0 x=0(2)当xwO时，/(X)连续.当x =0时,lim/(%)=的烟g(?+a+)e =l gff(O)-l=(0)x f O A-O 2所以，r(x)在(00,+00)上都连续.(6分)(10 分)六、(本 题8分)设 函 数/在 。，以上可导，证明：存在力，使得2十。)-/(。)=(昌/。证明：设g(x)=x2,则/(%)与 g(x)在a,b上满足柯西微分中值定理条件,故至少存在一点J e(a,份，使得f(b)-于(a)=/)=f(b)-f(a):/)g S)g(a)g b-a2 2J所以，28/(。)一/=(b2-/)/(8 分)