线性代数课后习题.pdf

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1、第四章 向量组的线性相关性1.设门=(1,1,0)1 叱=(0,1,1)7,巧=(3,4,0)1 求 0一叱及3v+2 也 一 吟.解 P1-V2=(1,1,0)7-(0,1,1)7=(1-0,1-1,0-17=(l,o,-l)r.3 一 2 y 2 f 3=3(1,1,0)7+2。1,I)(3,4,0)r=(3 x l+2 x 0-3,3 x l+2 x l-4,3 x 0+2 x l-0)r=(0,1,2)42 .设 3(。|一。)+2(。2+。)=53 3 改)，求“，其中 i=(2,5,1,3)1“2=(10,1,5,10 1,的=(4,1,一 1,1)7.解 由 3 3 r)+2(a

2、 2+G)=5Q M 整理得a=+2a2-5a 3)6=1 3(2,5,1,3 y+2(10,1,5,10 尸 一 5(4,1,T,I)，o=(1,2,3,4尸.3 .已知向量组A:。尸(0,1,2,3 尸,敢=(3,0,1,2)；的=(2,3,0,l)r;B：bl=(2,1,1,2)1 b2=(0,-2,1,1)；仇=(4,4,1,3/,证明3组能由A 组线性表示，但 A 组不能由B组线性表示.证 明 由f O 3 2 2 0 4、(A 10 3 1-2 4(A，功-2 1 0 1 1 1I 3 2 1 2 1 3;4-2O 41232O31O12oO5779-4750-2530-11-1o

3、3640-o1oo1ooo3604一2o1oo4755-2255311/(Ooe知R(A)=R(A,B)=3,所以B组能由A组线性表示.由会-lol3o1oo1ooo/I二22TT0211-1ooo44130211B知R(B)=2.因为R 0 R(B,A),所以A组不能由B组线性表示.4.已知向量组4：4尸(0,1,1)1畋=(1,1,。)7；B：%=(1,0,1)1)2=(1,2,1)d=(3,2,-1)；证明A组与3组等价.证 明 由f-1(B,A)=0711OO1O320120ToozrI知R(B)=R(B,A)=2.显然在A中有二阶非零子式，故R(A)2 2,又R(A)R(B,A)=2

4、,所以 R(A)=2,从而 R(A)=R(B)=R(A,3).因此 A组与B组等价.5.已知我(。1,敢,。3)=2,夫(。2,。3,。4)=3,证明(1)可能由外,“3线性表示；(2)%不能由“3线性表示.证 明(1)由R Q,由，。4)=3知a2,a3,外线性无关，故做，的也线性无关.又由即5 a2,的)=2知 i,a2,的线性相关,故者能由。2,由线性表示.(2)假如。4能由。2,。3线性表不，则因为41能由。2,“3线性表7K,故。4能由“2,。3线性表示，从而。2,“3,。4线性相关，矛盾.因此。4不能由41,。2,。3线性表6.判定下列向量组是线性相关还是线性无关：(-1,3,1)

5、(2,I,。)，,(1,4,1尸；(2)(2,3,0)；(-1,4,0)；(0,0,2尸.解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为4因为XMI7172272Toozf二A7141210131zrI2 n1O1OoO所以R(A)=2小于向量的个数，从而所给向量组线性相关.(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B.因为00274023151=0=2 2/0,所以R(B)=3等于向量的个数，从而所给向量组线性相无关.7.问。取什么值时下列向量组线性相关？a尸3,1,1)敢=(1,a,-l)r,%=(1,T,a)T.解以所给向量为列向量的矩阵记为4由a 1 1I AI=1 a 1 =Q(a 1)(Q+1)1

6、1 Q知，当。=-1、0、1时,R(A)i)+Am(am+bm)=Q.取 a=e=-bx,42 42=一82,aR m=-bm,其中 6,e 2,.e,”为单位坐标向量，则上式成立,而S,。2,4”和仇,b2,bm均线性无关.若只有当4,演 ,居 全 为0时,等式4。1+*,+4/z+2/i+一+九/尸 才能成立，则 1,。2,am线性无关,玩如,bm亦线性无关.解 由于只有当4,沏,乙全为0吐 等式由 ,+4/,+4 5 +4”瓦”=0成立，所以只有当办,丸”&全 为0时，等式丸1(。1+51)+42(。2+，2)+4”(。+)=0成立.因此“1+41,“2+6 2,%i+bm线性无关.取4

7、 X 2=0,取一，,为线性无关组,则它们满足以上条件，但。2,一,即线性相关.(4)若Q 1,。2,%线性相关,b i,b2,亦线性相关，则有不全为0的数,九,演，乐使丸 。+,+/!/机=0,A,b|+,+%/机=0同时成立.解 1=(1,0)1 如=(2,0)7,=(0,3)1 必=(0,4)1丸 1+4必2 0=/li2/2?4/1+42b2=0=2产(3/4)%2,=4=/2=0,与题设矛盾.H.设力fl”，力2%+”3,5 3%+4,5 4“+。1,证明向量组b瓦线性相关.证明由已知条件得U =b Cl2f a2=2-3,4:=4于是 a =一+的=bb 2+b 3。4 b b 2

8、+b 3 b 4+a ,从而)1一 42+44=0,这说明向量组b,b2,心,九线性相关.12 .设 b=ai,b2=ai+a2,br=a+a2+”,且向量组 i,的 ,见线性无关，证明向量组仇,心,瓦线性无关.证 明 已 知 的 个等式可以写成 1 -P也，也)=(%，。2,q)I I二1，、0 0 1,上式记为B=AK.因为I K I=1M,K可逆，所以R(B)=R(A)=r,从而向量组加也，仇线性无关.13 .求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：(l i=(l,2,-1,4/,做=(9,1 0 0,1 0,4 尸,3=(-2,-4,2,-8)r;20O39-100rlooW二(*0O3

9、9-292813-1ooO二2428-9004O112T4fzl由(p解知R(a,a2,%)=2.因为向量 i 与做的分量不成比例，故四，2线性无关，所以即做是一个最大无关组.(2)。/=(1,2,1,3),2r=(4,-1,-5,-6),a/=(l,-3,-4,-7).14n1/1141/(14n1zf解 由-50o-90oPOOK550二-199-8OOH347-156-213(%,七,生)二知?(,2,3)=/?(1,a2,3)=2.因 为 向 量 与“2 的分量不成比例，故。/，敢,线性无关，所以。/，做,是一个最大无关组.1 4.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组：(

10、25 31 17 43、小 75 94 53 132.75 94 54 134(25 32 20 48 I解 因 为25 31 17 43、75 94 53 13275 94 54 134(25 32 20 48)250004333o172103110025000zfe一二一43355所以第1、2、3 列构成一个最大无关组.INddv1-3-25-142130112o1111o21rzk2)解 因 为1)X1-252111121O!11IX/(O22O)7OOOO10二T15-51T2-2oOO102门71T3T25-1421301104111o211zr所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

11、1 5 .设向量组3,3,1 尸,(2,b,3 1,(1,2,1)1(2,3,1 尸的秩为2,求a,b.解 设。尸(。，3,1)1 敢=(2,b,3 尸,3=(1,2,1)7,%=(2,3,1 7.为因Q3231oOz/m42Au33Tf l 1 1 3)0 1 a-1-10 2 b 5,而 R(G 1,叫 口 4)=2,所以 4=2,b=5.1 6 .设“1,a2,凡是一组九维向量，已知维单位坐标向量 q,。2,一,e”能由它们线性表示，证明田,。2,a“线性无关.证法一 记 A=Q,a2,%),E=(e1,e2,-,e).由已知条件知，存在矩阵K,使E=A K.两边取行列式，得E=A K.

12、可见M,所以R(A)=%从 而 敢,册线性无关.证法二 因为ei,e2,e”能 由 瓯。2,，灯线性表示,所以RM 02,en)R(ai,a2,an),而 R M。2,e)=n,R(ai,a2,a)n,所以 RQ,a2,an)=n,从而,“线性无关.17.设%,a2,“是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一 n维向量都可由它们线性表示.证明 必要性：设Q为任一 维向量.因为线性无关，而1,2,，%,。是+1个维向量，是线性相关的,所以。能由田,敢,、%线性表示，且表示式是唯一的.充分性：已知任一 维向量都可由1,2,一,狐线性表示,故单位坐标向量组g,e2,一,能 由 ,a2,

13、一,。”线性表示，于是有=R(q,e2,etl)R(a,a2,a,)0,4+1=4+2=4 =。，于是4闷 +2必2+*+丸 山 攵为=一(1/4)(九。1+丸2。2+,即ak能 由。2,.，dk-线性表示.1 9.设向量组3:仇,一,瓦能由向量组4:白,见线性表示为(瓦,6)=(即 ,as)K,其中K为s x r矩阵，且A组线性无关.证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.证明 令B=/,4=Q,4),则有B=A K.必要性：设向量组3线性无关.由向量组8线性无关及矩阵秩的性质，有r=R(3)=R(AK)minR(A),R(K)R(K),及 R(K)min r,5r.因此 R

14、(K)=r.充分性：因为R(K)=r,所以存在可逆矩阵C,使KC=为K的标准形.于是（仇，）C=（卬，a，）K C=3 i,，,）.因为C可逆，所以R S i,，）=R（“i,）=，从而仇，,乩线性无关.2 0.设=%+。3+%A=l +。3 +%力,=%+。2+%+.+%证 明 向 量 组。2,、内与 向 量 组2 2,证明将已知关系写成（01（Bi，。2,，）=（%,%，%）1将上式记为3=A K.因为1I K I=11i=（_i）-y,0 11 01 11 1 1o所以K可逆，故有A=3 K-i.由B=A K和A=5KT可知向量组即 2,一，%与向量组回,仇，,月可相互线性表示.因此向量

15、组6,0 2,以与向量组 1,昆,，月等价.21.已知3阶矩阵A与3维列向量x满足43%=3祗必2X,且向量组x,Ax,A2X线性无关.记尸=(x,Ax,A2%),求3阶矩阵优使AP=PB;解 因 为AP=A(x,Ax,A2X)=(AX,A2X,A3X)=(Ax,A2X,3AX-A2X)仅0 0、=(x,Ax,A2x)10 3,0 1 -1.所以8=A7037OOIo1oQ)求.解 由 A3x=3Ax-A、A(3X-AX-A2X)=0.因为 X,AX,TX线性无关，故 3X-AX-A2X,即 方 程Ax=O有非零解，所以R(A)3,IAI=O.22.求下列齐次线性方程组的基础解系:%882+1

16、。毛 +2%4=0(1)2x,+4X2+5X3-x4=0;13%+6X3-2X4=0解对系数矩阵进行初等行变换，有fl-8 10 2 1A=2 4 5 1 (3 8 6-2)fl 0 4 0 10 1 -3/4-1/4(0 0 0 0于是得%=一4毛%2=(3/4比+(1/4)取(X3,取J(4,0成,得(修,初=(一1 6,3 y；取(小,4 1=(0,4)。得(修,2)7=(0,I f因此方程组的基础解系为刍=(1 6,3,4,0)7,金=(0,1,0,4)7.f 2 x1-3 x2-2 x3+x4=0(2)3%1 +5X2+4X3-2X4=0.网+7超+6巧-3/=0解对系数矩阵进行初等

17、行变换，有A=-3 -2 1 )f l 05 4-2-017 6 -3 j(0 02/1 9-1/1 91 4/1 9-7/1 90 0于是得玉=一(2/1 9)毛+(1/1 9)及X2=-(1 4/1 9)X3+(7/1 9)X4，取(a x y=(1 9,0)得3,必)7=(-2,1 4次取(如必)7=(。，1 9)1 得(X,%2)T=(l,7)T.因此方程组的基础解系为=(-2,1 4,1 9,0 y 0,1 9)7.(3)/2%+(7 2 1 )X2+,+2 x_+x=0.解 原 方 程 组 即 为xn=rix 1 )2 ,-2 x/7-i.取 1,X/7-i 0,得 xn nj用J

18、.工2=1,X1 =%3=%4=1=,一(几 1 )=7 1+1；X-1 =1,X=X2=*=X-2二0,4导 XfJ=-2.因此方程组的基础解系为看=(1,0,0,.0,-n)T,$=(。,1,0,0,-n+l)r,*9主尸(0,0,0,.-,1,-2/.381A0/2-5-29/I=A88882 3.设A=；，求一个4 x 2矩阵比使43=0,且R(B)=2.解 显 然B的两个列向量应是方程组4 3=0的两个线性无关的解.因为所以与方程组A 3=0同解方程组为k=(l/8)3-(l/8)x4%2=(5/8)&+(l l/8)x j取(%4 1=(8,0)7,得(修,.)7=(1,5)7；取

19、(孙 4 =(0,8尸，得。1,必)7=(-1,1 1)7.方程组A B=0的基础解系为刍=(1,5,8,Of,&=(-1,1 1,0,8)7.p-口因此所求矩阵为3=I V1。8 J2 4.求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为看=(0,1,2,3 尸,4=(3,2,1,0/.解显然原方程组的通解为X 1 =3&即 t 二 疣%，(自,女 2 的,九 3 4 K十、%4=3 匕消去白，心得2X-3X2+X4=0%-3 巧+2%4=0此即所求的齐次线性方程组.2 5.设四元齐次线性方程组I:再+%2=。T T.%2 T4=。玉一马+九3=Ox2-x3+x4=0*求:方程I 与 I I 的基础解

20、系;(2)I 与 I I 的公共解.解 由 方 程 I 得。二 包1%2=%4取(处,取Ml,0)1 得(修,X2)r=(0,0)7；取(M,%4)T=(。,D i tf(X l,X2)r=(-l,1/.因此方程I 的基础解系为 1=(0,0,1,0)=(-1,1,0,I ff由方程n得 土 不3 .取(R d,0尸,得,历尸=(0,1),；取(M,4尸=(0,D i 得(修,2)7=(-1,-1尸.因此方程I I的基础解系为。=(0,1,I,。)，-1,0,1尸.(2)I与I I的公共解就是方程%1+%2=0T T T.,工2-%4=%-%2+%3=0%2-3 +%4=0的解.因为方程组I

21、U的系数矩阵0701oo1T11-1A 11 11-1o1ozf=142o_oo1oo1oo1ooo所以与方程组H I同解的方程组为%=一4 R(A+E-A)(E)n,由此 R(A)+R(A-E)=n.2 7.设A为阶矩阵(*2),A*为A的伴随阵，证明n 当 R(A)=R(A*)=1 当 R(A)=一 1.0 当 R(A)口-2证明 当R(A)=时,L 4 I M,故有1 AA*I=I L 4 I日=I AI w O,I A*l w O,所以 R(A*)=.当 R(A)=-1 时,1 4 1=0,故有4 4*=1 AI E=O,即A*的列向量都是方程组A x=O的解.因为R(A)=-1,所以

22、方程组A x=O的基础解系中只含一个解向量，即基础解系的秩为1.因此 R(A*)=1.当R(A)n-2时，A中每个元素的代数余子式都为0,故A*=O,从而 R(A*)=0.2 8.求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：%+%=52%+%2 +%3 +2%=1 ；5%+3/+2X3+2X4=3OOIITOo1oloo022o1121111125no解对增广矩阵进行初等行变换，有一8113.2J与所给方程组同解的方程为=一七-8 x2=X3+13.%4=2当x3=0时，得所给方程组的一个解片(-8,13,0,2)T.与对应的齐次方程组同解的方程为当小=1时，得对应的齐次方程组

23、的基础解系拉(-1,1,1,0)Tx1-5X2+2X3-3X4=1 1+3%+6%3-%4 =1 ,+4%+2刍+七=6解对增广矩阵进行初等行变换，有8-35452Ay111161-goov9/7-1/7。0311-1262O1O与所给方程组同解的方程为X,=-(9/7)+(1/2)X4+1 X2=(1/7)X3-(1/2)X4-2 ,当x3=x4=0吐 得所给方程组的一个解%(1,-2,0,0)T.与对应的齐次方程组同解的方程为%=一(9/7)七+(1/2).%2=(1/7)%3 二(1/2)%4 ,分别取(%3,乙尸=(1,0尸,(0,1)1得对应的齐次方程组的基础解系=(-9,1,7,0

24、/.=(1,-1,0,2尸.2 9.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知小,小,小是它的三个解向量.且71=(2,3,4,5)1仍+小=(1,2,3,4)1求该方程组的通解.解 由于方程组中未知数的个数是4,系数矩阵的秩为3,所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于小,2,小均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得2 1一(2+3)=(1一 2)+(3)=(3,4,5,6)，为其基础解系向量，故此方程组的通解：%=女(3,4,5,6)4(2,3,4,5)7,(&e R).3 0 .设有向量组 A:“尸(。，2,1 0)1 败=(2,1,5)T,a3=(-l,1,

25、4)及)=(1,及-1)1问。，储何值时(1)向量力不能由向量组A线性表示；向量力能由向量组A 线性表示，且表示式唯一；(3)向量b 能由向量组A 线性表示，且表示式不唯一，并求般表示式.解-1-2(ava2,avb)=1 1(4 5a 1,2 B10-1J,10I。一2 a 1 )1 1+df 尸+10 4+a一3 4当g-4,分 0 时,R(A)wR(A,刀，此时向量力不能由向量组A 线性表示.(2)当好-4 时,R(A)=R(A,。)=3,此时向量组即久,由线性无关，而向量组即。2,的,力线性相关，故向量力能由向量组A 线性表示，且表示式唯一.当gY,0=0时,R(A)=R(A,b)=2

26、,此时向量力能由向量组A 线性表示，且表示式不唯一.O1O1oO/I二、,1oT-4210-215T14/I-2 1 )3-10 0 I万程组(的,“2,的解为%、125 J(2、=c-3luf n+-ilo j2c+l 3c、一1 ,ceR.因此)=(2c+l)Q3+(3c 1川2+91,即 b=i+(-3c-1 )2+(2C+1 )z3,CGR.3 1.设 a=3 1,a2,a3y,b=(bi,b2,b3)T,c=(ch c2,c3)7,证明三直线/i：aix+by+c-O,l2:a2x+b2y+c2-0,(a+bO,i-1,2,3)，3：。/+3+，3=0,相交于一点的充分必要条件为：向

27、量组见b线性无关，且向量组a,b,c线性相关.证 明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组ax+by+cl=O alx+biy=-cia2x+b2y+c2=O,的通解.解 由任1+2+。3+4知片(1,1,1,I)，是方程A X*的一个解.由。1=%2-。3得2。2 3句,知拉(1,-2,1,0尸是Ax=O的一个解.由2,4 3,。4线性无关知R(A)=3,故方程A x*所对应的齐次方程A x=O的基础解系中含一个解向量.因此勺(1,-2,1,0尸是方程A x=O的基础解系.方程A x斗的通解为x=c(l,-2,1,0)4(1,1,1,1)CGR.33.设*是非齐次线性方程组Ax2的一个解，

28、品 真 一,。一,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：产 品 氢 ，酊线性无关;(2)*,*+品*+刍,、*+多_,线性无关.证 明(1)反证法，假设 比 基 ,4-线性相关.因为品久 ，泰线性无关，而*,品 质 ，菰,线性相关，所以*可由 品 坛 一，4，一,线性表示，且表示式是唯一的，这说明/也是齐次线性方程组的解，矛盾.(2)显然向量组*,*+&,*+4,*+-与向量组*,品 坛 一，蒜一,可以相互表示，故这两个向量组等价，而由知向量组*,品 康，一，上,线性无关，所以向量组*,*+1*+殳、*+J 1-r也线性无关.34.设功，;72,，7是非齐次线性方程组A r斗 的s个解,

29、k,左2,上为实数，满足%1+%2+%s=L证明X=k 1+女2 2+2”、也是它的解.证明 因为外，小,，7 都是方程组Axa的解，所以Arji=b(z=l,2,$),从而 A(A：771+22+,+ksT js)=k.At+k2A72+,+ksAts=(女 +&2+*,+kjb=b.因此*=刈1+左22+也是方程的解.35.设非齐次线性方程组A x*的系数矩阵的秩为r,牝电,一，必一川是它的-什1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为*=左11+左22+匕?-r+l(其中:+无2+,+院-r+l=l证明 因为 1,2,，+1均为Ax=b的解，所以4=费=3-1,，n-r=Tn-r+-T 均

30、为 Axb 的解.用反证法证:4,殳 ,品线性无关.设它们线性相关，则存在不全为零的数相 ,使得办自+几2$+4”_尸0,即 儿(2一 1)+九2(小 一 1)+n-r(?7n-r+l-l)-0,亦即 一(4+丸2+/”_,)+九 2+丸23+一+%”-r -r+1=0,由 1,2,r+1线性无关知(A 1+A 2+,+47T)=丸1=丸2=47T-=0,矛盾.因此自，瓦,基,线性无关.刍，聂 为A x*的一个基础解系.设x为Ax斗的任意解，贝！I*-1为Ax=O的解，故x-1可由4,其 ,配r线性表出，设X 尸 攵 2 备 +攵 3&+一+%”-r+4-r=攵2（21）+攵3（31）+，+k

31、n-r+i（a）,%=1（1一 女2一 左3 一 一匕w+D+左2小+左3小+一+k n-r+l4n-r+L令人1 =1-%2-3-匕w+1,则 k+ko+k-i kn-r+=i,于是%=肩|+4 2小+,+kn-r+lfJn-r+-3 6.设V =X=（%1,x2,，x”）7|修，x e R 满足 1+%2+%”=0,V2=X=（X 1,%2,Xn）T Xi,X GR 满足-1+V 2+苍=1,问V ,匕是不是向量空间？为什么？解片是向量空间，因为任取8 3 1,白2,4）/e V i,华S 1,岳,，乩2G GR,67+2+*,+Q=0,+2+*+6=0,从而 3 1+。1）+（2+匕2）

32、+一+（。+儿）=（。1+。2+一+。）+（人1+。2+一+?）=0九7+2+,+九2=4 QI+Q2+,+Q）二 ,所以 a+分（”1+a,做+岳,%,Aa=（Aah Aa2,Aat1）TeV%不是向量空间，因为任取0 3 1,4 2,&）%,生31,岳,瓦）、，有f +。2+一+。=1,b+b+Z?n=l,从而（。1+仇）+（。2+匕2）+,一+（+乩）=（。1+。2+）+3 1+岳+*+匕 ）=2,所以 a+住3 i+M做+仿,，。+乩）7任 匕.37.试证:由 ,=（0,1,1）；“2=（1,0,1尸,的=（1,1,。尸所生成的向量空间就是R3.证明 设4=3 1,。2,。3）,由0

33、1 11 X 1=1 0 1=一2/0,1 1 0知R（A）=3,故。1,。2,的线性无关,所以即。2,。3是三维空间R 3的一组基，因此由四,。2,。3所生成的向量空间就是R .38 .由。产（1,1,0,O f 4 2=（1,0,1,1尸所生成的向量空间记作%,由仇=（2,-1,3,3）7,f t2=（0,1,-1,-1尸所生成的向量空间记作v2,试证V尸片.证明 设A=Q,。2）,3=（仇,岳）.显然R（A）=R（B）=2,又由（A3）=。100J2-3OO11-oO1ooOfz41111O1-2733111A11111)uccn)知 R(A,B)=2,所以R(A)=R(B)=R(A,B

34、),从而向量组由,生与向量组仇，仇等价.因为向量组右,。2与向量组多，必等价，所以这两个向量组所生成的向量空间相同，即 V,=V2.39.验 证。尸(1,一 1,0了,做=(2,1,3尸,生=(3,1,2尸为R3的一个基，并把力=(5,0,7)r/2=(-9,-8,-13),用这个基线性表示.解 设 4=31,“2,。3).由=一6工0,知 R(A)=3,故 3,外,的线性无关，所以,。2,。3为暖的一个基.设 为勿+%242+%3。3=/，贝 U玉+2+3七=5 玉 +%2 +%3 =，3X2+2X3=7解之得X1=2,%2=3,%3=-1,故线性表示为丹=勿1+3。2-3.设为勿+%2。2

35、+%3。3=叱，贝 U%+22+3 为=9-%+%+毛=-8，3X2+2X3=-13解之得X=3,%2=-3,%3=-2,故线性表示为了2=3。32-勿34 0.已知R 3的两个基为。产(1,1,1尸,。2=(1,0,-1月的=(1,0,1尸,力 尸(1,2,1)7,岳=(2,3,4尸,03=(3,4,3)7.求由基即。2,。3到基加,如仇的过渡矩阵P.解 设3,6 2,6 3是三维单位坐标向量组，则于是q(%,%,%)=31，02,03)1q(6 1,0，/)=(%，。2，%)1711ru111O-343234 1 1 1 Y1=(4 ,%,”3)1 0 01 1 -11Jf l23)4由基田,做,的到基仇出,仇的过渡矩阵为|.1740-13To20T/kx=A-IF73432341oT11111A=p