数学第四章　三角函数、解三角形.pdf

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1、第 四 章 三 角 函 数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数 备考领航重点准 逐点清 结论要牢记课程标准解读关联考点核心素养1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义I.象限角及终边相同的角.2.扇形的弧长及面积公式的应用.3.三角函数的定义及应用1.数学抽象.2.直观想象.3.数学运算知识课前自修 重点准逐点清重点一角的概念的推广1.定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.f按旋转方向不同分为正角、鱼鱼、零角;2 分卷1按终边位置不同分为象限角和轴线角.3.终边相同的角：所有与角a 终边相同的角，连同角

2、a 在内，可构成一个集合5=川/?=a+Jt-360,k&Z.提醒 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同.逐点清1.（兴修4 第 5 天练习3（2）题改编）一870的角的终边所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选 C-870=-2 X 3 6 0 0-150,870和一 150的终边相同，所以一870的终边在第三象限.2.（兴 传 4 第 5 页 练 习 5（2）题改编）在 0 到 27r范围内，与 角 a=一午终边相同的角是.解析：与角a=一与终边相同的角是2hr+（一期 伏 GZ）,令k=l,可得与角=一专终边相同的角是苧.答 案 后重点二

3、弧度制的定义和公式1.定义：把长度等于半校长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示.2.公式角 的弧度数公式|a|=(Z表示弧长)角度与弧度的换算 松山 rad7 t）。弧长公式Z=Jajr扇形面积公式S=|zr=|a|r2 提醒 有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是兀=180,在同一个式子中，采用的度量必须一致，不可混用；(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.逐点清3.(易错题)下列与空的终边相同的角的表达式中正确的是()9A.2*7t+45(*eZ)B.*-3600+7r(*eZ)C.h360315优GZ)D.jtn+y(JtSZ)解

4、析：选C 由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为+2A7T或距360-315(GZ).4.(兴修4第8页例3改编)一条弦长等于半径，则 此 弦 所 对圆心角的弧度数为()7 T六 7 TA-6B-3C.1 D.T解析：选B因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两半径构成等边三角形，所以弦所对圆心角为6 0,即为g rad.重点三任意角的三角函数1.定义：设。是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,）,那么sin a=_,cosVa=x,tan a=:(xW 0).2.推广：设点尸（x,y）是角终边上任意一点且不与原点重合，r=O P 9则 sina=）,X ycos

5、 a=-tan a=#x#0）.逐点清5.（兴修4第 12页例2 改编）已知角a的终边过点尸（一4,3）,则 2sin a+tan a的值是（）9 9A.20 202 2C.-g D.g3 4解析：选 B 角 a 的终边经过点 P（4,3）,.r=|0 尸|=5.sin a=g,cos a=j,tan3打 不/.2sin a+tan a=2 X 1+（.故选 B.6.（兴修4 第 13页例3 改编）若角0同时满足sin 0 0且 tan 60,则角0的终边一定位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选 D 由 sinOVO,可知。的终边可能住于第三象限或第四象限，也可

6、能与y 轴的非正半轴重合.由tan a V 0,可知，的终边可能位于第二象限或第四象限，故，的终边只能位于第四象限.记结论提速度 记结论1.一个口诀：三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.第三象限角 卜性7T+7TVaV2的第象限角 卜性7TV a V 2 A 号象限角的集合无-象限角)同2471+野 V a V2A7T+7T,A W Z第四象限角 同 2痴+等 VaV2*7T+27T,*z3.轴线角集,终边落在“轴 上 的 角 a|a u e z T 终边落在y轴 上 的 角 k|a=+A7T,MZ)(终边落在坐标轴上的角 叩=如,*口 提速度】1.已 知 角a为第二象限

7、角，点尸(tan a,sin0在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解 析：选B 因 为 角a为第二象限角，所 以tana 0,则 点P(tana,sin a)在第 二 象 限.故 选B.2.终 边 在 直 线y=x上 的 角a的取值集合是()A.a|=n-360+135,6Z B.l=n-360o-45,ziGZC.a|=n-180+45,e z D.a|a=n-180o-45,nGZ解 析：选C 终 边 在X轴上的取值集合为/?W=T80,ez ,把X轴绕原点按逆时针 旋 转45得 到a,则a的取值集合为aa=T80+45,GZ.考点理 解 透 规 律 明 变 化 究 其

8、 本课堂讲练_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.象限角及终边相同的角 基础自学过关 题组练透1.设 集 合 卜 =与180。+45。，G z,N=x x=180+45,*ez ,那么()A.M=N B.MUNC.NUM D.M DN=。解 析：选 B 由于 M 中，x=-180+45=*-90+45=(2Jt+1)-45,2A+1 是 奇 数；而N 中，*=/1 8 0。+45。=七45。+45。=(+1)45。，A+1 是整数，因此必有 MUN.2.（多选）已知角2 a 的终边在x 轴的上方，那么角a 可能是（）A.第一象限角 B.第二象限角C

9、.第三象限角 D.第四象限角解析：选 AC 因为角2 a 的终边在x 轴的上方，所以h3602ah360+180,&GZ,则有 M18（ravAT800+90。，k e Z.故当=2%GZ 时，n-360a/r360o+90,n&Z,a 为第一象限角；当 A=2+l,GZ 时，n-360+1 80an-360+270,GZ,a 为第三象限角.故选A、C.3.在一720。0。范围内所有与45。终 边 相 同 的 角 为.解析：所有与45。终边相同的角可表示为：#=45+*X360（*GZ）,则令一 720 W45+A X 3600（*G Z）,得一765WAX3600 B.cos 2a0 D.s

10、in 2a0 解析 法一：因为a 为第四象限角，所以2，V aV 2E,k Z,所以7rV2a4kn,A G Z,所 以 2 a 的终边在第三象限、第四象限或y 轴的负半轴上，所 以 sin 2a 0,所以sin 2a=2sin acos aVO.故选D.答案 D 解题技法三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解.跟踪训练1.下 列 各 选 项 中 正 确 的 是()A.sin 3000 B.cos(305)0 D.sin 100解析：选 D 300

11、=360-6 0 ,则 300是第四象限角，故 sin300 0;一 弩=一 8兀+竽，则一等是第二象限角，故 tan（-jJ 0;3 n 1 0 y,则 10是第三象限角，故 sin 10 0,故选D.2.已知角，的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，且 cos=若点M（x,8）是角，终边上一点，则 x 等于（）A.-1 2 B.-1 0C.一8 D.-6解析：选 D 由任意角的三角函数的定义可得，nx x 3CS=Z=-5-解得x=-6.3.设，是第三象限角，且 cos 3=cos I，贝碌是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析：选 B由。是第三象限角知

12、，目为第二或第四象限角,:cos2=cos 3，；cos 3V 0,n综上可知，彳为第二象限角.课时过关检测 3A 级-基础达标1.下列命题错误的是（）A.一个是第二象限角 B.专是第三象限角C.一400。是第四象限角 D.-315。是第一象限角解析:选A 一字是第三象限角，故 A 错误萼=兀+*从而普是第三象限角，B 正确.一400=3604 0 ,从而 C 正确.一3150=360+45,从而 D 正确.2.已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为（）A 巫B亚A4 2C.V2 D.22解析：选 C 设圆的半径为r,则该圆内接正方形的边长为也r,即这段圆弧长

13、为g r,则该圆弧所对的圆心角的弧度数为华=也.故选C.3.已知点小加%,cos%）落在角，的终边上，且，W0,2T T）,则，的值为（）.n 3nA.4B 7解析：选 D点点尸落在角，的终边上，且 咐 0,2兀），所以，=季4.若角a 与 的终边关于x 轴对称，则有（）A.+/?=90B.+/?=90+A-3600,ASZC.a+=2hl800,&CZD.a+/=180+h360,keZ解析：选 C 因为a 与/?的终边关于x 轴对称，所以夕=2h180a,k Z,所以a+/?=2*480,AGZ.5.（多选）（2021济宁模拟）关于角度，下列说法正确的是（）A.时钟经过两个小时，时针转过的

14、角度是60B.钝角大于锐角C.三角形的内角必是第一或第二象限角D.若 a 是第三象限角，贝吟是第二或第四象限角解析：选 BD 对于A,时钟经过两个小时，时针转过的角是一6 0 ,故错误；对于B,钝角一定大于锐角，显然正确；对于C,若三角形的内角为9 0 ,则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误；对于D,.角a 的终边在第三象限，.2kn+n a 2kn+?,k&Z,J.kn+kn+9 kGZ.当A=2，Z 时，2M+?V 4 V 2兀+萼，Z,得号是第二象限角；当 k=2 n+l,n Z 时，（2+l）兀+*（2+1加+萼，C Z,得号是第四象限角,故正确.6.（多选）（2021 泰安模拟）已

15、知 在 卜 人:Y Z ，则 函 数 尸 篇 j+第的值可能为（）A.3B.-3C.1D.-1解析：选 BC xGIx x#萼，AGZ,当、-方 学 _ 刍晔叶.sin x 卜 COSXtan*,.i i.“在 第 象 限 时：L ls in T1|cos x|tanx|-1 1 1 I T 当卜 cos X.ta n x _ ,X在第一象限时.y-、inx|Tr|cos x|tan x|-1 1 卜 I T当卜 cosxtan x,上杜笫一象限时.）-卜加丫|cos x|tanx|-111-3当 左壁g鱼诅1.sin x I卜 C O S Xtan x _ 一 I 必济 n 兀在第四家限时

16、，sinx|T|cos x|tan x 1+1+l T，故选 B、C.7.若Q=1 5 6 0,角与a 终边相同，且一360V，V 3 6 0,则 0=_.解析：因为=1560。=4乂360。+120。,所以与a 终边相同的角为360X+120,kZ,令 4=-1 或 A=0,可得 0=一24（）或（9=120.答案：120。或一 240。8.已知扇形的圆心角为也面积为枭则扇形的弧长等于o 3-解析：设扇形半径为r,弧长为I,则,=点，2l r=V 解得“=去 =2.答 案 常9.已知扇形的圆心角为0,其弧长是半径的2 倍，则 篇 j+号 鬻+盟1解析：由题意，得，=2.而1 0,cos 0

17、0,所以a 是第四象限角.(2)因为O M=1,所以g 1+,/=i,解得盟=*又a 为第四象限角，故机0,所以,=亳，故 8(一 之，|),根据三角函数的定义得tan a4-534-(2)若A A O B 为等边三角形，贝 4NAOB=,故 与 角 a 终边相同的角p的集合为/4=1+2 E，*GZB 级综合应用1 3.（多选）（2021 潍坊质楂）在平面直角坐标系xOy中，角 a 以 Ox为始边，终边经过点P（1,/n）（/i0）,则下列各式的值一定为负的是（）A.sin a+cos a B.sin a-cos a sin aC.sm acos a D.：tan am 1解析:选CD 由已

18、知得r=OP=yltn2+l,则 sin a而 餐 o m a一 五 钎。,tan=一 zvO,/.sin a+cos a 的符号不确定，sin a-co s a0,sin acos a0,7 =cos a0 时，r=5a9 sin +cos g=-g 3 4 1当 “VO 时，r=5a,sin +cos=当 a 0 时，sin夕 K，cos 0=一W0),则 cos(sin 0)*sin(cos )=cos?s i n(-5)0;当a 0.综上，当a 0 时，cos（sin，）-sin（cos，）的符号为负；当a+s in，一 c o s s in 0 2,答案：2重点二诱导公式一二三四五六

19、2kn+a(k Z)n+aJr-a7 T2 a5+as in a-s in as in as in ac o s ac o s ac o s a一c o s ac o s a-c o s as in a-s in at a n at a n a-t a n a一t a n a 提醒 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.奇”偶 指的是&彳+浜4GZ)”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若 R为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在优WZ)”中，将 a 看成锐角时，“AT+a(AGZ)”的终边所在的象限.逐点清3.(此修4 第 24

20、页 例 1 改编)sin 2 490=cos(号)=解 析：sin 2 490=sin(7X360 30)=sin 30=g.cos(一 警=。晋 =cos|16江+加+I%n 1-co s 3=-2-答案：In4.（易错题）已知cos|y+aj=2sinHZ,贝！j tan a解析：因为cos|+aj=2sin(a,所以一sin i=-2 c o s ”，则 tan“=2.n答案：2 记结论,提速度 记结论同角三角函数基本关系式的常用变形(l)(sin acos(z)2=l2sin acos a；(sin a+cos a)2+(sin G-cos a)2=2；(sin a+cos a)2-(

21、sin a-cos a)2=4sin acos a.(2)sin a=tan acos”(a#/+A 7t,AZ)；.,_sin?”_tan2as，n a sin2a+cos2a tan2a+12 _ cos2a_COS a sin2a+cos2 a tan2a+r 提速度1.已知 tan a=-3,则 coCz 加 2口=()4-5A.B.工 ,cos2a-sin2rz 1-tan2a 1-9解析：选 B由同角三角函数关系得852。一城1 1”=赤 扁 忑=讦 而 忑=申45,2.若是ABC的一个内角，且 sin cos=一：,则 sin 一cos 的值为()OA.乎 B.坐C.当 D.坐解

22、析：选 D,。是ABC的一个内角，且 sin cosO=一：,OAsin 00,cos VO,Asin cos O=l(sm 6 cos)2=1 2sin Ocos 0=；=坐,故选D.考点份 一 破理 解 透 规 律 明 变化究其本课堂讲练I 考 点 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,同角三角函数基本关系式的应用 定向精析突破考 向 1“知一求二”问题 例 1 已知是第二象限角，且 tan“=一则 sin】+cos。的值为.解析 由 tanQ=一得 sin =ge os%将其代入 sin2+cos2Q=l,93V15 JIo所以82=诬，由 a 为第

23、二象限角，易知COSQVO,所以cos =，sin a=；瓦,.,迎故 sin 十cos”=-5 答案-邛考 向 2 sin a,cos a 的齐次式问题 例 2 已 知 二 鬻 7=1，求下列各式的值：ion u.1.sin 一3cns a)sin a+cos a(2)sin2a+sin acos a+2.解 由已知得tana=g.sin 3cos a tan a 3 5sin a+cos a tan a+1 3*(2)sin2a+sin acos a+2=sin2a+sin acos atan2(z+tan asin2a+cos2atan2a+l2=135,考向3 sin acos af

24、sin acos a”之间的关系的应用 例 3 已知 x (一兀，0),sin x+cosx=.求 sin x-cos x 的值;,、sin 2x+2sin2x求L ta n x的值.解 由 sin x+cos工=彳平方得 sin2x+2sin xcos x+cos2x=,24整理得2sin xcos x=一宠.49:.(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=运.由 x (一九，0),知 sinxvO,又 sin x+cos x0,A cos x 0,贝 4 sin x-co s x0,7故 sin x-cos x=sin 2x+2sin2x 2sin x(co x+sin

25、x)1-tan x Sin xcos x2sin xcos x(cos x+sin x)cos x-sin x7 175,5 规律探求看个性考 向 1 是公式的直接应用，即已知sin a,cos a9 tan Q中的一个求另外两个的值.解决此类问题时，直接套用公式si/a+c o sZ a-l及 ta n a-；段:即可，但要注意a 的范围，即三角函数值的符号.考向2 的分式中分子与分母是关于sin a,cos 的齐次式，往往转化为关于tana 的式子求解.考向3 是考查sin acos a 与 sin acos Q的关系.对于 sin a+cos a,sin a-cos a9 sin aco

26、s a 这三个式子，l2sin acos a9 可以知一求二利用(sin acos a)2=找共性(1)利用siMa+cos2a=1 可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角a 所在象限确定符号；利 用 黑:一tan a可以实现角a 的弦切互化；利用(sin a士 cos l2sin acos a 的关系可实现和积转化；(2)注意方程思想与转化思想的应用 跟踪训练1.已知 sin(7r+G)=一贝!J 值为()A.22 B.2啦C.乎 D.272解析:选 D 因为 sin(n+a)=-所以 sin a=J,cos a=士 尊 tan停一 )=：?=2啦.故选D.2.已知 sin a cos G=

27、g,且g v a V ,则 cos asin a 的值为()A,5 B.巧C Dv,4u,2解析：选 D 因为 sin“cos”=W，所以(cos a-sin a)2=cos2a_2sin a cos a+sin2a=l2sin a cos cos Q#0=tan=一；,._1_ cos2a+sin2 _l+taiP”1+(3)，*cos2a+2sin acos a cos2a+2sin acos a l+2tan a.2 3*答案：学I WJ 诱导公式的应用 师生共研过关 例 4 设/=2 s g+a)%网%a)+2 如用)，则/(喇1+sin2a+cosr+aj-sin2(y+a(2)已知

28、cos修-0)=a,则 cos +sin 一。)的值是 解析(1)因为八。)=(2sin )(一 cos a)+cos a 2sin acos a+cos al+sin2a+sin a-co s2a 2sin2a+sin acos a(l+2sin a)1/_ 2 3 九、_ _ _ _ _ _1_ 1_ 1_ r-si(1+2 s i n)=人.E尸.(_ 等)皿(_知+|)=靛=.(2)因为所以 cos管+。)+sin管一)=0.答案 dh/3(2)0 解题技法1.学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了.2.常见的互余和互补的角互余的角?-a 与3+a

29、；?+a 与a；?+a 与日一a 等J o J o 4 4互补的角与竽-，；今+0 与平一0 等诱导公式就是好，负化正后大化小;五的一半整数倍，奇数变化偶不变;函数符号问象限，两个函数看左边.跟踪训练1.（多选）（2021青岛模拟）已知x G R,则下列等式恒成立的是（)A.sin(-x)=sin xC.cos-sin xD.cos(xn)=cos x解析：选 CD sin（x）=sin x,故 A 不成立;c o s x,故 B 不成立;sin x,故 C 成立;C O S(X-7T)=-C O S X,故 D 成立.2.Sin(-1 200)cos 1 290=解析：原式=-s in l

30、200cosl 290=-sin(3 X 360+120)cos(3 X 360+210)=-sin 1200cos 210=-sin(1800-60)cos(1800+30)=sin 60cos 30亚 丫 亚32 X 2=4-答案：|解析：由题意知,3.已知sin2+答案：I号.也口诱导公式与同角关系的综合应用 师生共研过关 例 5 (2021湖北宜昌一中质检)已知a 是第三象限角，且 c o s a=-(1)求 tan a 的值；化简并求/、的值.解(l)：a 是第三象限角，COSQ=:.sin a=-y ll-c o s1a=：tan a=s*n a=3.v 10 cos a x v

31、cos a cos a 1 4，、.工工原 式=v =；=77 79 由()知 tan(z=3,.原 式=-2sin a+cos a 2sin a-cos a 2tan a-I1 _12 X 3-1=5-解题技法求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本思路分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式化简要求化简过程是恒等变换；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值 跟踪训练1.已知 a 为锐角，且 2tan（na）3cos（+/+5=0,tan（7r+a）+6sin（7 r+/7）1=0,贝！j sin a=.解析：由已知可得

32、一2tan a+3sin4+5=0.tan a6sin4 一1=0,解得 tan a=3,又G为锐角，故 sin a=4 俱.发 案.岖口 采.1 0,2 （Tt ,cos（a）+3sin（7r+a）2.已知 tan（7r-a）=_ w，且 6（一九，一不），则2、上-z=.3 27 cos（7ta）+9sm a-解析：由 tan（7r-a）=一得 tan z=,贝q cos（a）+3sin（7r+a）cos a3sin acos（na）+9sin a-co s a+9sin a1-3tana 1-2-l+9tan a _ 1+65,答 案：一看3 已知 sin a+cos a=1 1,K?a

33、 n,贝1-r5 2 sm（7r-a）cos（7r-a）的值为.1、12解 析：由 sin Q+COS Q=g平方得 sin“cos a=一运,.n.Tacos 8,贝 4 2cos +4 1 2sin(7t)cos =2cos+d(sin 6cos )2=2COS O+sin cos O=sin +cos 09 故选 A.5.(多选)在ABC中，下列结论正确的是()A.sin(A+B)=sin CB.B+C Asm-2-=cosyC.tan(A+B)=_ tanc(冶)AcD.cos(A+)=cos C解析：选 ABC 在ABC 中，有 A+B+C=T T,则 sin(A+3)=sin(7r

34、-C)=siii C;sinB+C2A=cosy;tan(A+B)=tan(7r-C)=tan cos(A+B)=cos(nC)=cos C.-3 心 sin a+3cos”一一小 =,一=6.(多选)(2021泰安模拟)已知二-=5，下列计算结果正确的是()3cos asm aA.tan=2 B tan a=213 6C.2o=g D.sin2a-COS 2a.sin a+3cos a tan a+3.1,解析：选 BC;=;=5,解得 tana=2,Acos2a+sin 2a=cos2(z3cos a-sin a 3-tan a 2cos2a+sin acos a+s in“cos =si

35、/a+cos2al+tanz 1+2 3l+tan2a=l+22=5,sin2a-co s la=2sin2a-cos2a=2tan2g1 7tan2a+l 5*7.计算：sin亭+c o*的值为.解析：原式=sin(2;rg+c o s(37r+.n n 1 1=一 哂 一 吗=一 厂 5答案：-1.sin(”一)+cos(，-2?r)18.若 sin+cos(7r+。)=7 则.=钮H n%sin(7 t-，)+cos(。-2九)sine+cos，1 大 sin J+cos(7r+。)sin 0-cos 0 V所以 2(sin 0+cos，)=sin cos 09所以 sin 0=-3co

36、s 0,所以 tan 0=-3.答案：一39.已 知 sin a是 方 程 5x2 7x 6=0的 根，a是 第 三 象 限 角，则si n(_ a a)tan2(7ra)=解析：因为方程5X27x6=0 的根为xi=2,X2=I，由题意知sin =5，故 cos a4 3s H a-cos”sin”tan2az,tan“=7,所以原式=-:-5 4 sm a*cos atan2a=916,答口来案 -1610.化简cos a1-sin a1+sin a5$/(lsin a)2/(I-cos a)2 1-sin a 1-cos a解析：原式=cos、/cos2a+s i n aV sin2a=

37、cos a而荷+而因为 najn9 所以 cos a0,sin v0.所 以原式=(1sin a)(1cos(z)=sin a+cos a答案：sin a+cos a-21 1.已知sin(37r+a)=2sin(T+(z),求下列各式的值:sin a-4cos a)5sin a+2cos af(2)sin2a+sin 2a.解：由已知得sin a=2cos a.2cos a4cos(1)5X2cos a+2cos a16,h v，sin2a+2sin acos a原式=一 函片/丁?一sin2(z+sin2a 8sin2a+sin2a 512.已 知 舞 a。，tan a一而工3r 求 ta

38、n a 的值;的值.i 3 1解：(1)4 tan a=x,则 x-=一不，整理得 2工 2+3工 一 2=0,解得 或 x=2,因为 VGVTT,所以 tan GV 0,故 tan a=-2.+)-cos(n-a)sin a+cos acos atan”+l=2+l=-1.B 级综合应用13.(2021 山东肥城级考)公元前6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现黄金分割比例为咛工Q 0.618,这一数值也可以表示为m=2sinl8。.若 加+=4,则T=()A.4B.3C.2D.1解析：选 C Vm=2sin 1 8 ,且+=4,.*.w=4-/w2=4-4 s

39、in218=4(l-siii2180)=4cos2180,.即 2sin 18d4cos218 4sin E cos 18 2cos2271=cos 54=sin 36=2故忠 c一 L,1 tan a14.已知 sin 0,cos a 0,所 以 cos asin a0,(W，因为(cos a-sin a)2=l_ 2 sin acos a=l_ 2 X所以 cos a-sin a亚2 9_ Sin a _ 范-1-tan a cos a cos a-sin a 2所以-=-；-=-=-:1+tan a 工.sin a cos a+sin a i1+-Tcos a 21 5.是否存在“(一,

40、丹 蚱(。，元)，使等式 in(3;ra)=qicos俘-“小 cos(一)=-，ico sm+0同时成立？若存在，求出a,的 值；若不存在，请说明理由.解：假设存在角见夕满足条件.由已知条件可得sin a=V2sin/?,、由 C O S Q=/Icos 夕，由2+2,得 sin2a+3cos2a=2.Asin2a=1,(-,。Aa=.当 1=1 时，由式知cos0=坐,又./G(0,r t),：邛=菅,此时式成立;当a=一 时，由式知c o s =，又./仁，7 T),“=*此时式不成立，故舍去.,.存在=,片点满足条件.C 级迁移创新1 6.已知 a,/?6(0,2n)K a /i,若关

41、于 x 的方程(x+sin a)(x+sin“)+1=0 有实数根,3sinG+a)+cos(J)求 代 数 式 一 -一东r2sin(n-a)cosl-y+)?l的值.解：整理方程(x+sin a)(x+siny?)+l=0 得 x2+x(sin a+sin/?)+sin asin夕+1=0.由题意得/=(sin a+sin jff)24sin asin 0 4 2 0,即(sin a-sin)?)2 4.0因为一i Ws i nlW sin/?W l,所以 sin a-sin 夕 2,2,从而(sin a-sin 夕 产 44.sin a=l,由得s in a-s in/=2,所以，sin

42、/?=1sin =-1,或 Jsin 0=1.因为 a,p G(0,2兀)且 a 0的形式，避免出现增、减区间的混淆.逐点清3.（兴 修 4 笫 45页练习3 题改编）函数y=tan 2x的定义域是（）A.jx xWATt+f,kG Z jB.x工 工 整+会 AZ C.jx x k n+9 kG Z)D.x x#亨+，RZ)解析：选 D 由2XRAT T+，k Z,得 x#亨+/,k G Z,所 以 产 tan 2 x 的定义域为卜 卜 鬻+%AGZ.4.（兴 修 4 笫 35页例2（2）改编）若函数y=2 s in 2 x-l的最小正周期为7,最大值为A,则（）A.T=jtf 4=1B.T

43、=2n9 A=1C.T=nf A=2D.T=2it9 A=2解析：选 A 最小正周期T=7 t,最大值A=21=1.故选A.5.（多选）下列关于函数y=4sinx,xG -n,的单调性的叙述，正确的是（）A.在 一n,0 上单调递增，在 0,E上单调递减B.在 甘，用上单调递增，在 一兀，苫 上单调递减C.在 一方手上单调递增，在g,同上单调递减D.在g,k 和-JT,一手上单调递增，在 甘，用上单调递减解析：选 B C 函数y=4sin X在 一汗，一 和g，J 上单调递减，在 一百，,上单调递 增.故 选 B、C.6.（易 错 题 涵 数 产 cos售一2x）的 单 调 递 减 区 间 为

44、.解析：由 尸 cos修-2x）=cos（2x）,TT得 2A?tW2x4x争(O0)图象的一个对称中心为M值0),距离点M 最近的一条对称轴为直线x=瑞，则”=.解析：因为图象的对称中心为距离点、M 最近的一条对称轴为lo答案：32.已知函数於)=2sin(x+(e 一去 却是偶函数，则的值为解析：.函数A*)为偶函数，7 T 7 T.+=4 五+不，kZ,.7t V n n即 0=kn+9 又 5，2J.,，=经检验符合题意.考点理解透 规律明 变化究其本课堂讲练三角函数的定义域 基础自学过关 题组练透1.函数y=嬴 上 j 的 定 义 域 为.Idll A Xtan x _ 170,XW

45、+AT T,k GZ,XW+AT T,k Z,即0,fsin x0,1 即 、1C O S X-5 7 0,C O S X 75，2 k n x n+2 k n,k GZ,T T 7 Tg+ZEWxWj+ZATr,k GZ,所以 2 k n x+2 k n,k e Z,所以函数的定义域为卜2 k n 2|B.一宗 3C .喳啕 D.一零3(2)函数r)=sin xcos x+sin xcos x 的值域为.解析(1)当 局 0,于时，2 -狂 一*y ,sin Q 一 耻 一,J故 3sin(2x-授，31，函数於)的值域为一 31.(2)设 Z=sin xcos x,则一也WWy fi,t2

46、=sin2x+cos2x2sin xcos x,I-/2贝！1 sin xcos x=,当=1 时，/（X）max=1 当 f=一啦 时，函 数 的 值 域 为 6，1 答案(1)B(2)-1-2,1 对点变式1.(变条件)若本例中函数/(x)的解析式变为：/(x)=3cos(2xg,则/(x)在区间 o,f上的值域为.解析：当xG O,时，2x狂 一 全 周，cos(2 x-1)e -,1,故 1/(x)=3cos(2x 邛,3.答案：一，32.(变条件)若本例(2)中 xG O,n,则函数/(x)的值域为.解析：设 t=sin x-co sx,贝”/2=sin2x+cos2x_2sin x

47、cos xt即 sin xcos x=2，且一1 WfW啦.所以 y=+r+|=1(/1)2+1.当 E=1 时，Jmax=l；当 =1 时，Jmin=1.所以函数的值域为-1,1.答案：L L 1 解题技法求三角函数的值域(最值)的三种类型及解题思路(1)形如j=asin x+ftcos x+c 的三角函数化为j=Asin(wx+)+A：的形式，再求值域(最值)；(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sin 化为关于上的二次函数求值域(最值)；(3)形如y=asn xcos x+(sin xcos x)+c 的三角函数，可先设Z=sin xcos x,化为关于 f 的二

48、次函数求值域(最值).跟踪训练1.已知x （0,兀），贝（J/（x）=cos 2x+2sinx的最大值为,最小值为.解析：因为 x 6（0,n）,所以 sin x （O,l.由大）=cos 2x+2sin x,得/（x）=-ZsiM x+2sin x+l=-2（sinx奈 所以 於）的最大值为|,最小值为1.答案：1 12.已知函数/（x）=sin（x+,其中冶，a,若 於）的值域是 /1,则实数a的 取 值 范 围 是.解析:由 一全 4 知”+狂 一*+R；x+江 一会同时，1AX）的值域是 一3，1,由函数的图象（图略）知 畀 a+狂 季.卜 a答案：任，兀 .点 口 J 三角函数的单调

49、性 定向精析突破考 向 1求三角函数的单调区间 例 2 （1）函数y=sin g-2 x）的单调递减区间为；函 数 尸|tan x|的单调递增区间为，单调递减区间为.解析 函 数 y=sin-2x）=-s in（2x一胃）的单调递减区间是函数尸$也（2 一m）的单调递增区间.由2所 一 太 2%一 太 2府+率kG Z,得 所 一 强 士 7 n+雪，F Z.故所给乙 3/JL/JL/函数的单调递减区间为*7T77，k n+z ,k e z.（2）作出函数y=|tan x|的图象，如图.观察图象可知，函数y=|tanx|的 单 调 递 增 区 间 为 +；）,k&Z;单调递减区间为 答案(1

50、也一有 kn+2 9 A W Z(2 TT,兀+图,e Z (17t 5,Air,kUZ 对点变式(变条件)若本例(1)变为：函数y=3 sin e 一2x)(xW 0,n)的 单 调 递 增 区 间 是.解析：函 数 尸 35也/2x)=-3sin(2x5.令2兀+2丫 一 季 W 2E+芸 A G Z,求得E+?xW E+知，k&Z,可得函数的增区间为 匕 r+全 而+知，kCZ,再根据xG O,n,可得函数的增区间为三，千.答 案:多 T 解题技法求三角函数单调区间的2 种方法代换法就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角“(或f),利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单