2022届北京市石景山高三下学期联考数学试题含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设等比数列 4的前项和为s“，则y+42。2 是 0,x e R)的中 心 为()A 件T伏e Z)B.(与eV)D.e5 .用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一

2、个实数,实数，则这3个实数都小于1的概率为()4 1 1A.B.C.2 7 3 2 76.已知复数二满足=1 一i,则5=()Z1 1.1A.1 z B.-2 2 21 1 .1C.-1-/D.-2 2 22,3,7,贝！J 5 U(6=()3,4,5,6 3,4,5,6,7)-2 z D.l-2 z1值域为-5,3 ,函数g(x)=b-cos a x,则g(x)的图象的对称-+-5 aez)-+,-4 (左 e Z)1 0 )且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个1D.-91 .-121 .Z27.五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一

3、个单位的概率为（）4 (A2-98 .己知=后，b=og5 ,c =l _ I，则()A.abc B.a ch C.bc a D.cab9 .若函数/(1)=以3+3/+。在 工=1 处取得极值2,则。一人=()A.-3 B.3 C.-2 D.2/、11 0.各项都是正数的等比数列 4 的公比乡 1,且。2，彳。3,4 成等差数列，则 的值为()2 。4 +0 5A.3 B.也12 2C.T D.+1 或 4-12 2 21 1 .设命题P：函 数/。)=产+*在 R上递增，命题1:在 AABC中，A 3 o c o sA q)C.(-7 7)Aq D.(/?)A(1 )1 2 .函数y =c

4、os 2 x-百 s in 2x x e O,1)的单调递增区间是()二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。,x-y013.若羽）满足约束条件x+y-2 W0,则 z =3x 2 y的最小值是,最大值是.”014.已知a 匕 0,椭圆G 的 方 程 为=+与=1,双曲线C,方 程 为 与 与=1,G 与 C,的离心率之积为也,a b a-b-2则 C2的 渐 近 线 方 程 为.15 .数列%满足递推公式。+2=an +an+，且 4=%,a2m9-a2G 0=20 20 ,贝！|a；+a；+.16.已知集合 A=x x l,x e Z|,B =x|0 4 x 2,则 A f

5、 l B=.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 21 7.（1 2 分）已知椭圆鼻+/=1（4方0）,点 A（l,0）,3（0,l）,点 P 满 足 砺+芋丽=而（其中。为坐标原点），点 5,尸在椭圆。上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F,若不经过点尸的直线/：旷=船+加 仕 0,加0）与椭圆。交于M,N 两点.且与圆f+y 2=i相切.可 的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.1 8.（1 2 分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月

6、（3 0天）的快递件数记录结果中随机抽取1 0天的数据，整理如下：甲公司员工 A ：41 0,3 90,3 3 0,3 60,3 2 0,400,3 3 0,3 40,3 70,3 50乙公司员工 8：3 60,42 0,3 70,3 60,42 0,3 40,440,3 70,3 60,42 0每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天3 50件以内（含 3 50件）的部分每件0.6元，超出3 50件的部分每件0.9元.（1）根据题中数据写出甲公司员工A 在 这 1 0天投递的快件个数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工3每天所得劳务费的情况

7、，从 这 1 0天中随机抽取1 天，他所得的劳务费记为自（单位：元），求 4 的分布列和数学期望；（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.1 9.（1 2 分）设函数=-办 1 （a e R）.（1）讨论函数/（x）的单调性；（2）若关于x 的方程ln（or+a+l）=x+l有唯一的实数解，求 a 的取值范围.2 0.（1 2 分）某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了 2（）人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试 分 数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：分的6 7 57 8 6 3 3 3 18 9 K R 7 7 6 3 39 R 6 6 5若分数不低于9

8、5分，则称该员工的成绩为“优秀”.（1）从这2 0人中任取3 人，求恰有1 人成绩“优秀”的概率；（2）根据这2 0人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题.收 率 叫;组别分组频数频率频率组距160,70)270,80)380,90)490,1000.0S一-1-10.040030.020011-1-1-1-1-0 60 70 80 90 100估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;若从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望.2L（12分）在平面直角坐标系X。中，已知直线/：1x=

9、t2 r Q为参数），以坐标原点。为极点，X轴的非负半日+乌：2轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为0 =2cos6.（1）求曲线C的直角坐标方程（2）设点”的 极 坐 标 为1,直线/与曲线C的交点为A,8,求|M4|+|A叫的值.22.（10 分）在三棱锥二一二二二中，二二二二=二二二二二二二二二=90。,二二二二二45。,二二二二=60=,二为棱二二的中点,F T rr一 一 一N证明：二二1二 二;（）求直线二二与平面二二二所成角的正弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】首先根据等比数列分

10、别求出满足4+。3 2生，$2,1 0的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.【详解】4为等比数列，若+%2%成立，有/(/-2 q +l)0,因为d 2q+12 0恒成立，故可以推出4 0且4工1,若S2,i 0成立，当4=1时，有4 0,当时，有 L_2 0恒成立，所 以 有 卬 0,-q l-q故可以推出a,0,q e R,所以 +4 2 4”是“S2n_,0 的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.2.C【解析】根据集合的并集、补集的概念，可得结果.【详解】集合 A=x e N|jf2 8x=x e N|0 Vx V

11、8,所以集合4=1,2,3,4,5,6,7B=2,3,6,C=2,3,7,故4,5,6),所以 8 U(6人。)=1,2,3,4,5,6).故选：C【点 睛】本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.3.B【解 析】根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.【详 解】(2+i)i=2i-1 =一1 +2故 选B【点 睛】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.4.B【解 析】由值域为-5,3确 定 人 的 值，得g(x)=-5-cos4x,利用对称中心列方程求解即可【详 解】因 为 x)eb,2a+b ,又 依 题 意 知f(x)的值域为-5,3 ,所 以2a+8=3得

12、a=4,b=-5,jr K JT T T所 以g(x)=-5-cos4x,令4x=k兀+得x=+2(Z e Z),则g(x)的图象的对称中心为2 4 8与+上5)伏 外故选：B【点 睛】本 题 考 查 三 角 函 数 的 图 像 及 性 质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为05.C【解 析】由几何概型的概率计算，知 每 次 生 成 一 个 实 数 小 于1的 概 率 为:，结合独立事件发生的概率计算即可.【详 解】i/1 y 1 每次生成一个实数小于1 的概率为-.这3 个实数都小于1 的 概 率 为-=3 2 7故选：C.【点睛】本题考查独立事件同时发生的

13、概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.6.B【解析】利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.【详解】1 1 1 +1 1 +z 1 1 .由 _=得2=；：=-7-T 7 7 V=-+z1 -I（1 一 以1 +，）2 2 2-1 1所以，z =-z.2 2故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.7.D【解析】三个单位的人数可能为2,2,1 或 3,1,1,求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决.【详解】由题意，三个单位的人数可能为2,2,1 或 3,1,1；基本事件总数有萼+CG用=1 5 0种，若为第一种情况，

14、且甲、乙两人在同一个单位，共有种情况；若为第二种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种，故甲、乙两人在同一个单位的概率为 至=9，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为P =l-g=.1 5 0 2 5 2 5 2 5故选：D.【点睛】本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.8.B【解析】14(1Y f 1Y先将三个数通过指数，对数运算变形4=痣=616=1，/?=185U1085 1=0,0。=匕 -=1再判3 21 j 13J 13/断.【详解】4(1Y9(1YS =6=P =log5 lo

15、g5l=0,0c=-c 8,故选：B.【点睛】本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.9.A【解析】1 7 3 =0对函数/(x)求导，可 得；八.卸可求出a,b，进而可求出答案.J=2【详解】a，,=3。+6=0,因为/(x)=o?+3x2+b,所 以/(X)=3G：2+6X,则1小 c ,C，解得。=-2,。=1,则。一匕=一3.f(l)=a+3+b=2故选:A.【点睛】本题考查了函数的导数与极值，考查了学生的运算求解能力,属于基础题.10.C【解析】分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比q所

16、满足的等量关系式，解方程即可得结果.详解：根据题意有的+4=2-；/，即q2-q l=0,因为数列各项都是正数，所以彳=1正，而2 2血 土 幺=1=，=避 二1,故选C.%十%q 1 +V5 2点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比夕，而待求量就是上，代入即可得结果.q11.c【解析】命题P：函数/()=，+e-x在(-8,0)上单调递减，即可判断出真假.命题外在A A B C中，利用余弦函数单调性判断出真假.【详解】解：命题P：函数/。)=产+*,所 以/(x)=_ e T，当x 0时，f M 3 o c o s A c c o s B,是真命题.则下列命题为真命题的是(-P)q.故

17、选：C.【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.12.D【解析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，并采用整体法，可得结果.【详解】因为 y-c o s 2x-/3 s i n 2x=2s i n(-2x)=-2s i n(2x-),由2+2A;r W 2x-工 W包+2%万,A e Z ,解得6 6 2 6 2TT STT 7 t 57r-+k7 ix 轴上截距最小，即z取最大值，z=3X2-2X0=6故答案为：0；6.【点 睛】本题主要考查了线性规划中的最值问题，利用数形结合是解决问题的基

18、本方法，属于中档题.14.x-Jly=0【解 析】求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的关系，然 后 推 出。力 关 系，即可求解双曲线的渐近线方程.【详 解】2 2ab0 椭 圆G的 方 程 为:+2y=1，a-bG的离心率为：J一，a2 2双 曲 线C,方 程 为 二 一 与=1,。2的离心率：+，G与G的离心率之积为日，Ja2-b-Ja2+b2 6-=-fa a 2，IL 2 =也，t/z J 2 z 2c,的渐近线方程为：y=士立X，即x 0 y =O.2故答案为：x+ly=0【点睛】本题考查了椭圆、双曲线的几何性质，掌握椭圆、双曲线的离心率公式，属于基础题.15.2020【解析】

19、可对+|=。“+2 一%左右两端同乘以+1得 =%+14+2-，依次写出d =勺。向匕1=。,1 4一4 _ 21，.，aj=a2a-axa2,累 加 可 得+a；+屋=%。用-q外,再由4 =%得。；+d+W +4：=4 4+i，代入7 7 =20 19即可求解【详解】4+1=q+2 一 左右两端同乘以4 +|有=4+4+2-4 4+1，从而d =”“4用-*a“，a?=a2a3-ata2,将以上式子累加得 a；+&+“；=anan+l-0,0,.由 4 =4 得a；+德+d +a：=a“a,+i 令=20 1 9，有+a；+.+a1n9=a2m9-2O2O=20 20.故答案为：2020【

20、点睛】本题考查数列递推式和累加法的应用，属于基础题1 6.0,1【解析】直接根据集合A和集合B求交集即可.【详解】解：A =x|x W l,x e Z,8 =x 0 x 0,泡 0)运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出|M。，|阁,再利用焦半径公式表 示 出 进 而 求 出 周 长 为 定 值.，即 P 1,因为8,P均在C上,代入得0+F=1b-,1，解得=2,=1,所以椭圆。的方程为三+9=1；1 +2-1由得F、a,0),e =也,。=0,作出示意图,2设切点为Q,M a，X),N(W，M)a 0，W )，则|知0|2=|。|2_|。02=*+弁 _ =：玉2,21同 理 加 如=+於 _

21、1=5考即|M Q|=*芯J N Q|=孝/，所以I M N|=乎(+)，又|A/f|a eX1 X,NF|=a ex?-x1,则 AMNF 的周长|MN|+1 M F +N F =*+4)+友-日 西 +也 一 号x2=2 v L所以周长为定值2&.【点睛】标准方程的求解，椭圆中的定值问题，考查焦半径公式的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力，难度较难.1 8.(1)平均数为3 6 0,众数为3 3 0；(2)见详解；(3)甲公司：7 0 20 (元)，乙公司：7 28 1 (元)【解析】(1)将图中甲公司员工4的所有数据相加，再除以总的天数1 0,即可求出甲公司员工4投递快递件数的平均数.

22、从中发现3 3 0出现的次数最多，故为众数；(2)由题意能求出J的可能取值为3 4 0,3 6 0,3 7(),4 2(),4 4 0,分别求出相对应的概率，由此能求出J的分布列和数学期望；(3)利 用(1)(2)的结果，可估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.【详解】解：(1)由题意知甲公司员工A在 这1 0天投递的快递件数的平均数为-(4 1 0 +3 90 +3 3 0 +3 6 0 +3 20 +4 0 0 +3 3 0 +3 4 0 +3 7 0 +3 5 0)=3 6 0.众数为3 3 0.(2)设乙公司员工8 1天的投递件数为随机变量X,则当 X =3 4 0时，自=3 4 0

23、 x 0.6 =20 4,24 =20 4)=、当 X =3 6 0时，3 5 0 x 0.6+(3 6 0-3 5 0)x 0.9=2 19,=21 9)=-当 X =3 7 0 时，4=3 5 0 x 0.6+(3 7 0 -3 5 0)x 0.9=228,P =228)=13当 X =4 20时，=3 5 0 x 0.6 +(4 20-3 5 0)x 0.9=27 3,P 4=27 3)=市当 X =4 4 0 时，4 =3 5 0 x 0.6 +(4 4 0 -3 5 0)x 0.9=291,=291)=4的分布列为13 13 1E(f)=2 0 4 x-+21 9x +228 x-+

24、27 3 x +291 x =24 2.7 (元):1 0 1 0 5 1 0 1 0J204219228273291p11 031 0531 011 0(3)由(1)估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为3 6 0 x 3 0 x 0.6 5 =7 0 20(元)由(2)估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为24 2.7 x 3 0 =7 28 1(元).【点睛】本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题.1 9.(1)当“4 0时，八幻递增区间时(-8,+8),无递减区间，当。0时，f(x)递增区间时(In a,+8),递减区间时(-

25、/n a)；(2)“4 0或a =l.【解析】(1)求出/(%),对。分类讨论，先考虑尸(x)20 (或f(x)4 0)恒成立4的范围，并以此作为。的分类标准，若不恒成立，求 解/(x)J(x)0恒成立，当 a 0 时，fx)0,%In a,fx)0,x 0时，f(x)递增区间时(In a,+8),递减区间时(H O,In a)(2)ln(x+l)=x+l,x+=(x+1)+1 0,o e+i-(x+l)-l=O令x+l=r,原方程只有一个解，只 需/)=0只有一个解,即求/(x)=e-办一 1只有一个零点时，”的取值范围，由(1)得当时，/(X)在(-,+8)单调递增，且 0)=0,函数只有

26、一个零点，原方程只有一个解-1,当a()时，由(1)得在x =In a出取得极小值，也是最小值,当a =l时，/(x)mi n=0,此时函数只有一个零点，原方程只有一个解-1,当a 0且递增区间时(In a,+8),递减区间时(-8,In a)；/(l n )-o o,/(x)-+8,x-+,/(%)-+co,f(x)有两个零点,即原方程有两个解，不合题意，所以。的 取 值 范 围 是 或4 =1.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到单调性、零点、极值最值，考查分类讨论和等价转化思想，属于中档题.Q320.(1)(2)8 2,分布列见解析，E(X)=g【解析】(1)从20人中任取3人共有C；

27、。种结果，恰 有1人成绩“优秀”共有C：G；种结果，利用古典概型的概率计算公式计算即可；(2)平均数的估计值为各小矩形的组中值与其面积乘积的和；要注意X服从的是二项分布，不是超几何分布,利用二项分布的分布列及期望公式求解即可.【详解】(1)设从20人中任取3人恰有1人成绩“优秀”为事件A，贝(1尸(4)=3 =白，所以，恰 有1人“优秀”的概率为 j(2)组别分组频数频率频率组距160,70)21100.01270,80)63100.03380,90)82I0.04490,100450.0213 4 2(D65x +75x +85x +95x =82,10 10 10 10估计所有员工的平均分

28、为824 1 X 的可能取值为0、1、2、3,随机选取1 人是“优秀”的概率为=方=点二 P(X=0)=641254_ 125-125P(X=3)=；X 的分布列为X0123.数学期望E(X)=3 x/=|.P641254 8125121251125【点睛】本题考查古典概型的概率计算以及二项分布期望的问题，涉及到频率分布直方图、平均数的估计值等知识，是一道容易题.21.（1）（x-l）2+/=l（2）V 3 +1【解析】X=OCOS0（1）由公式 ,八可化极坐标方程为直角坐标方程；y=p s i n g（2）把“点极坐标化为直角坐标，直线/的参数方程是过定点M的标准形式，因此直接把参数方程代入

29、曲线C的方程，利用参数/的几何意义求解.【详解】解：（1）C:p =2c o s。，贝!/J?=2p c o s 6 ,/.x2+y2=2x,所以曲线。的直角坐标方程为f+y-2x =0,即 一1）2+丁=1（2）点 的 直 角 坐 标 为M（O,1）,易知M e/.设A,B对应参数分别为4 41x=2将/:,73与C:f +y 2 2x =0联立得t+1)f +1 =0,f +q =-1,(2=1 ；.：0,0|M4|+|M6|=M|+N|=M+4=G+i【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题.22.证明见解

30、析；（）：【解析】过二作二二，二 二 于 二，连接二二 根据勾股定理得到二二1二二二二，二二得到二二一平面二二二 得到证明.()过点二作二二二二于二 证明二二一平面二二二，故 二 二 二 二 为直线二 二 与 平面二二 二 所 成角，计算夹角得到答案.【详解】过二作二二1二二于二 连接二二 根据角度的垂直关系易知：二二=1,二二=二二=:,二二=二二=逐，故二二=二 二cos二 二 二 二_ _ _ a 为 弓-=-S1Q-=7 根据余弦定理：”:二=一二:妾,解得二二；=:,故 二 二；=二 二；+二二;，/3 /j故 二 二 J.二 二，二 二 _L 二 二，二 二 C 二二=二，故二 二 二 平面二二 二，二 二 U 平面二 二:故 二 二 1 二 二.(/)过点二作二二1二 二 于二，二二，平面二二 二，二二匚平面二二 二，故 二 二 J.二 二，二 二 1 二 二，二 二 C 二二=二,故二二-平面二二二故二二 二 二 为直线二 二 与 平面二二 二 所 成角，:=二 二；+二二；=：,根据余弦定理：cos二 二 二 二=三 三 三 =，1./,J?Rs i n _=【点睛】本题考查了线线垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.