中学数学建模.pdf

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1、中学数学建模吴文权绪论严士健在“数学教育应为面向2 1 世纪而努力”的报告中指出，我国中学生所学的数学知识与学生的日常生活及他们具有的其他知识和经验的联系太少，致使应付高考几乎是他们学习数学的唯一目的，几乎没有将数学应用于实际的意识，就是升入大学以后，对于数学及其它科学的联系与应用问题也很少兴趣，无疑回给他们以后的工作带来损失。第八届国际数学教育大会(1 C M E 8)也探讨了数学教育中的应用问题。而强调数学应用现已成为各发达国家课内容改革的共同特点，起主要途径有：A、增强现代数学中更具广泛应用性的数学内容。如估算、统计、概率、线性规划、系统分析与决策、计算机应用与数据处理等，其内容与时间比

2、例都渐增趋势。B、改革传统的中小学数学内容。用增强应用、强调从生活实际和学生知识背景、以及其他学科中提取出问题以发展数学概念的观点，对传统的内容进行根本性的处理，如将指数函数y =与细菌繁殖、人口增长、物质衰变、地震强度等相联系，一变量x算术地增长a,2 a,3 a,，n a,；另一变量y几何地增长4 b ,X劝 2,劝 3,，劝”，那么它们之间存在着指数函数关系y二劝；.已开发实践环节，如以实现，专业的课题和学生的兴趣为出发点，切设计计划，然后分配工作，实施计划，获取所需的信息，将单项结果汇集在一起进行处理。数学建模是实际中问题解决的一种形式，数学建模的技巧和方法正是数学家们用来解决他们在工

3、作中碰到的问题的方法。建模方法既注重于求解的各种数学技巧，还帮助学生了解到在广泛的应用中数学有多重要。学生建模练习学到的策略和技术也容易转换到新的情形中去用，这样使他们更能欣赏到数学的威力，从而使学生既学习到了数学应用的训练，又对数学的继续学习更加有了兴趣。以上所述，即是为什么要在中学数学教学中引入数学建模的原因，那什么是数学建模呢？数学建模并不是新东西，自从有了数学之后，人们就用数学去解决实际问题。用数学的语言，方法去近似的刻划一个实际问题，而这种刻划的数学表达就是一个数学模型。其过程就是数学建模的过程，同一个实际问题，从不同的侧面，角度去考虑或不同的数学知识就是会有不尽相同的数学模型。着就

4、是数学模型具有创造性，艺术性的一面。歹 妆 口，荷载下梁的饶度(弯曲度)在施工中的很重要的，人们可以在每次施工时选一根梁加以荷载并测量其饶度，但这样做既费时又费钱。如果有一个受载下梁的挠度的数学模型将更为方便。经过实验，观察和计算，便可得出荷载下梁的挠度模型：挠度48/其中L=梁的长度；P=荷载；=与梁的材料有关的弹性模量;与梁的横截面有关的惯性矩。在这个例子中，挠度的模型是一个单个的方程（公式），其实大多数重要的公式实际上就是所描术的实际问题的数学模型。实际问题当用一个数学模型表达出来后，就要用一定的技术手段（例如推理证明、计算等等）求解该数学问题并用实际情形来验证，若需要就修改数学模型并重

5、复上述过程。如果中间有一步完不成，整个数学建模就很难完成。在数学建模过程中往往需要大量的计算，所以计算机的出现使数学建模这一方法得到了飞速的发展，计算机也是数学建模过程中必不可少的工具之一。数学建模是一个系统的过程它要利用许多技巧以及翻译解释、分析和综合的高度的认知活动。建模活动包括以卜一四个主要过程：1.问题分析过程：了解问题的实际背景材料，分析并找出问题的本质。2.假设化简过程：选出影响研究对象的主要因素，忽略次要因素，这样既简单化了问题的以便进行数学描述，又抓住了问题的本质。3.建模求解过程：根据分析建立相应的数学模型，并用数学方法或计算机程序（软件包）对模型进行求解。4.验证修改过程：

6、检验模型是否符合实际，并对它做出解释。最后将它应用于实际生产、生活中，产生社会效益和经济效益。数学建模过程可用以下图解来表示图1。图1作为建模过程的一个例子,考虑下列例子。某制造厂每年必须生产100000件某类产品。虽然该厂可以在一年中周期地平均生产出这些产品，但该厂想寻求一种能使成本(花费)最小的生产安排(调度)。本问题中主要的花费如下：生产启动费，每个运转期5 0 0 元；每件产品的年存储费用1 元。当然，可以用许多方式作出生产安排。例如，大运转期可以在年初开始，这中安排将减少生产启动费但增加了存储费用。多个生产运转周期将增加生产启动费但减少了存储费用。哪种策略将会给该厂带来最大的经济效益

7、呢？本问题的关键在于寻求生产启动费和运转周期数目的关系，能就全部花费和运转周期数目间导出一个把它们联系起来的方程和公式吗？为了简化实际问题以便于数学描述，现给出两点假设：每批新产品进入库存后就以均匀的速率销售出去，即当另-一个运转开始的时产品已经按这个速率销售完了；每批生产的产品数相同，为 L 件，显然0 0解得C 5*105+104 O因要求C(L)的最小值，所以应取 0 5*1 05+104,即 C(L)的最小值为5 10000,此时L=10000.4 .利用不等式求解C (L)=L/2+5*10 7 *1 /L +5 *13 2 JL/2*5*107*I +5*1 O 5=5 10000

8、当且仅当L/2=5*l()7*l/L 即 L=10000时取等号。即 1=旦000是 C(L)的极小值点。5 .利用微积分求解由 C (L)=-5*1。7/-1/2=0得 L=10000又因为 C(L)=1()8 3 。故 L=10000是 C(L)的极小值。值得提出的是，由以上分析，厂家若选一个运转期(1年)而不是最佳的10个运转期,那么厂家将蒙受4 05 00元损失。随便指出，以上五种对模型的求解方法，分别适用于从初中到高中不同年级教学的需要。那怎样将数学建模掺合到中学数学中去呢？首先，从根本上说，数学教育改革的关键在于提高教师的业务水平。反应到本问题上，就是教师应学习数学建模，了解数学建

9、模的方法和步骤，并通过学习逐渐能自己设计和开发数学建模练习问题。这就需要有一本可供中学数学教师阅读和学习的全面、系统地讲述中学数学理论的书。这就是我们编写此书的目的。其次，就是数学建模内容要进入中学课堂。这可以先从数学课外活动这种形式开始,从中吸收经验，积累素材，进而再将数学建模问题的整个解决过程加以分解，放到正常教学过程的局部环节上进行教学，这是中学进行数学建模教学行之有效的方法之一。当然，最根本的还是应改革现行中学数学课程体系，使数学建模的方法和理论成为其体系的一部分。第一章 函数模型在对实际问题进行分析时，要参看问题的实际背景，引导学生透过实际背景看到问题的数学本质。在现实生活中，有许多

10、问题，往往隐含着函数关系，通过对问题的分析，引入适当的变量建立这问题的目标函数，再通过对函数的某些性质的研究使问题得以解决。一般说来，实际生活的最小造价、最佳投资、最大利润、最短路程等许多问题都建立函数模型而转化为有关函数的最值问题。第一节 初等函数模型初等函数主要包括：一次 函 数 y=a x+b （a/0）二次函数 y=a x2+b x +c（a#0）指数函数 y=ax（a 0,a l）对数函数 y=l o g av（a 0,a/l）嘉函数 y=xu以及它们的有限次复合和四则运算。如果已知一个实际问题的数学模型是初等函数模型，那么应该注意两个问题，一个是要确定模型中函数的各常系数，般采用待

11、定系数法：另一个是尽量画出函数的图象，借助直观的函数图象来帮助求解，则更易。例 1四川长虹集团公司计划出售2 9 寸“长虹牌”纯平彩电。该彩电的市场价为3 2 8 0/台，成本价按市价扣去2 5%,为了便于营业，公司希望定一新价，以便按新价八折优惠销售后，可获得售价1 8%的利润。试问：（1）新价是多少？折合后的售价是多少？（2）为使今年按新价让利销售后的获利总额不低于5 0 0 0 0 0 0 0 元，该公司在今年内至少应销售多少台这种彩电？分析 不难看出，该彩电正处于完全竞争市场。市 价 3 2 8 0/台，就是该彩电的市场认可价格，该公司按此价销售边能获得较大利润。但是，为了吸引更多顾客

12、来购买该公司的 产 品（包括其它产品），可制定新价或采用折价优费销售等最有效的心理方法来表达产品的价格。欲求新价、售价及销售量，关键是要分析各种量及其关系。特别要注意分析新价与市价、总利润与销售两之间的关系。然后正确运用函数或方程的思想解决问题，为了便于分析，列出 下 表（未知量先用字母表示）成 本 价（元/台后价（元/台）新 价（元/台）售 价（元/台）销 售 量（台）单位利润（元/台）总利润（元）3 2 8 0 (1-2 5%)3 2 8 0aa 8 0%Xa 8 0%1 8%y解（1）设新价为a元，由题意及上表可得:a 8 0%-3 2 8 0 (1-2 5%)=a 8 0%1 8%解这

13、个方程得：a=3 7 5 0；a ,8 0%=3 0 0 0 即新价是3 7 5 0 元/台，折价后的售价是3 0 0 0 元/台。（2）由总利润=（售价-成本价）*销售量，得总利润y与销售量x 之间的函数关系是y=（3 0 0 0-2 4 6 0）x=5 4 0 x （x 0）要使获利总额不低于5 0 0 0 0 0 0 0 元，就 要 使 5 0 0 0 0 0 0 0 即 5 4 0 x 5 0 0 0 0 0 0 0 解 之 得 X 29 2 5 9 2.5,即为使今年按新价八折销售后的获利总额不低于5 0 0 0 0 0 0 0 元，该公司在今年内至少应销售9 2 5 9 3 台这种

14、彩电。说明本题通过量与量之间关系的探索，发现总利润与销售量之间的关系是一次函数：y=5 4 0 x （x 2 0）,这说明销售量越大，总利润就越多。实际问题（生活）中，还有投资与产值之间，简单的决策问题等也满足一次函数关系。例2如何定价，总利润最大四川长虹集团公司计划在今年独家推出5 1 寸“长虹牌”背投式彩电。该彩电的总成本是7 2 6 0 元/台，试销情况如下表:销 售 价（元/台）1 0 0 0 01 1 0 0 01 2 0 0 01 3 0 0 01 4 0 0 0销 售 量（台）2 5 5 0 0 02 0 5 2 0 01 5 4 5 0 01 0 5 1 0 05 5 0 0

15、0试问：（1）为在今年内获得最大利润，销售价应定为多少?（2）年最大利润是多少？获得最大利润时的销售量是多少？分析 根据题意知该彩电处在垄断竞争市场，公司有权自己定价以谋求最大利润，但是定价必须慎重。作为总经理必须明白，在这种情况卜 产品的需求曲线是一条向下倾斜的曲线，并且随着价格的微小变化，销售量可能变化很大。因此定价的关键是确定（或估计）需求关系，求获得最大利润的价格的方法是：第一步：根据试销情况确定（或估计）需求关系；第二步：确定总利润与销售价之间的函数关系；第三步：用求函数最大（最小）值的方法，确定价格。解 将试销所得的销售价与销售量的每对对应值用点A、B、C、D、E 分别表示在坐标平

16、面上，可以看出这些点大致成一条直线1,所以所求的需求关系（近似）为一次函数关系。为 了 保 证 所 求 的 函 数 关 系 较 为 准 确，选 直 线 上 距 离 较 远 的 两 点A（1 0 0 0 0,2 5 5 0 0 0）,E（1 4 0 0 0,5 5 0 0 0）,当然，也可用最小二乘法类确定。设所求的直线方程是y=kx+b。把 A、E 点的坐标代入，得方程组：255000=100004+匕“55000=140002+6解得k=-50工=755000于是销售量y 与每台销售价x 之间的函数关系是y=-5 0 x+7 5 5 0 0 0设总利润为Z 元。山总利润=单台利润*销售量，所

17、以Z=（x-7 2 6 0）（-5 0 X+7 5 5 0 0 0）=-5 0 （x-1 1 1 8 0）2+7 6 8 3 2 0 0 0 0由销售量y 为正整数，即 y=-5 0+7 5 5 0 0 0 0,得 x 7 2 6 0。所以可知7 2 6 0 x 07U C =Vb本问题最后归纳为求形如/(x )=a x +f +c(a,b,c为 常 数，a 0,b 0,加，n为正整数，方 匹士)的函数的极值问题。下面我们将对这个函数的极值问题加以讨论。先求满足s m=t 且(s ,t)=1 的正整数s ,t ,贝 I Jf(x)=a x,n+c2(s +)仙牛)中()+=(s +f)s()(

18、)z+c(定值)上 式 当 且 仅 当=2 既 x =，叱，隹 时 取 等 号。s t x V ta又 l i m/Q)=+8,j m/(%)=+0,所以函数/(x)的图象如下图1一3Ox-0+图 1一3其函数图象与二次函数极为相似，都只有一个极值点，极值点两边都是单调曲线，故此函数的最值可参照前面例3 求二次函数最值的方法去求。例6 如何存款利息最多我国银行的存储率按存期的长短而不同，存期越长，利率越高。下表是1993年 11月以后执行的定期存期利率。存期(年)年利率到期利率0.10980.1098二0.11700.2340三0.12240.3672五0.13860.6930八0.17101

19、.3680假设有一笔钱，数 量 为 元，打算存入银行，存期为x年。我们可以先存王年，到期后取出，把本金和利息又一起存入，存期为乙 年，如此继续。这样，存款的方式可以有多种，但究竟以怎样的方式存款，所得的利率最多呢？再去查查今年定期储蓄的利率，以它算算应该怎样储蓄利息最多，并 与 1994年定期储蓄利率相比较，找出它们之间有什么不同。分析及建模 我们记存款方式为(王,2,，4)，x=t j,其中x el,2,3,5,8。按i=l照这种方式存款为X年后，所得的利息/(匹,)可按下式计算：/区,X*)=Aol+g(X)l+g(X2)U+g(x*)-&(*)其 中g(x,)(i=l,2,次)是存期为七

20、年的到期利率。为简单计，以下都取4=1.当x 的值很大时.，可能的存款方式也就很多。若把它们一一算出，然后比较，显然很麻烦。现在，我们根据(*)式来确定一些寻找最佳存款方案的原则：(I)/(七，2,，)与(西,七,，Z)的顺序无关:(I I)将存款次数减少，如 将 X j 与 与 合 并 为 一 次，记为耳+x ,其中xk_x e 1,2,3,5,8),如果 f (无3)f(Z-i，X*)，则f(x,x2,-,xk_2,xk_l)f(xl,x2,-,xk_l,xk).根据这两条原则，可以采用逐步合并的方法来讨论最佳存款的问题。解 当 x=2 时，有(1,1)和(2)两种存款方式，根 据(*)式

21、得/(1,1)=(1+0.1098)(1+0.1098)-1=0.2316可知/(2)/(1,1)。既当x=2时,最佳存款方案为2 年。当x=3 时，由原则(I),有(1,1,1),(2,1)和(3)三种存款方式。由前面已得/(2),再由原则(H)可知,于是只需比较/(2,1)和 3)。/(2,1)=(1 +0.2 3 4 0)(1 +0.1 098)-1 =0.3 6 95 x/(3)=1 +0.3 6 7 2-1 =0.3 6 7 2可知/。既当=3,最佳存款方案为(2 ,1)或(1 ,2)。以此方法，并逐次利用前面的结果，容易得到x为任何值时的最佳存款方案。为清楚起见，可将合并过程按顺序

22、写出，根据前面已有结论和原则？进行比较，然后用不等式连接。如当x=4时，有/(3,1)当x=5时，有/(1,1,1,1)/(2,1,1,1)/(2,2,1)”5)v v/(3,1,1)/(3,2)只要顺着不等式方向找去，便可找到最佳存款方案。下表给出1 1 0年的最佳存款方案。存款(年)最佳方案到期利息(元)1(1)0.1 0982(2)0.2 3 4 03(2,1)0.3 6 954 2)0.5 2 2 85(5)0.6 93 06(2,2,2)0.8 7 917(5,2)1.08 928(8)1.3 6 8 09(8,1)1.6 2 8 01 0(8,2)1.92 2 1说明 按照通常的想

23、法，似乎是依次选择存期长的存款，所得到利息多。如共存3年应选择(3),共存6年应选择(5,1),然而并非如此，问题出在哪里出在3年期的利率定得低了点，以致出现了/(3)/(2,1)定期储蓄的利率结构应能体现“较长的存期有较多的利息收入”的原则这就是利率结构的相容性，既：相容的来历率结构应能确保任何一种年期的存款所得利率要比采用较短存期或其它组合在“年间反复存储，并在续存时把利息合并入本金的方式所得到利息为多。本题选择的定期储蓄利率就违背了相容性原则，由于/(3)V/(2,1),就会出现3年的存款档次因无人光顾而形同虚设，妨碍了对社会资金流向的正确引导。当利率稳定不变时，/（为,9，X*）与项,

24、声,4 的顺序无关，但实际上利率是变化的，存款前就需要研究以后利率升降的可能性。若升利率的可能性大，则匹，4 应取升序排列，反之，应玉X.取降序排列。本题建立的是多元函数模型。凡目标涉及多种因素时，在分析并找出目标函数与各因素之间的关系后，就可建立多元函数模型。一般来说，多元函数求最值是很困难的，要具体问题具体分析。第二节 分段函数模型当一个函数不能用个简单的函数来整体表示时，就可以把这个函数分为段，对其中每一段分别采用不用的函数来表示，这就是分段函数的方法。实际生活中如邮资费，出租车费、剧院利润、缺水地区的水费等问题的计算都可建立分段函数模型来解决。求分段函数最值的方法是先分别求出各段函数的

25、极大值（在各段范围内的最大值应为极值），再求出所有极大值中的最大值，即为所求函数的最大值。例 1上座人数达到多少影剧院才能盈利？如 图 14 是一家影剧院的盈利额P 用售票数之间的关系图（其中保险部门规定，人数越过150元），请导出它的函数表达式，并对图形加以解释）。解从图上可以观察到：当0 W 150时,图象过点（0,-200）和点（100,0）,则此时表达式为：P（）=2n 2 0 0；当 150“200时，图象右端点为年（200,200）,左端点（不能达到）趋向于点（150,50）,则此函数表达式为：P（w）=3 4 0 0。综上所述，得:P（）=2 n-2 0 0(0 1 5 0)3/

26、2-400(150 /1 200)从不同角度剖析图象，可以得到不同的解释，仔细分析，我们可以作出以下参考性的解释：（1）当售票数为0 时，影剧院正常开放，需支付一定的电费、器材费等刚性费用共200元；（2）当售票数=100时，可达到不赔不赚，“100时，则要赔本。（3）当0 4 4 1 5 0 时，利润与售票数呈直线上升，n=150时。达到最大值100元；（4）当1 5 0 “1 6 7 时，利润没有=150忖多，即人数超过167人时，利润才超过100 元。（其中=167 由 3-400=P（）100 得到）。（5）人数达到200人时，利润可达到最大值200元。说明 在市场经济社会中，需求前面

27、经常从报刊、杂志、电视等新闻媒介中获取大量有用信息，而数据，表格和图象是最常见的形式。从图象来解释函数，获取有用信息，这在实际生活中很有实用价值。例 2买股票与储蓄上 海证券交易所A 股交易费由以下几项组成：印花税为成交额的4%,佣金为成交额的3.5%）（不 足10元 收10元），过户费为成交股数的1%（不 足1元 收1元），手续费为一次交易5元。某股民一次性以每股a元的价格买进某加 股，问当股价涨到超过多少元时卖掉，方不会蚀本？设a=14.75,?=1000,同期银行年储蓄利率为2.25%）。一年后该股民应不低于什么价格卖掉这只股，才能比存银行划算？分析 股票的买进与卖出都要付交易费，即买进

28、股票付出资金=成交金额+交易费，卖出股票所得资金=成交金额-交易费。交易费由四部分组成，其中过户费为减轻计算负担可直接 算 为m%,不会造成多少误差，而佣金的计算就要分情况而定。最后得到股票在买卖过程中的收益率为:收益率=卖出股票所得资金-买进股票付出资金买进股票付出资金解设股票的卖出价格为x元，收益率为y,买卖过程中的交易费为C（x,m）,由题意及分析，可得C(x,m)=机x 4%0+”?%()+15,mx-3.5%o 10则y=m(x-dt)-C(x,m)-C(a,m)ma+C(a,)要 使 该 股 民 以x元 的 价 格 卖 掉 该 股 票 时 不 蚀 本，就 要 求 满 足y N O即

29、m(x-a)-C(x,m)-C(ajn)O tix,山题意，显然x。先分情况讨论。i)ma-3.5%()030 I?解得%1.008。+0.002m30 12即当股票卖出价不低于1.008。+0.002时就不会蚀本。mii)加 3.5%5 10且mx 3.5%10时,y 2 0,得m(x-a)-m x-7.5%0-/?z%0-5 -ma 4%()-15 0.解得 x1.012a+也 回 +0.002m即当股票卖出价不低于1.012a+跑”+0.002时就不会蚀本。miii)ma 3 5%)10时，此时/2u3.5%o 10,由y 2 0,得mx-d)-mx 7.5%加%()5 加。,7.5%0

30、-/?1%0-5 0解得 x 2 1.0 1 5 a +0.0 0 2.m即当股票卖出价不低于1.0 1 5。+U&+0.0 0 2时就不会蚀本。m要使该股民一年后以x元的价格卖掉该股票时的收益率不低于同期银行利率，就是要求满足 y 2.2 5%（1-2 0%）即y 1.8%的x.由题设，。机 3.5%。1 0,故由m(x -a)-C(x,m)-C(a,m)y ma +C(a,n)1.8%得:mx -C(x,m)1.0 1 8 m a +C(a,m)即m x-沈元 1.0 1 8（-v ma 7.5%0+2%（）+5）.解得 X 1,0 3 3 a +0.0 0 2.m将a =1 4.7 5,

31、/n =1 0 0 0代 入 上 式,得x 1 5.2 5即一年后以不低于1 5.2 5元 的 价 格 卖 掉 该 股 票，就 比 存 银 行 划 算。说明 这是一道很具现代生活气息的生活情境。现代生活中，股票、基金、债券、存蓄保险等金融活动对人们的生活产生较大的影响，它要求人们能对多种情况作出合理选择。一般说来，收费问题都是要分情况而定的，故可建立分段函数模型来解决。地某些有限资源使用的收费上，可采用人均超过某限定用水量（基本生活用水）后，每吨价格翻番，迫使大家节约用水。例3交通拥挤和事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v （千米/小时）的平方与车身s （米）的积的正

32、比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半，现假定车速为5 0千米/小时，车距恰为车身长。（1）试写出关于v的分段函数式（其中s为常数）；（2）问应规定怎样的车速，才能使此地段的车流量Q=W 9W最大。d+s 分析 由车距d与车速V的平方和车身长S的积成正比，可得d=A/.s,欲求d关于丫的函数式，首先要求出Z,由v=5 0,d=5时，即可求出左。因为d zs,包含两种2情况，即d=；s和d gs,此时d=/o）应由v的范围分段求；第（2）问就是将第（1）问中d=/）代入Q=W 5上即得Q关于v的函数关系，再分段求函数的最值即可。d+s解（1）有题设d=切2 5,而当口二5 0时，d=s,；有

33、5 =八5 0 2 “=%=品于是=2 5 0 0又1=5忖,2v=25 V21s21-v1 2 5 0 0(v 2 5扬.2 0 0 0 i，3 s(2)由题意，得。=1 0 0 0 v(v 2 5扬5(1 +2 5 0 0)”,cu G 2 八 M 曰 /士 忆 2 0 0 0 x 2 5A 5 0 0 0 0 V 2 .仄当u 2 5 j 2 时，由。=-=-s(l+)S(一 +)2 5 0 0 v 2 5 0 0,1 0 0 0 2 5 0 0-=-(等号在v=5 0时成立)。口 5 0 0 0 0 7 2 2 5 0 0 0又-O3 s s故当v=5 0千米/时,车流量Q最大.说 明

34、 解决第(D问是分段求解析式，由d 2知v N 2 5 7 2，当v =2 5&时，d -s2 2但车速v 2 5 V 2也是允许的,此时只要保证求得的最大值,较大者即为所求.例4某乡政企业生产一种机器，年最大生产能力为1 0 0 0台.该厂每年要固定支出设备折旧，资金利息,常规税费等共1 0 0 0 0元.每生产一台机器要原材料,工人工资等费用2 0 0元.经调查,时常对这种产品的最大需求量为每年5 0 0台，再多就会造成产品积压,每积压一台产品，当年要亏损资金利息及保管费用1 0元,次年要亏资金利息及保管费2 0元.在年 需 求 量 内 当 年 销 售 收 入 与 销 售 数 量 间 满

35、足 函 数 关 系1 ,/?(%)=5 0 0X-X2(0 X 5 0 0)。(1)把当年年利润表示为年产量的函数；(2)年产量为多少时,当年企业利润最大?最大年利润为多少？(3)有人建议：该厂生产能力大于销售能力，且努力生产一年，恰够两年销售，实行生产一年，停产一年的办法经营，此建议能否采纳？说明理由。分 析 企业利润，等于销售收入减去成本。积压产品，当年的资金利息和保管费用应视为当年生成成本，产品的原料费，人工工资已由现金变为实物，这是资本的转移，应视为来年销售时的成本，不能视为当年的亏损。若当年产品不大于500台则产品全部销售，当生产产品大于500分。则最多只能销售500台，其余产品积压

36、，当年不能变现，无法实现利润。解(1 )设 当 年 生 产 x台 产 品，实 现 利 润/(X)元，由 题 意/(%)=500%一g 1 一(10000+2 0 0 x),(0 x 5 0 0)%(x)=500 x 5 0 0-|x 5002 1000+200 x 5 0 0-1 0(x-500),(500 x l 000)即,-x2+3 0 0 x-1 0 0 0 0,0 x 5 0 0/(x)=22O O O O-IO x,500 x 1000.(2)当x e 0,500时函数/(x)=-x2+3OO.r-10000为二次函数。当x=300时,其最大值是/(3 0 0)。又 300e(50

37、0,1000)o1,/(x)最大=/(3 0 0)=：x3002+300 x300 10000=35000(元)当 x e(500,1000时，/(x)=20000-10 x 为减函数。/(x)20000-10 x500=15000 元35000 元。故该厂生产300台时年利润最大。(3)该建议不妥。因为第二年停产，仍要支付该年度的固定成本支出，生产的可变成本已由上年度垫付转移到本年度而每台要多支付保管费20元，必然减少利润。说明 上例说明，当企业的生产能力大于市场销售能力时，企业应充分作市场调查，生产量控制在“好价钱”生产点上为最佳决策。若盲目生产造成产品大量积压，会减少利润，甚至亏本。第

38、三 节 非 解 析 函 数 问 题现报刊、电视、网络等新闻媒介中，经常出现一些函数图象，将实际问题以函数图象的形式在加以说明，显得更直观明了。实际生活中遇到的函数图分两种，一种是有解析式的，另一种是没有解析式的。对于有解析式的函数，可以先写出其解析式，然后利用解析式进行研究，要简单方便得多，而对于没有解析式的函数，学生接触很少，遇到时不知从何下手，但实际应用却很多，值得研究、重视。例1 股价走势图图 l-5 a 是股票“深发展A”在 1998年 2 月 18日至2000年 5 月 3 0 日之间的股价走势图，图 1-5 (b)是“深发展A”走势图的局部放大图，时间为1999年 3 月 2 9

39、日至1999年 7 月 3 0 日。请你仔细分析函数图象后提供以下信息：从 1 9 9 8 年 1 月 1 8 日至2 0 0 0 年 5月 3 0 日之间，大约何时股价处于最高峰？最高峰值是多少？大约何时处于最低峰？最低峰值是多少？成交量何时最高，其成交量是多少？设当时“深 发 展 A”的流通股本为1 0 7 1 6 3 4 4 0 0股，其当天换手率为多少？股价最高时成交量是多少？从图上看，股价在哪段时间内上升最快？试测算这段时间内的日平均增长率。从图中判断以下断言是正确：A.图 1 5 （。）中，平均股价高于1 8 元。B.成交快速拉升时，其成交量也明显放大。D.股价的走势成波浪形。E.

40、股价虽有涨有跃，但总趋势是上涨的。股价开盘价的计算股价走势图由K 线分阳线和阴线两种（见 图 1 一5 （b）。当开盘价低于或等于收盘价时,即为阳线（空心），反之即为阴线（实心），泸市股票的收盘价即为当天最后一笔成交价，深市股票为当天最后一分钟交易的平均成交价。开盘价是这样确定的：每天开盘前（9：0 0-9：2 0）,由投资者填报某种意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定当天的开盘价，使得在该价位上能够成交的股数最多。试根据以下数据，确定这种股票的开盘价以及能即时成交的股数。卖方意向价（元）1 6.1 01 6.2 01 6.3 01 6.3 51 6.4 0意向股

41、数2 0 04 0 05 0 06 0 01 0 0解 用尺子与图的竖边平行,可得到最高价（或最低价）在图下边日期刻度上的连点，从而可大致得到最高价（或最低价）所在的日期.买方意向价（元）1 6.0 01 6.1 01 6.2 01 6.3 01 6.4 0意向股数8 0 08 0 03 0 03 0 01 0 0约 在 1 9 9 9 年 6月 2 9 日达到最高股价为2 8.8 0 元,在1 9 9 9 年 5月 1 7 日达到最低股价为1 1.5 0 元.寻求成交量大小用右边的成交量刻度（此题作为作业）.由图形和问得到的数据可得:在 1 9 9 9 年 5 月 1 7 日至1 9 9 9

42、 年 6月2 9 日这4 4 天中股价上升最快（这即是波澜壮阔的9 9 年 5.1 9 行情）.设这段时间内的平均增长率为X,则有11.5（1 +%）44=28.8解得 x=0.0 2 1.即平均每天增长2.1%.A.正确日成交量x日均价平均股价的计算应采用加权算法,即乙 ,-，日均价可用收盘价代替.息成交量B.错误.C.正确.因为股价快速拉升时，将产生大量的获利筹码和解套筹码.D.正确.股价的走势图是非解析函数图，必成波浪形.E.错误.这要看上市公司的基本面及其成长性.但多数股票总的趋势是上涨的.首先应注意到:当卖方意向价低于开盘价以及买方意向高于开盘价时,几可以成交.根据已知两个表格，得到

43、累计供应量如下表：开盘价1 6.0 01 6.1 01 6.2 01 6.3 01 6.4 0卖方股数02 0 06 0 01 1 0 01 8 0 0买方股数1 3 0 01 3 0 07 0 04 0 01 0 0可成交股数02 0 06 0 04 0 01 0 0为使买卖双方都满足,只好折史,确定开盘价为1 6.2 0 元,可既是成交股数为6 0 0 股.说明 股票将会成为未来经济生活中重要的一部分.媒体上公布股市走势图.乃是“大众数学”的组成部分.图 1 一5直接取自计算机屏幕.在由图得到信息的时候,应注意单位,善于捕捉信息来源，提出有价值的问题.此题是开放性的,读者可根据图提出其他问

44、题进行研究.我国教材中的函数图象,都是有解析式的,这种实际的函数图很少接触，但实际应用很多,值得重视.实际生活中的非解析式函数图还有很多，如气温走势图,汇率走势图,物价指数变法图，经济景气指数变法图等,都值得我们去重视、去研究.第四节预测与函数拟合组建数学模型的目的是想利用它来有效地分析和解决实际问题,也可对某些实际问题的发展作出预测.而原始数据就是数学模型与实际问题相联系的重要途径和纽带.这里所说的原始数据指的是人们从实际问题中所收集到的实际观察值或测量值,它直接来自于现实世界,所以,它是组建数学模型的重要依据和检验数学模型的重要标准.因此,在建模过程中如何处理好原始数据和数学模型之间的关系

45、就显得尤为重要.如果我们面临的问题比较复杂,不能通过适当的假设来发现问题中的主要因素极其相互作用的机理时，就可直接从拟合原始数据出发组建出有关问题的数学模型，我们称这一模型为拟合模型。由于组建这一模型时缺乏有关因素之间作用机制的细致讨论，模型的使用和分析的深度往往要受到一定的限制。一般来说，这类模型会告诉我们可能发生什么情况，但无法说清楚为什么会是这样。在这类模型中，变量之间的关系是通过对有关变量基本知识和方法1.函数拟和与预测的步骤在中学阶段，学生在处理函数拟和与预测的问题时，通常需要掌握以下步骤：（1）能够根据原始数据、表格、给出散点图。（2）通过考察散点图，画 出“最贴近”的直线或曲线，

46、即拟合直线或拟合曲线。如果所有实际点都落在了拟合直线或曲线上，那么这将是十分完美的事情，但在实际中，这种情况是不可能发生的。因此，使实际点尽可能均匀地分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了。（3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式。（4）利用函数关系式，根据条件对所给的问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据。2 .确定拟合直线或曲线的方法确定拟合直线有两种常用方法：随手画法和最小二乘法。确定拟合曲线也有两种常用方法：随手画法和曲线问题线性化法。后者指通过对变量变换而化为线性回归方程的函数图形及其数学表达式，然后可按最小二乘法

47、估计其参数。3 .最小二乘法以知几个点（匹，口）,（2，%），（x“，y”）是平面直角坐标系下给出的一组数据，若/=li=要使Q最小，必须_ _ _ _n _ _22（升7）（%-）Z（一）（为一丁）b=-=-；-2t（“X）之 （x,-x）2i=l Z=1有了上述公式，我们就可以得到如下，回归直线方程:Ay =a =b x说明为了便于运用计算机进行计算，可作若下变换：(X j-X)2 =x：_ L(x j)2/=1 ,=1 /-I(x,.-x)(yi-y)=Yjxiyi-入以)(%)/=1 /=1 f l/=1 T/=T!这样，a,b的计算又可以表示为：1(b (=一 一一工七 ,=1 ，=

48、1七%(七 毛)这%)b _，=1 ，=l 7=1_ _ _ _9 T加2因此，在应用计算机时，可以对巧,先,西月,%;进行类累加，从而在同一个循环中可以求出所与的各项的累加和。值得注意的是，由于不同的人对同一原始数据可画出不同的直线或曲线，从而得出不同的拟合直线或曲线，所以采用随手画法包括个人的主观判断，有其局限性，而采用最小二乘法可以使拟合更准确一些。二、应用实例1.线性拟合中学阶段，正比例函数和次函数，其图形都为一条直线。而生产、生活的许多问题，如国民生产总值、工厂生产产量、商店销售额、收入与消费的长期趋势，往往是线性的，在图形近似于一条或几条直线，我们常采用直线型拟合，也称线性拟合来研

49、究。例1销售额问题某县乡镇企业局，要求预测1 9 9 0年1 9 9 1年轻工业品人均销售额，根据初步分析，人均销售额为和人均国民收入占的数据如下表所事，1 9 9 0年 及1 9 9 1年人均国民收入计划值分别为5 1 4.1 元/人、5 5 0.1 元/人。年份人均销售额%（元/人）人均国民收入国（元/人）年份人均销售额%（元/人）人均国民收入%，（元/人）1 9 6 5 0.3 51 1 61 9 7 8 0.7 81 9 71 9 6 6 0.3 71 3 71 9 7 9 0.9 42 2 61 9 6 7 0.5 21 4 21 9 8 0 1.0 02 3 81 9 6 8 0.

50、6 71 5 61 9 8 11.0 52 5 81 9 6 9 0.6 01 2 31 9 8 2 1.1 02 5 41 9 7 0 0.5 71 1 51 9 8 3 1.1 82 6 91 9 7 1 0.5 31 2 81 9 8 4 1.2 22 7 01 9 7 2 0.5 91 3 61 9 8 5 1.3 62 8 81 9 7 3 0.5 01 6 21 9 8 6 1.4 53 4 81 9 7 4 0.5 61 8 61 9 8 7 1.6 14 2 21 9 7 5 0.6 31 6 21 9 8 8 1.8 64 4 81 9 7 6 0.6 61 6 31 9 8