2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：立体几何（附答案解析）.pdf

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1、2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：立体几何一.选 择 题（共8小题）1.（2021秋海淀区期末）如图，/,8 是两个形状相同的杯子，且 8 杯高度是4 杯高度的3,4则 8 杯容积与/杯容积之比最接近的是（）UQA BA.1：3 B.2：5 C.3：5 D.3：42.（2021秋爱民区校级期末）一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为4 i r,则正方体的棱长为（）A.返 B.2 M.C.返 D.如3 3 33.（2021秋齐齐哈尔期末）已知互不重合的直线w,n,互不重合的平面a,0,下列命题正确的是（）A.若ua,tn/n,则za B.若u a,加_L，贝 U mJ_aC.若a 0,

2、?a,则?S D.若?_L 0,阳 u a,贝！JaJ_B4.（2021秋 1月份月考）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的外接球的表面积（单位：cm2）为（）3 3正视图 侧视图3俯视佟A.18n B.20n C.22n D.24n5.（2021秋南岗区校级期末）已知向量Z=（1,1,%）,二（-1,0,-1）J c=（0,2,且向量W-2己与W互相垂直，则攵的 值 是（）A.1 B.-2 C.-3 D.-4第 1 页 共 2 7 页6.（2021秋河南月考）将 正 方 形 沿 着 对 角 线 4 C 折成一个直二面角，此时8。=2,则边长4 8=（）A.A B.1 C.3

3、D.22 27.（2021秋长宁区期末）在三棱锥D-/8 C 中，D4_L平面/8C,ABLBC,DA=AB=BC；记直线。8 与直线/C 所成的角为a,直线0 c 与 平 面 所 成 的 角 为 0,二面角。-8 c-4 的平面角为丫，则（）A.P y a B.y P a C.p a y D.a y -4 8 i C i i，若 正 j（2,2,1）,则瓦E的坐标为1 4.（2 0 2 1 秋湖北期末）已知一个圆台的上、下底面半径之比为1：2,母线长为2&,其母线与底面所成的角为4 5 ,则 这 个 圆 台 的 体 积 为.1 5.（2 0 2 1 秋黑龙江期末）已知P,A,B,C四点共面且

4、对于空间任意一点O,都 有 而=2 0 A+0 B+t 0 C）则 片第3页 共2 7页16.（2021秋房山区期末）九章算术是我国古代数学名著，其中提到的“阳马”是指底面为矩形，有一侧棱垂直于底面的四棱锥.在阳马P-4 8 8 的表面三角形中，直角三角形的个数为.四.解 答 题（共 6 小题）17.（2021秋爱民区校级期末）如图，在四棱锥0-/8 8 中，底 面 是 正 方 形，M为。1的中点，N 为。8 的中点.求证：平面OCQ.18.（2021秋长宁区期末）已知49C Q 是边长为2 的正方形，正方形绕8 c 旋转形成一个圆柱.（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形A B C D绕BC顺

5、时针旋转工-至4 5 C 8,求异面直线AD与C D所成角的大19.（2021秋榆林期末）如图，在四棱锥尸-48C。中，以，平面/8 C A,底面为直角梯形,CD/AB,ADA.AB,且 以=力。=。=2,AB =3,E 为 PO 的中点.（1）证明：/E L 平面尸8；（2）过 4 B,作四棱锥P-N 8 8 的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积.第4页 共2 7页p2 0.（2 0 2 1 秋房山区期末）如图，正方体38105的棱长为2,点 为 8 8 1 的中点.（I ）求证：平面ZO i E；（I I）求点Q 到平面C D i E 的距离;（I I I）判断8 1 c l的中点是否

6、在平面/GE上？说明理由.2 1.（2 0 2 1 秋三门县校级期末）如图所示，已知正方体1 8 1 c l。的棱长为2,E,分别为B C,CD的中点.（1）求 4 到平面GEF的距离；（2）求平面C i E F 与 平 面 夹 角 的 余 弦 值.2 2.（2 0 2 1 秋佛山期末）如图，四棱锥P-A 8 C。中，四边形N 8 C D 是矩形，/D _ L 平面以8,P AL P B,E是 的 中 点.（1）在线段8 尸 上 找 一 点 使 得 直 线 平 面 P C D,并说明理由；（2）若 A 4=/Z）,A B=4 D,求平面P C 与平面以8所成二面角的正弦值.第5页 共2 7页第

7、6页 共2 7页2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：立体几何参考答案与试题解析一.选 择 题（共8小题）1.（2 0 2 1秋海淀区期末）如图，/,8是两个形状相同的杯子，且2杯高度是/杯高度的4则8杯容积与A杯容积之比最接近的是（）U 口A BA.1：3 B.2：5 C.3：5 D.3：4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题；整体思想；演绎法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算.【分析】根据两个杯子形状相同可得底面积之比为高之比的平方，因此容积之比为高之比的立方即可求解.【解答】解：因为4 8是两个形状相同的杯子，且8杯高度是4杯高度的3,4所以底面半径比也是3,4所以两个

8、杯子的底面积之比为SB：sA=（）21S h所以B杯容积与A杯容积之比工_ 1=（3）2 X旦 上L 0.4=2：5）SAhA4 6 4故选：B.【点评】本题主要考查体积的计算，立体几何的实际应用等知识，属于基础题.2.（2 0 2 1秋爱民区校级期末）一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为4m则正方体的棱长为（）A.返 B.C.逅 D.V33 3 3【考点】球的体积和表面积.【专题】计算题；整体思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数第7页 共2 7页学运算.【分析】求得球的半径，由此求得正方体的体对角线长，进而求得正方体的棱长.【解答】解：设正方体的棱长为a,则其体对角

9、线长为设球的半径为r,贝!|4n/=4n,r=l,所以Ja=2r=2,_ 2 _ 2 飞 F故选：B.【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，属于基础题.3.（2021秋齐齐哈尔期末）已知互不重合的直线机，n,互不重合的平面a,p,下列命题正确的是（）A.若”ua,m/n,则小a B.若 u a,加 _ 1 _ ，则 m_LaC.若&0,m/a,则加0 D.若机_L0,机u a,则&_ 1 _ 0【考点】直线与平面垂直.【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；直观想象.【分析】可通过分别对线在面内和面外两种情况结合直线与平面平行以及垂直的性质分别进行分析判断即可.【解答】解：对于“

10、选项，“ua,m/n,则加a或/“u a,故 N错误：对于8 选项，ua,mA,n,则?J_a或?u a,故 8 错误；对于C 选项，a0,m/a,则机 0或故C 错误；对于。选项，u a,则必有a_L0,故。正确，故选：D.【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，属于基础题.4.（2021秋 月 份 月 考）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的外接球的表面积（单位：cJ）为（）3 3正视图 侧视图3俯视性A.I8n B.20n C.22n D.24n【考点】由三视图求面积、体积；球的体积和表面积；球内接多面体.第8页 共2 7页【专题】转化思想；综合法；球；数学运算.【分析】

11、首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出外接球的表面积.【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由一个底面为直角三角形的三棱柱体Z 8 C-O E F,(倒着放)如上图所示：4B=2,AC=3f AD=3t设外接球的半径为R,所 以(2R)2=22+32+32=22,则 R=J .,2 _所以 S=4n(Y )2=22T T(.cm2).2故选：c.【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.5.(2021 秋南岗区校级期末)已知向量之=(1,1,0,-1)，3=(0,2,1 且向量7-2芯与

12、互相垂直，则左的值是()A.1 B.-2 C.-3 D.-4【考点】空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直.【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算.【分析】先求出之-2 4=(3,1,%+2),再由向量7-2 芯与1 互相垂直，列方程能求出发.【解答】解：.响量a=(1,1,k),b=(-l,0,-1)c=(O,2,1*0 a-2 b=(3,1,%+2),第9页 共2 7页:向 量 7-2 芯与直相垂直，；(a-2 b)c=0+2+A+2=0,解得=-4.故选：D.【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查推理论证能力，是

13、基础题.6.(2021秋 河 南 月 考)将 正 方 形 沿 着 对 角 线 ZC 折成一个直二面角，此时8。=2,则边长N 8=()A.A B.1 C.3 D.22 2【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算.【专题】计算题；整体思想；演绎法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数学运算.【分析】取 4 C 的中点为。，连接OD,根据题意得/BOD=*，0B=0D=AB，进而根据勾股定理得48=2.【解答】解：如图，取/C 的中点为O,连接08,O D,DB由正方形的性质得/CD,48C 为等腰直角三角形,所以 OD_LZC,O B L AC,所以N BOD是二面角B-A C

14、-D的平面角，因为正方形A B C D沿着对角线ZC 折成一个直二面角，第1 0页 共2 7页所以 N B O D=*.因为B。是等腰直角三角形，O B=O D=A B，所 以(喙A B)2+(当 杷)2=4,解得AB=2.故选：D.【点评】本题主要考查折叠问题的处理方法，空间中距离的计算等知识，属于基础题.7.(2 02 1秋长宁区期末)在三棱锥。-/8 C中，D 4 J _平面/5 C,AB A,B C,D A=4 B=B C；记 直 线 与 直 线/C所成的角为a,直线。C与平面/B O所成的角为仇 二面角。-8 c-4的平面角为丫，则()A.p y a B.y P a C.P a y

15、D.a y D B=(O,1,-1)，则ccs 曰高高号/9则a今由已知可得，D A V B C,又 4 B _L 8 C,且 D 4 n”=/,；.C 8 _L平面 D 4 8,则p=N C 8,D B=g,D C=M，则 cos 0=返；V 3 3 2由 8 C J _平面 D 4 8,得 丫=/。8/=工，4/.p y P 则 t=-2 .【考点】空间向量的夹角与距离求解公式.【专题】计算题：方程思想：综合法；平面向量及应用；数学运算.【分析】分别用0 A，0 B，0 匿 示 出 A P，B P，C P，根据平面向量的基本定理可知A P=第1 8页 共2 7页wBP+nCP，列出方程组解

16、出f.【解答】解：AP=OP-0A=OA+0B+t 0 C,BP=OP-0B=2 0A+t0C.CP=OP-0C=2 0A+0B+（t-l）0 C-VP,A,B,C四点共面，.存在加，6R使得屈=加语 而，；OA+OB+tOC=?（2 0A+t0C）+/?2 OA+OB+（t_ 1）OQ-2m+2n）OA OB+（”+，-）0 C-2m+2n=1n=l，解 得 加=-工，n l,t-2.2mttnt-n=t故答案为：-2.【点评】本题考查了平面向量的基本定理及线性运算，列出方程组是解题的关键，属于中档题.16.（2021秋房山区期末）九章算术是我国古代数学名著，其中提到的“阳马”是指底面为矩形

17、，有一侧棱垂直于底面的四棱锥.在阳马P-Z8CZ）的表面三角形中，直角三角形的个数为 4.【考点】棱锥的结构特征.【专题】计算题；对应思想；分析法；空间位置关系与距离；逻辑推理.【分析】利用线面垂直的判定定理求解即可.【解答】解：不 妨 设 我，底 面ABCD,如下图所示：PAVABCD,AB、8Cu平面/BCD,：.PAYAB,PAVBC,CBCLAB,PAAB=A,；.8C_L平面以8,平面必8,J.BCLPB,故以8、AP8C均为直角三角形,同理可知以。、APCD均为直角三角形.因此，在 阳 马 尸-/BCD表面三角形中，直角三角形的个数为4.第1 9页 共2 7页故答案为：4.【点评】

18、本题考查棱锥的结构的特征，考查学生的推理能力，属于中档题.四.解 答 题（共 6 小题）1 7.（2 0 2 1 秋爱民区校级期末）如图，在四棱锥中，底 面 是 正 方 形，M为。1 的中点，N为。8的中点.求证：A/N 平面08.【考点】直线与平面平行.【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；直观想象.【分析】因为M 为。4的中点，N为 08的中点.所以由三角形中位线可知施V/8,所以M N C D,根据线面平行的判定即可求证.【解答】证明：因为M 为。4的中点，N为 08的中点.所以M N4 8,又因为底面4 8 c o 是正方形，所以4 8。，所以MN CD,因为C O u 面

19、O CD,M N C 面 OC D,所以M N面O C D.【点评】本题考查了空间中直线与平面平行的判定，属于基础题.1 8.（2 0 2 1 秋长宁区期末）已 知 是 边 长 为 2的正方形，正方形/8 C O 绕 8c旋转形成一个圆柱.（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形绕8c顺时针旋转？L至 4 O 1 C 8,求异面直线/功 与 C。所成角的大第2 0页 共2 7页【考点】异面直线及其所成的角.【专题】转化思想；综合法；空间角：数学运算.【分析】(1)由圆柱的侧面积公式和表面积公式，计算可得所求；(2)由异面直线所成角的定义和解三角形，计算可得所求角.【解答】解：(1)圆柱的表面是由上

20、下两个半径为2的圆面和一个长为4 n,宽为2的矩形构成.，该圆柱的表面积S阅 柱=4T T X 2+如 X 2?=1 6T T；(2)由正方形4 8。”可得C i _ L 8 C,TT又/。C D i=,：.CDL CD,2DD=2底,DI=7 22+(2A/2)2=2 V 3,过。1 作。i”c。，且 C =OI,连接。”，AH,可得N 4 D i H(或其补角)为异面直线力。|与 CO所成角.在中 DH=C D=2,A H=2 7 2-皿=2 如,由DH2+AH2AD2,可 得 加 为 直 角 三 角 形，D,H n Ec o s ZJ D i H=i=N _=XA,A D i 2 73

21、3故 异 面 直 线 与C D所成角的大小a r c c o s l .3【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，以及异面直线所成角的求法，考查转化思想和运算能力，属于中档题.19.(2 02 1秋榆林期末)如图，在四棱锥尸-N 8C。中，以 J _ 平面/8 C O,底面为直角梯形,CD/AB,A D LA B,且 以=/O =C O=2,AB=3,E 为 的中点.(1)证明：4 E J _ 平面尸C D；第2 1页 共2 7页（2）过4 B,E作四棱锥尸-N 8C D的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积.【考点】直线与平面垂直.【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算

22、.【分析】（1）由 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 得 由 已 知 可 得C O _ L 4 D,由线面垂直的判 定 定 理 可 得 平 面 以。，推出8 _ L/E,由/E L P D,即可证明结论；（2）过E作 所 交P C于R连接8凡 推导出E/可得截面为四边形Z8F E,计算可得面积.【解答】（1）证明：因为我，平面/8C。，所 以C O上刃.X CD/AB,A DJ.AB,所以 8_ L 4 O.因为所以C Z）_ L平面E 4 D,则C D _ L 4 E;因 为 孙=/。，E为 的 中 点，所以又 C D C PD=D,所以 4 E _ L平面 P C O.（2）解：如图

23、，过E作E F C。，交尸C于尸，连接8尸，则截面为四边形N 8F E.理由如下：因为/8C。，E F/CD,所以E F 幺 B,所以Z,B,F,E四点共面，从而过4 B,E的截面为四边形”8/石.由（1）知E L平面尸C。，所以i=,A E=/2，4B=3,第2 2页 共2 7页所 以 四 边 形 尸E为直角梯形，其面积$芳 x (1+3)x 72=2 72-【点评】本题主要考查线面垂直的判定与性质定理，截面面积的求法，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题.2 0.(2 02 1秋房山区期末)如图，正方体的棱长为2,点E为881的中点.(I )求证：8c l 平面(I I )求点C i到平

24、面A D E的距离；(I I I)判断81。的中点 是否在平面力D i E上？说明理由.【考点】直线与平面平行；点、线、面间的距离计算.【专题】计算题；整体思想；演绎法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算.【分析】(I )先判断出四边形C 1O M 8是平行四边形，再由线面平行的判断定理可得答案；(I I )以/为原点，分别N D 4 84 4 1所在的直线为师的正方向建立空间直角坐标系，求出平面。i/E的法向量，再由点到平面的距离的向量公式可得答案；(I I I)由EM是三角形 G 818的中位线，得出再由C i 8O i力得出M E D A可得答案.【解答】(I)证明：在正方体中，CD/A

25、B,C D A B,所 以 四 边 形 是 平 行四边形，所以 8C 1U平面 4 D 1E,A D i u平面 Z5 E,所 以 平 面(I I)解：第2 3页 共2 7页在正方体中，以4为原点，分别4 0%员4 4所在的直线为型 的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，所以/(0,0,0),D(2,0,2),E(0,2,1),C(2,2,2),亚=(2,0,2)，A E=(O,2,1)商=(2,2,2)，设平面。M E的一个法向量为=(x,y,z)，所-以I A D i1 *n=0,即(，9/Y+9&7=OU,&令 z=2,则,y=-l,x=-2,A E-n=0 l 2 y+z=0所以W=(

26、-2,-1.2)-点。到平面/A E的距离为d n,C 1上41?+41=2.|n|V4+1+4 3(I I I)解：连接“M E ,因为E M是三角形G 81B的中位线，所以。因为。8。弘，所以所以确定平面M E G/,第2 4页 共2 7页因为E DA三点在平面M E D A内，所以四点M E D A共面，所以81c l 的中点M在平面/GE上.【点评】本题主要考查线面平行的证明，点面距离的计算，立体几何中的探索性问题等知识，属于中等题.2 1.（2 02 1秋三门县校级期末）如图所示，己知正方体的棱长为2,E,F分别为BC,。的中点.（1）求 出 到平面CiE F的距离；（2）求平面GE

27、F与平面N 8 1O 1夹角的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算.【专题】数形结合；数形结合法；立体几何；数学运算.【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面GEF的法向量，再求点小到平面C i E F 的距离;（2）求 出 平 面 的 法 向 量，利用法向量求平面C i E 尸与平面/B i d 夹角的余弦值.【解答】解：（1）根据题意建立空间直角坐标系，如图所示:,2,0),F(0,1,0),所以(-2，2,0),E F=(-b -1,0),(1,0,-2),设平面C i E 尸的法向量为1r=（x,y,z）,第2 5页 共2 7页则,1

28、_m_w_E_F_=_，0 即J xf-yY-uv,=Om*C1E=0 x-2 z=0令 z=l,得 x=2,y=-2,所以 i r=(2,-2,1),I A j C m|所以点Ai到平面CE F的距离为d=JI m|I-4-4+0|_8.22+(-2)2+l2 3(2)因为/(2,0,0),B i(2,2,2),D(0,0,2),所 以 西=(0,2,2),西=(-2,0,2),设平面/B0的法向量为三=(x,v，z),则 二，-,即，2 y+2 z=o ,n*A D j =0 l-2 x+2 z=0令z=l,解得x=l,y=-1,所以 r)=(1,-1,1),所以平面GEE与平面AB D夹

29、角的余弦值为所 网=J m.n =12+2+；|=5遮I m|X|n|4+4+1 X V l+1+1 9【点评】本题考查了空间中的距离与夹角的余弦值计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题.2 2.（2 02 1秋佛山期末）如图，四棱锥尸中，四边形N 5C Z）是矩形，4）_ L平面以8,P AL P B,E是 的 中 点.（1）在线段8 0上找一点M,使 得 直 线 平 面P C。，并说明理由；（2）若A 4=/Z）,AB=yf4D,求平面P C E与平面以8所成二面角的正弦值.【考点】直线与平面平行；二面角的平面角及求法.【专题】转化思想；向量法；立体几何：直观想象；数学运算.【分析】（1

30、）取M为尸8中点，只要说明ME平行于平面P C D内直线NO即可；（2）用向量数量积计算二面角的余弦值，进而求解.第2 6页 共2 7页【解答】(1)解：为 尸 B 中点加时，平面尸C D,理由如下:取 P B 中点M,取 P C 中点M 连接MN、EM、DN,所以MN B C,M N=C,因为四边形N88是矩形，E 是力。的中点，2所以。E8C,D E=1 C,2所以D E MN,D E=M N,所以四边形A/NAE是平行四边形，所以DN ME,因为 DVu平面P CD,平面P CD,所以EM 平面P CD.(2)解：因为以，尸 8,建系如图，因 为 平 面 R 1 8,所以平面/8COJ_平面必8,P A=AD,A B=近 位)=近 ,所以 P B=J 形 2 卜2=P A,不妨设以=1,则 尸(0,0,0),A(0,1,0),B(1,0,0),E(0,1,A),C(1,0,21),P E=(0,1,A),PC=(1,0,1),2令 7=(2,1,-2),因为而,7=0，&7=0，所以，是平面PCE的法向量，n=(0,0,1)是 的 平 面 的 法 向 量，设平面PCE与平面均8 所成二面角为。，0G(0,n),【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角计算问题，属于中档题.第2 7页 共2 7页