2022年初升高衔接数学专题复习讲义含答案.pdf

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1、2022年初升高衔接数学专题复习讲义专题01数与式的运算.2专题02分解因式.11专题03 一元二次方程.19专题04二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质.24第 1 页 共 5 6 页专 题01数与式的运算卷题综述初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是 对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充,对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运

2、算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可 用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数基运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数累逼近无理数指数幕），掌握运算性质，能 够 区 别 与（布 的异同.通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数基的概念，进而学习指数基的性质，掌握分数指数幕和根式之间的互化，掌握分数指数基的运算性质.亚一=:课程要求初中课程要求1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有顺序性，知道

3、字母表示数的基本代数思想2,初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式，掌握了不超过三步的数的混合运算4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无理式的概念；了解了整数指数基的含义高中课程要求1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打基础，会运算字母代表数的式子2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技巧3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两数和、差的立方公式.高中有很多混合运算都超过三步4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比较，会把整数指数幕的运算及其性质推广到

4、分数指数累论识精讲高中必备知识点1:绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即：a,a 0,|a|=0,2 =0,-a,a 2 等 是 无 理 式，而 V5 f-i-x+1,x+V2JVV+,2后 等 是 有 理 式.1 .分 母（子）有理化把 分 母（子）中的根号化去，叫 做 分 母（子）有理 化.为 了 进 行 分 母（子）有 理 化，需要引入有理化因 式 的 概 念.两 个 含 有 二 次 根 式 的 代 数 式 相 乘，如 果 它 们 的 积 不 含 有 二 次 根 式，我们就说这两个 代 数 式 互 为 有 理 化 因 式，例 如

5、/了 与,3/与，丁，也+岳 与 琳-屈,2百 一3 乃 与23+3/2,等 等.一 般 地，a 右 与,oy/x+byy ayxbyy,a&+b 与 a j k-b 互为有理化因式.分 母 有 理 化 的 方 法 是 分 母 和 分 子 都 乘 以 分 母 的 有 理 化 因 式，化 去 分 母 中 的 根 号 的 过 程；而分子有 理 化 则 是 分 母 和 分 子 都 乘 以 分 母 的 有 理 化 因 式，化去分子中的根号的过程在 二 次 根 式 的 化 简 与 运 算 过 程 中，二 次 根 式 的 乘 法 可 参 照 多 项 式 乘 法 进 行，运算中要运用公式4 a 4 b=4

6、a h（a 0,b 0）-,而 对 于 二 次根 式 的 除 法，通 常 先 写 成 分 式 的 形 式，然后通过分母有理 化 进 行 运 算；二 次 根 式 的 加 减 法 与 多 项 式 的 加 减 法 类 似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2.二 次 根 式 的 意 义ly I 1 J a，aN，=同=a,a 2.在数轴上找出I x-l =2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为一1或3,所以方程|X 1|=2的解为X=1或X=3,因此不等式|X 1|2的解集为-1 或 X 3.：卜一；卜 孑一-2-101234例3解方程|x-l l +l x+2|

7、=5.由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和一2对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值.因为在数轴上1和一2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或一2的左边.若X对应的点在1的右边，可得X=2；若X对应的点在一2的左边，可得X=-3,因此方程I X 1I+I X+2|=5的解是X=2或X=-3.参考阅读材料，解答下列问题：方程I X+2|=3的解为；（2）解不等式：|X-2|V 6；解不等式：|工一3|+|X+4|29；解方程：I X-2|+|X+2|+|X-51=15.4Li220【变式训练】实数a、b在数轴上所对应的点的位置如图所示：化 简 用+|a-b|

8、-|b-a|.-1-1-a o b【能力提升】己知方程组仁+丁=1+Z的解x、y的值的符号相同.(4 x y=1 0 6 a 求a的取值范围；(2)化 简:|2 a +2|-2|a-3|.高中必备知识点2：乘法公式【典型例题】计算:-2+2 0 1 6 +(-2)3 4-(-2)2(2)化简：(a +2 b)(a 2 b)-(a 2 6)2【变式训练】计算:(1)(-3.1 4)+(-4)2-(-)-2 (x-3)2 (x +2)(x-2)【能力提升】已知 l（r=a,5x=b,求：（1）50的值；（2）2*的值；（3）2（/的值.（结果用含。、b的代数式表示）高中必备知识点3：二次根式【典型

9、例题】计算下面各题.(1)(76-2 71 5)x 73-6 ;【变式训练】小颖计算J E时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算:解：原式=+的 +=而xg+而、石=3石+5行.她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程.【能力提升】先化简，再求值：（至*-U7H匕 学，其中a=0 +J L b=J-JLa+b a-b a+b 高中必备知识点4：分式【典型例题】先化简，再求值（匕1 七 吧）十 三 士 其 中X满 足x2+X-l=0.x x-1 x 2x+1【变式训练】化简:4x2-4xy+y22x-y+(4x2 y 2)【能力提升】1已知：一a1 =2,则.。二2空Jb 2a-2b

10、+lab的值等于多少？W寸点精练1.下列运算正确的是（）XV XA.-7=-x y-y x-yC.3x3-5x3=_ 22.下列计算结果正确的是（）3 2 1A.-+-=-x 2 2 x x 2C.（一孙）+（二 一X?广B.百+77=可D.8X3V4X=2X3B.（x2）3=X5D.3x2y-5xy2=-2 x yx3.若式子一:有 意 义,则下列说法正确的是（）x+1A.工 一1 且 xw O B.X -1C.X W 1D.xW 04.计 算*2 的结果是（）a-1 a-1aA.3 B.0 C.-a-D.1a-5.若|a|=4,|6 1=2,且的绝对值与相反数相等，则力的值是（）A.-2B

11、.6C.一2 或 一6D.2 或 66.设有理数a、b、c满足。6C（C 0）,且上|例同，则1-幺?|+|尸2|引+|x+W 的最小值是（）a-c a+h+2c 2a+h+c 2a+b cA.-B.-C.-D.-2 2 2 2a b c abc7.如果Q,b,C是非零有理数，那 么 同+同+同+西 的 所 有 可 能 的 值 为（）A.-4,-2,0,2,4B.-4,-2,2,4C.0D.-4,0,4专题02分解因式官题综述因式分解是代数式的一种重要恒等变形，它是学习分式的基础，又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用，通过本专题的学习，不仅能使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为继续

12、学习因式分解做好了充分的准备.因此，它起到了初、高中承上启下的作用.分组分解法在初中数学中的应用：分式的约分与通分、解一元二次方程、分式方程；在高中数学中的应用更加广泛：如无理方程、特殊的高次方程，解一元二次不等式及三角函数式的恒等变形，不等式证明，因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义，代数方面在数学计算、化简、证明题中的应用较多，在几何学中同样有应用.用十字相乘法分解因式，首先分解二次项系数、常数项，然后交叉相乘再相加，看是否为一次项系数，还要注意避免出现以下两种错误：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘法写出的因式漏写字母.因式分

13、解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法.7课程师求 初中课程要求1、大大弱化了十字相乘法的学习.一般只接触过二次项系数为1的十字相乘法2、初中重点学习了提取公因式法、公式法，针对ax+bx+cGHO)的因式分解，只学习了二次项系数为1的因式分解 高中课程要求1、有大量二次项系数不为1的十字相乘法，会拆分多项式，用十字相乘法因式分解2、对于项数比较多的多项式，要综合使用提取公因式法、分组分解法、十宇相乘法、公式法来进行因式分解，还会接触到拆项法、添项法等.针对ax2+bx+c(a0)的因式分解要用公式法或十字相乘法因式分解知识精讲高中必备知识

14、点1:十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式/+b x +C ,pq=c,z、/、若存在(，则+b x +c =(x +p)(x +q).p +q=b要点诠释：在 对/+b x +c分解因式时，要先从常数项c的正、负入手，若c 0,则P、g同号(若。x +c =(a1x +c1)(a2x +c2).要点诠释：(1)分解思路为“看两端，凑中间”(2)二次项系数。一般都化为正教，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多

15、项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。2.符号语言：ma+m b +me=m(a+b+c)3.提公因式的步骤：(1)确定公因式(2)提出公因式并确定另一个因式(依据多项式除以单项式)另一个因式=原多项式公因式4.注意事项：因式分解一定要彻底高中必备知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a#0)的因式分解若 关 于 x的 方 程 a Y+b x +c =0(。0)的 两 个 实 数 根 是、x2,则 二 次 三 项 式 a x?+b x +c(a。0)就 可 分 解 为 a(x-玉)(x I

16、.例剖析高中必备知识点1：十字相乘法【典 型 例 题】阅读与思考：将式子/-6%+8分解因式.法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.由/+(p+q)x+pq =(x +p)(x +q)得(+p)(x +(?)=%2+(p 4-q)x+pq,；分析：这个式子的常数项8 =(2)x(4),一次项系数6 =(2)+(4),所以%2 -6 x +8 =d+(-2)+(4)%+(2)X (4).解：%2-6%4-8 =(%2)(%4).法二：配方的思想.x2 6%4-8 =x2 6%+9 9+8=(%3)2 1=(%3+1)(%3 1)=(%2)(%4).请仿照上面的方法，解答下列问题：用两种方法分

17、解因式：%2-1 0 x 4-2 1；任选一种方法分解因式：(%2 -6)2-2(/一 6)-3.【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+(m+n)x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n).例如：X2+5X+6 =X2+(2+3)X+2X3=(X+2)(X+3).运用上述方法分解因式：(l)x2+6x+8；(2)x2-x-6；(3)x2-5xy+6y2；请你结合上述的方法，对多项式x3-2x2.3x进行分解因式.【能力提升】由多项式的乘法：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)

18、x+ab,将该式从右到左使用，即可得到用十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).实 例 分 解 因 式：X2+5X+6=X2+(2 +3)X+2X3=(X+2)(X+3).尝 试 分 解 因 式：X2+6X+8；应用请用上述方法解方程：x2-3x-4=0.高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法【典型例题】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：l+x+x(x+l)+x(x+l)2=(l+x)l+x+x(x+l)=(l+x)2(l+x)=(l+x)3上述 分 解 因 式 的 方 法 是,共应用了 次.若分解l+x+x(x+l)+x(x+D2+.+x

19、(x+l产4,则需应用上述方法 次，结果是.(3)分解因式:l+x+x(x+l)+x(x+l)2+.+x(x+l)n(n 为正整数).【变式训练】因式分解：(l)16a2-4b2(2)x3-2x2+x(3)(出-2b/-(1-2b产【能力提升】分解因式：(1)4ab 8b2+10b(2)2(n m)2 m(m n)(3)15y(a Z?)2 3y(b a)(4)6(m n)3 12(n m)2(5)x2+3x4-1=0,求 2x2010+6x2009+2，08的值高中必备知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a#0)的因式分解【典 型 例 题】因式分解：俨+2x)2-7(x2+2x)-

20、8【变 式 训 练】分解因式：(/-#)2+(/-x)-6.【能 力 提 升】阅读材料：对于多项式x2+2ax+02可以直接用公式法分解为(x+a)2的形式.但对于多项式x2+2ax3。2就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在 x2+2ax3a2中先加上一项球,再减去这项，使整个式子的值不变.解题过程如下：x2+2ax3a2x2+2ax-3a2-a2a2(,一步)=乂2+2。X+。2。2 3c(2(第二步)=(x+a)2(2a 产(第三步)=(x+3a)(x-a).(第四步)参照上述材料，回答下列问题：上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到了哪种因式分解的方法()A.提 公 因

21、 式 法 B.平方差公式法C.完 全 平 方 公 式 法 D.没有因式分解从第三步到第四步用到的是哪种因式分解的方法：:请你参照上述方法把m2-6 m n+8 n2因式分解.对点精练1.对于：/_ 4 =(X一2)2；一/+1 =(8+1)(1-*)；X3 +2X-4=(X+2)2；1（1 -x2-x +l=-x-1.其中因式分解正确的是（）4（2 ）A.B.2.代 数 式4/一 2因式分解为（）A.（2加一）（2加 +）C.D.B.(加+)C.(4加 一)(7%+)D.(加一2 )(加+2”)3.若多项式5%2+1 7 x 1 2可因式分解为（x+）（bx+c）,其中。、b、。均为整数，则。

22、一。的值是（A.1 B.74.下 列 因 式 分 解 正 确 的 是()A.a(a-6)一 b(a-6)=(a b)(a+b)C.1 1 D.1 3B./9 二 伍 3 6)2C.a2+4ab+4b2=(a+2bD.a2-a b +a=a(a-b)5 .已知口 力B C中，Z C =90,若BC=a,AC=b t AB=c,且a?2=0，则a:b:c =()A.1：2：V 5B.2:1:石 c.1：2：V 3D.2:1:66.下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是()A.x2+y2+2 x+2,yB.x2+_ y2+2,xy2 c.x2,-j?2+4x+4 yD-x2 y+4y 47 .因式

23、分解：1 8x向-24x”;(2)X4-1 8X2/+8 1/专题03 一元二次方程官题综述1 .一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础.2 .一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.3 .一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率较高，高考也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分.4 .韦达定理的原定理的功能是：

24、若已知一元二次方程，则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程.课程要求 初中课程要求能熟练利用一元二次方程根的判别式去判断根的个数，简单地介绍了韦达定理 高中课程要求熟练掌握求根公式求根和对含参数判别式的处理能力，会灵活使用韦达定理解决各种问题论识精讲高中必备知识点1:根的判别式我们知道，对于一元二次方程a+b x+c=0(存0),用配方法可以将其变形为因为存0,所以，4 a 2 o.于是(1)当4 0 时，方程的右端是一个正教，因此，原方程有两个不相等的实数根-b+yJb2-4acX,2=-：2a(2)当-4 =0 时，方程的

25、右端为零，因此，原方程有两个等的实数根制=为=一2 ;2a(3)当左一4acV 0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边(x+)2一定大于或等于零，因此，原方2a程没有实数根.由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(c/和)的根的情况可以由b2-4 a c来判定，我 们 把 瓜 _4数叫做一元二次方程Q/+bx+c=O(存0)的根的判别式，通常用符号“”来表示.综上所述，对于一元二次方程 2 +区+=0(4和)，有(1)当A 0时，方程有两个不相等的实数根-by1 b2 4acXl,2=-；2a(2)当=()时，方程有两个相等的实数根bX=X 2=；2a(3)当A V 0时，方程没有实数根

26、.高中必备知识点2：根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)有两个实数根-b+J h2-4ac-b y1 h2-4ac%.1 =-2-a-，x2 2=-2-a-,则有-b-y/b2-4ac-b-y/b2-4ac-2b bX,+X j=-1-=-二:2a 2a 2a a-b+y/b2-4ac-b-y/b2-4ac b2-(b2-4ac)4ac c2a 2a 4 6 r 4 a2 a所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：b c如 果。/+&+。=0(存0)的两根分别是工,X 2,那么xi+%2=-,x rx 2=.这一关系也被称为韦达定理.a a特别地，对于二

27、次项系数为1的一元二次方程/+p x +0=O,若X|,X2是其两根，由韦达定理可知冗|+12=p,X V X 2=q,即 P=-(X|+x2),q=X X 2,所以，方程x2+px+q=0可化为x2(Xi+x2)x+xX2=0,由于XI,X2是一元二次方程x2+px+q=0的两根,所以，Xi,X2 也是一元二次方程 X?(Xi+x2)x+xrX2=0.典例剖析高中必备知识点1:根的判别式【典型例题】关于X的一元二次方程/-(m-l)x+2 m-l =0,其根的判别式为1 6,求m的值.【变式训练】已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0(1)若方程的一个根为3,求m的值及另一个根

28、；(2)若该方程根的判别式的值等于1,求 加 的值.【能力提升】方程(x-5)(2x-1)=3的根的判别式b2-4ac=_.高中必备知识点2：根与系数的关系(韦达定理)【典 型 例1题】如果关于X的一元二次方程ax2+bx+c=0(0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为 倍根方程请问一元二次方程M-6x+8=0是倍根方程吗？如果是，请说明理由.若一元二次方程x2+bx+c=0是倍根方程，且方程有一个根为2,求b、c的值.【变式训练】求方程x 2-2 x-2=0的根Xl，X2(X1X2),并求X/+2X2的值.【能力提升】已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m

29、2=0有两根a,P 求m的取值范围；(2)若a+(3+aB=0.求 m 的值.力寸点精练1.已知关于x 的一元二次方程(%-2斤-2日+%+1=0,若该方程有两个不相等的实数根，求左的取值范围.2.已知关于x 的一元二次方程痛2+2=0有两个不相等的实数根.(1)求加的取值范围；(2)若方程有一个根是0,求方程的另一个根.3.已知关于x 的一元二次方程加/+(2 加+1)、+加+2=0 有两个不相等的实数根玉，x-(1)求加的取值范围；若玉毛=0,求方程的两个根.4.已知关于x 的一元二次方程k 2_(3“+i)x+2a+l=0.(1)求证：无论。为任何非零实数，此方程总有两个实数根；(2)若

30、该方程的两个实数根分别为为、巧，且-%=2,求。的值.专题04二次函数y=ax*2+bx+c的图象和性质问题 函数与_ y=W的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y=2 x 2,、=一 左2的图象，通过这些函数图象与函数y=N2的图象之间的关系，推导出函数y=a x 2与 的 图 象 之 间 所 存 在 的 关 系.先画出函数歹=/,歹=2 2的图象.先列表：今题综述确定二次函数的图象，主要应抓住：抛物线的开口方向、顶点位置、对称轴以及与两坐标轴的交点.解决二次函数的问题，通常利用配方法和数形结合思想求解，先画出二次函数的图象，根据题中所给的区间观察函数的单调区间，再利用

31、函数的单调区间研究最值等问题.二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶点坐标、对称轴、最值）等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.课程要求 初中课程要求熟悉了二次函数的定义和解析式，掌握了二次函数的图象画法 高中课程要求掌握二次函数在一个闭区间上的最

32、值求法，会求二次函数的解析式，会通过图象分析性质一知识精讲高中必备知识点1:二次函数图像的伸缩变换从表中不难看出，要得到2/的值，只要把相应的N的值扩大两倍就可以了.X-3-2T0123X294101492x2188202818图 2.2-1再描点、连线，就 分 别 得 到 了 函 数 卜=合2的图象（如 图2 1所示），从 图21我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函 数 的 图 象 可 以 由 函 数y=N的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到.同学们也可以用类似于上面的方法画出函数夕=_1/,夕=一2%2的图象，并研究这两个函数图象与函数卜=2x2的图象之间的关系.通过上面的研究，我们可

33、以得到以下结论：二次函数#0）的图象可以由夕=工2的图象各点的纵坐标变为原来的倍得到.在二次函数尸=5 2（启0）典例剖析高中必备知识点1:二次函数图像的伸缩变换【典型例题】二次函数y=ax2+bx+c（a K 0）的图象如图所示，有下列结论:abc 0；a+b+c=2；A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【变 式 训 I练】下列说法错误的是()A.二次函数y=-2x2中，当 x=0时，y 有最大值是0B.二次函数y=4x2中，当 x 0时，y 随 x 的增大而增大C.在三条抛物线y=2x2,y=-0.5x2,y=-x2中，y=2xz的图象开口最大，y=x?的图象开口最小D.不 论 a 是

34、正数还是负数，抛物线y=ax2(a*0)的顶点一定是坐标原点【能力提升】抛物线丫 二 点?,y=-3x2,y=-x2,y=2x?的图象开口最大的是()A y=-x2 B.y=-3x2 C.y=-x2 D.y=2x2高中必备知识点2：二次函数图像的平移变换函数y=a(x+)2+%与j，=2 的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数y=2 (x+1)2+1与y=2x2的图象(如图22 所示)，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2(x+l)2+l的图象.

35、这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点.类似地，还可以通过画函数夕=-3/,了=-3(一1)2+1的图象，研究它们图象之间的相互关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=a(x+)2+A(“W 0)中，”决定了二次函数图象的开口大小及方向；决定了二次函数图象的左右平移，而且“G 正左移，/,负右移“；A 决定了二次函数图象的上下平移，而且“正上移，k负下移”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=a/+8+。(存0)的图象的方法：,b 及 及由于y=ax1+bx-Vc=a(x1+X)+c=a(x2+x H-)+c a a 4tz_ 4a所以，y=ax2+6x+c(

36、0)的图象可以看作是将函数夕=以2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数,(存0)具有下列性质：b 4ac b(1)当a 0时，函数y=ax2+b*+c图象开口向上；顶点坐标为(-,-),对称轴为直线x=一2a 4a;当x V 2 时，y随着X的增大而减小；当x 2 时，y随着x的增大而增大；当x=2 时，函2a 2a 2a 2a数取最小值y=4a_ J4a(2)当aVO时，函数y=ax，+b x+c图象开口向下；顶点坐标为(-上，生上_竺)，对称轴为直线x=-2；2a 4a 2a当x V-生 时，y随着x的增大而增大；当x -2 时，y随着x的增大而减小；当x=段-时，函数取2a

37、2a 2a最大值y=4 a c-，4a高中必备知识点2：二次函数图像的平移变换【典型例题】已知关于X的方程ax2+(3 a+l)x+3 =0.(1)求证：无论。取任何实数时，该方程总有实数根；(2)若抛物线y=ax?+(3 a+l)x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求。值以及此时抛物线的顶点，的坐标；(3)在(2)的条件下，直线y=-x+5与y轴交于点C,与直线O”交于点 .现将抛物线平移，保持顶点在直线。上.若平移的抛物线与射线CD (含端点C)只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标力的值或取值范围.【变式训练】如图,抛物线M i：y =d一 4与x轴的负半轴相交于

38、点4将抛物线M i平移得到抛物线M 2：y =ax2+b x +c,M i与M 2相交于点B,直线4 B交M 2于点C(8,m),且4 8 =BC.求点4,B,C的坐标；(2)写出-种将抛物线M i平移到抛物线M 2的方法；在y轴上找点P,使得BP +C P的值最小，求点尸的坐标.【能力提升】已知抛物线y=-x 2+b x+c经过点B(-1,0)和点C(2,3).求此抛物线的函数表达式；(2)如果此抛物线上下平移后过点(-2,-1),试确定平移的方向和平移的距离.承.对点精练1 .已知二次函数夕=2+云-2(W0)的图象与x轴交于点“、B,与y轴交于点C.(1)若 点/的 坐 标 为(4,0)

39、、点 8的坐标为(-1,0),求 a+b 的值；(2)若y=a v 2+6x -2的图象的顶点在第四象限，且点8的坐标为(-1,0),当 a+6为整数时，求 a的值.2 .已知抛物线y =、4a x +3(a 片0)的图象经过点A(-2,0),过点A作直线I交抛物线于点8(4,相).(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标.(2)将抛物线向下平移(0)个单位，使顶点落在直线/上，求 如N的值.初升高复习（教师版）专题01数与式的运算.31专题02分解因式.39专题03 一元二次方程.46专题04二次函数y=ax2+b x+c 的图象和性质.51专 题01数与式的运算冷题综述初中阶段“从分数到分式”

40、，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是 对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充;二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比

41、的思想（指数基运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数塞逼近无理数指数寨），掌握运算性质，能 够 区 别 叱 与（折）”的异同.通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数基的概念，进而学习指数嘉的性质，掌握分数指数幕和根式之间的互化，掌握分数指数嘉的运算性质.讨.课程要求初中课程要求1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有顺序性，知道字母表示数的基本代数思想2、初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式，掌握了不超过三步的数的混合运算4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无理式的概念；了解了整数指数幕的含义高中课程要

42、求1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打基础，会运算字母代表数的式子2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技巧3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两数和、差的立方公式.高中有很多混合运算都超过三步4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比较，会把整数指数塞的运算及其性质推广到分数指数累如识精讲高中必备知识点1:绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即：a,a 0,|a|=0,a =0,-a,a/2 与 2/3+3 2,等等.一般地，ax 与 VT,ayx+byy a

43、4x-b/y,“4+6 与”五一6 互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式G=J7（a20,b20）；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2.二次根式而的意义/T k,a，=同=|-凡 42.在数轴上找出|X-1|=2 的解(如图)，因为在数轴上到1 对应的点的距离等于2的点

44、对应的数为一1 或 3,所以方程|X 1|=2 的解为X=-1 或 X=3,因此不等式|x-l|2 的解集为或x 3.i b 士 1-2-101234例 3 解方程|x-l|+|x+2|=5.由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1 和一2对应的点的距离之和等于5 的点对应的X的值.因为在数轴上1 和一2 对应的点的距离为3(如图)，满足方程的x 对应的点在1的右边或一2的左边.若x 对应的点在1的右边，可得x=2；若X对应的点在一2的左边，可得X=-3,因此方程|-X -1|+|X+2|=5 的解是X =2 或X=-3.参考阅读材料，解答下列问题：方程|X+2|=3 的解为；(2)解不

45、等式：|X -2|6；解不等式：|X-3|+|X+4|2 9；解方程：I X -2 1+1 X +2 1+1 X -5 1=151 二 _ 2 0 12【答案】X =1 或 x=-5；(2)-4 x8：X 2 4 或 X S-5；X =-W或=空 .3 3【解析】由已知可得x+2=3 或 x+2=-3 解得x=1 或 x=-5.(2)在数轴上找出|X -2|=6 的解.在数轴上到2 对应的点的距离等于6的点对应的数为一4或 8,二方程|%一2|=6 的解为x=4或 x=8,.不等式|X -2|V 6 的解集为-4 V x 8.在数轴上找出|X-3|+|X+4|=9 的解.由绝对值的几何意义知，

46、该方程就是求在数轴上到 3和一4对应的点的距离之和等于1 5 的点对应的x的值.在数轴上3和一4对应的点的距离为7,.满足方程的x对应的点在3的右边或一4的左边.若X对应的点在3的右边，可得x=4；若X对应的点在一4的左边，可得x=-5,方程|x 3|+|x+4|=9的解是x=4或x=-5,.不等式|x-3|+|x+4|29的解集为启4或x5.在数轴上找出|X-2|+|X+2|+|X-5|=15的解.由绝对值的几何意义知,该方程就是求在数轴上到2和一2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值.在数轴上-2和5对应的点的距离为7,.满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边.若x对应的点在5

47、的右边，可得x=型；若x对应的点在一2的左边，可得x=-竺，3 3二方程|X-2|+|X+2|+|X-5|=15 的解是x=W 或=型.3 3【变式训练】实数a、b在数轴上所对应的点的位置如图所示:化简/+a-b -b-可.-1-1-a 0 b解：由数轴知:a0,|a|b|,所以 b-a0,a-b0,解得-1。3；(2)V-la3,.当-la【答 案 3(2)4ab-8b2【变式训练】计算：(乃 _ 3.1 4)+(-4)2 _(；)-2(2)化简：(a+26)(。一 2b)(a-26)2(2)(x 3)2-(x+2)(x-2)【答 案】(1)8 (2)-6 x+1 3【能 力 提 升】已知

48、1 0 x=o,5*=b,求：(1)5 0,的值；2*的值；2 0*的 值.(结 果 用 含。、b的代数式表示)2【答 案】（l）a b X 2）=）幺.b b高中必备知识点3：二次根式【典 型 例 题】计算下面各题.(1)(7 6-2 7 1 5)x 7 3-6 ;【答 案】(1)一6石 乂2)岳26【变 式 训 练】（2）J 4 x+2A/2X-y/Sx _ Ayx2小 颖 计 算 至+表)时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算:解：原 式=后+5+小十表二而x J J +JE x逐=3石+5外.她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程.解：不正确，正确解答过程为：原式=而y/

49、S+yfi 1 5+=y/15 v 5+V 315至-1562【能 力 提 升】h a.加，2 a b b 、a -2 b /先化简，再求值：（-H,其 中a=0+J J,b=7 2-V 3 .a+b a-b a+b【答 案】2 aa-bV 6 +33高中必备知识点4：分式【典型例题】先化简，再 求 值(山 -3+2 2+X，其 中X满 足x 2+X-l=0.x x-l x2-2x+l【答案】一1 x,1.X【变式训练】化简：4 A-4 A-V +-V-(4 x2-y2)2x-y【答案】7【能力提升】1己知：一a1 c n,a-2ab-b-=2,则-b 2a-2b+7ah的值等于多少？【答案】

50、一士4.3站点精练1.下列运算正确的是（A）A,一 孙,=-x y-y2 x-yC.3x3-5x3=-22.下列计算结果正确的是（A）3 2 1A.-+-=-x2 2 x x 2C（一肛）1（一肛）3=-二歹2B.V3+V7=VioD.8x3-r4x=2x3B.（x2）3=x D.3x2y-5xy2=一2孙Y3.若式子有意义，则下列说法正确的是（C）x+1A.1 一1 且工。0 B.x -1 C.XW-14.计 算 且 二的结果是（A）a-1 a-1aA.3 B.0 C.-a-D.X HOD.1（7-15.若|“|=4,传|=2,且a+的绝对值与相反数相等，则”力的值是（C）A.-2 B.-6