高考数学重点难点讲解十三：数列的通项与求和.pdf

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1、难点1 3数列的通项与求和数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前项和凡可视为数列&的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点,本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法、难点磁场.()设 a,是正数组成的数列，其前项和为S”并且对于所有的自然数 ，。“与2的等差中项等于&与2的等比中项、(1)写出数列 斯 的前3项、(2)求数列 4的通项公式(写出推证过程)_(3)令“尸：(巴也

2、 +2-)(“6N),求 H m (仇+6 2+6 3+4,).一2%。”+1 案例探 究 一 例J 1 已知数列%是公差为d的等差数列，数列/,是公比为q的06R且qW l)的等比数列，若函数y u)=(x 1)且 白刁侬一1),的4 4+1)，b=j q+),6 3刁(g-1)，_(1)求数列 4,和 儿 的通项公式；一 设数列&的 前 项 和 为S,”对 一 切“G N*,都有2+2 +=%成立，求3b2命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属级题目、知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中

3、条件等式的左边可视为某数列前项和，实质上是该数列前”项和与数列 为 的关系，借助通项与前n项和的关系求解C”是该条件转化的突破口.一错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量0、d、q,计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键、技巧与方法：本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列 乩,运用和与通项的关系求出4,丝丝入扣._解：1)=(4-2，7 3=/(6/+1)=,.i=(q+l)=q2,6 3,(4 l)=(g 2)_义一=q 山夕G R,且 gVU,得 q=-2,_A q-b=b q 7=4 ,(2)n (2)令

4、%=dn,贝I4+4+d=%+i,(eN*),一：.dn-a+i a=2,_*-7=2,BP c=2 b-S (2)；.*.S=1(-2).b“33 例2设4,为数列 国 的前”项和,A=(数列/“的通项公式为6产4+3;2(1)求数列 4,的通项公式；一(2)把数列 “与 儿 的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列 4 的通项公式为乩=3皿1(3)设数列 4 的第n项是数列 儿 中的第3项,孱为数列出“的前r项的和;Q,为数列 4,的前项和，Tn=B,Dn，求lim 一 8)命题意图：本题考查数列的通项公式及前项和公式及其相互关系；集合的相关概念,数列极限，以及逻辑推理能力._

5、知识依托：利用项与和的关系求为是本题的先决；(2)问中探寻%与”,的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点、错解分析：待证通项d=32n+与。”的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r与的关系，使7“中既含有，又含有心会使所求的极限模糊不清、技巧与方法：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4-1,再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n与r的关系，正确表示S，问题便可迎刃而解、3 3解：(1)由4=彳(41),可知4+1=彳(%+1 -1)，.2 2.a+i an=(7n+|a ),即%比=3,jfo a=

6、A=(白一1),得。尸3,所以数列是以 32 2为首项，公比为3的等比数列，数列%的通项公式为=3._(2)V32n+l=3 32n=3 (4-1 产=3 产+C 42B-1(-1)+C-1*4 *(-1)+(-1)2=4/7+3,_.,.3方+1 6 2“.而数 3匹(4-1)2 =4 2 +C；H 4(-1)+(1 产=(4左+1),.J ”,而数列%=。2向 5%，“=32+1由 39|=4 r+3,可知=3-3,4 4产”7+4-+3)二尸 +5)=3用-3 3,川 +7,=2 L.(i-9M)=(9W-1),2 4 2 M 1-9 8-T,=Br-Dn=92 n+l+4-32 n+1

7、-2 1 2 7 小“八_-T)8=2.3 23.求通项常用方法一作新数列法.作等差数列与等比数列.一累差叠加法.最基本形式是：%=(。”一。“-1+(%-|+%-2)+(。2 一。1)+。卜-归纳、猜想法4 .数列前项和常用求 法 一重要公式一1 +2+,+=g (+1)_12+22+,*,+/?2=+1 )(2 +1)613+23+,+/=(1 +2+,+/=n2(n+1)2-4等差数列中S m+S+S a d，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=SM+qntSn.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即即然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以卜.常见的裂项：.1 1 I ,z.1 c

8、-=-m=(n+-=c t ga -c t gz a,/?(+1)n n+l s i n 2aC -1 C+111“一 一 5 +l)!一短 一(+l)!”错项相消法_并项求和法_数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法.一 歼灭难点训练.一、填空题_1.()设 2产(-)w,(金 N*),记 S 产 I Z2Z I+I Z3 Z2 I+I zn+i-zn I,2则 l i m S k _2.(*M乍边长为。的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为二、解答题_3.()数列%满足 0=2,对于任意

9、的 6N*都有 0,且(+1)。2+&“an+l_。向2=0,又知数列 乩 的通项为=2-1+1._(1)求数列%的通项a及它的前n项和S”；.(2)求数列 儿 的前项和，；一(3)猜想S,与T”的大小关系，并说明理由、4.()数列 4 中，。=8,。4=2 且满足 a+2=2 an+ia,(n N).(1)求数列%的通项公式；.(2)设 S=I ai I+I 2 I+,+I a”I,求 5;_(3)设bn=1(eN*),T,=b|+b2+b(6N”),是否存在最大的整数m,使得对(12-%)任意“GN*均 有 成 立？若存在，求出加的值；若不存在，说明理由.325.(*设数列%的前n项和为5

10、，且S,产(加+1)一相册.对任意正整数n都成立，其中？为常数，且加V L.(1)求证：%是等比数列1*(2)设数列 恁 的公比数列 b 满足：仇=3卬 力 尸 女儿-1)(22,勿10且。*1),记S”是数列 0)的前勿项和，试比较s”与iogA+i的大小，并证明你的结论.7.(*m设数列%的首项m=l,前n项 和5“满足关系式：3 5一(2任3况一|=30,/?=2,3,4).(1)求证：数列%是等比数列；(2)设数列 为 的公比为/(f),作数列“),使=1,为与(!)(=2,3,4)，求数列 九 的bn-通项与；(3)求和：bb2b2 b3+b3 b4-+b2n-1b2b2nb2n+i

11、.参考答案难点磁场解析：由题意，当=1时，有 当 工=2河，.当 匚=2质，解得&尸2.当=2时，有 制 工=2病 S2=ai+a2,将0=2代入，整理得Q 2尸=16,由。20，解得。2=6.当=3 时，有 =J 2 s 3 ,$3=0+02+03,将 m=2,“2=6代入,整理得(的-2)2=64,由的 0,解得a3=10.故该数列的前3 项为2,6,10.(2)解法一：由(1)猜想数列 四.有通项公式为=4-2.下面用数学归纳法证明 的通项公式是。”=42,(G N,).当=1 时，因为4 X l-2=2,又在(1)中已求出0=2,所以上述结论成立.假设当=%时，结论成立，即有效=4 L

12、 2,由题意，有 色 萨=后?，将效=必一2.代入上式，解 得 2修#T，得&=2必，由题意，有 4：+；+2=25*+,S k+i=S a，将S Q M 代入得(.4:大!t2)2=2(%+2*),整理得以+/-4aAi+4 16然=0,由取+1 0,解得2四+尸2+4攵，所以像+尸2+4依=4(4+1)2,即当M+1时，上述结论成立.根据，上述结论对 所 有 的 自 然 数 成 立.解法二：由题意知巴色=J W,(GN*).整理得,s 产工(。,+2尸,由此得S,+产L(。用+2)2,2 8 8.an+=Sn+iSn=-(%+2尸一(。+2)2.整理得(%+1+%)(为+a-4)=0,由题

13、意知%+1+4OWO,=4,即数列 0?为等差数列，其中 7=2,公差 J=4./.af1=ai+(n 1 )7=2+4(n1),即通项公式为an=4n2.解法三：由已知得巴=M，(G N*,所 以 有 刍 丁 =阿1 ，由式得2=阿，整理得 S+I-2 V 2 瓦+2S,k 0,解得瓦=&土&，由于数列 仇 为正项数列，而 班=几：.瓦+叵)6,因 而 疯；=&+卮，即&是 以 病=行 为 首 项，以 上 为 公 差 的 等 差 数 歹 U.所以瓦=V2+(-1)A/2=y/2 勿 5=2 2,故 an=2)1 r,2n+1 八 z2w-1 z 1 1=-(-r-1)+(-;-1)=-r2

14、277-1 2 +1 2n-1 2 +1“+6,+,+6 一 =C +J+,，,+-)=1-2 +1 2 +1.limSi+b2+%-n)=lim(l-)=1-O C 2 -7 Z 乙 乙答案：1+也22 .解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列%,可 得 以=券，正三角形的内R 1切圆构成等比数列%,可得6 2,这些圆的周长之和0-l i m 2 S+2+“）=无 况 T OO 2面积之和 S=l i m （2+k+,/）=-a2M-00 9答案：周长之和之叵n a,面积之和巴/2 9二、3.解：（1）可解得+1=,从而 0 尸 2 ，有*=/+,an n+1(2)刀 尸 2 +一 1.

15、(3)TfSn=2fln2 1,验证可知,=1 时,7=Si，w=2 时 T 2V sw=3 时，73Vs 3；=4时，T4 S5；=6 时,猜想当2 5 时，T S n，即 2 1+1可用数学归纳法证明(略).4 .解：(1)由仇+2=2%+0?=0汁 2 一%+1=外+|-%可知 0?成等差数列，d=2,102 .4-1(2)由%=102%2 0 可得 n&5,当 时，S=/?2+9/7,当/?5 时，S=/?2-9?+4 0,.-w2+9/7 15故 S =5ex _ _ _ 1，1 _ _ L、一 (12 -%(2+2)-5 n+V./=仄+&+.+%=初 一 3+(1.+(；贵)=肃

16、 斤 要 使 0工总成立，需迫 7产L成立，即加 o o Too +2 m+1 tn+1而lim 3(b2+b2b3 H-F bn_xbtt)=lim 3(+H-1-)=1T O O 3 4 4 5 n 4-1 +2由题意知 lg=1,.*.团-10,/.m=m+1 7+1 9b=16.解：设数列 6 的公差为d,由题意得：,10(10-1)解得加=1足3,104+-W3+1取 =2 时，有(1+1)(1+)盟3.2+1 4由此推测(1+1)(1+,)(1+一)：3+1 4 3-2若式成立，则由对数函数性质可判定：当。1时，S,og也+”当 O VqVl 时，10gtM”+1,下面用数学归纳法

17、证明式.(i)当=1 时，已验证式成立.(ii)假 设 当 时 依 1),式成立，即：(1+1)(1+-)(1+!)以3左 +1.那么当”=火+1 时,4 3k-2(i+i)(i+-)-(i+!)(1+!)V3A+i(i+!)=技 +4 3k-2 3(4+1)-2 3%+1 3%+1(3%+2).(3%+2产一(3%+4)(3%+1产(3%+1)2=*+4 0.巡 型(3左 +2)/3%+4=#3(1+1)+1(3%+1产 3k+V0 m(i+i)(i+1)-(i+-)(i+-)V 3 a+i)+i4 3K L 3K 1这就是说式当n=k+时也成立.由(i)(ii)可知式对任何正整数都成立.由

18、此证得：当 a l 时，S logA+i；当 0&1 时，S log/)+i7.解：由 0=6=1,52=1+02,得 3以+。2)一(2f+3)=3f.。2=27+3%3 t2f+33 t又 3 t Sn(2/+3)Sn-i=3/,3tSn-1(2 1+3)S-2=3Z一得 3/a 一(2f+3)07-=O.2 =丝 池,=2,3,4，所以 四 是一个首项为1 公比为生吧的等比数歹人3 t 3 t9/4.3 2 1 1 2山_=_ +_)=_+v2可见 6,J 是一个首项为1,公差为(的 等差数列.于是；3 3(3)由 仇 尸 等 L 可知仍2”-1 和 坛,是首项分别为1 和 g，公差均为g 的等差数列，于,4+1是 2=-,.,.b hzbj+bybi 64%+岳”-/2-b2b2n+1=62(63)+64(63-+62(历-1 b2nt 1)4 z,、4 1 ,5 4 +1、4-2 c、=-(b2+b4+b2)=-,-(-+-)=-(2+3)3 3 2 3 3 9