2022年八年级数学下《勾股定理的逆定理（知识讲解）》专项练习题-带解析.pdf

《2022年八年级数学下《勾股定理的逆定理（知识讲解）》专项练习题-带解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年八年级数学下《勾股定理的逆定理（知识讲解）》专项练习题-带解析.pdf（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、八年级数学下-专题：17.7勾股定理的逆定理（知识讲解）【学习目标】1 .掌握勾股定理的逆定理及其应用.理解原命题与其逆命题,原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系.2 .能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3 .能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系,掌握它们的应用范围.【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a,b C,满足/+=。2,那么这个三角形是直角三角形.特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转 为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三

2、角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c）.（2）验 证 与/+是 否 具 有 相 等 关 系.若=/+，则A A B C 是N C=9 0 的直 角 三 角 形;若 工/+/，则AABC不是直角三角形.特别说明：当/+,2 时,此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反,则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.特别说明：原命题正确,逆命题未必正确;原命题不正确,其逆命题也不一定错误;正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数（又

3、称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y z 为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数,对解题会很有帮助：3、4、5;5、1 2、1 3;8、1 5、1 7;7、2 4、2 5;9、40、41.如果。、b c 是勾股数，当/为正整数时，以必、b t以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.特别说明：（1）/一1,2 n/+是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2 1 +2 ,2 +1,2/+2 +1 （是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）m2-n2,m2+n2,2 mn（m n,是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、判断三边能否构成直角三角形C1.已知a,6,c

4、 是胸的三边长,如果（。-5 +1 6 -1 2 1+4?-2 6 4+1 6 9 =0,试判断血的形状.【答案】直角三角形，理由见解析【分析】根据非负数的性质求得a、b、。的值，利用勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状.解:/旗是直角三角形.理由：1第1页 共1 6页(c-5)2+|fe-12|+7a2-26a+169=0.(c-5)2+|Z-12|+7(a-13)2=0 c-5 =0，6-12=0，1 3 =0，,c=5，6=12，a=13，52+122=169=132,.c2+Z?2=a2二是以a为斜边的直角三角形；【点拨】本题考查了配方法的应用及非负数的性质和勾股定理的逆定理,解题的关

5、键是利用非负数的性质确定三个未知数的值.举一反三：【变 式1】如图，在侬7中，/8 =6,8c=8,NC=10.(1)求证:这 是直角三角形；(2)若 四 平 分/曲G求朋的长.【答案】见解析；3 =3石.【分析】(D只需要利用勾股定理的逆定理验证信+BO?=即可；(2)过作O E 1/C J-山角平分线的性质可得3。=。当 即可利用勾股定理推出A E =A B=6 则 E C =A C-A E=4 B D =x 则 D E =B D -x C D=8-x,在次自中,C D2 C E-+D E 则 X2+42=(8-x)一,由此求解即可.证 明：*.*A B2+B C2=62+82=102=A

6、 C2 y,N B =90，欧是直角三角形；过作Q E 1 Z C于反平 分/物C Z B =90:.B D =D E,在 RtXA B D 中，N8=y/A D2-B D2,同理NE=yjA D2-D E2,2第2页 共1 6页 A E =A B =6 ,E C=A C-A E=4，设 B D =x，则 D E =B D =x,C D=8 -x在 Rt/XD E C 中、C D?=C E、DE2,.x2+42=（8-x）2,，解得x =3,.A D =yA B2+B D2=37 5【点拨】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理,角平分线的性质,解题的关键在于能够根据题意判断出/庐9 0 .

7、【变式2】判断以线段a，“为边的放是不是直角三角形,其中a=不，b=6,c=2【答案】是，理由见详解【分析】由于”c 6,因此。为最大边,只需看a?是否等于+/即可求解.解:,:a=板,b=6,c=2,即a c b,。2=（近）2=7 =（石）2=3 02=22=4 ,，a 2=b2+c，2以线段，b，c 为边能构成以。为斜边的直角三角形.【点拨】本题主要考查勾股定理逆定理,熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键.类型二、图形上与已知两个点构成直角三角形的点C z.如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1,点 A、B 在小正方形的顶点上.在图中画出a A B C（点 C在小正方形的顶点上），使

8、4 A B C 为直角三角形.r十，十十,1，十J_It IIqqf VIJeJ.j.-一一一一：寸，：十-L:-r-L:十r【分析】本题是直角三角形定义的应用问题，如果三角形有个内角是直角，那么这个3第 3 页 共 1 6 页三角形就是直角三角形.根据三角形内角和定理,三角形中是直角的内角最多只有一个.从图中可以看出线段A B 没有经过任何一个小正方形的边，因此从点A、B 处构造直角比较困难；所以考虑在点C处构造直角，通过点A和点B分别作水平和竖直的直线,则直线交点就是点C的位置.解:过点A作竖直的直线,过点B作水平的直线,交点处就是点C,如图;或者过点A作水平的直线,过点B作竖直的直线,交

9、点处就是点C,如图.【点拨】本题考查直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理，解答的关键是掌握直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理.举一反三：【变 式 1】已知A(-2,1),B(4,-1),C(1,2),判 定 A B C 的形状.【答案】U A B C 是等腰直角三角形，见解析【分析】利用两点间距离公式，分别计算A B、A C、B C 的长,再根据勾股定理逆定理判断三条边的关系即可解题.解:利用两点的距离公式,可得A B=7(-2-4)2+(-1+1)2=6A C=4-2-I)2+(-1-2):=3五，B C=4 _ /+(_ _ 2)2=3收,所以 A C=B C,A B2=

10、A C2+B C2所以a A B C 是直角三角形，综上所述，A A B C 是等腰直角三角形.【点拨】本题考查两点间距离公式、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定，是常见考点,难度较易，掌握相关知识是解题关键.【变式2】点P 在)轴上，“(4)、8，4),如果/8 P 是直角三角形，求点P的坐标.【答案】点尸的坐标为(3)或色-3)【分析】本题考查的是两点距离与勾股定理，根据A、B坐标构造直角三角形，运用勾股定理与两点间距离公式,分类讨论即可求出点P坐标解:设点P的坐标为(、),分两种情况：当点8为直角顶点时，点尸在 轴正半轴，4第 4 页 共 1 6 页作轴于。，8E上了轴于邑8尸轴于尸

11、，如图所示:由勾股定理,得P B?+A B2=P A2,即 12+（4-x）2+32+32=（x-l）2+4：解得I=3,.点P 的坐标为（3）.当 点/为直角顶点时，点p 在y 轴负半轴，作 D y 轴于。，B E 轴于E,如图所示:由勾股定理,得PT+A B2=P B2,Qp42+（l-x）2+32+32=（4-x）2+l2 x=-3）.点尸的坐标为（厂 3）综上所述,如果a x b 尸是直角三角形,那么点P 的坐标为（，3）或（，-3）【点拨】本题的关键是分类讨论点P 的情况,并灵活运用勾股定理和两点间距离公式类型三、网络中判断直角三角形3.在平面直角坐标系中，已知点4（-3,2）,8（

12、-1,0）,中-2,-1）.（1）请在图中画出板;并画出与版7 关于y 轴对称的图形.（2）试判定板的形状,并说明理由.)八2 1 -1 1 ，A,y-4-3-2-1 O 1 2 3 4-1-【答案】（1）见解析；（2）力比是直角三角形.理由见解析【分析】（1）补充成网格结构，找出点力、B、的位置,再找出点力、B、关于y 轴的对5第 5 页 共 1 6 页称点/,、夕、广的位置，然后顺次连接即可；(2)利用勾股定理列式求出4 6、B C、4 C；再利用勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形.解：(l)Z v f 6C 以及它关于y 轴 对 称 的 图 形B,C如图所示;(2)4 板是直角三角形

13、.理由如下:由勾股定理得,4 庐6+2 2 =2 7 2 ,心 J+2 =&,/俏 7 i2+32=V i o,：力 典 的=(2 0 )2+(&)2=1 0,4 仪=(丽)2=1 0,:挣+B G=A G,；./故是直角三角形.【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图,勾股定理和勾股定理逆定理,补充成网格结构并准确确定出对应点的位置是解题的关键.举一反三：【变 式 1】如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,小正方形的顶点称为格点.已知4、B、。都是格点.(1)小 明 发 现/板 是 直 角，请补全他的思路；(2)请用一种不同于小明的方法说明N4笫是直角.0小明的思路-G先利用勾股定理求出入4

14、 5。的三条边 长，可 得 4 8?=1 0 ,BG=,4。=.从而可得A B、B C、/C之间的数量关系是,根据,可得/A B C ,是邕角.。【分析】(1)根据勾股定理和勾股定理的逆定理解答即可;(2)根据全等三角形的判定和性质解答即可.6第 6 页 共 1 6 页解：（1）10,20,A#+B G=A G,勾股定理的逆定理 证 明：如图，在与4 6偌中，：ZADB=NBEC=9Q；AD=BE,BD=CE,：.4AB哙 丛 BCE.：./A B A 乙BCE.:ZBCE+/CBE=9Q：:.NAB计 NCBE=9Q.：./ABC=90【点拨】此题考查勾股定理的逆定理,关键是根据勾股定理和勾

15、股定理的逆定理解答.【变式2】如图，网格中每个小正方形的边长都为1.(1)求四边形4 8 8的面积；(2)求/B C D的度数.35【答案】万；(2)N8C=90。.【分析】(1)利用图形的割补法可得四边形力8 c o的面积等于长方形的面枳减去四边形周边的三角形与长方形的面积,从而可得答案；连 即，利用勾股定理分别求解CD?=5,BC?=20,BD2=2 5,证明3 8是直角三角形,从而可得答案.优(1)编 地 形=7X5-TXIX7-TX2X4-XIX2-3X3X4-3 =F(2)连接8。，7第7页 共1 6页BC,C Z)2=l2+22=5 ，8 c 2 =2 2+4?=2 0 ，B D2

16、=42+32=2 5C D2+B C2=B D2.B C D 是直角三角形，./8 C O =9 0【点拨】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，利用割补法求网格多边形的面积,掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解题的关键.类型四、利用直角三角形的逆定理求解如图，在 胸 中，皿 曲 垂 足 为 A D=1,B D=4,C D=2.求证：【分析】在 直 角 和 直 角 时 中，运用勾股定理得到4 a=5、把=2 0,结合4?=2 5,易得力a+灰见 杼，则庐9 0 .解:证明：.是 的 高，:.NA D C=/B D C=9Q .:A D=,B D=4,C D=2,：.A(?=A ff+C

17、ff=l2+22=5,B G=B/+C g坐+2 2=2 0#=(1+4)2=2 5.欧是直角三角形，/.Z J 6=9 0 .【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,“。满足4+Z=/,那么这个三角形就是直角三角形.举一反三：【变 式 1】如图，四边形b 笫中，N Q 9 0 ,A B=4,B C=3,C D=12,A D=1 3.求四边形8第 8页 共 1 6 页被力的面积.B【答案】四 边 形 曲 的 面 积 为 36.【分析】连接阳在直角三角形力火中，由 四 及 常 的 长，利用勾股定理求出的长，再由力及的长,利用勾股定理的逆定理得到三角形/为直角三角形,根据四边

18、形A B C D的面积=直角三角形/弦的面积+直角三角形4 5 的面积,即可求出四边形的面积.解:连接A C,如图所示：:/斤 9 0 ,.4%为直角三角形，又 4 6=4,叱 3,.根据勾股定理得:彳eJ/8 2 +B C 2 =5,又力介1 3,必=1 2,二 A/=1 32=1 69,C ff+A(?=1 2 2+5 2=1 4 4+2 5=1 69,g AG=A行,.为直角三角形，/4 缁 9 0 ,贝!I S四边形AKI尸S丛ABl+SACD_ _-3ABBC+3AOCD ,=2 X 3 X 4+2 X 1 2 X 5=36.9第9页 共1 6页答：四边形力腼的面积为36.【点拨】本

19、题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键.【变式2】如图，点力是网红打卡地诗博园,市民可在云龙湖边的游客观光车站6 或 C处乘车前往,且AB=BC,因市政建设,点C到点A 段现暂时封闭施工,为方便出行,在湖边的处修建了一临时车站（点在线段况上），由处亦可直达/处，若AC=km,AH=O.8km,CH=O.6km.（1）判 断 口 的 形 状,并 说 明 理 由；（2）求路线四的长.5【答案】（1 是直角三角形，理由见解析；（2）路线46的长为“加【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可.解：（口此力是直角三角形，理 由 是:在 中

20、，：Clf+A#=0.62+0.82=1,:.馆+A/f=AG,./团是直角三角形且N 4 公 90;设 B m k m,则 BH=BC-C*（x-0.6）km,在 RtAABH中,由已知得AB=x,B4 x-Q.6,好0.8,由勾股定理得:A#=B呼+A呼,2=（尸0.6+0.82,5解这个方程，得 产 ,5答:路 线 的 长 为 km.10第 1 0 页 共 1 6 页【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理.类型五、勾股定理的逆定理的实际运用e 5.今年暑假，河南郑州遭遇暴雨，山东人民自愿捐助物资救灾，找了一个空闲的四边形空地松力用于集中物资,其中A

21、B LA C,A B=8米C D=9米B C=Yl米,池=1 2 米,求这块四边形空地被切的面积.【答案】这 块 四 边 形 空 地（力的面积为1 1 4 平方米.【分析】本题要先把解四边形的问题转化成解三角形的问题,再用勾股定理解答.解:在中,4 片 8米,1 7 米，.伉 J8C2f#=加2-8 2=1 5（米）,.初+C Z M 2 2+9 2=1 4 4+8 1=2 2 5=1 52=J 4,；.心4AD2+CD2=五+2=5,：AB=12,给 1 3,且5 2 +1 2?=1 3 2,:.AG+A#=BG,./%是直角三角形，.N 曲俏9 0，,故这个零件符合要求.【点拨】本题考查J

22、 勾股定理和勾股定理的逆定理,关键是先求出的长,结合比和AB的长可判断出1 6，的形状.类型六、勾股定理逆定的拓展运用C 6.在 一 次“探究性学习”中，老师设计了如下数表:n23456a22-l32-l42-l52-l62-lb4681 01 2c22+l32+l42+l52+l62+1.观察上表，用含(1 且 为整数)的代数式表示。，牝 c,则=,b=,c=.(2)在(1)的条件下判断：以。,c为边的三角形是否为直角三角形?证明你的结论.【答案】(I)?-1 ；2；2+1(2)是直角三角形；证明见解析【分析】(1)根据题意找到规律即可写出；(2)由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等

23、于最长边的平方即可.解：用含(1 且 为 整 数)的 代 数 式 表 示 牝。，为 a=/T,b=2n,c=2+l故答案为：-I；2 ；+(2)以 a,b,c为边的三角形是直角三角形证明：/=M 1 ,b=2n ,c=n2+l ./.a2=(n2l)2=n42n2+l13第1 3页 共1 6页b2=(2n)2=4n2c2=(n2+l)2=n4+2n2+l.又丁 a2+b2=n42n2+1 +4n2=n4+2n2+1；a2+b2=c2以a,b,c为边的三角形是直角三角形.【点拨】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

24、举一反三：【变 式1 问题背景 口/8 C三边的长分别为2 0,旧，加，求这个三角形的面积.小辉同学在解这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中作出格点口力5c(即 月8 c三个顶点都在小正方形的顶点处)，如 图1所示,这样不需要作口 4 B C的高,借用网格就能计算出口48 c的面积为二 思维拓展 我们把上述求口/5。面积的方法叫做构图法，若口 N5C三边的长分别为石,可,旧“，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的必8C,并求出它的面积：探索创新 若 N3C三边的长分别为“后+2,“疗+9”=J1 6/+4/(其中 ，且X)，请利用构图法求出这

25、个三角形的面积(画出图形并计算面积).【答案】(1)5(2)3.5a2(3)4mn.(分析(D依据图像的特点用割补法进行计算即可；(2)石。a是直角边长为a,2a的直角三角形的斜边；而。是直角边长为a,3a的直角三角形的斜边；屈。是直角边长为2a,3a的直角三角形的斜边,把它整理为一个矩形的面积减14第14页 共16页去三个直角三角形的面积；(3)是以2m,n 为直角边的直角三角形的斜边长；,4加?+9/是以2m,3 n为直角边的直角三角形的斜边长；J 1 6+42是以痴,2n 为直角边的直角三角形的斜边长;继而可作出三角形,然后求得三角形的面积._ L _ L 1解：(l)AABC 的面积=

26、3 X 4-5 X 2 X 2-2 X 1 X 4-2 X 2X 3=5,故答案为：5;(2)如图：由图可得，S a ABc=3a X 3a-2 X a X 2 a-2 X 2a X 3a-2 X a X 3 a=3.5a2;如图,AB=J,，/+2,A O，4+9 2,BO J 1 6/+4/2X1 S AABC=4m X 3n-2 X 2m X n-2 X 2m X 3n-2 X 4m X 2n=4m n.6m【点拨】此题考查了勾股定理的应用以及二角形面积问题.注意掌握利用勾股定理的知识画长度为无理数的线段是解此题的关键.【变式2】探究题:如图，在等腰三角形ABC中,AB=AC,其底边长为

27、8 c m,腰长为5 o n,一动点P在底边上从点B 出发向点C 以 0.25 c m/s 的速度移动,请你探究:当点P运动多长时间时,点P与顶点A 的连线P A与腰垂直.【答案】当点P 运动的时间为7 s 或 25 s 时，点 P与顶点A 的连线与腰垂直.【分析】利用勾股定理求出AD 的长,再利用勾股定理逆定理即可证明垂直.15第 1 5 页 共 1 6 页解：过 点 A作 A D J_ B C于点D.V A B=A C,B C=8 c m,1B D=CD=2B C=4 c m.由勾股定理,得A D=Z 52-4J=3(cm).分两种情况：(D 如图，当点P 运动t 秒后有P A _ LA C(P 在线段B D 上)时，V A P2=P D2+A D2=P C2-A C2,.*.P D2+32=(P D+4)2-52,.P D=2.25 c m,.B P=4-2.25=1.7 5,A O.25 t=1.7 5,解得 t=7.(2)当点P 运动t 秒后有P A A B(P 在线段CD 上)时，同理可得P D=2.25,；.B P=4+2.25=6.25,A O.25 t=6.25,解得 t=25.综上所述,当点P 运动的时间为7 s 或 25 s 时，点 P与顶点A的连线与腰垂直.【点拨】本题考查J勾股定理与勾股定理逆定理的应用，熟悉概念是解题关键.16第1 6页 共1 6页