2023届高考数学一轮知识练习：直线与平面垂直关系的性质（含解析）.pdf

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1、2023届高考数学一轮知识点训练：直线与平面垂直关系的性质一、选 择 题（共 19小题）1.若一条直线和三角形的两边同时垂直则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（）A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不确定2.已知m,n 是互不垂直的异面直线，平面a,0 分别经过直线机，n,则下列关系中不可能成立的是（）A.m/p B.a/（i C.m 1/5 D.a 1 03.如图，在正方体中，若 E 为4 1 cl的中点，则直线CE垂直于（）A.AC B.BD C.AXD D.ArDv4.已知直线I I 平面a,则经过/且和a 垂直的平面（）A.有 1 个 B.有 2 个 C.有无数个 D.不存在

2、5.如图，正三棱柱4BC-4/道1 的各棱长都为2,E,F 分别是4B,4 G 的中点，则 E F 的长是（）A.2 B.V3 C.V5 D.V76.如图，正方体4BCD-4/iG D i中，点 P 在侧面BBiQC上运动，并且保持4P 1,则动点P 的轨迹是（）A.线段BiCB.线段BCiC.B Bi的中点与CCi的中点连成的线段D.B C的中点与B iG 的中点连成的线段7.已知三棱锥P-4 B C 的高为P 0,。为垂足，若 P 到底面A/IBC三边所在的直线的距离相等，则0（假设。在 4BC内部）是 4BC的（）A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心8.如图，P 为 ABC所在平面a

3、外一点，PB 1 a,P C I A C,则AABC的形状为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定9.如图所示，点 P 是 A B C所在平面外一点，PA P B、P C两两垂直，且P0 1 平面A B C于点1（）.BC是 RtZi ABC的斜边，PA J.平面4BC,P0 1 BC于。点，则图中共有直角三角形的个数是（）A.8 个 B.7 个 C.6 个 D.5 个11.在四棱柱4BC。一41B 1G 5中，侧棱。5 1 底面ABC。，P 为 底 面 A8CD所在平面上的一个动点.当 小口止。的面积为定值b（b 0）时，点 P 在底面ABCD所在平面上的运动轨迹为（

4、）A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆12.如图，已知四边形力BCD为矩形，PA_L平面ABC。，连接AC,BD,PB,PC,P D,则下列各组向量中，数量积不一定为零的是（）A.而 与 前 B.雨 与 丽 C.而 与 诟 D.可 与 而I3.4BCD-为正方体，下列结论错误的是（）A.BD平面CBWi B.ACX 1 BDC.AG 1 平面CBWi D.ACr 1 BD114.将菱形ABC。沿 AC折起，则（）A.AC 1 BD B.AD 1AB C.AD 1 BC D.BC 1 BD15.在空间中，“直线m l 平面a”是“直线m 与平面a 内无穷多条直线都垂直”的（）A.充分非必要条

5、件 B.必要非充分条件C,充要条件 D.非充分非必要条件16.已知两条直线m,n,两个平面a,/?.给出下面四个命题：m l a,n l a=m/n-,a 0,m c a,n c /?=m/n-,m/a,n _ L A，a 1 0=m n；a/P，m/n,ml a n n l 夕.其中正确命题的是（）A.B.C.D.17.如图，以等腰直角三角形4 8 c 的斜边8C 上的高4 D 为折痕，把 A 4BD和 4CD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：丽 亚 彳 0；NBAC=60。；三棱锥。-4BC是正三棱锥；平面ACC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.其中正确的是（）A.B.

6、C.D.18.设 x e R,则“1-x2 1”的（A.充分不必要条件)B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件19.如图，正方体的棱长为1,线段4 G 上有两个动点E,F,且 EF=给出下列四个结论：CE JL B D；三棱锥E-B C F的体积为定值；B E F在底面A B C D内的正投影是面积为定值的三角形在平面A B C D内存在无数条与平面DEA1平行的直线其中，正确结论的个数是（）A.1B.2C.3 D.4二、填 空 题（共 6 小题）20.给出下列四个命题：平行于同一平面的两条直线平行；垂直于同一平面的两条直线平行；如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的

7、任何直线平行；如果一条直线和一个平面垂直，那 么 它 和 这 个 平 面 内 的 任 何 直 线 垂 直.其 中 正 确 的 命 题 是.（写出所有正确命题的序号）21.设直线a，平面a,直线a l 直线b,则直线b 与平面a 的 位 置 关 系 是.22.如图，在AABC中，ACB=9 0,若_L平面A B C,则 图 中 直 角 三 角 形 的 个 数 为.23.给出下列命题：平行于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；垂直于同一直线的两个平面平行；垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的结论有 个.24.在长方体ABCD中，底面ABCD是边长为迎的正方形，441=3,E 是

8、 441的中点，过 G 作 Q F J.平面BDE与平面488遇1交于点F,则 a=.25.如图，平行四边形A B C D的对角线交点为。，点 P 在平行四边形A B C D所在平面外，且尸4=PC,PD=P B,则P O与平面A B C D的 位 置 关 系 是.p三、解 答 题（共 5 小题）26.已知P 在平面4BC外，满 足 P4J.BC,PB 1 AC,P。1 平面4 B C,垂足为点。，求证：点。为底面 ABC的垂心.27.如图，P O J.平面 ABC。，PD=DC=BC=1,AB=2,AB/DC,/BCD=90。.求证：P C IBC.28.如图，已知三棱锥S 4BC中，侧棱S

9、A=SB=SC,NABC=90。，求证：平面ABC _L平面ASC.29.如图所示，四棱锥力-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC 1 底面BCCE,BC=2,CD=V2,AB=AC.求证：AD 1 CE.A3 0.如 图 5-4所示，空间几何体4 B C D F E 中，四边形4 B C D 是菱形，直角梯形4 D F E 所在平面与平面4 B C 0 垂直，且 A E J.A。，EF/AD,其中P,Q分别为棱B E,D F的中点.图 5-4(1)求证：BD 1 C E；(2)求证：P Q 平面A B C D.答案1.B2.C【解析】若 血 _L。，则血垂直于面0 内的任意一条直线，则

10、 ml n,与已知条件矛盾.3.B4.C【解析】经过，的平面都与a 垂直，而经过/的平面有无数个.5.C【解析】取 4C 得中点G,连接EG,FG,则 FGt?iC,G C 1 底面ABC,所以GCEG,所以FG 1 EG.则易得FG=2,EG=1,故 EF=遍.6.A7.B【解析】因为P 到AABC三边所在直线的距离相等，所以。点到三边的距离相等，所以。为AABC的内心.8.B【解析】由 P B la,4。=0：得 P8 1 4(7,又 AC 1 PC,PCCtPB=P,所以 4CJL 平面 PBC,AC 1B C,故选B.9.B10.A【解析】因为P4 J平面ABC,所以PA 1 BC,因

11、为 PD 1 BC,PACPD=P,所以BC_L平面PA D,所以40_LBC,图中直角三角形有 PAC,PAD,APAB,A ABC,A PDC,PDB,LADC,AA D B,共 8 个.11.A12.A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A,PC与 8。不一定垂直，即向量同，前 不一定垂直，则向量丽，丽的数量积不一定为0,对于B,根据题意，有 R 4 J.平面ABC。，贝 IJPA_L4。，又由则有40 1 平面P 4 B,进而有AD 1 P B,即向量万5,方一定垂直，则向量而，丽 的 数量积一定为0,对于C,根据题意，有 P4_L平面ABCD,则 P A J.4 B,又由/W _L

12、4B,则有4 B 1 平面PA D,进而有AB 1 P D,即向量而，荏一定垂直，则向量而，血 的 数量积一定为0,对于D,根据题意，有 P A 1 平面力B C D,则 P A 1 C C,即向量瓦5,而一定垂直，则向量同，丽 的数量积一定为0.1 3.D【解析】正方体中由易知A 正确；由BD_L 4C,BD 1 OR可易得BD JL 平面/ICG，从而BDJ.4C1，即 B 正确：由以上可得4c l i BiDi，同理4c l i Q C,因此AC】J.平面C B W i，即C 正确;由于四边形4 B C 1 5 不是菱形，所以4 G J.B A 不正确.1 4.A1 5.A【解析】若 直

13、线m 1平面a”则“直线m与平面a内无穷多条直线都垂直”，正确；反之，若“直线m与平面a内无穷多条直线都垂直则 直线m 1平面a”是错误的，故直线m 1平面a”是“直线m与平面a内无穷多条直线都垂直”的充分非必要条件.1 6.A【解析】由线面垂直的性质定理知是正确的；两平面平行，则分别在两平面内的两条直线没有公共点，这两条直线可能平行也可能异面，所以错误；由n，0,a l 知，n a 或 nua,当n a 时，又 m a,则 租 与 n可能相交、异面、平行；当nua时，又 m a,则 n i与 n可能异面或平行，所以错误；由m n,m 1 1 7 知。1 0：,又 0:/?,由性质定理知n _

14、!./?,所以正确.故正确命题的序号是.1 7.B【解析】因为ZX 4,DB,D C 两两垂直，所以BD J.平面Z M C,则 B D J.4 C,故错；易知平面4 D C 与平面4 B C 不垂直，故错；又/Z4=DB=D C,则 A B C为正三角形，故正确.1 8.B【解析】由 1 一/0可得1,由*3 1 可得x 1,所以x 1不能推出X 1.X 1可以推出X 1,故 1 一 /1”的必要不充分条件.1 9.D【解析】D因为BD _L 平面ACC1，所以B D 1C E,故正确；因为点C 到直线E F的距离是定值,所以三棱锥B-C E F的体积为定值,点B到平面C E F的距离也是定

15、值,故正确；线段E F在底面上的正投影是线段GH,所以 B E F 在底面A B C D内的投影是 BGH.因为线段EF的长是定值，所以线段G H是定值，从而 B G H的面积是定值，故正确；设平面ABC。与平面D Ea的交线为I,则在平面4 B C C 内与直线，平行的直线有无数条，故对.2 0 .2 1 .b u a,或 b a2 2 .4【解析】直角三角形分别是AACB,APAC,APAB,4PCB.2 3 .正确.2 4-9【解析】连接AC,B D,交于点。，因为四边形4 B C D 是正方形，A 4 l 底面ABCD,所以BD J.平面A C G4，则当GF与 E。垂直时，GF1平面

16、BDE,因 为 平 面 A B B M i，所以尸 4 4 i，在矩形 ACCMi 中，GAIFSEA。，则丝 1=些，AF A0因为 41cl=2A0=y/2AB=2,AE-*AA1=3,所以=所以AF=:所以I2 5.垂直【解析】因为PAC为等腰三角形，。4=。配所以P。LAC.同理 P O J.B C.又 ACnBD=。，所以P。1.平面4BCD.26.连接。4,OB,0 C,易证B C 1平面P4。，AC 1 平面PB。，从而可得40J.B C,BO 1 A C,所以0 为底面AABC的垂心.27.因为 PC 1.平面2BCZ),所以PD 1 BC,又上BCD=90,CD 1 BC,所

17、以BC 1.平面PCD,&PC IBC.28.作 SH J.AC交 AC于点H,连接BH,因为SA=SC,所以4H=HC,在 RtAABC中，H 是 AC的中点，所以BH=AH,2又 SH=SH,SA=SB,所以SAH也 SBH(SSS),所以SH 1 BH,又 AC CBH=H,4C,BHu 平面48C,所以SH _L平面ABC,又SH u 平面4SC,所以平面ABC 1 平面ASC.29.过点A 作 4。交 BC于点。，连接。,因为面ABC 1 底面BCOE,又因为面ABC n 底面BCDE=BC,所以4。_L平面BCDE,因为CE u面BCDE,所以40 1 CE,因为 AB=AC,4。

18、1 BC,所以点0 为线段BC的中点，所以。=1,因为 40CD=乙CDE=90。，所以OCD ACDE,所以 NOCC=NCED,所以ODC+乙ECD=乙CED+乙ECD=90,所以 C E 1。，因为 OD C40=0,所以C E 1 平面4。，又因为4 D u 面4。，所以CE1AD.30.(1)连接4 C,如图5-5 所示，在菱形A8CD中，AC 1 BD.因为平面ADFE 1 平面ABCO,交线为AD,S.AE 1AD,AE u平面力DFE,所以AE _L平面力BC。，因为BD u平面ABC。，所以4E 1 BD,5LAC(AE=A,所以BD _L平面4EC.所以BD 1 CE.(2

19、)方法一：取A E的中点G,连接PG,Q G,如图5-5所示，在48E 中，BP=PE,AG=GE,所以 PG/BA.又PG 平面4BCD,BA u平 面 力BCD,所以PG平面ABC。，在梯形 4DFE 中，DQ=QF,AG=GE,所以 GQ/AD.又 GQU 平面4BCD,A D u 平面4BCD,所以GQ平面4BCD.又 PG CGQ=G,PG.GQ c 5FffiPQG,所以平面PQG平面4BCD.又PQ u平面PQG,所以PQ平面4BCD.方法二：连接EQ并延长，与AD的延长线交于点“，连 接 如 图5-6所示.在梯形4DFE 中，EF/DH,FQ=QD,所以EFQgAHOQ.所以EQ=QH.在 ABEH 中，BP=PE,EQ=QH.所以 PQ/BH.又 PQC 平面4BCD,8 u 平面4BC0,所以PQ 平面ABCD.