2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)14 解三角形图形类问题(含详解).pdf

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1、专题1 4解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起：方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法

2、数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内切圆问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例 1.（2 0 2 2 全国高三专题练习）在史竺=-丁 匕，.乎 一 2 5 =-6丽.附 三c o s C 2a+c s i n -s i n C a+c个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c 且_ _ _ _ _ _,作 A

3、8，A ,使 得 四 边 形 满 足Z A C D =y ,A D =小,A求8 c的取值范围.BcD例2.（2020北京北师大二附中高三期中）如图，四边形ABC。中N8AC=9 O 1 8 c =30,A DCD,设 zAcz)=e.T T（2）若NAO8=-,求tan。.6（1）若AABC面积是AACO面积的4倍，求sin2。；例3.（江苏省南京市宁海中学2022届高三下学期4月模拟考试数学试题）在AABC中，内角A 8,C的对边分别为“A c,A=150,点。在边BC上，满足C D =2 B D,且 空 半 圾+空 空 处=：_.b c 2a 求证：A D =a；（2）求 cos ZAD

4、C.例4.（广东省2022届高三二模数学试题）如图，已知4 4 8。内有一点P,满足ZPA B=N P B C =N PCA =a .证明:PBsin A B C =A Bsin a.若/A B C =90,A B=B C =,求 PC.例5.（2022全国高三专题练习）如图，在梯形4 3 8中，A B/CD,A B=2,CD=5,Z A BC=若 A C =2币,求梯形ABC。的面积;(2)若 A C 上 BD,求 lanZABO.例 6.(2022.河南安阳模拟预测(理)如图，在平面四边形ABC。中，D C =2AD=3 i,乙BAD=gITZBDC=.6 若 cosNA8=正，求 A5D

5、的面积;3(2)若 NC=NAT)C,求 BC.例 7.(2019,安徽省怀远第一中学高三阶段练习(理)AABC的内角A,8,C 的对边分别为a 1,c,设(sin A+sin 3+sin C)-(sin A+sin 8-sin C)=2sin Asin 8.(1)求C；(2)若。为 8 c 边上的点，M 为 AO上的点，C D =1,NC4B=NMB)=NE)M3.求 4W.例 8.(2022山东烟台一模)如图，四边形A8CC中，AB2+B C2+A B B C =A C2.(1)若 AB=38C=3,求AABC 的面积；Q)若 C D =6 B C,Z C A D =30,ZBCD=120

6、,求/ACB 的值.例 9.(2022全国高三专题练习)在M=2 4),sinZACB=2sinZ A C D,兀 阮=2 L 8 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.己知在四边形 ABCO 中，Z A B C+Z A D C =n,B C =C D =2,且.(1)证明：tanZABC=3tanNR4C；（2）若 A C =3,求四边形A 8 C C 的面积.例 1 0.（20 22.福建厦门一中高一阶段练习）在平面四边形A B C D 中，Z A B C =17 1,ZADC=-f BC=4.2若 4 8 C的面积为3 石，求 4 C；(2)若 A Q =36，Z f i A

7、C-Z Z M C,求 t a n/ZMC.7T例 1 1.（20 22.湖北武汉.模拟预测）如图，在平面四边形A B C D 中，ZBCD=-,AB=,（1）当BC=6,C O =J 7 时，求八48的面积;j r当 N AD C j,仞=2 时，求 co s ZA CD.6题型二：两角使用余弦定理例 1 2.（20 22湖北襄阳四中模拟预测）在AABC中，内角A,B,C 的对边分别为m b,c,角 A的平分线A E交 B C 边于点D八、,十 P i n 4 8 DB、证明：,AD2 AB AC-DB DC;A C DC(2)若 A D =1,A =y ,求 O B-O C 的最小值.例

8、1 3.（20 22.湖北武汉二模）如图，AABC内一点P 满足P 8 _LP C,A C=8 P =2.求s i n ZA CP 的值;例 1 4.（20 22江苏泗阳县实验高级中学高一阶段练习）如图，在凸四边形A 8 C D 中，已知AB=AD =4,BC=6.(1)若NAOB=C,C =,求cosZBDC的值；(2)若C=2,四边形ABC。的面积为4,求cos(A+C)的值.例15.(2021全国高考真 题)记A/IBC是内角A,B,C的对边分别为“，b,J 已知6=a c,点。在边 4 c上，BDsinZABC-asinC.(1)证明：B D =b；(2)若 仞=2 O C,求cosZ

9、ABC.例 16.(2022全国高三专题练习(理)如图，在AA3C中，。是AC边上一点，NABC为钝角，Z D B C =90 .(1)证明：cosZADB+sinC=0；Q)若 AB=2币,B C =2,再从下面中选取一个作为条件，求A3。的面积.sinNABC=L AC=3 AD.14注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.例17.(2022重庆二模)已知AABC的外心为。，M,N为线段AB,AC上的两点，且。恰为M N中点.(1)证明：|AM|M8|=|4VHNC|(2)若|A 0=G,O M =,求 沁 的 最 大 值.题型三：张角定理与等面积法例 18.(广东省2022届高三

10、三模数学试题)己知AABC中，。力,。分别为内角A,B,C的对边，且加 sin A=(2/?+c)sin 8+(2c+/?)sin C.(1)求角A的大小；(2)设点。为 B C 上一点，是“L B C 的角平分线，且AO=2,6=3,求AABC的面积.例 19.(2022湖北武汉模拟预测)在AABC中，设角A,B,C 所对的边分别为。，b,c,且(c-/j)sinC =(a-)(sinA+sinB)(1)求A；(2)若。为8 c上的点，4 0平分角A,且。=|，A D =有,求 器.例 20.(2022.辽宁高一期中)如图，在AABC中，AB=2,3sin2 B_2cosB-2=0,且点。在

11、线段BC上.A(1)若乙4。=亍，求仞的长;(2)若 B D =2DC,s m N/0=4&,求 的 面 积.sin Z.CA D例 21.(2022江苏华罗庚中学三模)在4 AB e中，已知A 8=4,A C=5,cosfi=7(1)求sin A的值；(2)若 A是 NB4C的角平分线，求 AO的长.例 22.(2022山东淄博三模)已知函数/(x)=6 sin 0 x co s0 x-co s%x+g(0 O),其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)记AABC的内角A B,C 的对边分别为a,b,c,a=4,be =1 2,f(A)=.若角A 的平分线

12、AO交 BC于D,求 AD的长.例 23.(2022黑龙江哈尔滨三中高三阶段练习(理)在AABC中，角 A,B,C 的对边分别是m b,c,且 2/JCOS C =2 a+c.(1)求角B 的大小；(2)若6=26，。为 AC边上的一点，B D =,且_,求AABC的面积.BD是B8的平分线；。为线段AC的中点.(从，两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答).题型四：角平分线问题例24.(2022北京首都师范大学附属中学三模)已知AABC的内角4 R C 的对边分别为“.A c 且百sin(不+B)+sin B)=0.(1)求 的 值；(2)给出以下三个条件：条件：a2-b2+c2-3c

13、 0-,条件。=3；条件5谶叱=苧这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：(i)求sinA的值；(i i)求 ZABC的角平分线8 0 的长.例 25.(2022.江苏.南京师大附中模拟预测)在AABC中，内角A,B,C 所对的边长分别为“，b,cn 田口 2c tan A且满足丁=1 +-h tan B(1)求角A；(2)角A 的内角平分线交8 c 于点M,若a=4近,4川=3 6，求sin/A/C.例 26.(2022北京八十中模拟预测)在AABC中，6 s in(8+,=-co s(B+J.求 B 的值；(2)给出以下三个条件：/一 6+/+3 c =0;a=6 b=

14、l;力 枷=”真，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：(i)求sin A 的值；(i i)求NA8C的角平分线8。的长.例 27.(2022河南模拟预测(理)如图，在AABC中，。为边BC的中点，NACB的平分线分别交48,A 3 于 E,F 两点.sin ZABC-sin ZCAD=sin ZACB-sin/BAD；例 28.(2022广东佛山三模)设AABC的内角A、3、C 的对边分别为。、从 c,已知加g A+岛cos 8=0,4 B C 的平分线交AC于点),且比=2.求 B；(2)若 a=3,求b.例 29.(2022.山东潍坊.模拟预测)已知AABC的内角A

15、、B、C 的对边分别为、b、c,且 白.。的面积为6(。-+序。-)4cI)求 NC,DT T(2)若 ZA=,NC的角平分线CE与边AB相交于点E,延长CE至点O,使得CE=。,求cosNA/汨.题型五：中线问题例30.(2022广东佛山 高三期末)“BC中，内角A,B,C所对的边分别为“也 c,且acosC=(2 0-c)cos A.(1)求角A 的大小；(2)若b=2,BC边上的中线AD=G，求AA3C的面积.例 31.(2022 全国模拟预测)在AA8C中.sin Acos(A-1)=:.(1)求角A；(2)若 AC=8,点。是线段BC的中点，E_LAC于点E,S.DE=,求CE的长.

16、4T T 7例 32.(2022海南海口二模)在 ABC中，角 A 8,C 的对边分别为a,A,c,已知8=,b=-a.3 5 求 sin A；(2)若。=5,A 3边的中点为。，求CD.例 33.(2022 山东 烟台二中模拟预测)设.回。的内角4,B,。的对边分别为小b,c,且Z?cosC+V3csin B.-=1a+c(1)求角8 的大小；(2)设。，E 分别为边AB,BC的中点，已知3 8 的周长为3+6，且 丝=巫，若c /5 .a=p cos CH-csin B 3 求 B：(2)若 c=l,a=3,AC的中点为。，求 8。的长.题型六：高问题例 37.(2022河南平顶山市第一高

17、级中学模拟预测(理)在A4 3 C 中，角 A,B,C 所对的边分别为“，b,c,且/一从=c(acosB-2).2(1)求角A 的大小；(2)若 c=8,“3 C 的面积为4 G，求 BC边上的高.2 2例38.(2022江苏南京市江宁高级中学模拟预测)从A 为锐角且sinBc o sC=J二二；6=2asin(C2ab+)这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答.在三角形A8C中，已知角A,B,C 的对边分别为“，Ob,c,.(1)求角A；(2)若 =c 且 BC边上的高AD为 2 6,求 CD的长.4例 39.(2022北京房山二模)在 AASC中，acosB+-h=c,h=2.2 求

18、 ZA；(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使AABC存在且唯一确定，求 8 c 边上的高.条件：cosB=-1 ；条件：sinB=也；条件：AABC的面积为“”.3 2 2注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.例40.(2022山东青岛一模)在AABC中，内角A,B,C 的对边分别为。，b,c,且(sin B-sinC)-=sin2 4-sin BsinC.(1)求角A；(2)若6=5,BC边上的高为”也，求边c.7例41.(2022福建模拟预测)已知A4?C 的内角A,B,C 的对边分别为。，b,c,2c-h=2acos

19、B.（1）求角A;（2）若 半 而 118+卜一）8 5 8 =4，b-c=2,求 BC边上的高.题型七：重心性质及其应用例 42.（2022湖北省仙桃中学模拟预测）如图，在AABC中，已 知 他=2,A C =2 0/B 4 c =30。,BC边上的中线AM与 NA8C的角平分线BN相交于点P.（l）NMPN的余弦值.（2）求四边形P MC N的面积.例 43.（2022全国高三专题练习）G 是AA3C的重心，”也。分别是角A,B,C的对边，若20aGA+15bGB+12cGC=0-贝 U cosA=（）3 4A.0 B.-C.-D.15 5例 44.（2022全国高三专题练习）已知A4 5

20、 C 的内角A,B,C 的对边分别为。，b,c,且acos8+6 asin B =c+l,。=1,点G 是 AABC的重心，且 AG=,则 AA3 c 的面积为（）3A.3 B.G C.3 D.2上2例 45.（2022.全国.模拟预测）在A4 3 C 中，内角A,B,C 所对的边分别为“，h,c,若AABC的外接圆的面积为万，（A-c）sinB+2sin2 C=tzsin A.求 A；（2）AD是角A 的平分线，若 B D =3DC,“ABC的重心为G,求AG的长.题型八：外心及外接圆问题例 46.（2022全国高三专题练习）设。为AABC的外心，AO =AB+2 A C 贝 Ijsin/B

21、 4c的值为例 47.（2022.江苏泰兴市第一高级中学高三阶段练习）在AABC中，A B =4,A C =6,B C=5,点。为 AABC的外心，A O =A A B+/J AC t则 +M=（）A.-B.-C.-D.-3 5 7 9例 48.（2022.广东.模拟预测）c,A BC的内角A,8,C 的对边分别为a,6,c,且a（后 inB-cosC）=（c-Z?）cosA.从下列这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.。为的内心；。为AM C 的外心；。为AABC的重心.求 A;(2)若 =6,c=10,求 AOBC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.例 49.(

22、2022黑龙江齐齐哈尔二模(理)AABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且a(V 3sinB-cosC)=(c-/)cosA.从下列这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答.。为AABC的内心；。为AABC的外心.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.求 A;(2)若。=3,c=5,求AOBC的面积.例 50.(2022江苏省白蒲高级中学高三阶段练习)在AABC中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c；3b=4c,C 4cos C=.5(1)求cos A的值；(2)若 ABC的外心在其外部，。=7,求 ABC外接圆的面积.71例 51.(2022 辽 宁 三 模)在中，

23、内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知4=,c=4.(1)sinB-cosB =,求 ABC外接圆的直径；2(2)若4=，5,求 ABC的周长.例 52.(2022.四川树德中学模拟预测(理)已知的数f(x)=6 s i*c o s 方-cos25+g.求 x)的单调增区间；(2)设AABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若 A)=g,a=J L求AA3C外接圆的面积.例 53.(2022湖南长郡中学高三阶段练习)法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理:“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点如图，在A4

24、5C中，内角A,B,C 的对边分别为。，h,c,已知acos(B-C)=cosA(2屈sin C-a).以A8,BC,AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1,A0 2，3 CB 求 A;(2)若=6，AOO?。、的面积为 地，求A43C的周长.12题型九：两边夹问题例 54.(2021双 流 区 校 级 模 拟)在 AABC中，角 A,B,C 所对的边分别为a.,b,c,若cos A+sin A-=0,则b 的值是()sin B+cos B cA.2 B.6 C.y/2 D.1_ _ 例 55.(2020苏州二 模)在 AA5C中，已知边a,b,c 所对的角分别为4,B ,C ,

25、若2sin2 B+3sin2 C=2sin AsinBsinC+sin2 A,则 tan A=.一例 56.(2013成都模拟)在 AABC 中，若(cos A+sin A)(cos8+sin 8)=2 则角 C=._ 例 57.(2018如皋市二 模)在 AABC中，角 A、B、C 的对边分别为a,b c ,设 S 是AABC的面积，若逆s,则角A 的值是.3 3一题型十：内心及内切圆问题例 58.(2022.全国高三专题练习)A4?C的内角A,B,C 所对的边分别为a,A c,a=6,b+12cos8=2c.(1)求 A 的大小；(2)M 为AABC内一点，AM 的延长线交8 c 于点 ,

26、求的面积.请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使AABC存在，并解决问题.M 为 I B C 的外心，A M =4；M 为AABC的垂心，MD =M；M 为&A5c的内心，A D =36q n 4例 59.(2022安徽芜湖一中一模(理)已知AABC的内角A,B,C 的对边分别为a ,c,tanC=-2-cos/l(1)求2 的值；C(2)设 M 和 N 分别是AABC的重心和内心，若 M N/BC且 c=2,求 a 的值.例 60.(2022全国高三专题练习)在“LBC中，角 4,8,C 的对边分别为a,b,c,且 A 为锐角，a=3亚,UUU UUU1 _ _A B A C

27、 =3 再从条件：加in-=a s in B,条件：btan A =(2c-b)tan B,这两个条件中选择一个作为己知.求：(1)角 A;(2)AABC的内切圆半径工例 61.(2022.陕西武功县普集高级中学一模(文)在 A8C中，,b,。分别是角A,B,C 所对的边，已知b=4,c=2,且sinC=sin8+sin(A-8).(1)求角A和边。的大小；求ABC的内切圆半径.例62.(2022全国高三专题练习)如图，在AABC中，。是8 c上一点，A平分NBAC.(2)若AC=2,8=1,AD=-4 2 ,求AABC的内切圆面积.例63.(2022陕西西北工业大学附属中学模拟预测(理)在A

28、ASC中，a,b,c分别为角4 B,C的对边，且 A in C-笆 亭j=a.V tanC)(1)求角A;(2)若AABC的内切圆面积为4万，求AABC面积S的最小值.例64.(2022全国高三专题练习)已知函数/(x)=2 6.“7ircosx+2cos%(1)求函数x)=20sinxcosx+2coex的对称轴；对称中心；单调递增区间；(2)在AA3C中，4尻。分别是4民。所对的边，当A)=2,a=2时，求AAJ3C内切圆面积的最大值.例65.(2022河南南阳高三期末(理)在VABC中，百sinC+cosC=当 史 段C.sin A 求A；(2)若VABC的内切圆半径r=2,求AB+AC

29、的最小值.例66.(2022陕西模拟预测(文)已知443。中，角4,8 9所对的边分别是。也。,且。=6力=*。,4=2(7,4设。为“BC的内心，则AAOB的面积为._ 4 _ 1 _例67.(2022全国高三专题练习)已知点0是ABC的内心，若AO=48 +A C,则cosNBAC=()j_ 2 11A.5B.6 c.8 D.9专题1 4解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的

30、常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起：方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内

31、切圆问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例 1.（2 0 2 2 全国高三专题练习）在史竺=-丁 匕，.乎 一 2 5 =-6丽.附 三c o s C 2a+c s i n -s i nC a+c个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c 且_ _ _ _ _ _,作 A 8，A ,使 得 四 边 形 满 足NAC=g,AD =+,求 8 c 的取值范围.3BcDA【答案】（0,2）.【解析】【分析】2 元 TT 1T根据题意，选择求得口=h，设N8AC=e,则NCA=g-e,/C D A =e+m，在八4 8 中，由3 2 6TT正弦

32、定理求得AC=2sin（e+：）,在 ABC中，由正弦定理求得可得6BC=2 s in（，+2）-sin，=2 叵 sin（2，-工）+1,结合0 0/3-sin（0+-）-=2 sin（g+马,.冗 6sin 3AC RC在AABC中 由正弦定理得痛=前可得3C=T TACsinO 2sin（e+%）-sin。sin B.2 万sin34 7t=j=sin（夕 +一）sin 夕V3 6sin +cos。)s i n-y=-(sin 2.05/3 cos 26)+1=sin(26 )+1,l-c;s2+sin2。)sin2 0+sincos 9)因为。竹，可得qojg当咤 时，即。g可得哈呜+

33、2,当2。-1 =-1 时，即。=0,可 得 亚 sin(-工)+1 =0,3 3 3 3所以8 C 的取值范围是。2）.选：由sin Asin Z?-sinC a+c,根据正弦定理可得4=心b-c a+cb+c+ac=b2-c2 E|J a2+c2-b2=-ac,又由余弦定理.，可得cos八三 =碟=-；因为A e（O,乃），所以8=手2乃j rIT设ZBAC=e,则 NCAD=一 aNCZM=6+-,2 6在ACD中，由正弦定理得ACADsin ZADC sin ZACDADsinZADC -sin(0+)可得 AC=-=-=2sin(9+),sin/AC。2 6sin 一3在AABC中，

34、由正弦定理得笠=警sinn sin”可得3C=TTA入C厂 s.inn6 _ 2sin(6+6)sin。sinB.2 万sin34 7 T=f=sin(夕 +一)sin 夕V3 6sin。；cos 0)sin 0=sin2 6+2sin6cos0)=-j=(2y/3sin2 O+gsinOcos 0)1-cos 20.cc、1 L 2/3 71x-+sin2)+1 =sin(20-y)+1因为。书,可 得 这 2 0 4 音,当=f 时，即0=g,可 得 型 sin工+1 =2，3 3 3 3 3当2e-W =-g 时，即。=0,可 得 毡 sin(-&)+1 =0，3 3 3 3所以BC的取

35、值范围是(0,2).若选：由2s=-6 瓦晨沅，可得2x；csin8=-G 4ccosB,即 sin B=-y/3 cos B,可得 tan B=一 Q ,因为A e(0,;r),所以8=年2乃，T T 7 T设 ZBAC=8,则 NCAO=0,ZCDA=0+-f2 6在八4。中,由正弦定理得ACsin ZADCAD sin ZACDADsinZADC 6 s i n(e+.)可得 AC=-=-=2sm(6+),sin ZACD 6sin 3在AABC中，由正弦定理得 当;=警sm B sm u可得8C 二AC-sin 0sin 57 T2sin(e+)sin6.-9-=f=sin(0+)-s

36、in 0.21 J3 6sin w3sin。cos 0)sin 0=-=(sin2 0+sin 夕 cos 0)2 V3 2 2sin2 6+2sin0cos。)=1-CO S 20.1 r-2y/3 71x-4-Sin 20)=(sin 219-V3 cos 20)+1 =sin(26-y)+l,e、r八 八 兀 “ir 4八八万 冗因为0 0 彳，B j#-2（9-,且坐%+吧 4丝=_ .b c 2a(1)求证：A D =a；(2)求c o s/A D C .【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】(1)分别在4 力 和 中 利 用 正 弦 定 理 表 示 出 新 ),而/。，代入已知等

37、式化简整理即可得到结果；(2)根据N M)8 =-N A C,在 A BO和八4 8利用余弦定理可整理得 到/-=2/；在AABC中,利用余弦定理可得c =&，进而得到=岳，代入c o s N A O C中即可求得结果.(1)2：CD =2BD,:.CD =-a3BD =-a3在 )中，由正弦定理得：s i n ZBAD =BD sin B“s i n 8AD3AD在4 4 8中，山正弦定理得：s i n ND 4C =C D s i n C 2 a s i n CAD3AD又s i n B s i n C s i n A 1ba 2as i n ZBAD sin ZCAD asinB 2a

38、sin C a-1-3b AD 3c AD3AD 2a 3AD 2a 2a即 9 AD =3a,:.AD=-a3由余弦定理得：cos NAD BBD2AD2-AB2 2a2-9C22BDAD2cr由余弦定理得：c o s NA C =AD2+CD2-AC2 5a2-9b22ADCD4a2-+b1 1 2 67 J3在 回)中,在人 中,ZADB+ZAD C=1 8 0 .ZAD B=-ZADC,即2a2-9c1 5a2-9b22cr4cr,整理可得：a2-b2=2c在AABC中，由余弦定理得：cosA=h+Cer=-,2bc 2则 一 品=W=-冬:.a2-h2=6h2，B|J a=/lb c

39、 o s ZAD C=-5-c-r-9-b-=-3-5-6-9-/-=-1-34a 22 8 41 4例4.(广东省2 0 2 2届高三二模数学试题)如图，己知 A BC内有一点P,满足NPAB=NPBC=NPCA=a.(1)证明:PBsin ABC=AB sin a.若/A B C =9 0，AB=BC=,求 PC.【答案】(1)证明见解析(2)PC=5【解析】【分析】(1)由正弦定理得 O=.即 PBsin ZAPB=ABsna,即要证明 sin ZABC=sin ZAPB 即可,sin a sin Z.APB由此利用二角形内角和证明可得结论;(2)由题意求得依=s i n a,继而求得尸

40、C=0 s i n a，在A R A B中利用余弦定理求得sina=第，即可求得答案.(1)证明:在ABP中，由正弦定理得PB ABsin a sin ZAPB即 PBsin ZAPB=ABsina,要证明 PBsin ZABC=/IBsin a,只需证明 sin ZABC=sin ZAPB,在A8P 中，ZAPB;r-(a+ZABP),在4 8 C中，ZABC=a+ZABP,所以 ZAPB=兀 一 NABC,所以 sin ZAPB-sin(万 一ZABC)=sin ZABC,所以 PB sin ZABC=AB sin a.(2)由(1)知尸BsinNA8C=A 8 s in a,又因为ABC

41、=901 AB=,所以 PB=sin a ,由已知得ABC为等腰直角三角形 所以=TT则/&=a,4所以在RBC中，ZBPC=-K-a-a =一3乃4由正弦定理得BCsin NBPCPCsin APBC1 _ PC即 sin 31 sin a .T即 PC V2 sin a.由余弦定理得 sin?a +(a s in a)-2 sin a V2 sin a jcos=1,由题意知sin a 0,故解得sina=t,所以PC=10.5例 5.(2022全国高三专题练习)如图，在梯形ABC。中，AB/CD,AB=2,CD=5,ZABC=.(2)若 4c_LB),求 tanZABD.求梯形ABC。的

42、面积;【答案】7后：tanNABD=3 叵3【解析】【分析】(DAABC中，利用含NABC的余弦定理表达式建立8 c 的方程，求出8 c 而得AABC面积，再利用面积关系求ADC的面积得解；(2)由题设中角的信息用4 3。表示出AABC与ABDC中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tanZABD的方程，解之即得.【详解】(1)设 8C=x,在 AABC 中，由余弦定理 AC?=Afi2+BC2-2A8/CcosNABC 得：28=22+x2-2-2-x-cos,H|J x2+2x-24=0 而 x 0,解得x=4,所以 BC=4,则 AABC 的面积 SNBC=L

43、ABBCsinNABC=L 2 4 走=2 石，AA8C 2 2 2SAB梯形 ABC。中，ABH CD,AABC 与 AAOC 等高，KCD=,所以AADC的面积S枷=羽 莽 =5石，则梯形ABC。的面积S=S神+S皿=7百 ；(2)在梯形 ABC。中，设 NABO=a,而 AC，8),IT 2n 7i则/应X7=a,NBAC=a,ZDBC=-a,ZBCA=a,2 BC在 ABC中,由正弦定理sin Z.BCA sin ZBACsin(a-)sin(-a)6 25 BC在 3 0 C 中,由正弦定理sin 4DBC sin ZBDC得：sin(:-a)Fa，两式相除得:2 s in(g-a)

44、sina2-=可 得 t a n NA BQ =m-=马，又 4 =2 及 故 =一=7 1 0 ,故3亚 7 5 t a n Z A BDS.ABD=；ABAD=2 小（2）设NA B=e,则c o s 0 =2&，N C =e+J，在 BC D 中，由正弦定理可得 要;=.叱 即BD 6 s i n C s i n Z D B C2 7 2f-0 =-7 交叉相乘化简得s i n 偿-，）=2 c o s/s i n N+,即s i n l 0 +I si nl -I 、si n,+；）=G c o s si ne+c o s 2,利用降基公式有si n+g，亭 si n2 e+gc o

45、s2 6+；,利用辅助角公式有 si ne+=si n（2 e+5）+；,i si n+y 1 =si nf 2 6 +-yj+1-,利用诱导公式可得si n（0 +）=-c o s（2 0+等）+g=2 si n2（6 +）-；,占 攵 2 si n2（g+）-si n（e+-g =0 ,乂si n（e+?）0 ,解得 si ne+q）=，4 72 BC又由正弦定理有.(2兀Q=一si n-0 sm I 3 ；6BC=*、=2回 _2五故si n（/1 不例 7.(2 0 1 9安徽省怀远第一中学高三阶段练习(理)A A B C 的内角A B,C 的对边分别为a/,c,设（si n A+si

46、 n 3+si n C）（si n 4+si n 8-si n C）=2 si n Asi n 3.（1）求C；（2）若。为 8 c 边上的点，M 为 A O 上的点，C D =,Z C A B =Z.MBD=A D M B.A M .【答案】(1)C =90 ;(2)2【解析】【分析】(1)根据正弦定理进行边角互化，利用余弦定理即可求解；(2)设N C A B =N M B D =N D M B=0,将三角形中其余角用。表示出来，结合C D =1,表示边长，即可解出.【详解】(1)由(sin A+sin 8+sinC(sin A+sin 8-sinC)=2sin AsinB,得=2ah,B

47、P a2+b2=c2：.C =90;(2)令/C AB=4MBD=/DM B=6,则在 AAA/B 中,G|J AM=ZMBA=90-2 6,/BMA=180-。由正弦定理得:AMsin(180-0)AB cos 2。sin。在 AACD 中，ZACD=90ZCZ)A=29由正切定义：A C=tan26在 AACB中，NAC3=90,NBAC=6由正切定义:.八 AC tan 20AB=-=-cos 0 cos0tan 20”.-cos 20 AM=COS-=2sin，例 8.(2022山东烟台一模)如图，四边形ABC。中，AB2+B C+AB-BC=AC.若 CD =6 B C,ZC4D=3

48、0./BCD=120。，求/ACB 的值.【答案】（1）的54 NACB=45。【解析】【分析】（1）依据题意求得角8,利用正弦定理去求A8C的面积；（2）利用正弦定理解三角形即可求得N 4C 8的值.在4 8 C 中,c A B2+B C2-A C2-A B B Ccos B=-=-2 A B B C 2 A B B C22因为。3180。,所以0=120。.SAAABBCC =-2A B B C sinl20=-2x 3 x lx 2=4.(2)设 ZAC8=(9,则 ZACO=12(T C=30+)sinl2(Tsin 30 sin(6 0-0)整理得$出（30+。卜布（60-6）=；,

49、所以sin（60+26）=g,因为0，6（T,所以60 60+2。180,所以 60+26=150。,解得 9=45。，即 NAC8 的值为45。.例 9.（2022全国高三专题练习）在=2 4）,sinZACB=2sinZAC,S“帆 =2S“e 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形 A8CZ）中，Z A B C+Z A D C =n,B C =C D =2,且_ _ _ _ _ _.（1）证明：tanZ48C=3tanNBAC；（2）若 AC=3,求四边形ABC。的面积.【答案】（1）证明见解析亚8【解析】【分析】（I）选择，由正弦定理及角度关系推出N84C=NDA

50、C及sinNACB=2sinN A C D,结合两角和的正弦公式及诱导公式，进行证明；选择，利用正弦定理推导出NA4C=N D 4 C,直接利用两角和的正弦公式及诱导公式即可推出结论；选择，由正弦定理，面积公式及面积的倍数关系得到N8AC=ND4C,sinZACB=2sinZ A C D,使用两角和的正弦公式及诱导公式进行证明；（2）在证明出第一问的基础上，设出边长，利用余弦定理求出AD的长及角的正弦值，进而利川面积公式进行求解.（1）方案一：选条件.在AA5C中，山正弦定理得,在ACO中，由正弦定理得,AC BC ABsin AABC sin ZBAC sin ZACBAC CD ADsin