2023年新高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试9.6 直线与圆锥曲线.pdf

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1、直线与圆锥曲线专题9.6 直线与圆锥曲线（知识点讲解）【知识框架】椭园的一 （解 咏 曲 哪 值 嫁常 考 题 型 一、直浅与抛物浅的位置关系I 弦长问题和中点弦问题、直线与圆锥曲线的位置关系求参数问题 L 3.w.、X-I核心素养】通过考查直线与圆锥曲线的位置关系，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理等核心数学素养.【知识点展示】（-）直线和圆锥曲线的位置关系判断直线/与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线/的方程A v+2），+C=0（4,8不同时为0）代入圆锥曲线 C的方程F（x,y）=0,消去M 也可以消去x）得到一个关于变量x（或变量y）的一元方程.A r+8 y+C=0,即 消去 y,得

2、 a f+b x+c=0.F（x,y）=0,（1）当 0 台直线与圆锥曲线C相交；/=00直线与圆锥曲线C相切；/6 0)的右焦点为尸、右顶点为A,上顶点为B,且满足BFABT(1)求椭圆的离心率e；(2)直 线/与 椭 圆 有 唯 一 公 共 点 与 y 轴相交于N(N异于M).记。为坐标原点，若1 0 M l =|O N|,且的面积为百，求椭圆的标准方程.2 2例 3.(2 0 1 9 江苏高考真题)如图，在平面直角坐标系X。中，椭 圆，:=+4 =1(4 /;0)的焦点为a bA (-1、0),月(1,0).过月作X 轴的垂线1,在 X 轴的上方，/与 圆&(x l)2 +y 2 =4/

3、交于点力,与椭 圆 C 交于点连结;并延长交圆于点6,连 结 仍 交 椭 圆 C 于点色 连 结 多.已知=(1)求椭圆C 的标准方程;(2)求点夕的坐标.f y27+铲例 4.(2 0 2 1.天津高考真题)已知椭圆=l(a 匕 0)的右焦点为尸上顶点为B,离 心 率 为 苧，且忸耳=石.(1)求楠圆的方程；(2)直线/与椭圆有唯一的公共点M,与 y轴的正半轴交于点N,过 N与 垂 直 的 直 线 交 X 轴于点P.若M PUBF,求直线/的方程.【总结提升】1 .涉及直线与椭圆的基本题型有：(1)位置关系的判断(2)弦长、弦中点问题(3)轨迹问题(4)定值、最值及参数范围问题(5)存在性问

4、题2 .常用思想方法和技巧有：(1)设而不求(2)坐 标 法(3)根与系数关系3 .解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为传+=1,P(.x(),yo),设其一交点为4(x，y)则另一交点为8(2 必一x,2 y o-y),则。2 c 22xo,2 y o-/一?-+b1=上两式作差即得所求直线方程.4.解决直线与椭圆的位置

5、关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.5.提醒：(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.题型二：直线与双曲线的位置关系例 5.（2 0 2 2 山西太原市外国语学校高三开学考试）已知双曲线C:1-1 =l（a（U 0）与斜率为1 的直线交a-b-于 A,B两 点,若线段A B 的中点为（4,1）,则 C的离心率0=（）A.y/2 B.亚 C.&D.7 332例 6.（2 02 1.全国高考真题）在平面直角坐标系x O y 中，已知

6、点耳（-J 万,0）、心（炳,0）,也用一眼用=2,点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线x 上，过T的两条直线分别交C于A、8两点和P,Q两点，S.T-TB=TP-TQ,求直线A B的斜率与直线P Q的斜率之和.例 7.（2 02 2 全国高考真题）已知双曲线的右焦点为尸（2,0）,渐近线方程为y =瓜.（1）求 C的方程；（2）过尸的直线与C的两条渐近线分别交于A,8两点，点网不乂）,。色,%）在 C上，且占 0,必0.过P且斜率为-6的直线与过Q且斜率为6 的直线交于点机从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：”在 A3 上；PQ/AB.MA=MB.注：若选择不同的组合

7、分别解答，则按第一个解答计分.【规律方法】1.直线与双曲线位置关系的判断方法：（1）方程思想的应用判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消去y （或 x）.则二次项系数为0 时，直线与双曲线的渐近线平行（或重合），直线与双曲线只有一个公共点（或无公共点）；二次项系数不等于0 时，若 A 0 则直线与双曲线有两个公共点，=（）有一个公共点，A C O 无公共点.（2）数形结合思想的应用直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.2 .求直线与双曲线相交弦

8、长，一般将两方程联立，消元化为一元二次方程，结合根与系数的关系求解.3.直线与双曲线位置关系的解题策略（1）研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或 y的一元二次方 程.当二次项系数等于0 时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0 时，用判别式/来判定.(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.(3)弦长公式：设直线与双曲线交于小为，弘)，庾 刘 两点，直线的斜率为，贝题型三：直线与抛物线的位置关系例 8.【多选题】(2 02 2 全国高考真题)已知。为坐标原点，点A(l,l)在抛物线C：/=

9、2 p)，(p 0)上,过点B(0,-l)的直线交C于 P,Q两点，则()A.C的准线为y =-l B.直线A B 与 C相切C.|0件|0。|。闻2 D.BPBQ|BA|2例 9.【多选题】(2 02 2 福建省厦门集美中学模拟预测)过抛物线C：V=4 x的焦点下的直线/与C交于A,B 两 点,设 A(小乂)、5(%,%),已知M(3,2),N(-点),则()A.若直线/垂直于x 轴，则|A B|=4 B.C.若 P 为 C上的动点，则1PM i+|尸 石 的最小值为5 D.若点N在以A B 为直径的圆上，则直线/的斜率为 2例 10.(2017 全国高考真题(文)设 A,8为曲线C：y=江

10、上两点，A与 B的横坐标之和为4.4(1)求直线4B的斜率；(2)设 M为曲线C上一点，C在 M处的切线与直线A B 平行，且 A M J L B M,求直线AB的方程.【规律总结】解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公 式|羽=|如+|焉+p或=|%|+|%|+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提

11、醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.题型四弦长问题和中点弦问题例 11.(2023 全国高三专题练习)过椭圆C:+=1 的左焦点F 作倾斜角为6 0。的直线/与椭圆C交于44 31 1B两 点,则 由+西=()例 12.（2020 天津高考真题）已 知 椭 圆 二+斗=1（。人0）的一个顶点为A（O,-3）,右焦点为尸，且a bOA=OF,其中。为原点.（I）求椭圆的方程；（I I）已知点。满足3 诙=赤，点 B在椭圆上（3异于椭圆的顶点），直线AB与以。为圆心的圆相切于点尸，且尸为

12、线段A3的 中 点.求 直 线 的 方 程.3例 13.（2019 全国高考真题（理）已知抛物线C：y 2=3 x 的焦点为凡 斜率为万的直线/与C的交点为A,B,与 x轴的交点为P.（I）若|A/q+i 叫=4,求/的方程；（2）若 而=3 而，求|A B|.【总结提升】1.处理中点弦问题常用的求解方法（1）点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式 中 含 有 汨+初 匚 三 个 未 知 量，X l-X 2这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.（2）根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.注

13、意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题：点差法在确定范围方面略显不足.2 .中点坐标公式一个作用是可以利用“设而不求”技巧解题，其二是可以将未知点坐标和已知点坐标联系起来；涉及求范围问题，注意方程不等式思想的运用.3.涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.题型五直线与圆锥曲线的位置关系求参数问题例 1 4.（2 0 2 2 四川内江模拟预测（理）若双曲线Y E =i 上存在两个点关于直线/：y=+4（k 0）对称，3则 实 数

14、火 的 取 值 范 围 为.例 1 5.（2 0 1 8 全国高考真题（理）已知点用（-1，1）和抛物线C：V=4x,过C的焦点且斜率为&的直线与C交于A,B 两 点.若 N 4 M B =9 0。，则攵=.Y2 y2例 1 6.（2 0 1 8 天津高考真题（文）设 椭 圆 七+=1（。0）的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆b的离心率为好3,|AB|=V13.（1）求椭圆的方程；（2）设直线/：丁 =伏 0 台直线与圆锥曲线C相交；/=00直线与圆锥曲线C相切；/3 2 “入 2 2 2 2解：r =1 =I=n 4。=3（b+ci I=a=3b,I M 历/必方 2 离心率为e一 3解：由

15、（1）可知椭圆的方程为Y+3 y2 =/易知直线I 的斜率存在，设直线/的方程为y=kx+m,联立y=kx+mx2+3 y2 =a2得（1 +3 Z?）x?+6kmx+（3/-）=0 ,由 A =3 6 /P-4 0+3 公）（3 机 2-/）=0 0 3 m 2=/（I+3 公），3km,mK T%=%+*许,_ /n2（%2+l）1由|叫=|0 叫 可得=晟，由$心=百 可 得 3同.5 翳=6 1，2联立可得 八 铲 3 4,八6,故椭圆的标准方程为例 3.（2 0 1 9 江苏高考真题）如图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，椭 圆 C：f +2T=1（人0）的焦点为 （-1、0）,

16、（1,0）.过 K作 x 轴的垂线/,在 x 轴的上方，/与 圆 E：（x-i y +V=4 交于点儿 与椭 圆 C 交于点连结4月并延长交圆用于点8连 结 砒 交 椭 圆 C 于点色 连 结 班.已知历=.2（1）求椭圆C的标准方程;（2）求点的坐标.X 2 丫 2 3【答案】（1）+-=1 ：（2）4 3 2【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2 c.因为 （一1,0）,4（1,0）,所以=2,c=l.又因为例=|,轴，所以 DFFq D F-R F；=J（|22=,因此2 天+上=4,从而a=2.由 五-邕 得 炉=3.2 2因此，椭 圆 C 的标准方程为+2 1 =1.4 3（2）解法一：

17、2 2由（1）知，椭 圆 C：三 +匕=1,左2,因为 月_L x 轴，所以点的横坐标为1.4 3将 尸 1 代入圆K的方程（尸D ”=1 6,解得片 4.因为点4在x轴上方，所以4（1,4）.又（T,0）,所以直线1百：尸2 a 2.由，y=2 x +21-2 2 .J 5 x?+6x1 1 =0 (x-1)+y=1 6解得x =l或x =.51 11 2将 x =代入 y=2 x +2 ,得 y=-,1 1 1 2 3因此B(一一,一一).又月(1,0),所以宜线小：y=-(x-l).5 54由，y=(x-1)-41 32 ,，得7 f 一6 x 1 3 =O，解得工=-1或=一.x +y

18、-1 7 4 3乂因为 是线段跋与椭圆的交点，所以x =l.333将户 一1代入y=Z（x-D得 广 一5.因此 玖-I,一”解法二:X2 V2由（1）知，椭圆a +2=1.如图，连结“;.4 3从 而/例 尺N 8因 为 能=2 a,EF+EFF2a,所 以 班=旗,因 为 月 所 以/=N 6,所以N/NB R E,从而 ER/F4因 为 力 彳 轴，所以石，）轴.x =-13因为外（一 1,0）,由 炉/,得 y=不.-1-=1 24 33又因为总是线段火与椭圆的交点，所以丁 =一 耳.因此E（1,）.2例 4.（2 0 2 1 天津高考真题）已知椭圆J+=l（4人 0）的右焦点为F,上

19、顶点为8,离 心 率 为 半，且BF=s/5.（1）求椭圆的方程；（2）直线/与椭圆有唯一的公共点M,与）轴的正半轴交于点N,过 N与 B F 垂直的直线交x 轴于点P.若M PHBF,求直线/的方程.【答案】（1）+/=1；（2）x-y+x/6-O.【分析】（1）求出。的值，结合。的值可得出匕的值，进而可得出牌圆的方程；（2）设 点 分 析 出 直 线/的 方 程 为 管+为y=l,求出点尸的坐标，根据M P/B尸可 得 出=求出毛、%的值，即可得出直线/的方程.【详解】（1）易知点尸（。,0）、3（0,。），故怛同=42+从=川,因为椭圆的离心率为e =述，故c =2,b=la2-c2=1

20、-a 5因此，椭圆的方程为t+/=1;5（2）设点M 伉,）为椭 圆 日+/=i上一点，华+%y=i先证明宜线MN的方程 为 挈+%y=l,联 立,消去N并整理得f-2/*+片=0,5x 2 1+V =15A=4XQ-4XQ=0,因此，椭圆目+丁=1在点M（%,%）处的切线方程为誓+为y=1.5 ,由题意可知方。，即h 1 1宜线3 F的斜率 为 脸=-/所以，宜线P N的方程为 =2 x +,c 2%1 (1在直线P N的方程中，令y=0,可得x =-丁，即点P-,0,2%I 2%2.=1因为“P/8 F,则=即丫上_ L 2%+1 2,整理可得(x 0+5%y=0,X。十C2%-y；=6

21、y：=l，%0，故%=，=-，O OX+y=1,即x-y+#=0.6【总结提升】225V66二E呈以以所所1.涉及直线与椭圆的基本题型有：(1)位置关系的判断(2)弦长、弦中点问题(3)轨迹问题(4)定值、最值及参数范围问题(5)存在性问题2 .常用思想方法和技巧有：(1)设而不求(2)坐 标 法(3)根与系数关系3 .解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.(3)共线法

22、：利用中点坐标公式，如果弦的中点为rx2 v2+72=1,a b-P（x o,yo），设其一交点为A（X，y），则另一交点为3（2 x o-x,2 yo y）,贝”个 、n 22 x o x-2 y0-y两式作差即得所求直线方程.4 .解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.5 .提醒：（1）设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.（2）利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.题型二：直线与双曲线的位置关系例 5.（2 02 2 山西太原市外国语学校高三开学考试）

23、已知双曲线C：E-1=1（“0 8 0）与斜率为l 的直线交a b于 A,8两点，若线段AB的中点为（4,1）,则 C的离心率6=（）A.夜 B.典 C.在 D.G32【答案】C【分析】中点弦问题利用点差法处理.【详解】法一：设4（百万）,3（,%）,则与 4 =1,与一A=1,a b a b 所以伉+”/一4）一3-，仆-，）=0,又 48的中点为（4 ），a r b.2所以%+%=8,兄+%=2,所以上由题意知匹二&=I,x2-x a/-x所 以 =1，即4=L，则 C的离心率6 =、5 =正.故A,B,D错误.a2 a2 4 N a 2故选：C.法二：直线A 8 过点（4,1）,斜率为1

24、,所以其方程为A l=x-4,即y =x-3,代入-加并整理得（6-a，）/+6a2x-9a2-a2b2=0,因为（4,1）为线段A8的中点，所以-孚 二 =2x4,整理得/=4 ,b -a所 以 C的离心率e =、兀 耳=好.故A,B,D错误.故选：C.a2 2例 6.（2 0 2 1.全国高考真题）在平面直角坐标系x O y 中，已知点川万,0）、乙（如,03吗|-|g|=2,点 的 轨 迹 为c.（1）求c的方程；（2）设点7在直线x =g上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和尸，。两点，且|刀小|用=|m-|7 3,求直线AB的斜率与直线P Q的斜率之和.【答案】（1）x2-=l（x

25、 l）；（2）0.1 6 7【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点片、尸2为左、右焦点双曲线的右支，求出。、匕的值，即可得出轨迹C的方程；（2）设 点 设 直 线 的 方 程 为 卜-=匕 -）,设点A（X J、8（孙 必），联 立 直 线 与 曲 线C的方程，列出韦达定理，求出|酬 1用 的 表 达式，设直线尸。的斜率为后，同理可得出1 7 p H圈 的 表 达式，由明.|叫=|7 P|.|T.化简可得k,+k2的值.【详解】因为|岬|-|峭|=2 忸 剧=2后,所以，轨迹C是以点耳、鸟为左、右焦点的双曲线的右支，2 2设轨迹C的方程为=1（。力 。），则 勿=2,可得a =l,=J

26、 1 7-6=4 ,所以，轨迹C的方程为V-2 1 =1（x 2 1）；1 6 1 ）（2）设点若过点7的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，不妨直线A B的方程为y =B P y =V+r-l,12联立+，消去y并整理可 得 传 1 6尸+匕 一 幻X+L L 1+1 6 =0,1 6 x2-y2=1 6 I 2 J设点 A（X1,y J、B（X2,丫2）,则X|g 且由韦达定理可得占+=坐,一一 ）+1 6,所以，K F =k i 6啊回=（i+）.卜 扑斗（i+0 詈设直线P Q的斜率为心 ,同理可得|7外|7。|=（+；）（1+用）因为|74|7B|=|7P|.|T0,即g

27、+：；”）=）+:：:2）,整理可得后=记，即（勺一修）倡+&）=0,显然匕一�,故勺+&=0.因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.例 7.（2022.全国.高考真题）已知双曲线C:J-，=l（a0,b0）的右焦点为F（2,0）,渐近线方程为y=百 x.求 C 的方程；（2）过 F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A,B 两点，点尸（不方）,。仇,必）在 C 上，且%0,必0.过P 且斜率为-6的直线与过。且斜率为G 的直线交于点.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：M 在A 3上；P Q/A B.|M4|=|M例.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.2【答案】（

28、1）*2-2 1 =13（2）见解析【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得“加的关系，进而利用4 4 c 的平方关系求得“力的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线A B的斜率存在且不为零，设直线A B的 斜 率 为 河（孙丹）,由|AM=|8M等价分析得到822x0+ky0=-.由直线PM 和刎的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线二-3P。的斜率加=也，由尸。/M B 等价转化为机）=3%,由M 在直线AB上等价 于 机=二（-2）,然后%选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.（1）右焦点为尸（2,0）,c=2,；渐近线方程为 y=J

29、 i r,=岛，。2=+6 2=4/=4,，。=1,ab=、/5.C的方程为：x2-=l；3(2)由已知得直线P Q的斜率存在且不为零，直线A B的斜率不为零，若选由推或选由推：由成立可知直线的斜率存在口不为零；若选推，则 M 为 线 段 的 中 点，假若直线A 3 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上,即为焦点F,此时由对称性可知尸、。关于刀 轴对称，与从而内=，已知不符；总之，直线A 8的斜率存在且不为零.设直线A8的斜率为上直线A3方程为y =Z(x 2),则条件M 在A 3 上，等价于%=%小-2)=机=公(%2):两渐近线的方程合并为3 x2-/=0,联立消去y 并化简

30、整理得：,2-3)x2-4k2x+4k2=0设 4(%见)，矶&，乂),线段中点为则/=字=先,%=Q 广 2)=告，乙 K 3 K 3设”(人,),则条件|期|=|啊|等价于(%&)+(%)2=(义一%)2+(%-%)2,移项并利用平方差公式整理得：(W -缶 +看)+(为-)2%-(%+%)=0，2 x0 -(*3 +4)+?_ :2%一(%+y4)=0，即%-xN+%(%-%)=0,入 3 3 4即飞+机=热8 k2；由题意知直线P M的斜率为-6.直线Q M的斜率为6,二由%一%=-(与 一%),%一 为=6(一%)，y =一百(%+-a%),所以直线P Q 的斜率加=必二五=-L 忙

31、匈，直线PM.y=一 G(x _ x 0)+%,即y =y 0+&_ 6,X)-X2 X j -x2代入双曲线的方程3/_ y 2 _ 3 =o,即(百x +y)(百x _ y)=3 中，得：(为+3 0)1 2 后-(%+g)=3,，条件PQ/A B等价于机=k=3%,综上所述：条件M 在A 3上，等价于由0=%2（七一2）：条件PQ/A B等价于ky0=3%；条 件 卜 忸 等价于x0+ky0=毋 二；选推：2 2 区/由解得：xQ=-.x0 4-kyQ=4x0=-.成立;K 3 K J选推：_ _ 2k2 6k2由解得：工 0 二 二-，/c y0=-.，k2-3 二一3,g =3 X(

32、),.成立；选推：6k2 6由解得：Xo=j 20 ,由。=0 O ,。2=K 3 K J K J：.ky=k2(x0-2)，成立.【规律方法】1.直线与双曲线位置关系的判断方法：（1）方程思想的应用判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消去y（或 x）.则二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行（或重合），直线与双曲线只有一个公共点（或无公共点）；二次项系数不等于0时，若 A 0 则直线与双曲线有两个公共点，A =0有一个公共点，0)上，过点8(0,7)的直线交C 于 P,。两点，则()A.C 的准线为y=-l B.直线AB与 C 相切C.|OP|O2|OA D.BPBQ

33、|BA|2【答案】BCD【分析】求出抛物线方程可判断A,联立AB与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点A 的代入抛物线方程得l=2 p,所以抛物线方程为Y=y,故准线方程为了 =-!，A 错误；4心8=生2 =2,所以直线A 8的方程为y=2 x-l,联立；2 言 一 1，可得X2-2X+1 =0,解得X=1，故 B 正确；设过8 的直线为/,若直线/与轴重合，则直线/与抛物线C 只有一个交点，所以，直线/的斜率存在,设其方程为y=P(X Q)，Q(X 2，%)，联立匕=7,匕=y =&2一 40得三-丘+1 =0，所以，xt+x2=k,所 以%2 或&

34、一 2,M%=(X|W)2 =1,西 元 2 =1所以 I OP|IOQ|=5%(1 +%)(1+%)=J g x 也=伙 l 2=|(M ，故 C 正确;因为18Pl=J +公|B Q|=J 1 +5 2|V|，所以|BP|“BQ|=（I+公）|卬 =1 +公 5,而|&4=5,故D正确.故选：BCD例9.【多选题】（2022福建省厦门集美中学模拟预测）过抛物线C：V=4x的焦点尸的直线/与C交于A,B两点，设A（x“J、巩如必），已知M（3,-2）,N（-1,1）,则（）A.若直线/垂直于x轴，则|AB|=4 B.C.若P为C上的动点，则|PM|+|P目的最小值为5 D.若点N在以AB为直

35、径的圆上，则直线/的斜率为2【答案】ABD【分析】联立抛物线C与直线x=l求其交点判断A,联立直线/的方程与抛物线C的方程，结合设而不求法判 断B,结合抛物线定义判断C,利用设而不求法判断D.【详解】直线/垂宜于X轴时，其方程为X=l,联立 厂 二 可得 一。或 .x=y=2 y=-2所以 A（l,2）,8（1,-2）,所以|AB|=4,A 对,由已知可得直线/的斜率不为0,故可设其方程为x=%y+l，y2=4x联立,化简可得y2-4/ny-4=0,x=my+A=（4/n）2+160,设 4（%，%）,8（2，%），则耳+%=4 ，y,y2=-4,B对，点N在以A8为直径的圆上，则 福.而=0

36、，又所以a+l）（w+l）+（y _1）（%-1）=0,又X=叼|+1 /=，佻 +1 所以（即1 +2）（叼2+2）+（y T）（%T）=0，所以（加2 +i）x%+（2加 _1）（乂 +卜2）+5=0,所以4%2-4m+l=0，故机=g,此时直线/的斜率为2,D对，过点P作 出 垂直与准线x=-1 ,垂足为耳，过点M作MM垂直与准线x=-1,垂足为M，则|%|=|PF|,所以PM+归川=|PM+I%以 肋 蜀=4,当且仅当点P的坐标为（L-2）时等号成立,所以倒4+1 尸 产 I 的最小值为4,C错,故选：A B D.B的横坐标之和为4.例。（刈 7 全国高考真题（文）设 A,2为曲线Ck

37、?上两点，A与（1）求直线AB的斜率；（2）设 M为曲线C 上一点，C 在 M处的切线与直线A B 平行，且求直线AB的方程.【答案】1;（2）y=x+7.【分析】（1）设 4 8,V），伙双，”），直线A B的斜率上=匹=年 ，代入即可求得斜率；“1 一 2 4（2）由（1）中直线AB的斜率，根据导数的几何意义求得M点坐标，设直线A8的方程为），=+办 与抛物线联立，求得根，结合弦长公式求得AB,由AM_L8M知，|A B|=2|M N|,从而求得参数”2 2【详解】解：（1）设 A（x/,y z）,B g”），则冗/力2,yi=,y 2=&,x/+x?=4,4 4于是直线AB的斜率k=土

38、手 =1.$x?4r2 x（2）由 y=1，得设MM p）,由题设知会=1,解 得 心=2,于是用（2,1）.设直线AB的方程为y=x+mf故线段A8的中点为N（2,2+加），M N =m+.将 y=x+m 代入 y=一 得 x24x4m=0.4当 =1 6(m+l)0,即 时，Xi,22+2y/m+l .从而|A B|=0|x/X2I=4 2(/?+1).由题设知|A 8|=2|M N ,即4 5 2(m+1)=2(加+1),解得m 1.所以直线AB的方程为y=x+7.【规律总结】解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用

39、到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公 式|羽=|如+|焉+p或=|%|+|%|+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.题型四弦长问题和中点弦问题例 1 1.(2 0 2 3 全国高三专题练习)过椭圆C:上+匕=1 的左焦点F 作倾斜角为6 0。的直线/与椭圆C 交

40、于44 38两点，则 向+血=()4 3 3 5A.-B.-C.D.一3 4 5 3【答案】A【分析】设A(x,y),3(马,为)，把直线与椭圆联立，求出|A B|=Ej(-|j_4x O=),即可求 出 府 +画.【详解】由J+f =l,得 =4,=3,c2=a2-b2=,左焦点为(T O).则过左焦点F,倾斜角为6 0。直线/的方程为y =由(x+l).代 入+=1,得5/+8 =0，8设y2),则3=0，x,+x2又=6(玉 +1),石(工2 +1)=3 内 工 2 +3(玉 +1 2)+3 =_ 春，根据弦长公式得：|A B=V 173-|J-4XO=y，且 叫 叫=J a+i)2+y

41、；g+i)2 +y；=(b)+只=孤%|=*1 1 AB 4同，+-=*,=|AF|BF AFBF 3故 选:A.r2 v2例12.（2020 天津高考真题）已 知 椭 圆=+=1（。0）的一个顶点为4 0,3）,右焦点为尸，且a bOA=OF,其中。为原点.（I）求椭圆的方程；（II）已知点。满足3反=赤，点B在椭圆上（8异于椭圆的顶点），直线A 3与以。为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.【答案】（I）三r2 +工v2=1；（|）j =-1x-3,或y=x-3.18 9-2【解析】2 2（I）椭圆，+=1（。0 0）的一个顶点为4（0,3）,t b=3 由|Q 4

42、|=|O F|,得c=O=3,又由/=+。2,得合=32+32=回所以，椭圆的方程为三+二=1；18 9（II）.直 线 与 以C为圆心的圆相切于点P，所以CP_L/W，根据题意可知，直线A 3和直线C0的斜率均存在，设直线AB的斜率 为 则直线A 5的方程为y+3=丘，即丁=一3,y=Ax-3-X2 y2，消去y,可得(2左2+1卜2-2日=0118 912k2F+1解得x=0或x=将0 x=F12一k 代小入、丁 =依,-Q3,得 y=Z,1；2k2k2+1 2k2+c 6k2-3-3 =-2攵2+1所以,点B的坐标为 1 2 6/3、2 如+1 2 左 2+1)因为P为 线 段 的 中

43、点，点 A的坐标为（0,3）,所以点P的坐标为6k-3 2 公+1 2/+J由3OC=OF,得点C的坐标为（1,0），所以，直线CP的斜率为攵”2-6k 2 公一6 Z +12F71-13又因为C P _ L A 8，所以上 -=-1,2%2-6 k+1整理得2 公一3 左+1 =0,解得&=或攵=1.所以，直线A3的方程为y=；x-3 或 y=x-3.例 1 3.（2 0 1 9 全国高考真题（理）已知抛物线C：y2=3 x的焦点为F,斜率为|的直线/与C的交点为A,B,与 x 轴的交点为P.（1）若H E+|B f=4,求I的方程；（2）若 丽=3 而，求I A B I.【答案】（1）1

44、2 x-8 y-7 =0；（2）勺叵.3【分析】（1）设直线/：y=x+m,A（XQJ,B（,y2）；根据抛物线焦半径公式可得与+*J ；联立直2线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于机的方程，解方程求得结果；（2）设宜线/：联立直线方程与抛物线方程,得到韦达定理的形式;利用 点=3 而 可 得 y=-3%，结合韦达定理可求得,必；根据弦长公式可求得结果.【详解】（1）设直线/方程为：y=x+m,A（x”x）,B（x2,y2）由抛物线焦半径公式可知：卜 尸|+忸尸|=玉+七+a =4.x,+x2=|5,=3联立，得：9/+（1 2 加-1 2）%+4 =0y2=3x91则 =（1 2 6一

45、 1 2）一 一 144m2 0 /.m 4 O3 7，直线/的方程为：y=x-，g|J：1 2 x-8-7 =02 o7（2）设尸&o）,则可设直线/方程为：工=（丁+，.2联立 x=3，y+t 得：）、，2-2）3 f=0j 2 =3 x则 =4+1 2 z 0：、+为=2，N%=-3 fAP=3PB y,=-3 y2%=T,=3 帅 2=_3则|A B|=n .J（y+%）、4 y M =半 4+1 2 =【总结提升】1 .处理中点弦问题常用的求解方法（1）点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式 中 含 有%+如 弘+姓，江U 三个未知量，X Xi这样就直接联

46、系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.（2）根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足.2 .中点坐标公式一个作用是可以利用“设而不求”技巧解题，其二是可以将未知点坐标和已知点坐标联系起来；涉及求范围问题，注意方程不等式思想的运用.3 .涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.题型五直线与圆锥曲线的位

47、置关系求参数问题例 1 4.（2 0 2 2 四川内江 模拟预测（理）若 双 曲 线 丁-=1 上存在两个点关于直线/：y =f c r +4（Z 0）对称，3则 实 数%的 取 值 范 围 为.【答案】7【分析】设双曲线上两点A(X，%)，8*2，2),直线4 8的方程是x =-+”，代入双曲线方程化简得(-l)/-2 v+n2-3 =0,AB的中点是。(%,%),利用判别式大于0,韦达定理结合AB的中点Q在直线/:丫 =履+4仅0)上，转化求解左的范围即可.【详解】解：依题意，双曲线上两点A Q,%),B 5,y2),若点A、B关于直线/：丫 =履+4伙0)对称，则2设直线AB的方程是x

48、=-仙+”，代入双曲线方程f=1化简得：3(3k2-1)/-6kny+3 n2-3 =0 ,则 =3 6/n 2-4(3 8-l)(3 2-3)0,且3 -1=0,解得3公-l +/?0，且3-1W0又X+%=3；f ,设AB的中点是D(%，%)，所以%=丁=目=-孰+=-门.因为AB的中点。在直线/：y =+4伏0)上，所 以 萨T =h+4,所以成=3公_1,又3公1Wjk 1 jk 1_ 1所以成工0,即攵工0,工0,所以-所以弘2-1 +0,整理得(3 8-1)(4公-1)0,所以 0&：或 立,k)2 3实数&的取值范围为：(，；)u F?,+s故答案为：(a g)u .例1 5.(

49、2 0 1 8全国高考真题(理)己 知 点 和 抛 物 线C：V=4x,过C的焦点且斜率为的直线与C交于A,B两 点.若/4 M B=9 0。，则女=.【答案】2【分析】利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.【详解】详解：设A(%,y J,B(巧，为)所以乂2-%2=4%一4取 A B 中点M，（不，%）,分别过点A,B作准线x=l 的垂线，垂足分别为A1B，因为 _ZAMB=90,.|MMj=l|A B|=l(|A F|+|BF|)=l(|+|B5|),因为M 为 A B中点，所以M M 平行于x 轴因为所 以%=1，则弘+%=2即k =2故答案为2.【点睛】本题主要考查直线与抛

50、物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设人（外,必）,8（9,月），利用点差法得到k=入 手=，取 A B中点M（不，）,分别过点A.B作准线x=-1 的垂线，垂足分别为A,B,%一%+%由抛物线的性质得到|MM=g（|AA|+|B8）,进而得到斜率.例 16.（2018 天津高考真题（文）设椭圆+3*=l（a/?0）的右顶点为A,上顶点为B.已 知 椭 圆 的 离 心 率 为，AB=J i与.a b 3（1）求椭圆的方程；（2）设直线/：y=（左0）与椭圆交于P,。两点，/与直线A B 交于点M,且点P,M均在第四象限.若 BPM的面积是V BPQ面积的2倍，求Z 的值.1【答案】（1）-F-