2021-2022学年山东省菏泽市高一下学期期末数学试题【含答案】.pdf

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1、2021-2022学年山东省荷泽市高一下学期期末数学试题一、单选题1z=-1.已知复数 1 +i,则复数z 共枕复数的虚部为（）,1 1A.-1 B.1 C.2 D.2D【分析】利用复数的除法化简复数z,利用共规复数和复数的定义可得结果.1 1-i 1 1j -1 1.【详解】z *（l +i）0T）2 2 ,则“万+于，故复数Z 共规复数的虚部为E.故选：D.2.高一、1班有学生54人，高一、2 班有学生42 人，用分层抽样的方法从这两个班中抽出一部分人组成4 x 4 方队，进行会操比赛，则高一、1班和高一、2班分别被抽取的人数 是（）A.9.7 B.15.1 C.8.8 D.12.4A【分

2、析】利用分层抽样的定义求解即可5 4 x l 6=9【详解】由题意得高一、1班被抽取的人数为54+42 人，42 _-x 16=7高一、2 班被抽取的人数54+42 人，故选：A3.甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8,乙做对的概率为0.9,下列说法错误的是（）A.两人都做对的概率是0.72 B.恰好有一人做对的概率是0.2 6C.两人都做错的概率是0.15 D.至少有一人做对的概率是0.9 8C【分析】甲乙两人做题属于相互独立事件，根据独立事件的乘法公式求得两人都做对的概率和两人都做错的概率，判断A,C;根据互斥事件的概率加法公式可求恰好有一人做对的概率，判断B；至少有一人做对

3、的概率等于1减去两人都做错的概率，判断D.【详解】由于甲做对的概率为0.8,乙做对的概率为0.9,故两人都做对的概率是S x 0.9 =0.72 ,所以A 正确；恰好有一人做对的概率是S 8 x（l _ 0 9）+（1-68）x 0.9 =0.2 6,故B正确；两人都做错的概率是（1 -8）X（1 一 -9）=0 0 2,故 C错误；至少有一人做对的概率是1 一（1 一 ）x（1 -0 9）=0 9 8,故D正确,故选：C4.已知向量 =（T 2）,书=（2,加），若 力 5,则加=（）1A.-1 B.1 C.4 D.4B【分析】根据数量积公式，即可得答案.【详解】因为所以（-l）x 2 +2

4、 m =0,解得机=1.故选：B5.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：c m）,那么该壶的最大盛水量为（）A.68万 c m，B 152 c m3 c.2 0 V i r c m Q 2 0 4/r c n r B【分析】由题得上底面半径为4,下底面半径为6,圆台高为6,代入台体体积公式，即可得答案.【详解】由题意得上底面半径为4,面积S L IX42=16，下底面半径为6,面 积邑=*62=3 6万，圆台高为6,V=-（S,+S,+

5、JS.S.,V=-（i6 +3 6 +V f6 x 3 6|x 6=152 万,则 圆 台 的 体 积 3、-=3、/c m .故选：B6.甲，乙两个车间生产同一种产品，为保证产品质量，现从两车间抽取10 0 件产品进行检验.采取以下方法抽取：从装有除颜色不同外完全相同的2个红球和3个白球的袋子里抽取两个球，如果抽到两球颜色相同就从甲车间抽取一件产品，如果两球颜色不同就从乙车间抽取一件产品，两车间分别抽取的产品数最接近的是（）A.甲车间30件，乙车间70件 B.甲车间70件，乙车间30件C.甲车间59件，乙车间41件 D.甲车间41件，乙车间59件D【分析】根据题意，分别计算出从装有除颜色不同

6、外完全相同的2 个红球和3 个白球的袋子里抽取两个球，抽到两球颜色相同的概率及抽到两球颜色不同的概率，从而即可求解.【详解】解：因为从装有除颜色不同外完全相同的2 个红球和3 个白球的袋子里抽取C；+C；4 2两个球，抽到两球颜色相同的概率为 仁 10 5,抽到两球颜色不同的概率为C；C 6 3100 x-=40所以从两车间抽取100件产品进行检验，甲车间抽取产品数为 5 件，乙车间3100 x-=60抽取产品数为 5 件，所以两车间分别抽取的产品数最接近的是甲车间41件，乙车间59件，故选：D.cos A _ 3a7.在中，角 4 8、C 对 边 分 别 为 A c,且 sinB 3b,当。

7、=近，6=2 时,Z8 c 的面积是（)正A.2币 3百 377B.2 C.2 D.2C,冗A-【分析】利用正弦定理求出 3,利用余弦定理求出c=3,即 可 求 出 的 面 积.cos 4 _【详解】对于sin 8 y3a cos A y/3 sin A一 36,用正弦定理得.sin 8 3 sin 8因为万），且tan/=E，所以，一37=4+C2-2X2CX-由余弦定理/=+/得：2,解得：。=3 3 =一 1舍去）.所 以 的 面 积 是 2S=-6csin/4=-x2 x 3 x 2 =巫22故选：C28.某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐

8、的顾客中随机抽取了 1 0 0 人作为样本，进行满意度调查，得到以下数据表格（单位：人次），则下列说法正确的是（）满意度老年人中年人青年人自助餐点餐自助餐点餐自助餐点餐1 0 分（满意）1 212 022 015分（一般）226341 20分（不满意）116232A.满意度为0.5B.不满意度为0.1C.三种年龄层次的人群中，青年人更倾向于选择自助餐D.从点餐不满意的顾客中选取2人，则两人都是中年人的概率是0.1D【分析】对 A、B：根据表格中所给数据即可求解；对 C：根据表格中数据分别计算三种年龄层次选择自助餐的频率，比较大小即可判断：对 D：根据古典概型的概率计算公式即可求解.1 2 +1

9、 +2 0 +2 +2 0+1 -=0.5 6【详解】解：对 A：满意度为 1 0。，故选项A错误；1+1+6+2+3+2 A.=U.15对 B：不满意度为 1 0。，故选项B 错误；一对 C：老年人选择自助餐的频率为 1 9,中年人选择自助餐的频率为 3 9,青年人选择自助餐的频率为3 42,由 可 得 中 年 人 更 倾 向 于 选 择 自 助 餐，故选项C错误；对 D：从点餐不满意的顾客中选取2人有种选法，其中两人都是中年人有亡=1 种选法，所以从点餐不满意的顾客中选取2人，则两人都是中年人的概率是=0.11。，故选项D正确.故选：D.二、多选题9.某学校有1 0 0 0 名学生，为更好

10、的了解学生身体健康情况，随机抽取了 1 0 0 名学生进行测试，测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的有A.频率分布直方图中。的值为0.005B.估计这100名学生成绩的中位数约为77C.估计这100名学生成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在卜0，7）内的学生人数为160AB【分析】对于A,由各组频率和为1 可求出。的值，对于B,利用中位数的定义求解，对于C,由从数的定义求解，对于D,先求出 6，7）的频率，再利用总人数乘以频率可求得答案【详解】对于A,由频率分布直方图可得l（2a+3 +7a+6a+2a）=l,解得。=0.005,所以A 正确，对于B,由频率分布直方

11、图可知，前 2 组的频率和为lx5x0.005=0.2 5 0.5,所以中位数在第3 组，设中位数为L则0.25+7x0.005（x-7 0）=0.5）解得x=7 7,所以 B 正确，对于C,由频率分布直方图可知成绩在70到 80的最多，所以众数为7 5,所以C 错误,对 于 D,由频率分布直方图可知成绩在16，70）的频率为3x0.005x10=0.1 5,所以总体中成绩落在 6，70）内的学生人数约为0.15x1000=150人，所以口错误，故选：ABZC=-1 0.已知 N8C三 个 内 角/B,。的对应边分别为mb,&且 3,C=2,则下列结论正确的有（）A.”5C 面积的最大值为打B

12、.bcosA+acosB=6ACC.A，8 c 周长的最大值为6、u7cos 8D.cosZ的取值范围为【分析】A 选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B 选项，利用余弦定理计算可判断；C 选项，利用余弦定理和基本不等式求解周长的最大值；D 选项，cos B _ 百 t an A 1用c o s=-cos（+C）进行变换得到嬴7-t a n -5,结合”的取值范围得到co s Bcos%的取值范围.-a2+h2-4 1cos C=-=【详解】解：对于A,由余弦定理得：2 ab 2,解得:a2+b2=ab+4 f由基本不等式得：a2+b2=ab+4 2 a b）当且仅当。=方时，等号

13、成立,S=a/sin C V3所以故B e 2,故A正确；6cos/+acos8=/2+c 2 q 2+a/+。2.2 二 竺 一 稣?对于B,2 bc l ac 2 c,故 B 不正确;COSC_Q 2+_ 4 _ 1对于C,由余弦定理得：cs-2 ab 2,解得：a2+b2=ab+4,（a+b =3ab+4 3 x（+4所以 I 2 J,当且 仅 当 时，等号成立，解得a+6 4 4,当且仅当a=6 时，等号成立，所以，周长/=a+6+c44+2=6,所以AN8C周长的最大值为6,故 C 正确:-cos（/+父 siny4-cos cz .对于 D,cos/cos J cos 4 2 2,

14、因为 I 吟）,所 以 t an百 力（。,+8）,所以t a n g l e（一 叫 一 2）7（_；,+82 2故 D 错误.故选：AC.1 1.如图，在“8 C 中，B C =6,D,是 8 c 的三等分点，且 历 荏=4,则()BI)C2 1 A E=-A B+-A CA.3 3C.A B A C =4A D =AB +AEB.2 2D.AB2+A C2=2 8BCD【分析】由向量的线性运算即可判断A,B,取。E的中点G,由BC=6,D,E是B C,-2 1 2A D A E =A G D E 2的三等分点得G是8 c的中点，计算可得 4,进而得出4G=5,计算可判断选项C,由C可 知

15、 方+就=2而，两边平方，化简计算可判断选项D.AE=A C +CE=A C +-CB =A C +-(A B-A C =-A B +-A C【详解】对于A,3 3 /3 3,故选项A不正确；A D =-AB +A E对于B,由题意得。为8E的中点，所以 2 2,故选项B正确；对于C,取。E的中点G,由8c=6,D,E是8C的三等分点得G是8 c的中点，且D E =2,所以而.荏=(就-g 闸芯+；硝=彷患=4_2 AB-AC=A G-B c A G +-B c =A G2-B C2=5-9=-4所以/G =5,1 2 八 2 J 4，故选项C正确；对于D,由G是8。的中点得方+X =2/，两

16、边平方得一 一2 -2.2 2 2AB +2 AB-AC+A C =4 A G ,所以 N8+A C=20+8=2 8,故选项 D 正确.故选：BCD.1 2.如 图1所示，四边形/8。是边长为2的正方形，E、F、M分别为8C、C D、5E的中点，分别沿4E、4尸及E尸所在直线把0 A EB、ZUED和折起，使B、C、。三点重合于点p,得到如图2所示的三棱锥尸-4E/则下列结论中正确的有()图2A.四面体P/E 尸中互相垂直的棱有3 对2B.三 棱 锥 4 七产的体积为C.4M与平面尸 尸所成角的正切值为47T 3兀D.过点 的平面截三棱锥尸-N E 厂的外接球所得截面的面积的取值范围为14,

17、2 .A C D【分析】利用翻折的性质可判断A选项；利用锥体的体积公式可判断B选项；利用线面角的定义可判断C 选项；计算出过点 的平面截三棱锥尸-N E F 的外接球所得截面的面积的取值范围，可判断D选项.【详解】对于A选项，易知/E=AF=M/=布,EF=y l 2+l2=72 ,翻折前/8 1 8 E,CE L C F ,ADS.DF,翻折后，则有P A L P F,PE VPF,因为ANE/是非直角的等腰三角形，所以，四面体己4 所中互相垂直的棱有3 对，A对;对于 B 选项，因为 P Z L P E,P A L P F ,P E 1 P F ,PE F =P,P E、PF u平面尸E/

18、7,，_ L 平面尸即，cd1 Q 1 1 12 1AXM 为P E的中点，则yr-A曲-=-2 0 P EF=2 X 2 X 1 =4,M-AEF=yA-MEF=T=X7X 33 4 6,B 错；对于C 选项，因为P/_ L 平面尸E F,.J M与平面P E F 所成角为乙4 M P,P 4t an N A M P =4在 R t 例尸中，P M,C 对；对 于D选项，将三棱锥尸-Z E F 补成长方体P E一/G N ,H则三棱锥P-4 跖 的外接球球心。为体对角线P N 的中点，,_ RJLPN =y j P E2+P F-+P A-=y 6 t 即球。的半径为 2,所以，过点M的平面

19、截三棱锥P-A E F的外接球所得截面圆的半径设为r,设球心。到截面圆的距离为，则OVdWOM,OM =-E N 、M 分别为P N、PE 的中点，则 2712+22 _ V5J_ V62*V0 d 胃一优 G则 2,7ir e71 3 71因此，过点”的平面截三棱锥P-/E F 的外接球所得截面的面积的取值范围为-4 2 ，D对.故选：ACD.方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度3从而不必sin6=一作出线面角，则线面

20、角 满足/（/为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设 为直线/的方向向量，片 为平面的法向量，则线面角的正弦值为s”lC0S 1 3.复数（”-i）（3+4i）在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，则实数【分析】根据复数的乘法运算，可得（a-i）（3+4i）=3a+4+（4“-3）i,根据其几何意义,可得在复平面所对应的点坐标，根据题意，列出方程，即可得答案.【详解】由题意得(一 D R +4 i)=3a+4 ai-3i-4 i2=3a+4 +(4 a-3)i在复平面内对应的点为(34 +4,4。-3)因为该点在第一、三象限的角平分线上，所以3a+

21、4 =43,解得a=7.故 71 4 .5 c中，AB =A C =5,B C =8,则 此 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 是.25 6【分析】根据余弦定理，可得c os”,进而可得sin/的值，根据正弦定理，即可得答案.,A C2+AB2-B C2c os 4 =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【详解】由余弦定理得 2 AC AB,八、sin A=-71-c os2 A=因为Z（0 ）,所以 25,25+25 642x 5x 5725,设外接圆半径为H，由正弦定理得 25,解得夫 程25故 61 5.如图，已 知 二 面 角 夕 的 棱/上 有 4 8 两点，

22、C e a ,AC 1 1,D w 0 ,B D A J ,若 A C =AB =B D =2,CD=2 叵,有以下结论:(1)直 线 与 CD所成角的大小为4 5 ：(2)二面角的大小为60 ；(3)三棱锥-8 8 的体积为2 6；显(4)直 线 与 平 面 广 所 成 角 的 正 弦 值 为 4 .则 正 确 结 论 的 序 号 为.(1)(2)(4)【分析】采 用 平 行 线 法 作 出 直 线 与 8所成角，解三角形求出角的大小，判 断(1)；通过作辅助线，作出二面角a-一 6 的平面角，解三角形求得角的大小，判 断(2)；根据等体积法 求 得一 J 一不一 2，判 断 C)；通过作垂

23、线，找到直线。与平面尸所成角，解三角形求得该角大小，判 断(4).【详解】如图，在B 内作D E 码 4E B D ,交于E 煎,则N C D E即为直线A B与C D所成角或其补角，因为 8Z）_ L/,AB =B D=2,则,故四边形Z E D 8 为正方形，则DEi E,又 ，则O E L/C,而 4 C c 4 E =4，故。平面/C E,C E u 平面/C E,D E V 2Cos/1 _）卜,.故 D E L C E ,又 CD=20 D E =AB =2 ,故 C D 2由于0。/。4 90,故 NC Z)E =4 5。，故 m 正确:由于/C1 4 8,4,4 8,故N C

24、A E为二面角a-/一/的平面角,由 以 上 分 析 可 知=J C D。-D E。=J 8-4 =2,AE=BD-2,A C =2故CE为正三角形，贝|J NC/E =6O。，故(2)正确；由于OE _ L 平面/C E,O E u 平面AEDB,故平面ACE-i-平面AEDB,且平面A C E 平面4 E D B M E,故作C H 1 AE，垂足为H,则 C H 1 平面 AEDB,且=/C sin 60 =6 ,、A-BCt）=Vc-ABD=gs.ABD.CH=g*g x2 x2 x 百=所以 3 3 2 3,故（3）错误;连接DH,由于C H1平面4 E D B,故 D H为直线CD

25、与平面方所成角,在 Rt CH D 中,sin Z C D H =C H 73 _ V 6C D-2 及-4，故(4)正确,故(1)(2)(4)四、双空题1 6.已知样本的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,1 3,1 9,20(“6 e N),且样本的中位数为1 0 5,则；若要使该样本的方差最小，则就二.21 1 1 0【分析】根据中位数的定义可得。与人的关系，要使样本的方差最小，即(aT)2+3-l 0 最小，利用。与人的关系消去。，得关于人的一元二次式，利用配方法可求出函数的最小值，进而可得。和的值，从而即可得成的值.【详解】解：因为样本的各个个体的值由小到大依次为

26、2,3,3,7,a,b,12,1 3,1 9,20(0 力)，且样本的中位数为 1 0.5,生 叱=1 0.5所 以 2,即。+6=21；2+3+3+7+O+6+1 2+1 3+1 9+20 ，八=1 0所以样本平均数为 1 0-,要使样本方差最小，即(a-1 0)2+ST )2最小，又因为(4-1 0)2+(3-1 0)2=(21-6-1 0)2+(6-1 0)2=(1 1-6)2+(6-1 0)2=2 b2-42 b+2 2 1=2b-+；因为d b e N,所以当6=1 1 或2 0时，(I。)?+3-l)2取得最小值，又。+6=21,所以。=1 1/=1 0 或=1 0/=1 1,所以

27、。6=1 1 0.故 21；1 1 0.五、解答题1 7.如图，Z2 是 的 直 径，4 垂直于0 所在的平面，C是圆周上不同于48 的任意一点，且 4 =4 8.求证：平面P/C，平面P8C；(2)当点C(不与4 8重合)在圆周上运动时，求平面P8C与0 所在的平面所成二面角大小的范围.(1)证明见解析【分析】(1)根据线面垂直的性质定理，可得 S C,根据圆的性质，可得A CB C,根据线面垂直的判定定理，即可得证.(2)由(1)可得”C，3C,BC1 PC,所以NP。即为平面P8C与所在的平面ZCAB=0,OeO,-所成二面角的平面角，设 12人 圆。的半径为R,根据三角函数的定义，可得

28、tan/PCZ的表达式，根据6的范围，计算求解，即可得答案.【详解】(1)因为口垂直于所在的平面48C,BCu平面”8C,所以 P/B C,PA1AC,因为4 8是0 的直径，所 以 _L8C,因为04 C u平面4 c,所以BC J平面P/C,因为8C u平面pg。，所 以 平 面 尸 平 面P8C0因为8 c l平面pzc,PC u平面尸/c,所以 8 C J.P C,又 4C1BC,所以NPCA即为平面pBc与所在的平面所成二面角的平面角,ZC/iS=6,1所以 c o s。NP CAw因为 I 2)所以 218.第 24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年 2 月 4 日至2 月 2

29、0 日由北京和张家口联合举办，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比赛场馆为了顺利完成比赛任务，招募了 100名志愿者，并分成医疗组和服务组，根据他们的年龄分布得到如图频率分布直方图.频率4砸0.0250.0200.0150.01040 50 60 70年龄(岁)(1)试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数；(2)己知医疗组40人，服务组60人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取 5 人，再从这5 人中选取3 人组成综合组，求综合组中至少有1人来自医疗组的概率.(1)平均年龄43.5岁，第 75百分位数为52.5 0.9【分析】(1)根据

30、频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1,可求得。值，根据频率分布直方图中平均数的求法，代数即可得平均值，根据百分位数的求法，可得答案.(2)根据分层抽样，可得医疗组抽取2 人，设为a,6,服务组抽取3 人，设为A.B.C,列出综合组所有可能情况，选出满足题意的情况，代入概率公式，即可得答案.【详解】由 题 意 得 015+0025+。+0.02+0.01)*10=1 ,解得 =0.030,所 以 100名志愿者的平均年龄为25x 0.015x 10+35x 0.025x 10+45x 0.03x 10+55x 0.02x 10+65x 0.01x 10=43.5 岁，因为0.015x 10+0

31、.025x 10+0.03x 10=0.7 0,75,所以第75百分位数位于 50,6 0)内，设第75百分位数为工,则 0.7+(x-50)x 0.02=0.75,解得 x=52.5,所以第75百分位数为52.5 40 今(2)医疗组抽取人数为 40+60-人，设为0,b,则服务组抽取5-2=3人，设为A B、C,5人中选取3 人组成综合组，情况可能为伍也，(。也 8),伍也C),48),(4,40),(a,B,C),(b,A,A,C),(b,B,C),(A,B,C)t 共 10 种,至少有1 人来自医疗组的情况为(a,b,A),(a9b,B),(a,b,C),(a,A,B),(a,A,C)

32、,(a,B,C),(b9 A9B)9(b9 A,C),(h,B,C),共 9 种,9P =0.9所以综合组中至少有1 人来自医疗组的概率 1019.如图，一条河两岸平行，河的宽度/C =G k m,一艘船从河边的4 点出发到达对岸的8 点，船只在河内行驶的路程X S =2 k m,行驶时间为0.2h.已知船在静水中的速度匕的大小为同，水流的速度匕的大小为同=2k m/h .求：同;(2)船在静水中速度匕与水流速度马夹角的余弦值.后14【分析】(1)先求出船只沿钻 方 向 的 速 度 为 年 攻 曲1 1,卜 2#=6 0,利用向量的数量积运算求出M L (2)利用数量积及夹角公式求出船在静水中

33、速度匕与水流速度”夹角.【详解】（1）因为船只在河内行驶的路程4 3 =2 k m,行驶时间为0.2 h,I v l =-=1 0 km/h所 以 船 只 沿 方 向 的 速 度 为 0.2由 N C=e k m,/IB =2 k m,根据勾股定理可得：B C=7?t=l k m,所以/8 Z C=3 0。,即.%6。由 三 F+E,得：涓心“|v,|=JG -J =J%2 -2%-v +J =V 22-2 x2 xl0 c os6 0 +1 02=2 V 2 T 因为;=i+E,所以J=G+垃，2 _即 1 0 0 =&V I T j+2 x 2&l x 2 c o s N，动+2 2,解得

34、 C O S,E）=F-后即船在静水中速度匕与水流速度匕夹角的余弦值为1 4 .2 0.如图，在四棱锥-I BS 中，底面NB C。是梯形，A D/B C,且 Z O =2 8 C,P A L P D ,AB =P B.(1)若尸为P 4的中点，求证8 尸平面尸CD求证P/工平面P C D(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)取尸。中点,连接E F、E C,可得EF B C 且 EF=B C ,则四边形E R B C 为平行四边形，则8 尸 乙 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.P A-P B 一 姮 a _ 2 回 一 1822 2.如图，已知正三棱柱8 C-4 8 c

35、 中，所有棱长均为2,点 E,尸分别为棱8 4，4 G 的中点.(1)过 4 E、尸三点作该正三棱柱的截面，求截面图形的周长;(2)求AE与平面A E F所成角的正弦值.2逐+亚(1)3姮1【分析】(1)延长/尸与CG延 长 线 交 于 点 连 接 E M,交4 G 于点P,连接E P,则过点4日尸三点的截面为四边形/E P F,根据三角形相似及勾股定理，分别求得A F、A E、P E,尸尸的长，即可得答案.（2）如图建系，求得各点坐标，可得4瓦坐标，进而可得平面Z E F 的法向量%的坐标，根据线面角的向量求法，即可得答案.【详解】（1）延长ZF 与C G 延长线交于点“，连接交4G 于点p

36、,连接尸尸,因为在N F 的延长线上，/F u 平面/E R所以e平面/E R因为平面A E M 平面BCC&=PE,平面AE M 平面/G =FP,所以过点4瓦尸三点的截面为四边形Z E P F因 为 尸 皿 C,所以AMFC、s 八MA CM C FC,_ 1所以正 一 就 一 5,解得收6=2,取C G 中点N,连接E M 可得E N C C,因为P G W E N所以 M P C、5AMEN屿=3=2 PC PB、2所 以 MN E N 3 ,解得 3 ,则 3 ,在 R t 4/中 4 F =AA；+4-2=/5在 RtABE 中，AE=jAB2+BE2=旧,在 RSPBE中,PE=

37、B；+BF =4在 匕 中，殁=1 困=*做尸=6 0。，13月以 P F，=FC；+PC：-2FC,-PC,c os 6 0 =则 叫 半,所 以 四 边 形 的 F 的 周 长 为 用 国 孚 士 理会 鬲季(2)取 ZC 中点。，连接0 8,OF,因为正三棱柱/8C-44G,尸为4G 的中点,所以0 4 0 8,尸两两垂直，以。为原点，04。8,0 尸为x,y,z 轴正方向建系，如图所以“(1,0,0),(0,A 1),尸(0,0,2),4 (1,0,2),所 以 语=(-1,6,-1),冠=(T,6,1),万=(-1,0,2),设平面Z E F 的法向量 =(xj，z),-x+V3y+z=0-x +2z=0 n _A_E =0V则,而=0,即.y=,z =l 3=令 x=2,则 3,所以设4 E 与平面NEF所成角为e,sin 0=|cos|=,1 =1 II 词 I一 2+1-14+1 Ji+3+1岳10则任所以4*与平面Z E?所成角的正弦值为10