2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第12讲梯形及中位线(含详解).pdf

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1、第12讲梯形及中位线本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，求解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线.中位线主要包括两个方面，三角形和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用.模块一：梯形及等腰梯形知识精讲一、梯形及梯形的有关概念（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底.腰：不平行的两边叫做腰.高：梯形两底之间的距离叫做高.（2）特殊梯形直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.特 殊 梯 形、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯

2、形？交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形.【等腰梯形性质】等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个内角相等.等腰梯形性质定理2 等腰梯形的两条对角线相等.另外：等腰梯形是轴对称图形；【等腰梯形判定】等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形.等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形.例题解析例 1.（2 0 19 上海八年级课时练习）如图，梯形A B C D 中，A D B C,Z B=3 0 ,Z B C D=6 0 ,A D=2,A C 平分/B C D,则 B C 长为（）.C.4 V 3 D.3 V 3例 2.（2 0 18 上海市清流中

3、学八年级月考）若等腰梯形两底角为3 0 ,腰长为8,高和上底相等，则梯形中位线长为（）A.8 7 3 B.10C.4 7 3 +4 D.1 66例 3.（2 0 18 上海市清流中学八年级月考）一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的锐角为（）A.3 0 B.4 5 C.6 0 D.7 5 例 4.（2 0 18 上海市清流中学八年级月考）下到关于梯形的叙述中，不正确的是（）A.等腰梯形的两底平行且相等B.等腰梯形的两条对角线相等C.等腰梯形在同一底上的两个角相等D.等腰梯形是轴对称图形例 5.（2 0 17 上海八年级期末）一组对边相等，另一组对边平行的四边形是（）A.梯形 B.等

4、腰梯形 C.平行四边形 D.等腰梯形或平行四边形例 6.（2 0 19 上海上外附中）判断：一组邻角相等的梯形是等腰梯形（）例 7.（2 0 2 0 上海杨浦区 八年级期末）已知在梯形A B C D 中，A D/B C,A B =A D =D C =4,A C L A B,那么梯形A B C D 的周长等于.例 8.（2 0 2 0 上海嘉定区八年级期末）已知一个梯形的中位线长为5。加，其中一条底边的长为6 cm,那么该梯形的另一条底边的长是 cm.例 9.（2 0 18 上海市民办扬波中学八年级期末）如图，在等腰梯形ABCD中，A B/C D ，A D =AB,B D-L B C,则N C

5、=例 10.(2 0 19 上海上外附中八年级期中)在梯形A B C。中，A B/C D,对角线A C B D,AC=6,B D =8,则梯形ABC。的面积为.例 11.(2 0 2 0 上海浦东新区八年级月考)如图，在梯形力腼中，AD/BC,BC=2,AB=DC=8,N B=60 .(1)求梯形的中位线长.例 12.(2 0 2 0 上海浦东新区八年级期末)如图，等腰三角形A B C 中，A B=A C,点 E、F分别是A B、A C 的中点，C E L B F 于点0.(1)求证：四边形E B C F 是等腰梯形；(2)E F=1,求四边形E B C F 的面积.AA例 13.如图，已 知

6、 梯 形 中，比t 是下底，N A 吐 60 形周长是3 0 顺，求此梯形的面积.,BD平分N ABC,且 B D 1 C D,若梯O例14.如图，直角梯形力版中，/月=90,AD/BC,力 庆5,/介45,切的垂直平分线交4。于点、E,交物的延长线于点用 求跖的长.例15.如图，在 梯 形/腼 中，AD/BC,AB-AD-DC,/斤60,(1)求证：ABV ACx(2)若 屐6,求梯形4?(笫的面积.例16.如图，在梯形被力中，AD/BC,CA平 分 匕 BCD,DE/AC,交式1的延长线于点,Z例17.如图，在等腰三角形/I8C中，点 久 后 分 别 是 两 腰 式 上 的 点，联结应、切

7、相交于点 0,Z 1=Z 2.求证：梯 形 败r是等腰梯形.A12B例 18.如图，梯 形。16 C 中，。为直角坐标系的原点，尔B、。的坐标分别为（14,0）、（14,3）、（4,3）.点 只 0同时从原点出发，分别作匀速运动，点一沿力以每秒1 个单位向终点4运动，点 0 沿 8、纺以每秒2个单位向终点8 运动.当这两点中有一点到达自己的终点时;另一点也停止运动.（1）设从出发起运动了 x 秒，当 x 等于多少时，四边形aR C 为平行四边形？（2）四边形少数能否成为等腰梯形?说明理由.例 1 9.如图，等腰梯形花圃1 6 5 的底边4 靠墙，另三边用长为4 0 米的铁栏杆围成，设该花圃的腰

8、4?的长为x米.（1）请求出底边回的长（用含x的代数式表示）；（2）若N胡介6 0 ,该花圃的面积为S米2,求 S 与 x 之间的函数关系式，指出自变量x的取值范围，并求当伞68 6时 x的值.例 20.己知，一次函数y =-1 x +4的图像与入轴，y 轴，分别交于力、8 两点，梯形力阪14（。是原点）的边力B 5,（1）求 点。的坐标；（2）如果一个一次函数y =+b （4、力为常数，且 4 W 0）的图像经过从。两点，求这个一次函数的解析式.例 21.如图，直 角 梯 形/町 中，AB/CD,N 4=9 0 ,AB=6,AD=4,D（=3,动点尸从点4出发，沿/-0+。8 方向移动，动

9、点。从点/出发，在 边 上 移 动.设 点 移动的路程为x,线段4 0 的长度为外线段切平分梯形/颔的周长.（1）求 y与 x的函数关系式，并求出这个函数的定义域；（2）当户不在勿边上时，线段区能否平分梯形题的面积?若能，求出此时x的值：若不能，请说明理由.模块二：辅助线知识精讲解决梯形问题常用的方法作高法：使两腰在两个直角三角形中；移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的方式，构造直角三角形；延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形；移对角线法：平移对角线，可以构造特

10、殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的高等.例题解析例 1.如图，已 知 在 梯 形 中，AD/BC,AB=A D =CD=3,A E A.B C,垂足为E,A E =2,则8 C边的长等于（）A.20 B.21 C.22 D.23AD例 2.已知梯形 A8CD 中，ADHBC,N8=70,NC=40,A D=2,BC=1 0.求 Z)C 的长.例 3.如图，梯形 A8CD中，ABUCD,ZA+/B =90,AB=b,CD=a,E、/分别为A 3、CD的中点，则所的长等于().b+a b+a 八 b-a n b

11、-a/z.C/1).例4.已知：如图，在梯形力宓9中，AD/BC,AB=AC,/胡0 90,BD=BC,即交AC于0.求证：CO-CD.例5.在等腰梯形力及空中，AD/BC,AB=DC,对角线”1与被相交于点。，NBO0 60,AC=Qcm,求梯形的高a 的长.例 6.如图，在梯形 4 8G9 中，AD/BC(BC AD),Z =9 0 ,BC=CD=2,ZABE=4 5 ,若力后1 0,则C序.模块三：中位线知识精讲三角形中位线的定义和性质：1 .定义三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线的区别)；2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.

12、3 .梯形中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半.【要点点拨】经过三角形的一边中点作另一边的平行线，也可以证明得到的平行线段为中位线.同样地，从梯形的一腰中点作底的平行线，可以证明得到的平行线段为中位线.如果把三角形看成是一个上底长度为零的特殊的梯形的话，那么三角形中位线定理就成为梯形中位线定理的特例了.例题解析例1 (1)顺次联结四边形各边中点所组成的四边形是；(2)顺次联结平行四边形各边中点所组成的四边形是；(3)顺次联结矩形各边中点所得到的四边形是；(4)顺次联结正方形各边中点所得到的四边形是；(5)顺次联结菱形各边中点所得到的四边形是；(6)顺次联结对角线互相垂直的四

13、边形各边中点所得到的四边形是：(7)顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是；(8)顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是；(9)顺次联结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是.例 2.（2 0 1 9 上海浦东新区八年级期中）如图，A B C 中，点 D、E 分别在A B、A C 边上，A D=B D,A E=E C,B C=6,贝 U D E=()A.4 B.3 C.2 D.5例 3.（2 0 1 8 上海市清流中学八年级月考）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（）A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形例 4.（2 0 1 9 上海上外附中）梯形两

14、条对角线互相垂直，且长度分别为4，6,则梯形的中位线长为例 5.（2 0 1 9 上海上外附中）如图，四边形ABCD中，E，尸分别为AD，8c中点，且 A B =6,C =8,则 EF的长度”的范围是例 6.（2 0 1 7 上海闵行区八年级期末）如图，在四边形A B C D 中，E、F、G、H 分别是A B,B D、C D、A C 的中点，要使四边形E F G H是菱形，四边形A B C D 还应满足的一个条件是 B例 7.（2018 上海宝山区八年级期末）如图，将。4%/中，A D=8,点 E,尸分别是龙,的中点，则旗为.例 8.（2017 上海徐汇区八年级期末）如图，在48 C中，点,分

15、别是边力瓦 比的中点，若应 的长是6,则 4e _.例 9.（2019 上海上外附中）如图，矩形ABCD中，A B =6,4）=8,点O 为对角线A C 中点，点M 为边A D 中点，则四边形A 8 0 M 的周长为例 10.（1）点）、E、F 分别是AABC三边的中点，尸的周长为1 0 cm,则AABC的周长为；（2）“ABC三条中位线的长为3cm、4 c m、5 c m,则AM C 的面积为.例H.如图，在AABC中，点是边6c的中点，点 在AA3C内，四 平 分N84C,C E V A E点尸在边46上，EF/BC.(1)求证：四边形成!即是平行四边形；(2)线段6?AB、4C之间有怎么

16、样的数量关系？并证明.例12.如图所示，在 梯 形/时 中，A D I I B C,对角线AC_LB交于点0,.肠#是梯形的中位线，Z)BC=30,求证：AO MN.例13.如图所示，在正方形力腼中，对角线4G BD交 于 一 点、0,4?平分/B 4 C,交8。于点E,交。6于 点 区 求 证：CE-20 F.例14.如图1所示，己知劭、酸分别是AABC的外角平分线，过点4作AG A.CE,垂足分别为尺G,连接R7,延 长/尺A G,与直线比相交，易证F G =A B +B C +A C).(1)若 切、分 别 是 比 的 内 角 平 分 线(如 图2)；(2)以为比的内角平分线，四为相C的

17、外角平分线(如图3),则在图2、图3两种情况下，线段尸。与力a 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.例15.如图，在四边形4?切 中，AD=BC,E、尸分别是 5、4?的中点，延长/、B C,分别交所的延长线于点/、G；求证：Z A H F =N B G F .B随堂检测1 .有两个角相等的梯形是（)A.等腰梯形 B.直角梯形 C.一般梯形 D.直角梯形或等腰梯形2 .卜列命题中，真命题是（）4 顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是矩形笈顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形C 顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是等腰梯形顺次联结

18、等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是直角梯形3 .己知梯形的两个对角分别是7 8 和 1 2 0 ,则另两个角分别是（）A.7 8 或 1 2 0 B.1 0 2 或 6 0 C.1 2 0 或 7 8 D.6 0 或 1 2 0 4 .下列命题，错误命题的个数是（）若一个梯形是轴对称图形，则此梯形一定是等腰梯形；等腰梯形的两腰的延长线与经过两底中点的直线必交于一点；一组对边相等而另一组对边不相等的四边形是梯形；有两个内角是直角的四边形是直角梯形.4 1 个 6.2个 C 3个 4个5 .如图，在中，。、分别是8C、AC的中点，且A_LA8,4）=4,A B =6.求AC的长.6 .等腰梯形

19、两底之差等于一腰长，求它的底角的度数.7 .如图，四边形ABC。中，4）不平行B C,现给出三个条件：Z C A B =ZDBA,A C=B D,A D =B C.请从上述三个条件中选择两个条件，使得本题添上这两个条件后能够推出8 是等腰梯形，并加以证明（只需证明一种情况）.8 .如图，在四边形A3CZ）中，E、F、G、”分别是4?、B D、B C、AC上的中点,AB =5,C D=1.求四边形EFG的周长.第13讲梯形及中位线本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，求解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线.中位线主要包括两个方面，三角形

20、和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用.模块一：梯形及等腰梯形知识精讲一、梯形及梯形的有关概念（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底.腰：不平行的两边叫做腰.高：梯形两底之间的距离叫做高.（2）特殊梯形直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.特 殊 梯 形、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形？交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形.【等腰梯形性质】等腰梯形性质定理1 等腰梯形在同一底上的两个内角相等.等腰梯形性质定理2 等腰梯形的两条对角线相等.另外：

21、等腰梯形是轴对称图形；【等腰梯形判定】等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形.等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形.例题解析例 1.（2 0 1 9 上海八年级课时练习）如图，梯形A B C D 中，A D B C,Z B=3 0 ,Z B C D=6 0 ,A D=2,A C 平分/B C D,则 B C 长为（）.A.C.4 V 3D.3A/3【答案】B【分析】过点A作 A E D C,可判断出4 A B E 是直角三角形，四边形A D C E 是菱形，从而求出C E、B E 即可得出B C 的长度.【详解】过点A作 A E D C,V A D/7 B C,四

22、边形A D C E 是平行四边形,又：A C 平分N B C D,.*.Z D A C=Z A C E=Z D C A,/.A D=C D,四边形A D C E 是菱形，；.C E=A D=A E=2,V A E/7 C D,.,.Z A E B=Z B C D=6 0 ,又：N B=3 0 ,Z B A E=9 0 ,/.B E=2 A E=4,；.B C=B E+C E=6.故答案为：6.【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、含 3 0 度角的直角三角形和梯形，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质、含 3 0 度角的直角三角形和梯形.例 2.（2 0 1 8 上海市清流中学八年级月考）

23、若等腰梯形两底角为3 0 ,腰长为8,高和上底相等，则梯形中位线长为（）A.8 0 B.1 0 C.4 7 3 +4 D.1 6 百【答案】C【分析】分析题意画出图形，则 D E=C D=C F,A D=8,Z A=3 0 ,由 D E _ L A B,Z A=3 0 ,A D=8,即可得出D E=4,进而求出C D 的长度;运用勾股定理得出A E 和 B F 的长度,易证四边形C D E F 是平行四边形，得出E F 的长度，进而得出A B+C D 的长度，由梯形中位线的性质，即可解答本题.【详解】根据题意画出图形，则 D E=C D=C F,A D=8,Z A=3 0 .因为 D E _

24、L A B,Z A=3 0 ,A D=8,所以 D E=AD=4,2所以C D=4,AE=Jm 一。炉=4 百，同理B F=4 百.因为 D E _ L A B,C F A B,所以D E C F.因为C D E F,所以四边形C D E F 是平行四边形，所以 E F=C D=4.因为 C D=4 cm,A B=A E+E F+F B=1 7 3 +4+1 6 =8 6 M,所以 A B+C D=8 6 +4+4=8 6 +8,所以梯形的中位线长 为,2(A B+C D)=4 5/3 M.故选C.【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于需结合梯形中位线的性质，勾股定理等知识进行求解.例3

25、.（2018 上海市清流中学八年级月考）一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的锐角为（）A.30 B.45 C.60 D.75【答案】B【分析】作梯形的两条高线，证明ABE丝D C F,则有B E=FC,然后判断a A B E为等腰直角三角形求解.【详解】如图，作AELBC、DFJ_BC,四边形ABCD为等腰梯形,ADBC,BCYD=12,AE=6,A DoB E F C 四边形ABCD为等腰梯形，JA B=DC,NB=N C,VAD/7BC,AE1BC,DFBC,AAEFD为矩形,AAE=DF,AD=EF,.二 ABE 经DCF,ABE=FC,/.BC-AD=BC-F=2BE=1

26、2,BE=6,VAE=6,ABE为等腰直角三角形，.ZB=ZC=45.故选B.【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于画出图形.例4.（2018 上海市清流中学八年级月考）下到关于梯形的叙述中，不正确的是（）A.等腰梯形的两底平行且相等B.等腰梯形的两条对角线相等C.等腰梯形在同一底上的两个角相等D.等腰梯形是轴对称图形【答案】A【分析】本题考查对等腰梯形性质的理解.等腰梯形的性质如下:等腰梯形两腰相等;等腰梯形两底平行;等腰梯形的两条对角线相等;等腰梯形同一底上的两个内角相等;等腰梯形是轴对称图形.【详解】由等腰梯形的性质可知,等腰梯形的对角线相等,其在同一底上的两个角相等,可知B、C

27、不符合题意；同时等腰梯形关于两底中点的连线成轴对称,即可得到D 不符合题意，而等腰梯形两底平行但不相等，因此A 符合题意.故选A.【点睛】此题考查等腰梯形性质，解题关键在于对性质的掌握.例 5.（2017 上海八年级期末）一组对边相等，另一组对边平行的四边形是（）A.梯形 B.等腰梯形 C.平行四边形 D.等腰梯形或平行四边形【答案】D【解析】根据特殊四边形的性质，分析所给条件，选择正确答案.解：A、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故 A 不正确；B、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故 B 不正确；C、一组对边相等，另一组对边

28、平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故 C 不正确；D、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故 I）正确.故选D.“点睛”本题考查了平行四边形和等腰梯形的性质.考虑问题时应该全面考虑，不能漏掉任何一种情况，要求培养严谨的态度.例 6.（2019 上海上外附中）判断：一组邻角相等的梯形是等腰梯形（）【答案】错误【分析】根据题设画出反例图形即可.【详解】解：反例：如图，已知梯形ABC。，AD/BC,NC=N=9 0 ,而梯形ABCO不是等腰梯形.故该命题是假命题，故答案为：错误.【点睛】本题考查了等腰梯形的概念，熟悉等腰梯形的性质，举出反例是解题的关健.例7.（

29、2020 上海杨浦区 八年级期末）已知在梯形ABCD中，AD/BC,A B =A D D C =4,A C A B,那么梯形ABCD的周长等于.【答案】20【分析】根据等腰三角形的性质得到N n 4 C =N C 4,根据平行线的性质得到Z D A C =Z A C B，得到N0C4=NACB，根据直角三角形的性质列式求出Z B C A =3O,根据直角三角形的性质求出B C,根据梯形的周长公式计算，得到答案.【详解】解：.AD=OC,:.ZDAC=ZDCA,-,-AD/BC,Z D A C =Z A C B,:.ZDCA=ZACB,：A D/B C,A B =D C,：.ZB=ABCD=2Z

30、ACB,A C AB,:.Z B+Z B C A =90,BP 3ZBC4=9O,.ZBC4=3O,.6 C =2AB=8,.A B =AD=DC=4,BC=8,梯形的周长=4+4+4+8=20,故答案为：20.【点睛】本题考查的是梯形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握含30。的直角三角形的性质是解题的关键.例 8.（2 0 2 0 上海嘉定区八年级期末）已知一个梯形的中位线长为5 c 加，其中一条底边的长为6 c 加，那么该梯形的另一条底边的长是 cm.【答案】4【分析】根据梯形中位线定理解答即可.【详解】解：设该梯形的另一条底边的长是x c m,根据题意得：g（x +6）=5

31、,解得：x=,即该梯形的另一条底边的长是4 c m.故答案为：4.【点睛】本题考查了梯形中位线定理，属于基本题目，熟练掌握该定理是解题关键.例 9.（2 0 1 8 上海市民办扬波中学八年级期末）如图，在等腰梯形A8CO中，AB/CD,AD=AB，BD 工 BC，则/C=.【答案】6 0（分析利用平行线及AB/CD 证明ZADB=ZABD=ZBDC,再证明ZADC=/B C D,再利用直角三角形两锐角互余可得答案.【详解】解：因为：A B/C D,所以：ZADB=ZABD,因为：AD=A B-所以：/BDC=AABD,所以；ZADB=ZABD=ZBDC,因为：等腰梯形ABCO，所以：ZADC=

32、/BCD,设：/BDC=x0,所以NBCD=2 廿,因为：B D 工BC,所以：x+2 x =9（），解得：%=30,所以：NC=6 0.故答案为：6 0.【点睛】本题考查等腰梯形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，掌握相关性质是解题关键.例 1 0.（2 0 1 9 上海上外附中八年级期中）在梯形A8QD中，A B/C D,对角线A C B D,A C =6,B D =8,则梯形ABCD的面积为.【答案】2 4【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积公式即可求得答案.【详解】解：如图所示，梯形对角线垂直，则 S A B 8=g-A C-B 0 =g x 6 x 8 =2 4.故答案是：2

33、 4【点睛】本题考查对角线互相垂直的四边形的面积公式；对角线垂直时，四边形可看成四个直角三角形的面积之和，可得对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半.例 1 1.（2 0 2 0 上海浦东新区八年级月考）如图，在梯形力时中，AD/BC,的=1 2,AB=DC=8.N 8=6 0 .（1）求梯形的中位线长.【答案】（1）8 （2）32 /3【分析】（1）过力作/勿 切 交 比 于 反 则四边形被力是平行四边形，得=阳AE=D C,证出/应 是等边三角形，得 B E=A B=8,则/L 9=A C=4,即可得出答案；(2)作 曰 比 于 八 则/物尸=9 0 -Z 5=30 ,由含30 角的

34、直角三角形的性质得出B F=A B=,AF=g S,由梯形面积公式即可得出答案.【详解】解：(1)过 4作小口交比1 于 ,：AD/BC,，四边形4 日 6是平行四边形，：.AD=EC,AE=DC,：AB DC,：.AB AE,V Z 5=6 0 ,；./应是等边三角形，:.BE=A48,:.A g E C=B C-跖 =1 2 -8=4,二梯形4 及力的中位线长=一 (A/BC)=一 (4+1 2)=8；2 2(2)作 L L 8 C 于下，则/的尸=9 0 -ZJ?=30,：.BF=AB=A,AF=6 B F=A 6梯形 4 6(力的面积B O X/1 A=(4+1 2)X 4 V 3 =

35、32 /3.D，B F E C【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，梯形中位线的性质，直角三角形30 度角的性质.例 1 2.(2 0 2 0 上海浦东新区八年级期末)如图，等腰三角形A B C 中，A B=A C,点 E、F分别是AB、AC 的中点，C E J _ B F 于点0.(1)求证：四边形E B C F 是等腰梯形；(2)E F=1,求四边形E B C F 的面积.EB9【答案】(1)见解析；(2)一.4【分析】(1)根据三角形的中位线定理和等腰梯形的判定定理即可得到结论；(2)如图，延长B C至点G,使C G=E F,连接F G,根据平行四边形的性质得

36、到F G=E C=B F,根据全等三角形的性质和三角形中位线定理即可得到结论.【详解】(1)I点E、F分别是AB、A C的中点，.E F/B C,B E=-AB-AC=C E,2 2.四边形E B C F是等腰梯形；(2)如图，延长B C至点G,使C G=E F,连接F G,V E F/B C,即 E F/C G,且 C G=E F,四边形E F G C是平行四边形，乂 四边形E B C F是等腰梯形，；.F G=E C=B F,；E F=C G,F C=B E,.,.E F B AC G F (S S S),S四边形 EBCF=S,：G C=E F=1,且 E FB C,2；.B C=2,；

37、.B C=B C+C G=1+2=3.VFG/EC,A ZGFB=ZB0C=90,1 3；.F H=-B G=-,2 2,S 四边形 EBCF=SBFG9-4-3-2X3X1-2一一【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.例13.如图，己知梯形四切中，8C是下底，NAB0 60,BD平分4 ABC,良BD LC D,若梯形周长是30c加，求此梯形的面积.【难度】【答案】2 7 cnr.【解析】:BD平-分4ABC,NABD=NDBC=L NABO30。.2：AD/BC,：./A D故4DBC40。,：.AB=AD,：BDLCD,

38、：.ZDCB=60,：.ZABC=ZDCB,：.AICD.设 AB=CD=AD=x,Rt/BCD 中,:NDB030,:.BC=2CD=2x,.*.30=x+x+x+2x,解得：A=6.作/反L a；Rt/ABE中,:/力 斤30,.除3,A后3上.：.S=-(AlhBO A5 27G cnr.2【总结】本题考查梯形面积公式及等腰梯形性质的综合运用.例14.如图，直角梯形被力中，/4=90,AD/BC,A9=5,/少45,的垂直平分线交助 于 点6,交物的延长线于点凡 求跖的长.【难度】【答案】5【解析】联结应；61 垂直平分CD,：.EO ED,/绥/介 45,:.N CED=9Q ,VZJ

39、=90,AD/BC,.,.四边形劭比是矩形，：.BC=AE.设 BO x=AE,：.ED EC=AB=5 x；/例=/面 氏 45,./!尸是等腰直角三角形，：.AF AE=xB叫 BA+A片 5-x+产 5.【总结】本题考查中垂线的性质，等腰直角三角形，直角梯形的性质的综合运用，注意用整体思想求出线段跖的长.例 15.如图，在梯形 47切 中，AD/BC,AB=AD=DC,/斤 60,(3)求证：ABV AC-,(4)若 屐 6,求梯形力腼的面积.【难度】【答案】(1)见解析；(2)2 7 g.【解析】（I）：AB-CD,，/左/比 定 6 0 ,N BA庆N店1 20,:AF DC,：.A

40、DAC=ADCA=:.NB A O NBAD NDAC=1 20 -3 0 =9 0：.BAA.AC；(2)：A AD=DC,DC=6,:.。A!AB=6在直角三角形力犯中，./1 华 3 0 ,：.BO 2AB=1 2作/l ELBC,贝 I J 4 后36，【总结】本题主要考查含3 0 的直角三角形性质与梯形面积公式的综合运用.例 1 6.如图，在梯形力加力中，AD/BC,CA平 分 乙 BCD,DE/AC,交 勿 的 延 长 线 于 点 后 Z【难度】【解析】：力 平分/8 必：.ZBCA=ZACD-ZDCB2：DE/AC,：.Z Z A C B-ADCB2：N#2 N ,：.4B=N

41、DCB.梯形 中，AD/BC,：.AB-CD【总结】本题考查等腰梯形性质与角平分线的综合运用，注意对基本模型的总结运用.例 1 7.如图，在等腰三角形/8 C 中，点 久 分别是两腰/C、上的点，联结应、切相交于点，Z 1=Z 2.求证：梯 形 飒 T 是等腰梯形.A【难度】【解析】：AB =AC,A ADB(=AECB在丛BCD与A E C B中,N1=N2,B(=BC:Z C隘 M C B,：.BD-CE,：AB-AC,：.AD=AE,：.N ADE=ZAED-；(1 8 0 Z A)=N4陷ZACB，DE/BC,又BD与 四不平行.四边形劭C是梯形，且 劭=；.梯形做笫是等腰梯形【总结】

42、本题考查等腰梯形判定定理的运用，注意证明梯形的方法的总结.例1 8.如图，梯形如叱中，。为直角坐标系的原点，尔B、C的坐标分别为(1 4,0)、(1 4,3)、(4,3).点 八。同时从原点出发，分别作匀速运动，点/处 以 每 秒1个单位向终点/运动，点0沿 小、%以 每 秒2个单位向终点6运动.当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动.(1)设从出发起运动了 x秒，当x等于多少时，四边形0铝C为平行四边形？(2)四边形勿C能否成为等腰梯形?说明理由.【难度】【答案】(1)尸5；(2)不能.【解析】(1)由题可知：0(=5,陷1 0,0/1=1 4.：BC/O A.当0点在比 上，且

43、 华。时，四边形0颦C是平行四边形即2尸5=x,解得：x =5；(2)作 点 作 加 总 于 点E,过 点。作Q F L O P马 点、F：AO/BC,:.C2 Q F当 小 用 4时，MO G 恒 P Q F,此时四边形O/R C 为等腰梯形，即 O P=O E+CQ rP F,：.x=4+（2 尸5）+4,解得：尸-3 （舍），四边形O A 2 C 不能成为等腰梯形.【总结】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的判定与性质的综合运用，注意掌握辅助线的做法，以及数形结合思想与方程思想的综合运用.例 1 9.如图，等腰梯形花圃4 8 0 的底边/靠墙，另三边用长为4 0 米的

44、铁栏杆围成，设该花 圃 的 腰 的 长 为 x米.（1）请求出底边回的长（用含x的代数式表示）；（2）若NBAD=60 ,该花圃的面积为S 米2,求 S 与 x 之间的函数关系式，指出自变量x的取值范围，并求当我68G时 x的值.【难度】【答案】（1）除 4 0-2 x；（2）S=-x2+2O /3x（0 x 2 0）,产4.4【解析】（1）等腰梯形力阳?中，A B CAx,，於=4 0-丫-尸4 0-2 国（2）作 应 U B CF LAD在 以/烈 中，吐 3 0。，：.A-x.2nf|mA .R F CL-瓜I可理卜 庐 A k-x ,.Bh-Cb-.2 2 止 给 4 0 一 2 筋

45、力 加 4 0 r.c(BC+AD)BE 1.、瓜 一 3 后 二”耳 .S=-=-(4 0-2%+4 0-x)-=-+2 0 /3 x (0 x 2 0 ),2 2 2 4当S=686时，代入解析式，解得：尸4 或 x=竺(舍)3当96 8 6时x的值为4.【总结】本题考查等腰梯形性质与函数解析式的结合，注意面积公式中各个量的含义.例2 0.已知，一次函数y =-1 x +4的图像与x轴，y轴，分别交于4 8两点，梯形AO BC4(。是原点)的边/白5,(1)求 点C的坐标；(2)如果一个一次函数y =依+分(K 6为常数，且W0)的图像经过4、C两点，求这个一次函数的解析式.【难度】4 6

46、4 4 64【答案】(1)2(1 3,4)或(1 9,4)或(1 6,5)；(2)产，+上 或y 一上.3 3 -3 3【解析】由题可知：A(1 6,0),B(0,4).当如然时，点C坐 标 为(1 6,5),当外4 0时，点C坐 标 为(1 3,4)或(1 9,4)；(2).一次函数的图像经过/、C两点，点坐标不能为(1 6,5),当1(1 6,0),7(1 3,4)时，利用待定系数法可得解析式为：y =-x+；3 3当/(1 6,0),C(1 9,4)时，利用待定系数法可得解析式为：y =ix-.3 3【总结】本题考查直角梯形性质及一次函数的综合运用，注意分类讨论，综合性较强.例2 1.如

47、图，直角 梯 形 力 中，AB/CD,Z J=9 0 ,/户6,4 M,D O 3,动点一从点/出发，沿方向移动，动 点0从点4出发，在4 8边上移动.设点尸移动的路程为x,线 段 的 长 度 为y,线段用平分梯形/及力的周长.(1)求y与x的函数关系式，并求出这个函数的定义域；(2)当户不在外边上时，线段倒能否平分梯形/腼的面积?若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由.【难度】【答案】y =-x+9(3 x 9)；(2)尸3时，平分梯形面积.【解析】(1)过 点 作C E U 8于点E,则 O A E=3,。层4,可得：除5,所以梯形4版 的 周 长 是1 8.尸。平分梯形/质的周长，尸9

48、,*.*0 y 6 ,A 3 x 9 ,y =-x +9(3 x 9)；(2)由题可知，梯形4%的面积是1 8.因为乃不在放上，所以3 W x W 7.当3 W x 4时，尸在4?上，此时心中=!孙，线段偌能平分梯形四，力的面积，则有3孙=9可得方程组 f ：解得：:或，=6 (舍)；x y=1 8 y =6 y =3当4WA 7时，点在切上，此时S A 0=x 4(x-4 +y).线段P Q能平分梯形ABC!)的面积，则有l x 4(x-4 +y)=9可得方程组 卜)=9,方程组无解，2 x +2 y =1 7当户3时，线段图能平分梯形4 6四的面积.【总结】本题利用梯形的性质，三角形的面积

49、公式，建立方程和方程组求解，注意针对不同情况讨论，利用数形结合的思想进行计算.模块二：辅助线知识精讲解决梯形问题常用的方法作高法：使两腰在两个直角三角形中；移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的方式，构造直角三角形；延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形；移对角线法：平移对角线，可以构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的问置等.例题解析例1.如图，已知在梯形A 8 C D中，A

50、D BC,AB=A D =CD=1 3,A E VB C,垂足为E,A E=1 2,则8 c边的长等于()A.2 0B.2 1C.2 2D.2 3【难度】【答案】D【解析】A B=1 3,A =1 2,：.BE=5.梯形 4 B C O 中，AD/BC,AB=CD.A E 1B C,：.B C =A D+2 B E =3+2x 5=2 3,故选 D.【总结】本题主要考查等腰梯形性质的综合运用.例 2.已知梯形 A B C D 中，AD/BC,N 8 =70 ,N C =4 0 ,A D=2 ,3 c =1 0.求。C的长.【难度】【答案】切=8.【解析】作应7/4?,则四边形/版是平行四边形.