2022年山西省太原市高考数学模拟试卷（理科）（三）（附答案详解）.pdf

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1、2022年山西省太原市高考数学模拟试卷（理科）（三）一、单 选 题（本大题共12小题，共 60.0分）1.设4 8 是全集/=1,2,3,4 的子集，A=1,2,则满足4 a B 的B的个数是（）A.5 B.4C.3D.22.复 数 的 虚 部 为（）1 21A.：B.|C.D.-|5 5553.设非零向量五，b满足|+b|=|五一b|,则（）A.H lb B.同=同C.a/bD.a b4.已知tan（a 则 陋”吧的值为（4，2 sm a-cosa)A.1 B.2c.2V 2D.-25.某班准备从甲、乙等5人中选派3人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A.18种 B.

2、36种C.54种D.60种6.已知双曲线/一=l（b 0）与抛物线y2=-8 x 的准线交于4 B两点，且瓦？.诙=0（0 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A.y=B.y=-%C.y=x D.y=土 xJ4 3 27.已知数列 怎 的前n项和%=等，则数列 历 的前n项和=（）A.2 -1 B.陌 C.D.2n-x-1 3 38.在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为（）A.64 B.65 C.66 D.679.抛物线y 2 =2px（p 0）的焦点为F,已知点4,8 为抛物线上的两个动点，且满足44FB=120。.过弦4 8 的中点”作抛物线准线的垂线M N,

3、垂足为N,则儒的最大A B值为（）A.更 B.1 C.2 D.23 31 0.斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：=a2=l,an=an_ j +an_2(n 3,n e N*).已知哇 邂 逊 二 也是该数列的第1 0 0 项,则 m=()A.9 8B.9 9c.1 0 0D.1 0 11 1.设 Q =l o g g 2,则 a G ()A.4|)c.D.泥)1 2 .对于任意的实数x G 总存在三个不同的实数y e 1,4 ,使得y 2 xe】r-a x-，n x=0 成立，则实数a 的

4、取值范围是()A.法)B.(0,总 C.g,e2-1)D.琮,e 2 二、填空题(本大题共4小题，共 2 0.()分)1 3 .设某总体是由编号为0 1,0 2,.1 9,2 0 的2 0 个个体组成，利用下面的随机数表选取5 个个体，选取方法是从随机数表第1 行的第5 列数字开始，从左到右依次选取两个数字，则选出来的第5 个 个 体 编 号 为.1 8 1 8 0 7 9 2 4 5 4 4 1 7 1 6 5 8 0 9 7 9 8 3 8 6 1 96 2 0 6 7 6 5 0 0 3 1 0 5 5 2 3 6 4 0 5 0 5 2 6 6 2 3 81 4 .若(32+今6 的展

5、开式中/项的系数为2 0,则(+川 的 最 小 值 为.1 5 .已知向量血与刀的夹角为6 0。，且|而|=|而|=2,若 而=2而+而，且9 1B C，则实数4 的值为.1 6 .已知函数/(x)=卷 署，下面四个结论：f(x)的图象是轴对称图形；f(x)的图象是中心对称图形；f(x)在(0 3)上单调；/1(X)的最大值为*其 中 正 确 结 论 的 序 号 有.三、解答题(本大题共7小题，共 8 2.0 分)1 7 .已知锐角A A B C 中，si nC =这,si n(A-B)=立.10 k 7 10 求 需(2)若2 8 =7,求4 B C 的面积S.第2页，共17页1 8 .现有

6、5张扑克牌，其中有3张梅花，另外2张是大王、小王，进行某种扑克游戏时，需要先从5张牌中一张一张随机抽取，直到大王和小王都被抽取到，取牌结束.以表示取牌结束时取到的梅花张数，以 丫 表示取牌结束时剩余的梅花张数.(1)求概率 P(X =2)；(2)写出随机变量丫 的分布列，并求数学期望E(Y).1 9 .已知三角形P A D是边长为2的正三角形，现将菱形4 B C D沿4 0折叠，所成二面角P-4。一8的大小为1 2 0。，此时恰有P C 1 4 0.(1)求B D的长；(2)求二面角。-P C-B的余弦值.2 0 .已 知 椭 圆3+,=l(a b 0)过点P(V 1,1),离心率为e =岑.

7、(1)求椭圆C的方程；(2)当过点M(4,l)的动直线与椭圆C相交于不同的两点4 B时，在线段4 B上取点N,满足4%=-；1麻，前=，而 求 线段P N长的最小值.2 1 .已知函数f(x)=a x?一 e H(1)若函数/(x)的图象与直线y =-%+1相切，求实数a的值；(2)若函数g(x)=/(x)+%-l有且只有一个零点，求实数a的取值范围.2 2 .在极坐标系中，已知曲线C：pc os(。+=1,过极点。作射线与曲线C交于点Q,在射线0 Q上取一点P,使|O P|O Q|=/.(1)求点P的轨迹G的极坐标方程；(2)以极点。为直角坐标系的原点，极轴为工 轴的正半轴，建立直角坐标系x

8、 O y,若(X-1-V-21直线l：y =bx与(1)中的曲线G相交于点E(异于点。)，与曲线2 2 (ty=tI，2为参数)相交于点F，求|E用的值.已知函数/(x)=|x +2|-m,m e R,且/(x)W 0的解集为(1)求血的值；(2)设a、b、c为正数，且a +b +c =m,求V3 a +1 +73b+1 +73c+1 的最大值.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了元素与集合之间的关系，属于基础题.由题意可知集合B中至少含有元素1,2,再 根 据B是 全 集I的子集即可得出.【解答】解：A=1,2,因 为 A U B,则 集 合B中至少含有元素1,2,又B是 全

9、集I=1,2,3.4)的子集，则 B 可能为：1,2,1,2,3,1,2,4),(1,2,3,4).故答案选：B.2.【答案】A 解析解.由士 =。-51+2.=m=。+2.i,舶畔 出 l-2 i(l-2 i)(l+2 i)5 5 5,则复数与的虚部为：1 21 5故选：A.直接由复数代数形式的乘除运算化简复数目，则答案可求.本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题.3.【答案】A【解析】【分析】本题考查两个向量的关系的判断，属于基础题.由已知得(a+b)2=(a-b)2,从 而a-b=O，由此得到a l b .【解答】解：1,非零向量a,b满 足|五+3|=仅 一 3|，(a+K)2=(

10、a-E y ,即 a2+b2+2 a-b=a2+b2-2 a-b 整理得4a-b=0 第4页，共1 7页解 得a-b=0,a.A.b 故 选A .4.【答案】B【解析】【分析】由t a n(a-5=i ,求 出tana,然后对表达式的分子、分母同除以c o s a ,然后代入即可求出表达式的值.本题考查了三角函数的化简求值，注意表达式的分子、分母同除以c o s a ,是解题的关键，是基础题.【解答】解：由 t a n(a 一$=芸上二=；，4/1+tana 2得 tana=3 .同II sina-i-cosa tana+1 3+1 o则:-=-=-=L.sm a cosa tana-1 3-

11、1故选：B.5.【答案】C【解析】解：若只有甲乙其中一人参加，有6,曾=3 6种情况，若甲乙两人都参加,有戏 C卜 掰=1 8种情况，则不同的发言顺序种数3 6 +1 8 =5 4种，故选：C.根据题意，分只有甲乙其中一人参加、甲乙两人都参加2种情况讨论可得答案.本题主要考查了排列组合知识，考查了分类乘法计数原理和分步乘法计数原理的应用，属于基础题.6.【答案】C【解析】解：丫2=一8%的准线方程为*=2,由双曲线的对称性可知：0A=0B,根 据 函 加=0,可知A A O B为等腰直角三角形，故8(2,2),将8(2,2)代入双曲线方程可得：b2=l所以渐近线方程为y=土 辿%.33故选：c

12、.根 据 小 加=0可知AAOB为直角三角形，根据双曲线的对称性，即可得8(2,2),代入双曲线方程中即可求解.本题考查了双曲线的性质，属于基础题.7.【答案】A【解析】解：因为数列 a的前几项和无=等，当n =l时，a i =S 1=l,当nN 2时，S _ i =号3两式相减可得，%=S”S“T =?一 =4吁】=22S7,当几=1时，=1符合上式，所以 0n=2 2 S F,所以=1 2 2(7 1-1)2nT,其中/端=1，匹 _ 2 T _ 97 =行=2 所以数列 何 是以1为首项，2为公比的等比数列,故选：A.利用又与Qn的关系求出数列 七 的通项公式册=2 2(X),利用等比数

13、列的定义判定第 6 页，共 17页 历 为等比数列，结合前n 项求和公式计算即可本题考查了由数列的递推式求通项公式以及等比数列的求和计算，属于基础题.8.【答案】C【解析】解：根据球体的特点，最多应该是放5层，第一层能放16个；第2层放在每4个小球中间的空隙，共放9个；第3层继续往空隙放，可放16个；第4层同第2层放9个；第5层同第1、3层能放16个，所以最多可以放入小球的个数：16+9+16+9+16=66(个).故选：C.根据球体的特点，最多应该是放5层，确定各层的个数，进一步求出最多可以放入小球的个数即可.本题考查的是立体图形，解答此题的关键是找出各层之间的规律再进行解答.9【答案】A【

14、解析】【分析】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求s的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题.设AF=a,BF=b,连 接A F、B F.由抛物线定义得2 MN=a +b,由余弦定理可得AB2=(a+b)2-ab,进而根据基本不等式，求 得AB的取值范围，从而得到本题答案.【解答】解：设 AF=a,BF=b,连接 AF,BF,由抛物线定义,得 AF=AQ,BF=BP在梯形 4BPQ 中，2MN=AQ+BP=a+b.由余弦定理得，AB2=a2+b2-2abcosl20=a2+b2+ab配方得，AB2=(a+b)2-ab,又 ab W (手

15、产，当且仅当a=b时等号成立，(a+b)2 ab (a+b)2 +6)2=:(a +b)2得到 y(a +h).所 以 需 工瑞聋，即 需 的 最 大 值 为 小故选：A.10.【答案】B【解析】解：由己知得青=。2。1，且Qn-1=-Qn-2所以堵=a2(a3 _ al)a2a3-2al-Q,C L(4。2)=a3 a4-a3 a 2.am=a/n(%n+l am-l)=amam+l amam-l,累加整理可得底+谖+.+说=C Lmam+l-又因为谟+a升胫+确=皿 皿1=am+1.a?n即%n+i是该数列的第100项，所以m=9 9,所以B选项正确.故选:B.利用累加法即可求解.本题主要

16、考查递推式求通项公式以及累加法，属于中档题.11.【答案】D【解析】解：由16 2 7,即24 3 3,得41。323,即log32 3S,log32|,故选：D.第8页，共17页利用对数函数的性质，即可求解.本题考查了对数函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题.1 2 .【答案】A【解析】解：X K O,原式可化为y 2 e 1 7 =W+期令/(%)=?+*x 6 l,e ，故/(*)=等 2。/(%)递增,1故f (%)G a,a +-,令g(y)=y2e1yf y e -1,4 ,故g (y)=2 y -e l f y2e1-y=y(2 -y)e1-y,故g(y)在(-1，0)递减

17、，在(0,2)递增，在(2,4)递减，而g(T)=e 2,g(2)=5(4)=要使g(y)=f。)有解，则 g(y)=f(x)e g(4),g(2),即 a,a +”瑙 故二4，I a +-I e e故当 u -,es e故 选:A.原式可化为y 2 e I r =?+a,令f(x)=W +a,x e 1,e ,令g(y)=y2e1-y,y e -1,4 ,问题转化为g(y)=/(x)e g(4),g(2),得到关于a 的不等式组，解出即可.本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题.1 3 .【答案】1 9【解析】解：利用随机数表法，从第1

18、 行的第5 列数字开始，从左到右依次选取两个数字，则选出来的样本个体编号为：0 7,9 2(舍去)，4 5(舍去)，4 4(舍去),1 7(舍去)，1 6,5 8(舍去)，0 9,7 9(舍去)，8 3(舍去），8 6（舍去），1 9；所以选出来的第5个个体的编号为1 9.故答案为：1 9.根据随机数表法，写出依次选取的样本个体编号即可.本题考查了随机数表法选取样本个体编号的应用问题，是基础题.1 4.【答案】2【解析】【分析】本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，属于中档题.利用二项式定理的展开式的通项，通 过x的暴指数为%3项的系数为2 0，求 出 尤=1，然后利用基本不等式求解a2

19、+b2的最小值.【解答】解：（收+今6的展开式中x3项的系数为2 0 ,所以 Tr+1=C a x2）6-r Y =C犯6-?”i2-3 r,令 1 2 -3 r=3 ,r=3 ,鹿 2 ab=2 ,当且仅当a =b =1时取等号.a2+b2的最小值为：2 .故答案为：2 .1 5 .【答案】1【解析】【分析】本题主要考查平面向量的数量积的应用以后平面向量的基本定理的应用，根据向量垂直的等价关系建立方程是解决本题的关键，属于中档题.根据向量的数量积以及向量垂直的充要条件建立方程关系即可得到结论.【解答】解：,向 量 而 与 前 的 夹 角 为6 0。，且|而|=|而|=2 ,向量 AB-AC

20、=ABAC|c o s6 0 0 =2 x 2 x|=2 ,AP=AAB+A C，且 和 1 就，第1 0页，共1 7页.-.AP-BC =(AAB+A C y B C =O,即 A A B-B C +AC-BC =0,则；l荏 (前-确 +宿函-确=0.即 AAB-AC -A A B2+AC2-AB-AC =0，则 2 A 44+4 2=0,24=2,解得 A=1.故答案是：1.16.【答案】【解析】解：由/(1)=翼m 暑,故f(i x)=(*),可知函数/(X)关于x=：对称，故函数图像是轴对称图形；：由有函数关于x 对称，如果函数图像为中心对称图形则函数必定具有周期性，而观察函数必定无

21、周期性故函数不是中心对称图形；：对其分母分析函数y=x2-x +1在(0彳)恒减且函数值恒为正，其分子y=simrx在(0,恒增，且函数值恒为正，故f(x)在(03)单调递增；：其分母当且仅当在 =3取最小值，其分子在彳 =，寸恰取最大值，故f(%)在x=:时取最大值：=T=?4故答案为：.：可由/(1-x)=f(x)判断函数对称轴；：由函数无周期性且函数有对称轴可反推函数无对称中心；：对函数分子分母分别在(0弓)分析可得外乃在(0g)单调递增；：由确定函数在X=：时取最大值.本题主要考查函数基本性质，属于中档题.17.【答案】解：(1)sinC=黑,即sin(4+B)=噂,sinAcosB+

22、cosAsinB=,io又 ,sin(i4 一 B)=sinAcosB-cosAsinB=,sinAcosB ，5,则&=AcosA si.a nBn =3V2f MtanB 3ioBC AC AB 7 r!7 Z(2)由正弦定理可得其=薪=痂=逮=5V2,10BC=SyJlsinA,AC=5y/2sinBf所以S=-AC-BCsinC=sinAsinB，22又由锐角三角形4BC中,sinC=甯，sin(4 B)=祭 cos(1+B)=-*cos(i4 _ B)=甯,所以 cosAcosB+sin4s 讥B=cosAcosB sinAsinB io则sinAs讥8=警则5=哈雪【解析】(1)利

23、用两角和与差的正弦函数整理条件可得.A D 2V2sinAcosB=两式相除可A.D 3y/2cosAsianB io得鬻的值;(2)利用正弦定理得到BC=5夜 sinA,AC=S近sinB,再由条件可得sinAsinB=年,结合面积公式即可求得答案.本题考查了两角和与差的三角函数的化简，正弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题.18.【答案】解：(1)由题，X=2即一共取了4张，共解种取法,其中第4张为大王或小王，前3张中有一张王和两张梅花，故 P(X=2)=等=*(2)y的可能取值为0,1,2,3,P(y=0)=的丹川_ 2福 一 5P(Y=二 G e翔二 3一猫 一 10P

24、(Y=2)=一 2.第1 2页，共1 7页p(y=3)=涉 器y的分布列为:【解析】(1)X=2即一共取了4张，分别计算取4张时总共的取法与满足条件的取法计算即可；(2)丫 的可能取值为0,1,2,3,分求得相关的概率可分布列，进一步计算其数学期望即可.本题主要考查随机变量的分布列与均值，概率统计的实际应用等知识，属于中等题.1 9.【答案】解：取)中点M,连接PM,CM,PAD是正三角形，PM LA D,又.PCJ.4D,PCnBPM=P,PC,P M u 平面PMC,二 A D I 平面 PMC,MC c平面PMC,AD 1 MC,在菱形ABCD中，ACDA=6 0 ,贝此ZMB=120,

25、BD=JAD2+AB2-2AD-ABcosz.DAB=2A/3;(2)取M为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则0(1,0,0),P(0,V3,0),8(2,一 今,C(0,一日,|)，设平面PCD的法向量为沅=(x,y,z),DP=(l,V3,0),PC=(0,一 喙|),2，2，令y =l,则 =_ 旧/=百，.布=(一 6,1,遮)，,x+V 3 y =0设平面P C B 的法向量为元=(a,b,c),左=(2,0,0),定=(0,-苧,|),.(-3V3 b,+,32 C _=0n,令6 =1,则c =g,a =0,(2 a =0所以k=(0,1,遮)匕I N _ _ mn.|0

26、x(-V3)+lxl+V3xV3|277所以|c o s m,7 i)|=|而词|=-双方-=F，又二面角D -P C-B 为钝二面角，所以二面角。-P C-B 的余弦值为一出.7【解析】(1)取4。中点M，连接P M,CM,即可得到P M J.ZD,再由P C J L 4D,从而得到4 0 1平面PMC,即可得解4。1 M C,从而求出B O；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；本题考查了空间中距离的计算以及二面角的求解，属于中档题.2 0.【答案】解：根据题意，=/+3=1,解得a2=牯2=2,a 2 a2 b2椭圆c 的方程为r+1.4 2(2)设4(x i，乃)

27、，B(x2,y2)N(x,y),由 而=-A M B AN=2 而，%=X l+乜1+A旬 _ y i+29y T 7 T.4 丫 _ xl-A2xl _ yl-yl又 x g +2 yl=4,x j +2 y f =4,4x+2y4-4A21-A2=4,点 N在直线2 久+y -2 =0 上，n.I2V2+1-21 2V2-1 2V10-V5【解析】(1)由椭圆的几何性质列方程组求解；(2)由定比分点公式化简得N点轨迹方程，由点到直线距离公式求解.本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识,第14页，共17页属于中等题.2 1 .【答案】解：(1)，(%)=

28、2 a x e，设切点为(&J Q o),皿 (3=一&+1 ,(axl-。=一)+1t f Q o)=T l2 axQ-ex=-1Q=0时，显然不成立，.Q。0,消去 a 得(&-2)(蜡。+1)=0,Xo=2,a=,(2)令g(x)=0,即a/+%-1 -ex=0有且只有一个解,当 =0时，显然a M 4-%-1 -ex=0不成立，,八 ex-x+l 人，、ex-x+l%。0,Q =,*九(久)=y=a 与h(x)=I”有且只有一个交点,.八,(幻 _ (e*-l)x 2-2 x(e*-x+l)_ (x-2)(e*+l),当尤C(8,0)时,h(x)0,九(x)单调递增;当X 6 (0,2

29、)时，九(为 0,h(x)单调递增，又当x 8时，h(x)-0,当x 0时h(x)T +8,当X =2 时，/l(2)=当Xf+8时，/l(x)T +8,如图所示，综上，a 的取值范围是（0,宁）.【解析】（1）设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而列出关于a 的方程组，解之即可；（2）由二次函数和指数函数的性质知当x =0时不符合题意，故XH0,利用分离参数法可得a =%詈=h(x),根据导数研究函数以x)的单调性，结合图形即可得出结果.本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题.2 2.【答案】解；(1)设P(p,O),Q(p,。)，则p-p =鱼，又曲线C

30、：p c o s(0+=l,XY(c o s。s i n 0)=1,/.fi 8 8 6 -.即点p 的轨迹Ci 的极坐标方程为。=8*一城微(e 若).(2)曲线C2：2&2 (t 为参数)，消去参数t 化为普通方程：x +y =l,可得极坐标方程：p(cos8 +sind)=由直线八y =V 5x 可得：极坐标方程：0=把”与代入曲线C2 可得：p2=J.=|(V 3+1).3cos4-S IIIY 2把6 =争弋入曲线G可得：p i =c o s 詈 s i n =咛|T|=P 2 P i =旧 +1.【解析】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程及其应用、极坐标的应

31、用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.(1)设P(p,0),Q(p,0),则p-p =&,又曲线C：p c o s(8 +=l,代入化简即可得出.(2)由曲线C2 的参数方程消去参数t 化为普通方程：x +y =|,利用互化公式可得极坐标方程.由直线/：y =B x可得：极坐标方程：。=与 9/?).分别与曲线。2 及其曲线的的极坐标方程联立解出即可得出.2 3.【答案】解：由题意，|x +2|=产/ITH Z S X S?1 -Z由/(%)4 0的解集为得-m-2 =-3m 2 =-1解得m=1；(2)由(1)可得 a +b +c =1,第 1 6 页，共 1 7 页由柯西不等式可得:(

32、3a +1 +3b +1 +3c +1)(12+l2+l2)(V 3a +1 +73b+1 +V 3c +1)2j3a+1 +73b+1 +73c+1 /2,当且仅当 V 3a+1 =V 3d +1 =V 3c +1,即a =b=c=g时等号成立，V 3a +1 +73b+1 +V 3c +1 的最大值为 3鱼.【解析】本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于中档题.(1)由题意，|x +2|由f(x)W 0的解集为-得i n i-zs xs ni -z(-m-2 =-3t即可求实数7 n的值；b n -2 =-1(2)由(1)得：a +b +c =1,再利用柯西不等式求得V 3a +1 +(36 +1 +，3c+1的最大值.