2021-2022学年湖南省五市十校高一下学期期末考试数学试卷.pdf

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1、五市十校2022年上学期高一期末考试数学本试卷共4 页.全卷满分150分,考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设集合A/=x|x=2,w Z,N=x|x=2+1,w Z ,尸=白,=4 ,w Z ,则（）A.M g

2、p B.P M C.N c P/0 D.V c N/02 .已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次，至少击中2次的概率，先由计算器输出0到 9 之间取整数值的随机数，指定0.1 表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9 表示击中目标.因为射击3次，故以每3个随机数为一组，代表射击3次的结果，经随机模拟产生了以下2 0 组随机数：5 7 2 0 2 9 7 1 4 98 5 0 3 4 4 3 7 8 6 3 96 4 1 4 1 4 6 90 3 7 6 2 3 2 6 1 8 0 4 6 0 1 3 6 6 95 9 7 4 2 6 7

3、 1 4 2 8据此估计，该射击运动员射击3次至少击中2次的概率约为（）A.0.8 B,0.8 5 C.0.9 D.0.953 .设 a=c os2 0,b-2C O S 9,c=l og,c os 0,则 a,b,c 的大小关系为（）A.a bc B.ha c C.a c b D.ca 0 ,b 0,-1 f t 0C.O t z 1,b-D.O 1,-1 /）05.若s in?-a j=；,贝ijcos（-2 a j =（）11 百 V 3A.-B.-C.-D.-2 2 2 26.已知a,b,ceR,在下列条件中，使得a b成立的一个充分而不必要条件是（）A.ac2 be1 B.a3 D.

4、a2 0）的零点个数为（）A.l B.2 C.3 D.48.设Z,B,C,。是平面内四个不同的点，且 邯+画）（C Z）|而+|/回仁万）=0,则 向 量 方 与 丽（）A.同向平行 B.反向平行C.互相垂直 D.既不平行也不垂直二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.对于任意两个向量Z,b,下列命题中正确的是（）A.|Z +抑+河C.若 问 谢，则7 沁|叫 福.国1 0 .下列命题中正确的是（）A.若复数z满足z e R,则zeR B.若复数z满足z-z e R,则z

5、e R1C若复数Z满足Z2 2 0,则Z ER D.若复数Z满足一GR,则zeRz1 1.已知直线x=2是函数/（x）=si n（2 x+G）（0e；T）的一条对称轴，则（）6A.点 仁,0）是函数/（x）的一个对称中心B.函数/（X）在 py上单调递减C.函数y=/（X）的图象可由y=si n 2 x 的图象向左平移工个单位长度得到6D.函数y =/（x）与g（x）=si n（2 x 高 的图象关于直线x =5对称12.在正三棱柱/8C-44G中，=1,点 P满 足 万=彳 石+4 配+必两，其中/e 0,l ,则下列说法正确的是（）A.当丸+=1时，则存在点尸，使得C P B.当几+=1时

6、，则存在点P,使得8,P,三点共线C.当/=!时，则存在点。，使得,B,C,。四点共面D.当 =；时，则存在点尸，使得&B工4 P三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13 .设z =+i （其中i 为虚数单位），贝 悯=.14 .若 囱 =1,阿卜 4,O AO B=2,则以OZ,05为邻边的平行四边形的面积是15 .已知圆锥的底面半径为百，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的 表 面 积 为.16 .拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑 波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接

7、圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在 Z 8 C 中，已知N/C 8 =3 0,且/8 =班 一 1,现以8 C,A C,为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为4,B,C,则 0 5 。的 面 积 最 大 值 为.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10 分）已知函数/(x)=si n x 4 c o s x+（1）讨论函数y =/（x）的周期性和奇偶性；（2）若.,a e（0,7T）,求 a 的值.18.（本小题满分12 分）如图，在长方体458-4吕G。中，E,尸分别是线段44，8

8、c的中点.（1）证明：E E 平面 4 4 1G。；若 4 B =B C =2,直 线 叱 与 8 用 所成角的余弦值是十,求四 面 体 的 体 积.19.（本小题满分12 分）读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为1 0 0 的样本，其中男生4 0名，女生6 0 名.经调查统计，分别得到4 0 名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和6 0 名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图.男生一周阅读时间频数分布表小时频数0,2)92,4)2 5%6)3 3（1）由以上频率分布直

9、方图估计该校女生一周阅读时间的众数和7 5%分位数；（2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数吃：（3）从一周课外阅读时间为 4,6）的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率.（注：以各组的区间中点值代表该组的各个值）2 0 .（本小题满分1 2 分）如图，在三棱锥/一 8 8 中，A B ,B C,8两两互相垂直，M ,N 分别是8c的中点.（1）证明：M N 工B C；（2）设8C=2,AD=24 5,MN和平面8 c。所成角的大小为生，求二面角4 C D -8的大小.2 1 .（本小题满分1 2分）目前，新冠还在散发，防疫任重道远，

10、经济下行，就业压力大，为此，国家大力提倡大学生自主创业.小李大学毕业后在同一城市开了4,8两家小店，每家店各有2名员工.五一期间，假设每名员工请假的概率都是,，且是否请假互不影响.若某店的员工全部请假，而2另一家店没有人请假，则调剂1 人到该店以维持正常运转，否则该店就关门停业.（1）求有员工被调剂的概率；（2）求至少有一家店停业的概率.2 2 .（本小题满分1 2 分）已知 NSC的三个内角/,B,C 的对边分别为a,b,c,且ABAC+BABC=2 CACB(1)若 上 乂 =义 上，判断 NBC的形状并说明理由；b a(2)若48 C 是锐角三角形，求sin。的取值范围.2022年上学期

11、高一期末考试数学答案、提示及评分细则1.B2.C3.D4.D5.A6.A7.C8.B9.AD1 0.A C D1 1.B D1 2.B C D1 3 e2142百1 5.4%I o.-31 7.【解】/(x)=s i n71X 431X d-41+2孝(s i n x +c o s x)-COSx +s in x)+-7 2-(s in x +c o s x)1 2+1 1 ,-=s in 2x2 2gs in 2(x +万)=-；s in 2x=f(x)/(f)=-g s in (-2x)=|s in 2x =-f(x)所以函数/（X）是周期为乃，为奇函数(1)因为/(%+乃)=一(2)由

12、f(a),得 s in 2a42,即 s in 2a =一 -4 2因为a e(O,zr),所以 2a (0,2万),_ _ 7 7 r _ 1 IT T于是2a =或2a =-6 6故。=女或a121 nn18.【解】(1)设G为 的 中 点，连接E G,F G则 E G 24,FG/A C又E G Z 平面 4 4 C C，RG r|c r D D y 3 Z X r o o j 1 3 2 619.【解】(1)由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是31 1 1 劣设女生一周阅读时间的7 5%分位数为a,x 2+-x 2 +-(o-4)=-24 4 8V 7 4解得3(2)

13、由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数卜=1x9+3x25+5x3+7x3=340由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数-1y 24x 2x l+x 2x 3+x 2x 5+x 2x 7 =448所以估计总样本的平均数z=123 x 40+4 x 60 _ _-=3.6100（3）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为 4,6）的学生中男生有3人,女生有1x 2x 60=15（人）8若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记 为 女 生 有5人，记为4，b2,b3,b4,b5,则样本空间 Q =abx,ab2,ab3,ab4,abs/也,bb4,btb5,b2b3,b

14、2b4,b2b5,b3b4,b3b5,b4 bs,共 有15个样本点.记事件A =恰好一男一女“，则A =ab,ah2,ah3,ab4,ab5故所求概率尸（/）=;20.【解】（1）取8。的中点P,连接A/。，NP.因为N分别是4。，8C的中点.所以 M尸 48,N P/C D又因为 N8 18 C,B C L CD所以8 CJ.0，BC1 N P从面BC,平面M N P.又M N u 平面M N P,所以A/NJ.8 C.（2）因为Z 8 J.C。，BCL CD,所以C。，平面A B C,所以/ACB为二面角A-CD-B的平面角又因为 A B L CD,所 以 上 平 面 8 C。，A B

15、L B D.连接员0，则8=工/。=后2在R3 M N B 中 M N =BM2-BN2=2因 为 加 产 所 以 平 面8 CO.故/M N P是M N和平面BCD所成的角7 t即 N M N P=,且 P=1.6在 RtZ/8C 中，A B =I M P=2,B C=2,TT所以=4TT故所求二面角A-CD-B的大小为J421.【解】记事件4=/家 小 店 有 i名员工请假”，用=8家小店有i名员工请假”，其中 i=0,l,2由题设知，事件4,用相互独立，且尸(4)=尸(线)=(|=：P(4)=P =2.船,P(4)=P)=6=:(1)记事件C=有员工被调剂”，则。=4 82+4 6 0，

16、且 4 2:，4 综互斥，所以P(C)=P(482+41)=P(4)P)+P(4)P(8)=2X；X；=J4 4 3故有员工被调剂的概率为！8(2)记事件。=“至少有1 家店停业”，则。=+4 8 2+4 8 2且 4 月，4 层，外与互斥，所以。(。)=尸(4 4 +4 为+4 层)=尸(3)+尸(4 坊)+P(4 与)=9；+%；+%；4乙*1 4 JL J故至少有一家店停业的概率为1622.【解】由数量积的定义得，c b c o s 4+CQCO s 8 =2b a c o s C.由 余 弦 定 理 得2+-222a2+b2-c2-2 a2+b2=2c2(1)/8 C是等边三角形.c

17、o s /c c s R由正弦定理及一-二-得 s in 4 c o s 4=s in 8 c o s B,即 s in 2A =s in 2Bh a因为2428(0,2万)，所以2%=2 5或2/+28 =当2%=2 8时、/B C是等腰三角形，此时。=力=以 所以 Z B C是等边三角形;JT当24+28 =，即4+8 =乙 时，a/台。是直角三角形，这与=2c，2矛盾.2故 Z B C是等边三角形.(2)不妨设a4 b,由 /+/=2c 2得2a2 a2+b2=2 d 2b?，于是“c W b又因为 NB C是锐角三角形、所 以/+。262,即3a 2 ，因此1忘2/a,.a+h c 1 （b a、由余弦定理得，c o s C=-=-+lab 4 1 a b）令2 =/,则函数yaG)上单调递增.所以c o s C-411 2 3 J,因此s in Ce 3 2z +l e故s in C的取值范围是