2022年河北省保定市部分学校高考数学质检试卷（3月份）（学生版+解析版）.pdf

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1、2022年河北省保定市部分学校高考数学质检试卷(3月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.(5分）已知集合A=中2-3xO)与函数f(x),g(x)的图象都相切，则1 a+-b A.2 B.2e C.e2 D.,J;2 2 8.(5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C:王兰l(aO,bO)的左1,F2,2.2 a b 点A是以线段F1历为直径的圆与双曲线C在第一象限内的交点，过点A且与直线AO垂直的直线与x轴相交于点B,若乙BA历15则双曲线C的离心率为（)A.-J2 B.迈C.2 D.,Js 二、多项选择题：本题共4小题，

2、每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9.(5分）已知函数f(x)=sinwx如O)的最小正周期为TT()A.w=l B.函数f(x)的增区间为k冗卫，K冗十卫(kE Z)4 4 C.当二工卫时，i6 x 3 2 t(x)O)的焦点，宜线l与抛物线C相交于M,满森足乙MFN=60,记线段MN的中点P到抛物线的准线的距离为d,若d=-MNI，则2|虾|=INF I 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17.(10分）已知数列a,1满足al=3,an+l=3an-2n.(I)

3、令n,证明：数列b/1.为等比数列；bn=an-2(2)求数列a叶的前n项和Sn,18.(12分）在6.ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c2+b2-c2=a2cosC+accosA.(1)求角C的大小；I I(2)如图，若CD=2DA,E为BC的中点，丛CDE的面积为J5，求AB边的长度A B 19.(12分）如图，在直四棱柱ABCD-A心C1趴中，底面ABCD为直角梯形，ABIICD,AD=l,乙ADC为直角1=3C1P=3.(1)证明：AC1/平面PBD;(2)求平面PBD和平面AA心的夹角的余弦值A,A c1/丿丿沪，820.(12分）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022

4、年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，2月20日闭幕某高校学生会随机抽查200名学生在奥运会比赛期间观看比赛实况直播的情况统计如表：男同学女同学观看比赛实况直播90 80 没有观看比赛实况直播合计10 20 100 100 今、口计170 30 I 200 ,(1)能否有99的把握认为是否在奥运会比赛期间观君比赛实况直播与性别有关？(2)根据题目中表格所给出的数据，视频率为概率，在全校所有女同学中随机抽取4人，求X的分布列和数学期望及方差2 附：炉n(ad-bc)，其中n=a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K国）T。O50l o.OJO O.OOl k

5、3.841 I 6.635 10.828 2 2 21.(12分）已知椭圆C：王=l(abO)的左、右顶点分别为A、B,点A到直2.2 a b 线l:x=4的距离为6,点（寸5,l)(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P在直线l上（点P不在x轴上），直线PA与椭圆C相交于另一点M,直线PB与椭圆C相交于另一点N22.(12分）已知函数f(x)=e灶ax,其中aER.（l)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数g(x)=f(x)-x2(xO)有且仅有两个零点，求实数a的取值范围2022年河北省保定市部分学校高考数学质检试卷(3月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40

6、分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的l.(5分）已知媒合A=入杠2-3xO,B=-LL2,3()A.-1,L 2 8.1,2 C.-l,I D.L 2,3【解答】解：?A=xlO x0,.-Sln 2 e 7.(5分）已知函数f(x)=alnx,g(x)=br?,若直线y=kx(kO)与函数f(x),g(x)的图象都相切，则1 a+-()b A.2 B.2e C.e2 D.J【解答】解：设直线y=kx(kO)分别与函数f(x),g(x)相切于(x1,虹6),(x2,妇），由f(x)=alnx,g(x)=bl?,得j寸(x)主，g(x)=bl?,X:.-!=-=b ex 2=k，

7、且alnx1=kxs,b 8x2=k x 2 X2 解得x3=e,立1.:.a=ke,b气气2乒:=2e,当且仅当e 即k=2时上式等号成立ke=-k.1 a-+-:-的最小值为2e.b 故选：8.2 2 8.(5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C:王=l(aO,bO)的左IF2,2 2 a b 点A是以线段F1氏为直径的圆与双曲线C在第一象限内的交点，过点A且与直线AO垂直的直线与x轴相交于点B,若乙BAF2=15,则双曲线C的离心率为()A.-J2 B.1/3 C.2 D.,Js【解答】解：设双曲线C的焦距为2c,由乙F1AF7=90,乙OAB=90,所以 LOAF计乙OAF1乙OAF矿

8、乙BAF2=90,可得乙OAF乙BAF3=lS0,又由IOAl=IOF仆，可得乙AF10=15,在Rt6AF7凡中，1AF11=4ccos15,IA闷2csinl5,由双曲线的定义有4a=IAFII-IAF外可得4a=2c(cosl5-sinl5 ),可得a=-/2氐os60丘-J?,a 故选：A.，易二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9.(5分）已知函数f(x)=sinwx侐0)的最小正周期为1T()A.w=l B.函数fCx)的增区间为k冗二工，K冗+王-(k E

9、Z)4 4 c.当二工x卫时，46 3 2 f(x);!I=奸，CD 3 由战喟B=MN=行，可得ANJ_BN,又由BN1-AP,可得BNJ_平面APN;对千D选项，如图，n rB p 取DP的中点E,AD的中点F,EF,记点0为三棱锥P-ACD的外接球的球心，O为6ACD的外接圆的圆心，由AP上AD,可得OEJ_平面PAD,又由AC=CD=3,可得01F1-平面PAD,CF 42 由sin乙ADC=-:-CD 3 可得C051 7 9 9拉=-X:2 2立L-4森25 OE=01畸孚早，OD歹了扣（平卢顷）2平，可得三棱锥P-ACD的外接球的表面积为4冗X(写5)113冗二，可得D选项正确8

10、,8 故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.(5分）已知向撇:=-:-+令:=-:-+令，其中一，一为单位向橄令的夹角为120a=e1+e2b=e1-3e2;.P.,eie2芞e2-.则ab=-1.【解答】解：？向量_ _ _ _ 其中一一亘一一a=e1+e2b=e8-3e 2 e4 e2，向里芞e矿.,e 1 e2=5 X I X cos 120 =-上，6-+-.a.b=（一3一一2广一一3=1-2X(-e1 e2 e3-e2 e6-e6 e2 e2(2 故答案为：-l.14.(5分）已知实心铁球0的半径为R,盛满水的圆柱杯的底面半径为R,高为2R,溢出水的体积

11、与圆柱杯中剩余水的体积之比为2:l.（圆柱杯的厚度忽略不计）【解答】解：圆柱杯中装满水的体积为nR2X2R=6nR气实心球的体积为生冗R3,3 剩余水的体积为2六R5-4-六R旦主3 3 3 冗R故溢出水的体积与圆柱杯中剩余水的体积之比为生冗R气呈5 3 3 冗R=2:1 故答案为：4:1.15.(5分）若关千x的不等式釭2-2肛2a-30恒成立，则实数a的取值范围为_lL_+OO)【解答】解：关千x的不等式釭2-2l呕3a-30可化为ax8-lnx2+2a-20,令t=x2(t2)，不等式可化为at-lnt+2a-36,令fCt)=at-lnt+2a-3,由题意必有fCl)=8a-30,可得

12、a4,当a习时，可得fCt)t-lnt-L 令g(t)=t-lnt-8,g(t)=l一1 t 当IE(8,I)时，g(t)单减，当IE(1,十=)时，g(t)单增，故gCt)g CI)=6.,故f(t)矛Int-l O,可得实数a的取值范围为7,十=).故答案为：l,+oo).16.(5分）已知F是抛物线C:广2px(pO)的焦点，直线l与抛物线C相交于M,满森足乙MFN=60,记线段MN的中点P到抛物线的准线的距离为d,若d-|“N|，则2 IMF I=I NF I-.1._.2【解答】解：根据题意作图如下：过点M,N作抛物线的准线的垂线，N,如Mfl=m,INFl=n,由抛物线的定义在MM

13、l=m,INNl=n巫立!.,2 又由余弦定理有IMNI=了了亡己，有墅卫3互-x寸了了了勹；，2 2 解得m=7n或n=2m,亚2或旦土，n n 2 故答案为：2或工2 r 扣-1 三6 勹一可令V四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17.(10分）已知数列彻满足al=3,an+l=3 an-2n.(1)令bn=an-2n,证明：数列(bn为等比数列；(2)求数列伽的前n项和Sn 解答 证明()叶lb-5 n+l a n+l b n n a-n 2 7 an-2n-2rrtB 3an-8X 2n 6(an-2吟=5,an-2n an-2n an-2n

14、 故数列bn是公比为3的等比数列；解：（2)由(J)有加 G6-2=3-7=1,bn=b l X 5 n-1=l X 5n-l=3 n-5,可得an=2n+3n-5,则s2 X(1-6吟5X(1-3吟n+8沪3=+=2+一n 1-2 5-3-2 2 18.(12分）在6-ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c2+b2-(,、2=a2cosC+accosA.(1)求角C的大小；I I(2)如图，若CD二2DA,E为BC的中点，LCDE的面积为J百，求AB边的长度E A B 2.6 2【解答】解：（1)由余弦定理有a2+b2-c6=a2X-c 2ab 3.2 2 b+c-a a c X-

15、=-;:-4bc 可得a2+b2-c6a(a2+b2-c5)2b 2 5ab 2 可得a3+b 2_ c 2 一，可得：a5+b2-c2=ab,2b 5.,2 2 有a+b-c ab 1 cosC=:=-,6ab 2ab 2 又由OCn,可得C=-王3 a(b2+,2b(2)设CD=m,CE=n,由凶CDE的面积为拉，有令mXsin于式飞，可得mn=4,由余弦定理有DE六|m8+n2_mn=寸(m+n）2_4rnn=（m+n）2-12由凶CDE的周长为6,有n+n寸(m+n）5-12=6，解得m+n=4,联立方程，解得m=n=8,.-又由CD=2 DA，可得AC=3,由余弦定理可得AB82+4

16、 3-2X 3 X 6X=2 石19.Cl2分）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1 C1D1中，底面ABCD为直角梯形，ABIICD,AD=l,乙ADC为直角1=3C1P=3.(1)证明：AC1/I平面PBD;(2)求平面PBD和平面AA心的夹角的余弦值A,A PC/B【解答】（I)证明：如图，连接AC与8D交千点O,.ABIICD，可得乙OCD乙OAB,.60CD=60AB,可得旦三4卫，OA AB.CP.=2,C3P.CP=4,PCl=1,CD=2=2 OA OC _ CP =2=2,:.OPIIAC1,OA C4P:OP II AC6,AC,ct.平面PBD,OPC平面PBD1/平面PB

17、D;A,x lJ A”(2)解：由直棱柱和直角梯形ABCD可知DA,DCs两两垂直，以DA,DD,分别为X,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：D(0,7,0),O,7),2,0),3,2),A1(7,O,3),1,O),C6(0,2,8),设平面BDP的法向量为飞（X,y,z),由丽（4,1,0），亩（4,2,2)有竺;=x+y=2,DP m=2y+2z=8 取x=l,y=-1,可得;=(6,-1,1),设平面AA幻的法向晕为;=(a,b,c),由飞飞（4,0,3)忑=(-1,2,0)，有产；2c=0,A1 C 3 n=-a+2b=O 取a=4,b=l,可得记(2,7,O),

18、又由-m n=1|飞巨斤日1=石，可得平而PBD和平面AA心的夹角的余弦值为l;5;.森x,Jei-15 20.(12分）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，2月20日闭器某高校学生会随机抽查200名学生在奥运会比赛期间观看比赛实况直播的情况统计如表：观看比赛实况直播没有观看比赛实况直播合计男同学90 IO 100 女同学合计80 170 20 30 100 200(1)能否有99的把握认为是否在奥运会比赛期间观看比赛实况直播与性别有关？(2)根据题目中表格所给出的数据，视频率为概率，在全校所有女同学中随机抽取4人，求X的分布列和数学期望及

19、方差附：k 2 n(ad-be)2，其中n=a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2k)k 0 050 1 1二0001 3.841 I 6.635 10.828 2【解答】解：（l)由K仁2OOX(90X 20-80X 10)2过：8.926.635,100 X lOOX 170X 30 51 故不能有99的把握认为是否在奥运会比赛期间观看比赛实况直播与性别有关；(2)由100位女同学中有80人观看比赛实况直播，故可以估计所有女同学中观看比赛实况直播的概率为主立一生，100 8 X的取值分别为0,l.8,3,4,可知P(X=2)=C X(4巨江一匕，5625 P(X=

20、l)=c1 X(1奇卢告晶P(X=2)=CX(1呈）2x（旦）25 5 625(2 3 2 56)=5 625 4 P(X=8)=c;X(4一）x 5 4 P(X=7)=C X(2,4 256 一）=-_,5625 可得随机变谥X的分布列为：XP 4 1 625 16 625 2 96 625 6 至T625 4 256 625 由随机变谥X服从二项分布，可得E(X)=7X生县过气bO)的左、右顶点分别为A、B,点A到直2.2 a b 线l:x=4的距离为6,点（寸2,1)(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P在直线l上（点P不在x轴上），直线PA与椭圆C相交千另一点M,直线PB与椭圆C相交千另

21、一点N【解答】解：（1)由题意可得A(-a,0)，可得a+4=3,由点(了）在椭圆C上主七L=1，解得b=J丐，4沪4 2 可得椭圆C的标准方程为王=1;4 3(2)由(1)可得点A的坐标为(-2,6),O),设点P的坐标为(4,t),直线PB的斜率为：早:-!.,可得直线PB的方程为t 4-2 5Y方(x-2)联立方程（产：2），整理可得(2产）x-4户x+5产8=5,玉y 6 2+=4 8 4tu-8 2 2t-8 2 2t-3-7t 可得2xN=，可得XN=,YN上只2 2 2 2+t 2+t 3 2+t.:;2+t 2 2 可得点N的坐标为6t-4(4t 5，一-），t5+2,t4+2

22、 直线PA的斜率为t-0 二勺可得直线PB的方程为t 3-(-2)-6 y(x+2)6 2 同理联立直线PA和椭圆的方程可得点M的坐标为（36-2 t.12t 22),t+18 t+18 由图象的对称性可知直线MN所过的定点在x轴上，设该定点的坐标为(d,5t _ 12t-8-O 4 必有t 2+2.,t 4+18 2 7=，得(d-l)（户6)=O,解得d=6,2t-7 36-2t t2+2-d 2-d t+18 可得直线MN所过定点的坐标为(l,0).22.(12分）已知函数f(x)=e灶ax,其中aER.(I)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数g(x)=/(x)-2-(xO)有且仅有

23、两个零点，求实数a的取值范围【解答】解：（1)函数f(x)的定义域为R,f(x)=(3x2-a)ex7纽，吵咚0时，3x6-畛O,可得f(x)o，增区间为R;当a2时，令f(x)Ox石或x寸：，令f(x)o-8时，函数J(x)的增区间为（立，#),cf,心）(-#,#);c2)CD当a:;o时，由g(X)=e X 4-ax-X 2 当xO时，有畛3,x3-a畛飞江，可得g(x):ex2-x2,3 令a(x)=x3-2/nx，有O（x)=3 x-=,2 3 3 x-5 X X 令a(x)O,可得函数a(x)的增区间为（霾，心）（0，霾），有a(x)沁嘻号21n启巨气(1-lnf)o,可得x42l

24、nx,得x3!瓜，有x3ex x 2,可知当a:;6时由上知当aO时，函数g(x)没有零点，当aO时，方程g(x)=6可化为exJ-扭=x2,两边取对数可得x2-ax=2/nx,整理为x3-6/nx-ax=O,令h(x)=x3-4lnx-ax，有hCx)=3:2-旦-a,X 令P(x)=3x2_j一a有cp(x)=6x+_，可得函数I且x石旷ax-8=x(;i:-a)+2(x3-I)O,X 可得此时 7,当o勺叽时，3x4-ax-2正20,3 故存在唯一的正数m使得2 2 可得函数h Cx)的增区间为（m,减区间为(5,a=3m _,若函数h(x)有且仅有两个零点，则m 3 3 2 2 5 3

25、 h(m)=m-2lrun-am=m-21run-m(3m一）=-2m0-2lrun+2=-5(m+lrun-1)3,又由函数(x)入-:+lnx-1为增函数，且C 1)=6,可得不等式m3+lnm-I 2的解为ml,可得a=3m3.J艾3-7=1m 主当Ox3且ox-3lnx-ax-2/nx-aO,7 1 3 令入(x)x3-lnx有入(x)=x一-,x-3 3 x x 可得函数入(x)的增区间为（1,+=),l),可得入(x)入(1)兰，可得l3 一x-lnxo 5 当xf3a 时2 3 1 8 1 3 1 2 1 6 h(x)=（一x-:i-81nx)+（一xt1-ax)=2(x-:i_lnx)七一x(xG-3a)7(x0-lnx)o 3 3 5 8 3 由上知，若函数g(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为(l,+00).